УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62.50
А. Б. БУШУЕВ, Е. Г. ИСАЕВА, С. Н. МОРОЗОВ, С. А. ЧЕПИНСКИЙ
УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Синтезирован алгоритм управления движением по заданным траекториям многоканальных объектов относительно гладких кривых пространства выходных переменных на основе метода преобразования координат и динамических свойств подвижного базиса поверхности. Приводятся примеры движения вдоль плоских типовых траекторий (прямой, окружности).
Ключевые слова: движение многоканальных объектов по траектории, метод преобразования координат, синтез алгоритма управления.
Введение. Развитие робототехники связано с реализацией нетривиальных движений ав-
тономного робота, находящегося в сложном окружении. Действия многозвенного манипуля-
тора должны быть одновременно подчинены внешним требованиям, связанным с текущим
состоянием окружающей среды и с имеющейся в распоряжении визуальной или контактной
информацией о взаимодействии с объектами ближайшего окружения.
Движение динамической системы вдоль кривых, гиперповерхностей и других нетри-
виальных геометрических объектов (подмногообразий) обеспечивает достижение целого ряда
полезных свойств проектируемой системы: оптимизацию процессов управления, компенса-
цию влияния внешних возмущений, робастные свойства системы, декомпозицию модели и
согласование выходных переменных [1, 2].
Настоящая статья посвящена вопросам управления движением по траектории двузвен-
ного маятника и трехзвенного манипулятора с вращательными парами в случаях, когда цель
управления формулируется заданием аналитического описания кривой и желаемой динамики
продольного движения в пространстве выходных переменных системы. Рассматриваемая
проблема может быть отнесена к частным задачам стабилизации систем относительно нетри-
виальных пространственных объектов (аттракторов) или задачам согласования выходных пе-
ременных многоканальных динамических систем.
Модели механизмов и постановка задачи. Рассмотрим динамику трехзвенного мани-
пулятора (рис. 1), описываемого в пространстве обобщенных координат уравнением типа Ла-
гранжа:
q = ω, A(q)ω+b(q, ω)+c(q) = u ,
(1)
где q = (q1, q2 , q3 ) — вектор обобщенных координат, u = (u1, u2 , u3 ) — вектор управляющих моментов, развиваемых приводами манипулятора. Допустим, что все звенья имеют одинако-
вую массу и длину: m1 = m2 = m3 = m , L1 = L2 = L3 = L [3, 4].
Динамика двузвенного маятника (рис. 2) описывается уравнением (1), где q = (q1, q2 ) ,
u = (u1, 0) , L1 = L2 = L .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Управление траекторным движением многоканальных динамических систем
51
В декартовом пространстве R2 положение последнего звена характеризуется вектором
y = ( y1, y2 ) и определяется уравнением:
y = h(q) .
(2)
Уравнения (1), (2) описывают механизм как многосвязный нелинейный объект управле-
ния с выходными переменными y , переменными состояния q, ω и управляющим воздейст-
вием u .
y2
y2 u3
u2 L2
L1 q1 u1
m1g
q2 m2g
L3 q3
m3g
q2 L2
m2g
L1
q1 u1
m1g
y1 y1
Рис. 1
Рис. 2
Рассмотрим движение конечного звена многозвенного механизма. Пусть желаемая
траектория S (рис. 3, здесь e — ортогональное отклонение от траектории, y* — текущая
координата конечного звена механизма) определяется выражением
ϕ( y) = 0,
(3)
а длина пути (продольное перемещение) находится как
s =ψ(y) .
