СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ В УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩЕНИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
УДК 62.50
С. В. АРАНОВСКИЙ, В. М. БАРДОВ, А. А. БОБЦОВ, А. А. КАПИТОНОВ, А. А. ПЫРКИН
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ В УСЛОВИЯХ
ВОЗМУЩЕНИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Предложен новый подход к синтезу асимптотического наблюдателя переменных состояний для линейного объекта в случае, когда измерению доступна выходная переменная в аддитивной смеси с неизвестным синусоидальным возмущением.
Ключевые слова: асимптотический наблюдатель, доступность измерению, выходная переменная, неизвестное возмущение.
Введение. Рассмотрим задачу синтеза асимптотического наблюдателя линейного
объекта вида
x(t) = Ax(t)+bu(t) ,
(1)
y(t) = cT x(t)+δ(t) ,
(2)
где x(t)∈Rn — не измеряемый вектор переменных состояния, δ(t)∈R — неизвестное сину-
соидальное возмущение, u(t)∈R — сигнал управления, y(t)∈R — измеряемая выходная пе-
ременная. Если объект управления асимптотически устойчив, то данная задача может оказаться три-
виальной. В самом деле, в случае заданных параметров объекта можно выстроить его точную модель и, вычитая из выходной переменной объекта выходную переменную модели, получить величину возмущающего воздействия δ(t) . Если объект управления не является асимптотиче-
ски устойчивым, то данная схема неприменима, а использование классических наблюдателей переменных состояния не позволит получить асимптотическую сходимость к нулю ошибки между вектором переменных состояния и его оценкой. Задача синтеза наблюдателя для объекта управления (1), (2) была решена в работах [1, 2]. В [1] рассматривался объект
x(t) = Ax(t)+bu(t) , v(t) = Rνv(t), y(t) = cT x(t)+δ(t) = cT x(t)+qT v(t) ,
где матрица Rν имеет не кратные чисто мнимые корни. В [2] исследовался минимально фазовый объект управления вида
x(t) = Ax(t)+bu(t)+ Pv(t) , v(t) = Rνv(t), e(t) = cT x(t)−qT v(t) ,
где e(t) — ошибка, которую необходимо свести к нулю.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Синтез наблюдателя в условиях возмущения процесса измерения выходной переменной 29
Поставленные задачи были решены при условии существования решений (Γ, γ) сле-
дующих матричных уравнений:
ΓRν = AΓ+bγ + P , cT Γ+qT = 0 . Подходы, предложенные в работах [1, 2], не являются универсальными (например, в [2]
рассматриваются только минимально фазовые объекты) и представляющими значительные
сложности при их реализации. Таким образом, синтез альтернативного решения является ак-
туальной задачей.
В настоящей статье решение задачи синтеза асимптотического наблюдателя для (1), (2)
будет основано на идентификации в непрерывном времени частоты возмущающего воздейст-
вия. Заметим, что решение данной задачи носит важное самостоятельное значение, поскольку
на сегодняшний день существует большое число разнообразных подходов к идентификации
неизвестной частоты синусоидального сигнала σsin(ωt +φ) (см., например, [3—13]), но при
условии, что измеряется сама функция. Таким образом, предлагаемый в рамках данной статьи
результат не ограничен применением к решению задач синтеза наблюдателей переменных
состояния, но и развивает методы идентификации частот синусоидальных сигналов.
Постановка задачи. Рассмотрим в общем случае не минимально фазовый линейный
объект вида (1), (2), где возмущение δ(t) представлено в виде синусоидальной функции
δ(t) = σsin ωt
(3)
с неизвестными амплитудой σ и частотой ω. Следует заметить, что расширение класса воз-
мущающих воздействий до суммы нескольких синусоидальных функций не является пробле-
мой, но усложняет представление основного материала данной статьи. Поэтому для простоты
изложения ограничимся одной синусоидой.
Рассмотрим модель „вход—выход объекта“ (1), (2)
y(t)
=
b( a(
p) p)
u (t ) + δ(t )
,
(4)
где p = d / dt ; a( p) = pn + an−1 pn−1 + ... + a1 p + a0 = и b( p) = bm pm + ... + b1 p + b0 , m < n —
соответствующие полиномы, полученные в результате перехода от модели „вход— состояние—выход“ к модели „вход—выход“
b( a(
p) p)
=
c(
pI
−
A)−1
b
.
Рассмотрим следующие допущения относительно системы (1), (2), (4). Допущение 1. Будем полагать, что измеряются только сигналы y(t) и u(t) .
