МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОДНОКАНАЛЬНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ СЛОЖНОМ ЭКЗОГЕННОМ СТОХАСТИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
43
УДК 62.50
А. В. УШАКОВ, А. Ю. ЦВЕНТАРНЫЙ
МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОДНОКАНАЛЬНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ СЛОЖНОМ ЭКЗОГЕННОМ СТОХАСТИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Решается задача синтеза модального управления непрерывным объектом типа „одномерный вход—выход“ в условиях сложного экзогенного стохастического воздействия на основе концепции векторно-матричного подобия проектируемой системы сформированной полиномиальной динамической модальной модели. Приводится пример. Ключевые слова: сложное экзогенное стохастическое воздействие, динамический объект, модальное управление.
Введение. В сложившейся практике синтеза управления непрерывными объектами с целью достижения необходимых динамических свойств формируемой системы в условиях экзогенных стохастических воздействий (ЭСВ) используются три типовые модели ЭСВ [1—3].
Первая модель ЭСВ описывает стационарное в широком смысле стохастическое воздей-
ствие w(t ) типа „белый шум“, характеризующееся интенсивностью N и функцией ковариации Rw (τ) = Nδ(τ) , где δ(τ) — дельта-функция Дирака. Данная модель ЭСВ является физически
не реализуемой, она представляет собой математическую абстракцию, используемую в вычислительной практике при формировании аналитического описания стохастических процессов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
44 А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
Вторая модель ЭСВ описывает стационарное в широком смысле стохастическое воздей-
ствие ξ(t ) типа „экспоненциально коррелированный“ окрашенный шум (ЭКОШ), формируе-
мый из белого шума интенсивностью N с помощью формирующего фильтра (ФФ) первого порядка в виде апериодического звена с сопрягающей частотой Ωф так, что дисперсия Dξ
ЭКОШ определяется выражением Dξ = 0,5NΩф [3]. Характерным примером этого вида сто-
хастического воздействия является силовое ветровое воздействие на конструкции широкого диапазона применения.
Третья модель ЭСВ описывает стационарное в широком смысле стохастическое воздей-
ствие η(t ) вида „окрашенный шум типа регулярная качка“ (ОШРК), формируемый из белого
шума интенсивностью N с помощью формирующего фильтра второго порядка в виде коле-
бательного звена с сопрягающей частотой Ωк и коэффициентом демпфирования ς так, что
дисперсия Dη ОШРК определяется выражением Dη = 0, 25NΩкς−1 [3]. Характерным приме-
ром реализации этого вида воздействия является колебательное движение некоторого плавсредства при волнении водной поверхности.
Однако, системная практика применения, особенно в задачах следящего автоматического измерения деформаций больших пространственных конструкций, которые характеризуются слабым демпфированием и представляют собой колебательные звенья второго порядка, вызываемых воздействием ветра, приводит к ситуации, когда измеряемая деформация таких конструкций зависит от сложного стохастического воздействия.
В настоящей работе рассматривается задача построения отдельных каналов типа „одномерный вход—выход“ автоматической измерительной системы (АИС), функционирующей по принципу следящего преобразования деформаций, представляющей собой планарное сложное стохастическое экзогенное воздействие (СЭСВ) на входе каналов АИС с использованием возможностей модального управления. Под СЭСВ авторы понимают стационарное в широком смысле воздействие, сформированное из белого шума интенсивностью N с помощью составного ФФ, реализованного в виде последовательной цепочки из апериодического звена
первого порядка с выходным сигналом ξ(t ) и колебательного звена второго порядка с вы-
ходным сигналом η(t ) . Это последовательное соединение апериодического и колебательного
звеньев будем именовать формирующей СЭСВ цепью (ФЦ) с размерностью nФЦ .
Формирование полиномиальной динамической модальной модели с желаемыми
показателями при СЭСВ. В рассматриваемой задаче формируются показатели полиноми-
альной динамической модальной модели (ММ) с передаточной функцией „вход—выход“
(ВВ) ΦММ ( s) в условиях действия на нее СЭСВ. Модель СЭСВ с передаточной функцией
ВВ ΦСЭСВ ( s) представляет собой последовательное соединение моделей типа ЭКОШ и
ОШРК соответственно с передаточными функциями (ПФ) типа ΦЭКОШ ( s) и ΦОШРК ( s) ВВ,
задаваемое выражениями
ΦЭКОШ
(
s
)
=
ξ(s) w(s)
=
Ωф Ωф +
s
,
(1)
ΦОШРК
(s)
=
η(s) ξ(s)
=
s2
Ωк2 + 2ςΩк s +Ωк2
,
(2)
ΦСЭСВ
( s) = ΦЭКОШ
( s) ΦОШРК
(s)=
Ωф Ωф + s
s2
Ωк2 + 2ςΩк s+Ωк2
.