(4)
Нужный режим изменения продольной переменной s(t) может быть задан с помощью
воздействия sd(t).
y2
S
τ2 e y*
T*(α)
τ1
τ2 T(α)
y s
τ1
O
u
y1
Рис. 3
Предполагается, что функции ϕ и ψ — гладкие и выбраны таким образом, что при y∈S матрица Якоби
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
52 А. Б. Бушуев, Е. Г. Исаева, С. Н. Морозов, С. А. Чепинский
T∗ =
τ1T τT2
∂ψ / ∂y = ∂ϕ / ∂y
(5)
ортогональна. Матрица T * определяет связанный с траекторией подвижный базис, в котором
τ1 является касательным вектором, а τ2 — ортогональным. Основная задача управления движением механизма по заданной траектории формули-
руется с помощью голономных соотношений (условий координации) декартовых координат
конечного звена y, которые должны выполняться в процессе его движения и вводятся урав-
нением (3).
Введем в рассмотрение задачно-ориентированные координаты, представленные про-
дольной переменной s (4) и ортогональным отклонением конечной точки от кривой, задан-
ной выражением (3):
e = ϕ( y) .
(6)
Тогда задача управления сводится к стабилизации движения робота, при котором
s = sd (t), e ≡ 0, δ = 0 ,
(7)
где e — ортогональное отклонение конечной точки звена механизма от кривой; δ — угловые отклонения конечного звена.
Тождество e(t) ≡ 0 соответствует желаемому поведению системы, когда ее траектория
y(t) целиком лежит на заданной желаемой траектории S*. Достижение асимптотической устойчивости такого движения является основной задачей управления. Другая задача касается управления продольной динамикой системы s(t). При этом в примере с двузвенным маятником возможность управления продольным движением отсутствует, что и определяет основные особенности управления малоприводными механизмами [5, 6].
Исходя из этого общую задачу управления движением по заданной траектории, представленную (7), можно разбить на две самостоятельные задачи обеспечения:
— желаемой продольной динамики, т.е. поддержания заданного закона изменения переменной s(t) ;
— локальной аттрактивности S, т.е. для траекторий, начинающихся вне желаемой кривой S , необходимо обеспечить приближение конечного звена механизма к S , т.е. e → 0 при t→∞ .
Анализ динамики и синтез управления. Общая процедура построения алгоритма управления движением по заданной траектории включает в себя следующие этапы:
— преобразование описания модели объекта управления с помощью вектора обобщенных координат к декартовым координатам;
— переход от декартовых координат к задачно-ориентированным: s (длина пути) и e ;
— введение в рассмотрение новых задачно-ориентированных входных переменных us
( fs — в случае с маятником) и ue ;
— синтез регулятора, решающего указанную выше задачу. Продифференцировав по времени уравнение (2), можно отыскать связи декартовых и обобщенных скоростей в виде
y = Cq (q)q ,
(8)
где Cq (q) = H (q) = ∂h / ∂q.
Преобразование к задачно-ориентированным координатам осуществим, продифференцировав (4), (6):
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Управление траекторным движением многоканальных динамических систем
53
s e
=T
*
y
.
(9)
Свойство 1. Для y∈S матрица Якоби T * (5) удовлетворяет уравнению типа Френе [5]
T*= sξET * ,
где
ξ
—
кривизна
траектории,
заданной
выражением
(3),
E
=
⎡0 ⎣⎢−1
10⎤⎥⎦∈S .
Подставив уравнение (8) в (9), получим
s e
=T
*Cq q
.
(10) (11)
Продифференцировав (9) и используя свойство 1, можно доказать следующее положение. Свойство 2. В малой окрестности установившегося решения s = sd (t), e = 0 система (1), (2) принимает вид
s e
−
sξE
s e
=
T
*
⎣⎡Cq
q + Cq
A(q)−1 (−b(q,
q ) − c(q) + u ) ⎦⎤
.
(12)
Введем в рассмотрение задачно-ориентированные управления us и ue и выберем закон
управления в виде [7]
u = b(q, q)+c(q)+ ACq−1 ⎡⎣−Cqq+u⎤⎦ ,
(13)
где u — вектор пространственного управления, определяемый как
u =T *−1
us ue
,
(14)
us ue
=T*
⎡⎣Cqq +Cq A(q)−1(−b(q, q)−c(q)+u)⎦⎤
.