Допущение 2. Коэффициенты матриц A , b и c известны. Допущение 3. Пара A , b полностью управляема и пара A , с полностью наблюдаема. Допущение 4. Полиномы a( p) и b( p) могут быть не гурвицевыми и не имеют корней ± jω .
Требуется построить асимптотический наблюдатель переменных состояния x(t) объек-
та (1), (2) такой, что
lim x(t)− xˆ(t) = 0 ,
t→∞
где xˆ(t) является оценкой вектора x(t) .
(5)
Синтез наблюдателя. Процедура синтеза наблюдателя для вектора x(t) объекта (1), (2)
будет осуществлена в два этапа. На первом этапе будет предложен алгоритм синтеза наблю-
дателя возмущающего воздействия δ(t) , а на втором, используя информацию о δ(t) , построим
устройство оценки вектора x(t) . Для синтеза наблюдателя возмущающего воздействия
δ(t) = σsin ωt потребуется идентификация параметров σ и ω. Сначала построим идентификатор
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
30 С. В. Арановский, В. М. Бардов, А. А. Бобцов, А. А. Капитонов, А. А. Пыркин
параметра ω. Для этого, пренебрегая ненулевыми начальными условиями, преобразуем урав-
нение (4) следующим образом:
a( p) y(t) = b( p)u(t)+ a( p)δ(t) .
(6)
Рассмотрим любой гурвицев полином γ( p) степени п. Тогда для уравнения (6) имеем
γ( p) y(t) = a1( p) y(t)+b( p)u(t)+a( p)δ(t) или
y(t)
=
a1( p) γ( p)
y(t ) +
b( γ(
p) p)
u(t)
+
a( γ(
p) p)
δ(t)
,
(7)
где a( p) = γ( p)−a1( p) . Из уравнения (7) получим
w(t )
=
y(t ) −
a1( p) γ( p)
y (t ) −
b( γ(
p) p)
u(t) =
a( p) γ( p)
δ(t) =
=
a( γ(
p) p)
σ
sin
ω
t
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ωt
.
(8)
Из выражения (8) следует, что сигнал
w(t)
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ω
t
и в силу гурвицевости полинома γ( p) функция w(t) является гармонической с частотой ω.
Также заметим, что сигнал w(t) в силу гурвицевости полинома γ( p) может быть рассчитан
следующим образом:
w(t)
=
y (t ) −
a1( p) γ( p)
y (t ) −
b( γ(
p) p)
u(t)
.
Как и в [13], для генерирования сигнала w(t) будем использовать дифференциальное
уравнение вида
d 2w(t) dt 2
=
−ω2 w(t )
=
θ
w(t)
,
(9)
где θ = −ω2 — постоянный параметр. Следуя результатам леммы 1, представленной в статье [13], перепишем (9) следующим
образом:
w(t) = 2ς(t)+ς(t)+θς(t)+ε y (t) ,
(10)
где ε y (t) — экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми на-
чальными условиями, а функция ς(t) формируется как
ς(t) =
1 ( p+1)2
w(t) .
Как и в [13], для синтеза идентификатора неизвестного параметра θ введем новую пе-
ременную — измеряемый сигнал вида z(t) =ς(t) = w(t)−2ς(t)−ς(t) .
Пренебрегая экспоненциально затухающим членом, для модели (10) имеем
z(t) = θ ς(t) .
(11)
Построим адаптивный наблюдатель для сигнала (11) zˆ(t) = θˆ(t) ς(t) ,
где zˆ(t) — оценка сигнала z(t) , а θˆ(t) — оценка параметра θ .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Синтез наблюдателя в условиях возмущения процесса измерения выходной переменной 31
Утверждение. Пусть θˆ(t) настраивается следующим образом: θˆ(t) = kς(t)(z(t) − zˆ(t)) ,
тогда lim θˆ(t) − θ = 0 . Доказательство этого утверждения можно найти в [13].
t→∞
Частоту гармонического возмущения будем рассчитывать следующим образом:
ωˆ (t) = θˆ(t) .
(12) (13)
Теперь построим идентификатор параметра σ сигнала δ(t) = σsin ωt . Для этого постро-
им
наблюдатель
для
сигнала
w(t) .