(3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Модальное управление динамическими одноканальными объектами
45
Передаточная функция ΦММ ( s) модальной модели формируется в классе передаточ-
ных функций, гарантирующих астатизм первого порядка, в параметризованной характери-
стической частотой ω0 форме
ΦММ
(s)=
y(s) η(s)
=
sn
+
vn ω0n
n
∑
vi
ωi0
s
n−i
=V
vn ω0n
( s, ω0
)
,
i=1
(4)
здесь y ( s) — лапласов образ выходной переменной y (t ) , относительно которой передаточ-
ные функции ВВ модальной модели и проектируемой системы методами модального управ-
ления совпадают; V (s, ω0 ) — желаемый характеристический полином матриц состояния ММ
и проектируемой системы. Отметим также, что выражение (4) позволяет при решении задачи формирования аналитических представлений показателей полиномиальной динамической
ММ положить ω0 =1 с последующим переходом в них от vi к viωi0 (i =1, n) .
В постановочной форме задача решается в общем виде, инвариантном относительно конкретных распределений (Баттерворта, Ньютона и др.) мод характеристического полинома
V (s, ω0 ) . Векторно-матричное описание ММ использует сопровождающую характеристиче-
ский полином V (s, ω0 ) форму представления матрицы состояния ММ. В связи с тем что по-
рядок формирователя СЭСВ равен трем, на первом этапе решения задачи авторы ограничились порядком n ММ не выше четырех. Это вызвано трудностями вычислительного характера, так как размерность матричных компонентов, входящих в уравнение Ляпунова [3], будет
достигать 7×7, а также влиянием фактора обусловленности матричных компонентов уравнения на его решение. Тем не менее авторы полагают, что размерности, равной четырем, системы ОВВ-типа достаточно для модельного представления широкого класса проектируемых динамических систем.
При построении алгоритма формирования аналитического представления скалярных и
( )матричных показателей как функций коэффициентов vi viωi0 характеристического поли-
нома матрицы состояния ММ, а также параметров составного формирователя ЭССВ таких, как Ωф , Ωк и ς , используются известные результаты анализа процессов в непрерывных сис-
темах, возбуждаемых в стационарном в широком смысле СЭВ типа „белый шум“ [2—4]. Очевидно, что если между исследуемой системой, которой является ММ, и источником „белого шума“ размещается сложный формирующий фильтр, то введение в рассмотрение агрегированной системы „ФФ—ММ“ порождает задачу формирования показателей ММ при стохастическом стационарном в широком смысле СЭВ типа СЭСВ, сводящуюся к случаю экзогенного воздействия типа „белый шум“.
Следует заметить, что для придания полученным аналитическим представлениям ска-
лярных показателей ММ в виде дисперсий ее выхода Dy и ошибки Dε как функции характе-
ристической частоты ω0 ММ целесообразно перейти к относительным представлениям. В
итоге, аналитические выражения между собой будут связывать относительные переменные, заданные соотношениями
D y = Dy Dη−1 ; Dε = Dε Dη−1 ; ω0 = ω0Ωк−1 ; Ωф = ΩфΩк−1,
(5)
где D y , Dε , ω0 , Ωф , Ωк — соответственно относительные дисперсии выхода, ошибки, характеристическая частота, сопрягающая частота ФФ.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
46 А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
Ниже приведены аналитические выражения для D y и Dε для систем порядка
nΣ = nФЦ +n . При nΣ = 4 выражения для относительных дисперсий ММ принимают вид:
(( )()( ) ( ) )Dy =V1ω0 ⎜⎝⎛
V1ω0 +2ς V1ω0 +Ωф + 2ς 2ς+Ωф V1ω0 +Ωф V12 ω02 + 2ςV1ω0 +1
−1 ⎠⎞⎟ ;
( )( ) {( )( ) ( ) }V1ω0 +Ωф V12 ω02 +2ςV1ω0 +1 −V1ω0 V1ω0 +2ς V1ω0 +Ωф +2ς 2ς+Ωф −1
( )( )Dε =
V1ω0 +Ωф V12 ω02 + 2ςV1ω0 +1
.