Получаем слабосвязанные модели продольного движения и траекторных ошибок
(15)
s e
− sξE
s e
=
us ue
(16)
или раздельно
s = ξ(s)se+us ,
(17)
e = s2ξ(s)+ue .
(18)
Для того чтобы стабилизировать решение (3), сигналы управления ue и us вырабатываются регуляторами [8]
P1 : ue = (s)2 ξ−ke 1e−ke2e , P2 : us = ks 1∆s+ ks2∆s ,
(19)
где ∆s = sd −s — продольная ошибка.
Выбор коэффициентов усиления ke1 , ke2 , ks1 , ks2 осуществляется из условия асимпто-
тической устойчивости модели (17), (18), что обеспечивает точность и желаемые динамиче-
ские показатели движения по заданной траектории.
Общий алгоритм управления роботом находится из уравнения (15) и принимает вид
u = b(q, q)+c(q)+ A(q)Cq−1 ⎢⎡−Cq q+T *T ⎣
us ue
⎤ ⎥
.
⎦
(20)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
54 А. Б. Бушуев, Е. Г. Исаева, С. Н. Морозов, С. А. Чепинский
Результаты моделирования. Синтезирована система управления механизмом при его движении по заданной прямой S:
S : cos α y1 +sin α y2 +ψ0 = 0 ,
(21)
где α = −0, 785 , ψ0 = 4, 5 .
Синтезирована система управления механизмом при его движении по отрезку окружно-
сти S с радиусом R:
( )S :
1 2R
R2 −∆y12 −∆y22
=0,
(22)
где ∆y1 = y1 − y01 , ∆y2 = y2 − y02 , y01, y02 — координаты центра окружности, R = 2, 4 .
Трехзвенный манипулятор. Результаты моделирования движения трехзвенного роботаманипулятора по заданной прямой S приведены на рис. 4.
На рис. 5 представлены результаты моделирования системы при ее движении из различных начальных положений.
Результаты моделирования движения трехзвенного робота-манипулятора по отрезку заданной окружности приведены на рис. 6.
На рис. 7 представлены результаты моделирования системы при ее движении из различных начальных положений.
y2 2S 1
y2 3
2 1
00
–1 –1
0 12 Рис. 4
3 y1
–1 –1
0
12 Рис. 5
3 y1
y2 y2
22 S
11
0 0
–1
–1 –3
–2
–1
0
1 y1
–2 –3 –2 –1 0
1 2 y1
Рис. 6
Рис. 7
Двузвенный маятник. Результаты моделирования движения двузвенного маятника по заданной прямой приведены на рис. 8 ( α — угловое отклонение от заданной прямой).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Управление траекторным движением многоканальных динамических систем
55
Результаты моделирования движения двузвенного маятника по заданной окружности приведены на рис. 9.
y2 S
1,5
y2 α
S
1 1
0,5 0,5
00
–1 –0,5 0
0,5 y1
–1 –0,5 0 0,5 y1
Рис. 8
Рис. 9
При этом в случае двузвенного маятника возможность управления продольным движе-
нием отсутствует, что и определяет основные особенности данной задачи.
Результаты моделирования рассмотренных систем для различных начальных положе-
ний звеньев показывают хорошую сходимость траекторий к заданным траекториям и асимпто-
тическую устойчивость систем.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ № МК3486.2009.8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Miroshnik I. V. and Nikiforov V. O. Trajectory motion control and coordination of multilink robots // 13th IFAC World Congress. San-Francisco, 1996. Vol. A. P.361—366.
2. Miroshnik I. V. Attractors and partial stability of nonlinear dynamical systems // 5th IFAC Symp. on Nonlinear Control Systems (NOLCOS'01). St. Petersburg, 2001. Vol. 3. P. 848—853.
3. Miroshnik I. V., Chepinsky S. A. Trajectory control of underactuated mechanisms // 2nd IFAC Conf. on Mechatronic Systems. Berkley, 2002. P. 46—51.