Поскольку
w(t
)
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ωt
=
σϕ(t )
,
то
для
идентифика-
ции сигнала w(t) выберем следующий алгоритм:
wˆ (t
)
=
σˆ
a( γ(
p) p)
sin
ωˆ t
,
где sin ωˆ t = sin((ω−ω ) t) = sin ωt cos ω t −cos ωt sin ω t , и в силу
lim ω−ωˆ (t) = 0 .
t→∞
Так как lim ω−ωˆ (t) = 0 , то lim sin ωˆ t = sin ωt и, следовательно,
t→∞
t→∞
lim
t→∞
wˆ (t
)
=
σˆ
b( a(
p) p)
sin
ωt
=
σˆ ϕ(t
)
.
lim θ−θˆ(t) = 0
t→∞
имеем
Для настройки параметра σˆ воспользуемся стандартной процедурой (см., например, [14]) вида
σˆ
=
β
ϕ(t)(w(t)
−
wˆ (t))
=
β
⎛ ⎜ ⎝
b( a(
p) p)
sin
ωˆ t
⎞ ⎟ ⎠
(w(t
)
−
wˆ (t))
,
где β — любое положительное число.
(14)
Таким образом, для наблюдателя возмущающего воздействия δ(t) имеем следующий
алгоритм:
δˆ(t) = σˆ sin ωˆ t ,
(15)
где параметры σˆ и ωˆ находятся из уравнений (13), (14). Теперь, зная точную оценку функции δ(t) , построим наблюдатель переменных состоя-
ния x(t) для объекта управления (1), (2). Для этого воспользуемся классическими результа-
тами по синтезу наблюдателей полной размерности, опубликованными, например, в [14]
xˆ(t) = Axˆ(t)+bu(t)+l( y(t)− yˆ(t)) ,
(16)
yˆ(t) = cT xˆ(t)+δˆ(t) ,
(17)
где xˆ(t)∈Rn — оценка вектора x(t) , δˆ(t)∈R — оценка неизвестного возмущения, yˆ(t)∈R —
оценка переменной y(t) , а вектор постоянных коэффициентов l рассчитывается таким обра-
зом, чтобы матрица A = A−lcT была гурвицевой.
Заключение. В данной статье предложен альтернативный к [1, 2] алгоритм синтеза асимптотического наблюдателя (16), (17) для линейного объекта управления (1), (2). Также предлагаемый в рамках статьи результат развивает методы идентификации (см., например, [3—13]) параметров синусоидальных сигналов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-08-00139) и АВЦП (проект № 2.1.2/6326).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
32 С. В. Арановский, В. М. Бардов, А. А. Бобцов, А. А. Капитонов, А. А. Пыркин
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Marino R., Santosuosso G., Tomei R. Adaptive Stabilization of Linear Systems with Outputs Affected by Unknown Sinusoidal Disturbances // Proc. of the Europ. Control Conf. Kos, Greece, 2007. P. 129—134.
2. Marino R. and Tomei R. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems with Unknown Order Exosystem // IEEE Transact. on Automatic Control. 2007. Vol. 52. P. 2000—2005.
3. Bodson M., Douglas S. C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies // Automatica. 1997. Vol. 33. P. 2213—2221.
4. Hsu L., Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator // IEEE Transact. on Automatic Control. 1999. Vol. 46. P. 967—972.
5. Mojiri M. and Bakhshai A. R. An Adaptive Notch Filter for Frequency Estimation of a Periodic Signal // IEEE Transact. on Automatic Control. 2004. Vol. 49. P. 314—318.
6. Marino R. and Tomei R. Global Estimation of Unknown Frequencies // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1324—1328.
7. Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1188—1193.
8. Obregón-Pulido G., Castillo-Toledo B., and Loukianov A. A. Globally Convergent Estimator for n–Frequencies // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 857—863.
9. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameter’s identification of polyharmonic function // 15th IFAC World Congress on Automatic Control. Barcelona, Spain, 2002.
10. Бобцов А. А., Кремлев А. С. Адаптивная идентификация частоты смещенного синусоидального сигнала // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 4. С. 22—26.
11. Hou M. Amplitude and frequency estimator of a sinusoid // IEEE Transact. on Automatic Control. 2005. Vol. 50. P. 855—858.
12. Дьяконов В. MATLAB6: Учебный курс. СПб: Питер, 2001.
13. Арановский С. В., Бобцов А. А., Кремлев А. С., Лукьянова Г. В. Робастный алгоритм идентификации частоты синусоидального сигнала // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 1—6.
14. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб: Наука, 1999.