При nΣ = 5 для этих же дисперсий получаем представление
⎧
{ ( )}⎪
⎜⎛V2 ω02 1−V2 ω02 −2ς V1ω0 + 2ς
( )⎪2ςV1ω0
⎪
{ ( )}⎪
V1ω0 +2ς+Ωф
⎜ ⎜⎝⎜ +
V2 ω02 −1−V1ω0
V1ω0 +2ς
+
⎞ ⎟
⎫ ⎪
⎟−⎪
⎠⎟⎟
⎪ ⎪
( )( ( )( ) )V2
ω02
⎪ ⎪ ⎪⎨− ⎪ ⎪
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
V1ω0 + 2ς 2ς+Ωф V2 ω02 +V1ω0
+2ςΩф
−
2ςV2
2
ω0
V1ω0 +2ς+Ωф
Ωф
+ Ωф2
+
⎞ ⎟
⎟×
⎠⎟
⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪
{ ( ) } ( )⎪
⎪× ⎪
⎛⎜⎝V1
ω0
2ς V1ω0 +2ς
+V2
2
ω0
−1
+
V1ω0 + 2ς
⎞⎠⎟
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎪
( )( )( )Dy =
⎩⎪
V1ω0 V1ω0 + 2ς
V2
2
ω0
+V1
ω0
Ωф
+
2
Ωф
2ς+Ωф ×
⎭⎪ ;
{ ( )} { ( )}×⎜⎛⎝V2 ω02 1−V2 ω02 −2ς V1ω0 +2ς + V2 ω02 −1−V1ω0 V1ω0 +2ς ⎠⎞⎟
⎛
( )( )( )⎜⎜V1
⎜
( )⎜
ω0
⎧ ⎪
V1 ω0
+ 2ς
⎨ ⎩⎪−2ςV2
ω02
2ς+Ωф V2 ω02 V1ω0 + 2ς+Ωф
+V1 ω0
Ωф
+ Ωф2
−⎫⎬⎪× ⎪ ⎭
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎜
{ ( ( )) ( ( ))}⎜×
V2 ω02
1−V2 ω02 −2ς
V1ω0 + 2ς
+ V2 ω02 −1−V1ω0 V1ω0 + 2ς
⎟ +⎟
⎜⎟
{ ( ( ) ) ( )}⎜
⎜
+V2
2
ω0
V1 ω0
2ς
V1ω0 + 2ς
+V2
2
ω0
−1
−
V1ω0 + 2ς
×
⎟ ⎟
⎜⎟
( ( )( ( ))(( ) ))Dε
= V1ω0
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
×
⎧ ⎪
V1 ω0
+ 2ς
2ς + Ωф
⎨ ⎪⎩+2ςΩф
−
2ςV2
ω02
V1
V2 ω02 ω0 + 2ς
+V1 ω0 +Ωф
Ωф
+
Ωф2
(V1ω0 +2ςΩк ) 2ςΩк +Ωф V2ω02 +V1ω0Ωф +Ωф2
+ ⎪⎫ ⎬ ⎪ ⎭
×
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
.
( { } { })× V2ω02 Ωк2 −V2ω02 −2ςΩк (V1ω0 +2ςΩк ) +Ωк2 V2ω02 −Ωк2 −V1ω0 (V1ω0 +2ςΩк )
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Модальное управление динамическими одноканальными объектами
47
Примеры конкретной реализации коэффициентов Vi характеристических полиномов матрицы состояния ММ для трех наиболее часто используемых распределений мод приведены в таблице.
Тип распределения мод
Распределение Баттерворта
Распределение Ньютона Модифицированное распределение Ньютона
п
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Коэффициенты
V1
1 1,414
2 1 2 3 1 v+2 2v2+5v+2
V2
— 1 2 — 1 3 — v+1 2v2+6v+3
V3
— — 1 — — 1 — — 2v2+3v+1
Модифицируемое распределение мод Ньютона (см. таблицу) записывается в форме
D(λ) = D(λ,
ω0 ,
(n−1
ν) = ∏ λ +ω0
(1+ iν ) )
,
ν>0
.
i=0
Основной результат. Полученные выше аналитические выражения для относительных значений дисперсий ошибки и выходной переменной формируемой ММ позволяют предложить следующий алгоритм синтеза МУ динамическими объектами ОВВ-типа.
Алгоритм 1. Сформировать модель формирующей цепи в виде последовательного соединения звеньев, описываемых выражениями (1), (2) и характеризующихся параметрами ς , Ωк и Ωф .