4. Chepinsky S. A. Trajectory control system for two-link underactuated mechanisms // 9th Int. Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). St. Petersburg, 2002. P. 15—19.
5. Miroshnik I. V., Chepinsky S. A. Trajectory motion control of underactuated manipulators // 7th IFAC Symp. on Robot Control. Wroclaw, Poland, 2003. P. 78—82.
6. Зенкевич С. Л., Ющенко А. С. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
7. Мирошник И. В., Чепинский С. А. Управление многозвенными кинематическими механизмами // Науч.технич. вестн. СПбГИТМО (ТУ). Вып. 3. Физические процессы, системы и технологии точной механики. 2002. С. 144—149.
8. Мирошник И. В., Чепинский С. А. Траекторное управление кинематическими механизмами нетривиальной конструкции // Науч.-технич. вестн. СПбГУИТМО. Вып. 14. Информационные технологии, вычислительные и управляюшие системы. 2004. С. 5—10.
Александр Борисович Бушуев
Сведения об авторах — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bushuev@inbox.ru
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
56 Р. А. Алексеев, Ю. П. Котельников
Елена Геннадьевна Исаева Сергей Николаевич Морозов Сергей Алексеевич Чепинский
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: isaeva_elena@inbox.ru
— студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: sirozha_86@mail.ru
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: chepinsky_s@hotmail.com
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
УДК 62.50
А. Б. БУШУЕВ, Е. Г. ИСАЕВА, С. Н. МОРОЗОВ, С. А. ЧЕПИНСКИЙ
УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Синтезирован алгоритм управления движением по заданным траекториям многоканальных объектов относительно гладких кривых пространства выходных переменных на основе метода преобразования координат и динамических свойств подвижного базиса поверхности. Приводятся примеры движения вдоль плоских типовых траекторий (прямой, окружности).
Ключевые слова: движение многоканальных объектов по траектории, метод преобразования координат, синтез алгоритма управления.
Введение. Развитие робототехники связано с реализацией нетривиальных движений ав-
тономного робота, находящегося в сложном окружении. Действия многозвенного манипуля-
тора должны быть одновременно подчинены внешним требованиям, связанным с текущим
состоянием окружающей среды и с имеющейся в распоряжении визуальной или контактной
информацией о взаимодействии с объектами ближайшего окружения.
Движение динамической системы вдоль кривых, гиперповерхностей и других нетри-
виальных геометрических объектов (подмногообразий) обеспечивает достижение целого ряда
полезных свойств проектируемой системы: оптимизацию процессов управления, компенса-
цию влияния внешних возмущений, робастные свойства системы, декомпозицию модели и
согласование выходных переменных [1, 2].
Настоящая статья посвящена вопросам управления движением по траектории двузвен-
ного маятника и трехзвенного манипулятора с вращательными парами в случаях, когда цель
управления формулируется заданием аналитического описания кривой и желаемой динамики
продольного движения в пространстве выходных переменных системы. Рассматриваемая
проблема может быть отнесена к частным задачам стабилизации систем относительно нетри-
виальных пространственных объектов (аттракторов) или задачам согласования выходных пе-
ременных многоканальных динамических систем.
Модели механизмов и постановка задачи. Рассмотрим динамику трехзвенного мани-
пулятора (рис. 1), описываемого в пространстве обобщенных координат уравнением типа Ла-
гранжа:
q = ω, A(q)ω+b(q, ω)+c(q) = u ,
(1)
где q = (q1, q2 , q3 ) — вектор обобщенных координат, u = (u1, u2 , u3 ) — вектор управляющих моментов, развиваемых приводами манипулятора. Допустим, что все звенья имеют одинако-
вую массу и длину: m1 = m2 = m3 = m , L1 = L2 = L3 = L [3, 4].