Станислав Владимирович Арановский Владимир Михайлович Бардов Алексей Алексеевич Бобцов
Александр Александрович Капитонов Антон Александрович Пыркин
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bobtsov @mail.ru — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
УДК 62.50
С. В. АРАНОВСКИЙ, В. М. БАРДОВ, А. А. БОБЦОВ, А. А. КАПИТОНОВ, А. А. ПЫРКИН
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ В УСЛОВИЯХ
ВОЗМУЩЕНИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Предложен новый подход к синтезу асимптотического наблюдателя переменных состояний для линейного объекта в случае, когда измерению доступна выходная переменная в аддитивной смеси с неизвестным синусоидальным возмущением.
Ключевые слова: асимптотический наблюдатель, доступность измерению, выходная переменная, неизвестное возмущение.
Введение. Рассмотрим задачу синтеза асимптотического наблюдателя линейного
объекта вида
x(t) = Ax(t)+bu(t) ,
(1)
y(t) = cT x(t)+δ(t) ,
(2)
где x(t)∈Rn — не измеряемый вектор переменных состояния, δ(t)∈R — неизвестное сину-
соидальное возмущение, u(t)∈R — сигнал управления, y(t)∈R — измеряемая выходная пе-
ременная. Если объект управления асимптотически устойчив, то данная задача может оказаться три-
виальной. В самом деле, в случае заданных параметров объекта можно выстроить его точную модель и, вычитая из выходной переменной объекта выходную переменную модели, получить величину возмущающего воздействия δ(t) . Если объект управления не является асимптотиче-
ски устойчивым, то данная схема неприменима, а использование классических наблюдателей переменных состояния не позволит получить асимптотическую сходимость к нулю ошибки между вектором переменных состояния и его оценкой. Задача синтеза наблюдателя для объекта управления (1), (2) была решена в работах [1, 2]. В [1] рассматривался объект
x(t) = Ax(t)+bu(t) , v(t) = Rνv(t), y(t) = cT x(t)+δ(t) = cT x(t)+qT v(t) ,
где матрица Rν имеет не кратные чисто мнимые корни. В [2] исследовался минимально фазовый объект управления вида
x(t) = Ax(t)+bu(t)+ Pv(t) , v(t) = Rνv(t), e(t) = cT x(t)−qT v(t) ,
где e(t) — ошибка, которую необходимо свести к нулю.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Синтез наблюдателя в условиях возмущения процесса измерения выходной переменной 29
Поставленные задачи были решены при условии существования решений (Γ, γ) сле-
дующих матричных уравнений:
ΓRν = AΓ+bγ + P , cT Γ+qT = 0 . Подходы, предложенные в работах [1, 2], не являются универсальными (например, в [2]
рассматриваются только минимально фазовые объекты) и представляющими значительные
сложности при их реализации. Таким образом, синтез альтернативного решения является ак-
туальной задачей.
В настоящей статье решение задачи синтеза асимптотического наблюдателя для (1), (2)
будет основано на идентификации в непрерывном времени частоты возмущающего воздейст-
вия. Заметим, что решение данной задачи носит важное самостоятельное значение, поскольку
на сегодняшний день существует большое число разнообразных подходов к идентификации
неизвестной частоты синусоидального сигнала σsin(ωt +φ) (см., например, [3—13]), но при
условии, что измеряется сама функция. Таким образом, предлагаемый в рамках данной статьи
результат не ограничен применением к решению задач синтеза наблюдателей переменных
состояния, но и развивает методы идентификации частот синусоидальных сигналов.
Постановка задачи. Рассмотрим в общем случае не минимально фазовый линейный
объект вида (1), (2), где возмущение δ(t) представлено в виде синусоидальной функции
δ(t) = σsin ωt
(3)
с неизвестными амплитудой σ и частотой ω. Следует заметить, что расширение класса воз-
мущающих воздействий до суммы нескольких синусоидальных функций не является пробле-
мой, но усложняет представление основного материала данной статьи. Поэтому для простоты
изложения ограничимся одной синусоидой.
Рассмотрим модель „вход—выход объекта“ (1), (2)
y(t)
=
b( a(
p) p)
u (t ) + δ(t )
,
(4)
где p = d / dt ; a( p) = pn + an−1 pn−1 + ... + a1 p + a0 = и b( p) = bm pm + ... + b1 p + b0 , m < n —
соответствующие полиномы, полученные в результате перехода от модели „вход— состояние—выход“ к модели „вход—выход“
b( a(
p) p)
=
c(
pI
−
A)−1
b
.
Рассмотрим следующие допущения относительно системы (1), (2), (4). Допущение 1. Будем полагать, что измеряются только сигналы y(t) и u(t) .