Задать абсолютное значение дисперсии Dη СЭСВ проектируемой системы. 2. Сформировать требования к показателям качества проектируемой системы в пере-
ходном и установившемся (воспроизведения или парирования СЭСВ) режимах. В зависимости от постановки указанных задач сформировать требования к абсолютным значениям дисперсий Dε ≤ DεR ошибки и выхода Dy ≤ DyR , осуществить переход к их относительным ана-
логам Dε ≤ DεR и Dy ≤ DyR . Сформировать ММ заданного порядка n , для чего принять тре-
( )буемое распределение мод и выбрать значения коэффициентов Vi i =1, n характеристическо-
го полинома матрицы состояния ММ (см. таблицу). 3. Оценить значение относительной характеристической частоты ω0 в зависимости от
задачи из условия
{ ( ) } { ( ) }ω0 = arg Dε n, ω0 , ς, Ωф , Ωк ≤ DεR ∨arg Dy n, ω0 , ς, Ωф , Ωк ≤ DyR .
4. Сформировать абсолютное значение характеристической частоты ω0 = ω0Ωк .
5. Сформировать характеристический полином матрицы состояния ММ в форме
D (s, ω0
)=
sn
+
n
∑
viωi0 sn−i
.
i=1
6. Сформировать (п×п)-матрицу Γ состояния модальной модели с характеристическим
полиномом
det
(
sI
−Γ
)
=
D
(
s,
ω0
)
=
sn
+
n
∑
vi
ωi0
s
n−i
i=1
в одном из канонических базисов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
48 А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
7. Построить векторно-матричное ( A, B,C ) -представление объекта управления x (t ) = Ax (t )+ Bu (t ) ; y (t ) =Cx (t ) , где x, u, y — соответственно векторы состояния, управле-
ния и выхода; A, B, C — соответственно матрицы состояния, управления и выхода ОУ,
( A, B) — полностью управляемая пара, ( A,C ) — полностью наблюдаемая.
( )8. Завершить формирование ММ с парой матриц (Γ, H ) , где Γ = Γ Ωф , Ωк , ς, ω0 ,
{ ( )}H = arg observ(Γ, H )&dim( H ) = dim BT .
9. В предположении о справедливости гипотезы о непосредственной измеримости экзо-
генного воздействия g (t ) = η(t ) и вектора состояния x (t ) сформировать сигнал управления в виде u (t ) = Kg g (t )− Kx (t ) , где матрицы K , Kg вычислить в соответствии с соотношениями
K = HM −1, M = arg{M Γ− AM = −BH} ,
{ } ( )Kg = arg −CM Γ−1M −1BKg = I = − CM Γ−1M −1B −1.
10. Построить векторно-матричное ( F,G,C ) -описание проектируемой системы x (t ) = Fx (t )+Gg (t ) ; y (t ) =Cx (t ) ; ε(t ) = g (t )− y (t ) , где g, ε — соответственно вектор экзо-
генного воздействия и ошибка его воспроизведения, F = A− BK , G = BKg .
11. Отказаться от гипотезы о непосредственной измеримости g (t ) = η(t ) , воспользоваться измеримостью вектора ошибки ε (t ) для формирования сигнала управления в форме u(t) = Kεε(t)−Kxx(t) , где Kε = Kg , Kx = K − Kg C .
12. Провести комплексное компьютерное исследование спроектированной системы управления в среде компьютерного моделирования MatLab Simulink.
Заключение. Предложенная схема формирующей цепи универсальна, так устремление Ωк и Ωф к бесконечности приводит к первому случаю формирования СЭВ, устремление только Ωк к бесконечности — ко второму, а устремление только Ωф к бесконечности — к третьему случаю, тем самым с помощью полученных аналитических выражений для относительных значений дисперсии выхода Dy и ошибки Dε при указанных переходах достигается целый класс решений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. СПб: Изд-во „Профессия“, 2003.
2. Дэвис М. Х. А. Линейное оценивание и стохастическое управление / Пер. с англ.; под ред. А. Н. Ширяева. М.: Наука, 1984.
3. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ. М.: Мир, 1977. 4. Дударенко Н. А., Слита О. В., Ушаков А. В. Математические основы современной теории управления:
аппарат метода пространства состояний: Учеб. пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2008.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Модальное управление динамическими одноканальными объектами
49
Анатолий Владимирович Ушаков Артем Юрьевич Цвентарный
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: Ushakov-AVG@yandex.ru — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: Taifyn@nm.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
УДК 62.50
А. В. УШАКОВ, А. Ю. ЦВЕНТАРНЫЙ
МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОДНОКАНАЛЬНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ СЛОЖНОМ ЭКЗОГЕННОМ СТОХАСТИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Решается задача синтеза модального управления непрерывным объектом типа „одномерный вход—выход“ в условиях сложного экзогенного стохастического воздействия на основе концепции векторно-матричного подобия проектируемой системы сформированной полиномиальной динамической модальной модели. Приводится пример. Ключевые слова: сложное экзогенное стохастическое воздействие, динамический объект, модальное управление.
Введение. В сложившейся практике синтеза управления непрерывными объектами с целью достижения необходимых динамических свойств формируемой системы в условиях экзогенных стохастических воздействий (ЭСВ) используются три типовые модели ЭСВ [1—3].
Первая модель ЭСВ описывает стационарное в широком смысле стохастическое воздей-
ствие w(t ) типа „белый шум“, характеризующееся интенсивностью N и функцией ковариации Rw (τ) = Nδ(τ) , где δ(τ) — дельта-функция Дирака. Данная модель ЭСВ является физически
не реализуемой, она представляет собой математическую абстракцию, используемую в вычислительной практике при формировании аналитического описания стохастических процессов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
44 А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
Вторая модель ЭСВ описывает стационарное в широком смысле стохастическое воздей-
ствие ξ(t ) типа „экспоненциально коррелированный“ окрашенный шум (ЭКОШ), формируе-
мый из белого шума интенсивностью N с помощью формирующего фильтра (ФФ) первого порядка в виде апериодического звена с сопрягающей частотой Ωф так, что дисперсия Dξ
ЭКОШ определяется выражением Dξ = 0,5NΩф [3]. Характерным примером этого вида сто-
хастического воздействия является силовое ветровое воздействие на конструкции широкого диапазона применения.
Третья модель ЭСВ описывает стационарное в широком смысле стохастическое воздей-
ствие η(t ) вида „окрашенный шум типа регулярная качка“ (ОШРК), формируемый из белого
шума интенсивностью N с помощью формирующего фильтра второго порядка в виде коле-
бательного звена с сопрягающей частотой Ωк и коэффициентом демпфирования ς так, что
дисперсия Dη ОШРК определяется выражением Dη = 0, 25NΩкς−1 [3]. Характерным приме-
ром реализации этого вида воздействия является колебательное движение некоторого плавсредства при волнении водной поверхности.
Однако, системная практика применения, особенно в задачах следящего автоматического измерения деформаций больших пространственных конструкций, которые характеризуются слабым демпфированием и представляют собой колебательные звенья второго порядка, вызываемых воздействием ветра, приводит к ситуации, когда измеряемая деформация таких конструкций зависит от сложного стохастического воздействия.
В настоящей работе рассматривается задача построения отдельных каналов типа „одномерный вход—выход“ автоматической измерительной системы (АИС), функционирующей по принципу следящего преобразования деформаций, представляющей собой планарное сложное стохастическое экзогенное воздействие (СЭСВ) на входе каналов АИС с использованием возможностей модального управления. Под СЭСВ авторы понимают стационарное в широком смысле воздействие, сформированное из белого шума интенсивностью N с помощью составного ФФ, реализованного в виде последовательной цепочки из апериодического звена
первого порядка с выходным сигналом ξ(t ) и колебательного звена второго порядка с вы-
ходным сигналом η(t ) . Это последовательное соединение апериодического и колебательного
звеньев будем именовать формирующей СЭСВ цепью (ФЦ) с размерностью nФЦ .
Формирование полиномиальной динамической модальной модели с желаемыми
показателями при СЭСВ. В рассматриваемой задаче формируются показатели полиноми-
альной динамической модальной модели (ММ) с передаточной функцией „вход—выход“
(ВВ) ΦММ ( s) в условиях действия на нее СЭСВ. Модель СЭСВ с передаточной функцией
ВВ ΦСЭСВ ( s) представляет собой последовательное соединение моделей типа ЭКОШ и
ОШРК соответственно с передаточными функциями (ПФ) типа ΦЭКОШ ( s) и ΦОШРК ( s) ВВ,
задаваемое выражениями
ΦЭКОШ
(
s
)
=
ξ(s) w(s)
=
Ωф Ωф +
s
,
(1)
ΦОШРК
(s)
=
η(s) ξ(s)
=
s2
Ωк2 + 2ςΩк s +Ωк2
,
(2)
ΦСЭСВ
( s) = ΦЭКОШ
( s) ΦОШРК
(s)=
Ωф Ωф + s
s2
Ωк2 + 2ςΩк s+Ωк2
.