Допущение 2. Коэффициенты матриц A , b и c известны. Допущение 3. Пара A , b полностью управляема и пара A , с полностью наблюдаема. Допущение 4. Полиномы a( p) и b( p) могут быть не гурвицевыми и не имеют корней ± jω .
Требуется построить асимптотический наблюдатель переменных состояния x(t) объек-
та (1), (2) такой, что
lim x(t)− xˆ(t) = 0 ,
t→∞
где xˆ(t) является оценкой вектора x(t) .
(5)
Синтез наблюдателя. Процедура синтеза наблюдателя для вектора x(t) объекта (1), (2)
будет осуществлена в два этапа. На первом этапе будет предложен алгоритм синтеза наблю-
дателя возмущающего воздействия δ(t) , а на втором, используя информацию о δ(t) , построим
устройство оценки вектора x(t) . Для синтеза наблюдателя возмущающего воздействия
δ(t) = σsin ωt потребуется идентификация параметров σ и ω. Сначала построим идентификатор
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
30 С. В. Арановский, В. М. Бардов, А. А. Бобцов, А. А. Капитонов, А. А. Пыркин
параметра ω. Для этого, пренебрегая ненулевыми начальными условиями, преобразуем урав-
нение (4) следующим образом:
a( p) y(t) = b( p)u(t)+ a( p)δ(t) .
(6)
Рассмотрим любой гурвицев полином γ( p) степени п. Тогда для уравнения (6) имеем
γ( p) y(t) = a1( p) y(t)+b( p)u(t)+a( p)δ(t) или
y(t)
=
a1( p) γ( p)
y(t ) +
b( γ(
p) p)
u(t)
+
a( γ(
p) p)
δ(t)
,
(7)
где a( p) = γ( p)−a1( p) . Из уравнения (7) получим
w(t )
=
y(t ) −
a1( p) γ( p)
y (t ) −
b( γ(
p) p)
u(t) =
a( p) γ( p)
δ(t) =
=
a( γ(
p) p)
σ
sin
ω
t
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ωt
.
(8)
Из выражения (8) следует, что сигнал
w(t)
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ω
t
и в силу гурвицевости полинома γ( p) функция w(t) является гармонической с частотой ω.
Также заметим, что сигнал w(t) в силу гурвицевости полинома γ( p) может быть рассчитан
следующим образом:
w(t)
=
y (t ) −
a1( p) γ( p)
y (t ) −
b( γ(
p) p)
u(t)
.
Как и в [13], для генерирования сигнала w(t) будем использовать дифференциальное
уравнение вида
d 2w(t) dt 2
=
−ω2 w(t )
=
θ
w(t)
,
(9)
где θ = −ω2 — постоянный параметр. Следуя результатам леммы 1, представленной в статье [13], перепишем (9) следующим
образом:
w(t) = 2ς(t)+ς(t)+θς(t)+ε y (t) ,
(10)
где ε y (t) — экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми на-
чальными условиями, а функция ς(t) формируется как
ς(t) =
1 ( p+1)2
w(t) .
Как и в [13], для синтеза идентификатора неизвестного параметра θ введем новую пе-
ременную — измеряемый сигнал вида z(t) =ς(t) = w(t)−2ς(t)−ς(t) .
Пренебрегая экспоненциально затухающим членом, для модели (10) имеем
z(t) = θ ς(t) .
(11)
Построим адаптивный наблюдатель для сигнала (11) zˆ(t) = θˆ(t) ς(t) ,
где zˆ(t) — оценка сигнала z(t) , а θˆ(t) — оценка параметра θ .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Синтез наблюдателя в условиях возмущения процесса измерения выходной переменной 31
Утверждение. Пусть θˆ(t) настраивается следующим образом: θˆ(t) = kς(t)(z(t) − zˆ(t)) ,
тогда lim θˆ(t) − θ = 0 . Доказательство этого утверждения можно найти в [13].
t→∞
Частоту гармонического возмущения будем рассчитывать следующим образом:
ωˆ (t) = θˆ(t) .
(12) (13)
Теперь построим идентификатор параметра σ сигнала δ(t) = σsin ωt . Для этого постро-
им
наблюдатель
для
сигнала
w(t) .