(3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Модальное управление динамическими одноканальными объектами
45
Передаточная функция ΦММ ( s) модальной модели формируется в классе передаточ-
ных функций, гарантирующих астатизм первого порядка, в параметризованной характери-
стической частотой ω0 форме
ΦММ
(s)=
y(s) η(s)
=
sn
+
vn ω0n
n
∑
vi
ωi0
s
n−i
=V
vn ω0n
( s, ω0
)
,
i=1
(4)
здесь y ( s) — лапласов образ выходной переменной y (t ) , относительно которой передаточ-
ные функции ВВ модальной модели и проектируемой системы методами модального управ-
ления совпадают; V (s, ω0 ) — желаемый характеристический полином матриц состояния ММ
и проектируемой системы. Отметим также, что выражение (4) позволяет при решении задачи формирования аналитических представлений показателей полиномиальной динамической
ММ положить ω0 =1 с последующим переходом в них от vi к viωi0 (i =1, n) .
В постановочной форме задача решается в общем виде, инвариантном относительно конкретных распределений (Баттерворта, Ньютона и др.) мод характеристического полинома
V (s, ω0 ) . Векторно-матричное описание ММ использует сопровождающую характеристиче-
ский полином V (s, ω0 ) форму представления матрицы состояния ММ. В связи с тем что по-
рядок формирователя СЭСВ равен трем, на первом этапе решения задачи авторы ограничились порядком n ММ не выше четырех. Это вызвано трудностями вычислительного характера, так как размерность матричных компонентов, входящих в уравнение Ляпунова [3], будет
достигать 7×7, а также влиянием фактора обусловленности матричных компонентов уравнения на его решение. Тем не менее авторы полагают, что размерности, равной четырем, системы ОВВ-типа достаточно для модельного представления широкого класса проектируемых динамических систем.
При построении алгоритма формирования аналитического представления скалярных и
( )матричных показателей как функций коэффициентов vi viωi0 характеристического поли-
нома матрицы состояния ММ, а также параметров составного формирователя ЭССВ таких, как Ωф , Ωк и ς , используются известные результаты анализа процессов в непрерывных сис-
темах, возбуждаемых в стационарном в широком смысле СЭВ типа „белый шум“ [2—4]. Очевидно, что если между исследуемой системой, которой является ММ, и источником „белого шума“ размещается сложный формирующий фильтр, то введение в рассмотрение агрегированной системы „ФФ—ММ“ порождает задачу формирования показателей ММ при стохастическом стационарном в широком смысле СЭВ типа СЭСВ, сводящуюся к случаю экзогенного воздействия типа „белый шум“.
Следует заметить, что для придания полученным аналитическим представлениям ска-
лярных показателей ММ в виде дисперсий ее выхода Dy и ошибки Dε как функции характе-
ристической частоты ω0 ММ целесообразно перейти к относительным представлениям. В
итоге, аналитические выражения между собой будут связывать относительные переменные, заданные соотношениями
D y = Dy Dη−1 ; Dε = Dε Dη−1 ; ω0 = ω0Ωк−1 ; Ωф = ΩфΩк−1,
(5)
где D y , Dε , ω0 , Ωф , Ωк — соответственно относительные дисперсии выхода, ошибки, характеристическая частота, сопрягающая частота ФФ.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
46 А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
Ниже приведены аналитические выражения для D y и Dε для систем порядка
nΣ = nФЦ +n . При nΣ = 4 выражения для относительных дисперсий ММ принимают вид:
(( )()( ) ( ) )Dy =V1ω0 ⎜⎝⎛
V1ω0 +2ς V1ω0 +Ωф + 2ς 2ς+Ωф V1ω0 +Ωф V12 ω02 + 2ςV1ω0 +1
−1 ⎠⎞⎟ ;
( )( ) {( )( ) ( ) }V1ω0 +Ωф V12 ω02 +2ςV1ω0 +1 −V1ω0 V1ω0 +2ς V1ω0 +Ωф +2ς 2ς+Ωф −1
( )( )Dε =
V1ω0 +Ωф V12 ω02 + 2ςV1ω0 +1
.
При nΣ = 5 для этих же дисперсий получаем представление
⎧
{ ( )}⎪
⎜⎛V2 ω02 1−V2 ω02 −2ς V1ω0 + 2ς
( )⎪2ςV1ω0
⎪
{ ( )}⎪
V1ω0 +2ς+Ωф
⎜ ⎜⎝⎜ +
V2 ω02 −1−V1ω0
V1ω0 +2ς
+
⎞ ⎟
⎫ ⎪
⎟−⎪
⎠⎟⎟
⎪ ⎪
( )( ( )( ) )V2
ω02
⎪ ⎪ ⎪⎨− ⎪ ⎪
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
V1ω0 + 2ς 2ς+Ωф V2 ω02 +V1ω0
+2ςΩф
−
2ςV2
2
ω0
V1ω0 +2ς+Ωф
Ωф
+ Ωф2
+
⎞ ⎟
⎟×
⎠⎟
⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪
{ ( ) } ( )⎪
⎪× ⎪
⎛⎜⎝V1
ω0
2ς V1ω0 +2ς
+V2
2
ω0
−1
+
V1ω0 + 2ς
⎞⎠⎟
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎪
( )( )( )Dy =
⎩⎪
V1ω0 V1ω0 + 2ς
V2
2
ω0
+V1
ω0
Ωф
+
2
Ωф
2ς+Ωф ×
⎭⎪ ;
{ ( )} { ( )}×⎜⎛⎝V2 ω02 1−V2 ω02 −2ς V1ω0 +2ς + V2 ω02 −1−V1ω0 V1ω0 +2ς ⎠⎞⎟
⎛
( )( )( )⎜⎜V1
⎜
( )⎜
ω0
⎧ ⎪
V1 ω0
+ 2ς
⎨ ⎩⎪−2ςV2
ω02
2ς+Ωф V2 ω02 V1ω0 + 2ς+Ωф
+V1 ω0
Ωф
+ Ωф2
−⎫⎬⎪× ⎪ ⎭
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎜
{ ( ( )) ( ( ))}⎜×
V2 ω02
1−V2 ω02 −2ς
V1ω0 + 2ς
+ V2 ω02 −1−V1ω0 V1ω0 + 2ς
⎟ +⎟
⎜⎟
{ ( ( ) ) ( )}⎜
⎜
+V2
2
ω0
V1 ω0
2ς
V1ω0 + 2ς
+V2
2
ω0
−1
−
V1ω0 + 2ς
×
⎟ ⎟
⎜⎟
( ( )( ( ))(( ) ))Dε
= V1ω0
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
×
⎧ ⎪
V1 ω0
+ 2ς
2ς + Ωф
⎨ ⎪⎩+2ςΩф
−
2ςV2
ω02
V1
V2 ω02 ω0 + 2ς
+V1 ω0 +Ωф
Ωф
+
Ωф2
(V1ω0 +2ςΩк ) 2ςΩк +Ωф V2ω02 +V1ω0Ωф +Ωф2
+ ⎪⎫ ⎬ ⎪ ⎭
×
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
.
( { } { })× V2ω02 Ωк2 −V2ω02 −2ςΩк (V1ω0 +2ςΩк ) +Ωк2 V2ω02 −Ωк2 −V1ω0 (V1ω0 +2ςΩк )
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Модальное управление динамическими одноканальными объектами
47
Примеры конкретной реализации коэффициентов Vi характеристических полиномов матрицы состояния ММ для трех наиболее часто используемых распределений мод приведены в таблице.
Тип распределения мод
Распределение Баттерворта
Распределение Ньютона Модифицированное распределение Ньютона
п
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Коэффициенты
V1
1 1,414
2 1 2 3 1 v+2 2v2+5v+2
V2
— 1 2 — 1 3 — v+1 2v2+6v+3
V3
— — 1 — — 1 — — 2v2+3v+1
Модифицируемое распределение мод Ньютона (см. таблицу) записывается в форме
D(λ) = D(λ,
ω0 ,
(n−1
ν) = ∏ λ +ω0
(1+ iν ) )
,
ν>0
.
i=0
Основной результат. Полученные выше аналитические выражения для относительных значений дисперсий ошибки и выходной переменной формируемой ММ позволяют предложить следующий алгоритм синтеза МУ динамическими объектами ОВВ-типа.
Алгоритм 1. Сформировать модель формирующей цепи в виде последовательного соединения звеньев, описываемых выражениями (1), (2) и характеризующихся параметрами ς , Ωк и Ωф .