Поскольку
w(t
)
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ωt
=
σϕ(t )
,
то
для
идентифика-
ции сигнала w(t) выберем следующий алгоритм:
wˆ (t
)
=
σˆ
a( γ(
p) p)
sin
ωˆ t
,
где sin ωˆ t = sin((ω−ω ) t) = sin ωt cos ω t −cos ωt sin ω t , и в силу
lim ω−ωˆ (t) = 0 .
t→∞
Так как lim ω−ωˆ (t) = 0 , то lim sin ωˆ t = sin ωt и, следовательно,
t→∞
t→∞
lim
t→∞
wˆ (t
)
=
σˆ
b( a(
p) p)
sin
ωt
=
σˆ ϕ(t
)
.
lim θ−θˆ(t) = 0
t→∞
имеем
Для настройки параметра σˆ воспользуемся стандартной процедурой (см., например, [14]) вида
σˆ
=
β
ϕ(t)(w(t)
−
wˆ (t))
=
β
⎛ ⎜ ⎝
b( a(
p) p)
sin
ωˆ t
⎞ ⎟ ⎠
(w(t
)
−
wˆ (t))
,
где β — любое положительное число.
(14)
Таким образом, для наблюдателя возмущающего воздействия δ(t) имеем следующий
алгоритм:
δˆ(t) = σˆ sin ωˆ t ,
(15)
где параметры σˆ и ωˆ находятся из уравнений (13), (14). Теперь, зная точную оценку функции δ(t) , построим наблюдатель переменных состоя-
ния x(t) для объекта управления (1), (2). Для этого воспользуемся классическими результа-
тами по синтезу наблюдателей полной размерности, опубликованными, например, в [14]
xˆ(t) = Axˆ(t)+bu(t)+l( y(t)− yˆ(t)) ,
(16)
yˆ(t) = cT xˆ(t)+δˆ(t) ,
(17)
где xˆ(t)∈Rn — оценка вектора x(t) , δˆ(t)∈R — оценка неизвестного возмущения, yˆ(t)∈R —
оценка переменной y(t) , а вектор постоянных коэффициентов l рассчитывается таким обра-
зом, чтобы матрица A = A−lcT была гурвицевой.
Заключение. В данной статье предложен альтернативный к [1, 2] алгоритм синтеза асимптотического наблюдателя (16), (17) для линейного объекта управления (1), (2). Также предлагаемый в рамках статьи результат развивает методы идентификации (см., например, [3—13]) параметров синусоидальных сигналов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-08-00139) и АВЦП (проект № 2.1.2/6326).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
32 С. В. Арановский, В. М. Бардов, А. А. Бобцов, А. А. Капитонов, А. А. Пыркин
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Marino R., Santosuosso G., Tomei R. Adaptive Stabilization of Linear Systems with Outputs Affected by Unknown Sinusoidal Disturbances // Proc. of the Europ. Control Conf. Kos, Greece, 2007. P. 129—134.
2. Marino R. and Tomei R. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems with Unknown Order Exosystem // IEEE Transact. on Automatic Control. 2007. Vol. 52. P. 2000—2005.
3. Bodson M., Douglas S. C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies // Automatica. 1997. Vol. 33. P. 2213—2221.
4. Hsu L., Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator // IEEE Transact. on Automatic Control. 1999. Vol. 46. P. 967—972.
5. Mojiri M. and Bakhshai A. R. An Adaptive Notch Filter for Frequency Estimation of a Periodic Signal // IEEE Transact. on Automatic Control. 2004. Vol. 49. P. 314—318.
6. Marino R. and Tomei R. Global Estimation of Unknown Frequencies // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1324—1328.
7. Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1188—1193.
8. Obregón-Pulido G., Castillo-Toledo B., and Loukianov A. A. Globally Convergent Estimator for n–Frequencies // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 857—863.
9. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameter’s identification of polyharmonic function // 15th IFAC World Congress on Automatic Control. Barcelona, Spain, 2002.
10. Бобцов А. А., Кремлев А. С. Адаптивная идентификация частоты смещенного синусоидального сигнала // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 4. С. 22—26.
11. Hou M. Amplitude and frequency estimator of a sinusoid // IEEE Transact. on Automatic Control. 2005. Vol. 50. P. 855—858.
12. Дьяконов В. MATLAB6: Учебный курс. СПб: Питер, 2001.
13. Арановский С. В., Бобцов А. А., Кремлев А. С., Лукьянова Г. В. Робастный алгоритм идентификации частоты синусоидального сигнала // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 1—6.
14. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб: Наука, 1999.
Станислав Владимирович Арановский Владимир Михайлович Бардов Алексей Алексеевич Бобцов
Александр Александрович Капитонов Антон Александрович Пыркин
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bobtsov @mail.ru — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11