Задать абсолютное значение дисперсии Dη СЭСВ проектируемой системы. 2. Сформировать требования к показателям качества проектируемой системы в пере-
ходном и установившемся (воспроизведения или парирования СЭСВ) режимах. В зависимости от постановки указанных задач сформировать требования к абсолютным значениям дисперсий Dε ≤ DεR ошибки и выхода Dy ≤ DyR , осуществить переход к их относительным ана-
логам Dε ≤ DεR и Dy ≤ DyR . Сформировать ММ заданного порядка n , для чего принять тре-
( )буемое распределение мод и выбрать значения коэффициентов Vi i =1, n характеристическо-
го полинома матрицы состояния ММ (см. таблицу). 3. Оценить значение относительной характеристической частоты ω0 в зависимости от
задачи из условия
{ ( ) } { ( ) }ω0 = arg Dε n, ω0 , ς, Ωф , Ωк ≤ DεR ∨arg Dy n, ω0 , ς, Ωф , Ωк ≤ DyR .
4. Сформировать абсолютное значение характеристической частоты ω0 = ω0Ωк .
5. Сформировать характеристический полином матрицы состояния ММ в форме
D (s, ω0
)=
sn
+
n
∑
viωi0 sn−i
.
i=1
6. Сформировать (п×п)-матрицу Γ состояния модальной модели с характеристическим
полиномом
det
(
sI
−Γ
)
=
D
(
s,
ω0
)
=
sn
+
n
∑
vi
ωi0
s
n−i
i=1
в одном из канонических базисов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
48 А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
7. Построить векторно-матричное ( A, B,C ) -представление объекта управления x (t ) = Ax (t )+ Bu (t ) ; y (t ) =Cx (t ) , где x, u, y — соответственно векторы состояния, управле-
ния и выхода; A, B, C — соответственно матрицы состояния, управления и выхода ОУ,
( A, B) — полностью управляемая пара, ( A,C ) — полностью наблюдаемая.
( )8. Завершить формирование ММ с парой матриц (Γ, H ) , где Γ = Γ Ωф , Ωк , ς, ω0 ,
{ ( )}H = arg observ(Γ, H )&dim( H ) = dim BT .
9. В предположении о справедливости гипотезы о непосредственной измеримости экзо-
генного воздействия g (t ) = η(t ) и вектора состояния x (t ) сформировать сигнал управления в виде u (t ) = Kg g (t )− Kx (t ) , где матрицы K , Kg вычислить в соответствии с соотношениями
K = HM −1, M = arg{M Γ− AM = −BH} ,
{ } ( )Kg = arg −CM Γ−1M −1BKg = I = − CM Γ−1M −1B −1.
10. Построить векторно-матричное ( F,G,C ) -описание проектируемой системы x (t ) = Fx (t )+Gg (t ) ; y (t ) =Cx (t ) ; ε(t ) = g (t )− y (t ) , где g, ε — соответственно вектор экзо-
генного воздействия и ошибка его воспроизведения, F = A− BK , G = BKg .
11. Отказаться от гипотезы о непосредственной измеримости g (t ) = η(t ) , воспользоваться измеримостью вектора ошибки ε (t ) для формирования сигнала управления в форме u(t) = Kεε(t)−Kxx(t) , где Kε = Kg , Kx = K − Kg C .
12. Провести комплексное компьютерное исследование спроектированной системы управления в среде компьютерного моделирования MatLab Simulink.
Заключение. Предложенная схема формирующей цепи универсальна, так устремление Ωк и Ωф к бесконечности приводит к первому случаю формирования СЭВ, устремление только Ωк к бесконечности — ко второму, а устремление только Ωф к бесконечности — к третьему случаю, тем самым с помощью полученных аналитических выражений для относительных значений дисперсии выхода Dy и ошибки Dε при указанных переходах достигается целый класс решений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. СПб: Изд-во „Профессия“, 2003.
2. Дэвис М. Х. А. Линейное оценивание и стохастическое управление / Пер. с англ.; под ред. А. Н. Ширяева. М.: Наука, 1984.
3. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ. М.: Мир, 1977. 4. Дударенко Н. А., Слита О. В., Ушаков А. В. Математические основы современной теории управления:
аппарат метода пространства состояний: Учеб. пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2008.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Модальное управление динамическими одноканальными объектами
49
Анатолий Владимирович Ушаков Артем Юрьевич Цвентарный
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: Ushakov-AVG@yandex.ru — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: Taifyn@nm.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11