Динамика двузвенного маятника (рис. 2) описывается уравнением (1), где q = (q1, q2 ) ,
u = (u1, 0) , L1 = L2 = L .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Управление траекторным движением многоканальных динамических систем
51
В декартовом пространстве R2 положение последнего звена характеризуется вектором
y = ( y1, y2 ) и определяется уравнением:
y = h(q) .
(2)
Уравнения (1), (2) описывают механизм как многосвязный нелинейный объект управле-
ния с выходными переменными y , переменными состояния q, ω и управляющим воздейст-
вием u .
y2
y2 u3
u2 L2
L1 q1 u1
m1g
q2 m2g
L3 q3
m3g
q2 L2
m2g
L1
q1 u1
m1g
y1 y1
Рис. 1
Рис. 2
Рассмотрим движение конечного звена многозвенного механизма. Пусть желаемая
траектория S (рис. 3, здесь e — ортогональное отклонение от траектории, y* — текущая
координата конечного звена механизма) определяется выражением
ϕ( y) = 0,
(3)
а длина пути (продольное перемещение) находится как
s =ψ(y) .
(4)
Нужный режим изменения продольной переменной s(t) может быть задан с помощью
воздействия sd(t).
y2
S
τ2 e y*
T*(α)
τ1
τ2 T(α)
y s
τ1
O
u
y1
Рис. 3
Предполагается, что функции ϕ и ψ — гладкие и выбраны таким образом, что при y∈S матрица Якоби
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
52 А. Б. Бушуев, Е. Г. Исаева, С. Н. Морозов, С. А. Чепинский
T∗ =
τ1T τT2
∂ψ / ∂y = ∂ϕ / ∂y
(5)
ортогональна. Матрица T * определяет связанный с траекторией подвижный базис, в котором
τ1 является касательным вектором, а τ2 — ортогональным. Основная задача управления движением механизма по заданной траектории формули-
руется с помощью голономных соотношений (условий координации) декартовых координат
конечного звена y, которые должны выполняться в процессе его движения и вводятся урав-
нением (3).
Введем в рассмотрение задачно-ориентированные координаты, представленные про-
дольной переменной s (4) и ортогональным отклонением конечной точки от кривой, задан-
ной выражением (3):
e = ϕ( y) .
(6)
Тогда задача управления сводится к стабилизации движения робота, при котором
s = sd (t), e ≡ 0, δ = 0 ,
(7)
где e — ортогональное отклонение конечной точки звена механизма от кривой; δ — угловые отклонения конечного звена.
Тождество e(t) ≡ 0 соответствует желаемому поведению системы, когда ее траектория
y(t) целиком лежит на заданной желаемой траектории S*. Достижение асимптотической устойчивости такого движения является основной задачей управления. Другая задача касается управления продольной динамикой системы s(t). При этом в примере с двузвенным маятником возможность управления продольным движением отсутствует, что и определяет основные особенности управления малоприводными механизмами [5, 6].
Исходя из этого общую задачу управления движением по заданной траектории, представленную (7), можно разбить на две самостоятельные задачи обеспечения:
— желаемой продольной динамики, т.е. поддержания заданного закона изменения переменной s(t) ;
— локальной аттрактивности S, т.е. для траекторий, начинающихся вне желаемой кривой S , необходимо обеспечить приближение конечного звена механизма к S , т.е. e → 0 при t→∞ .
Анализ динамики и синтез управления. Общая процедура построения алгоритма управления движением по заданной траектории включает в себя следующие этапы:
— преобразование описания модели объекта управления с помощью вектора обобщенных координат к декартовым координатам;
— переход от декартовых координат к задачно-ориентированным: s (длина пути) и e ;
— введение в рассмотрение новых задачно-ориентированных входных переменных us
( fs — в случае с маятником) и ue ;
— синтез регулятора, решающего указанную выше задачу. Продифференцировав по времени уравнение (2), можно отыскать связи декартовых и обобщенных скоростей в виде
y = Cq (q)q ,
(8)
где Cq (q) = H (q) = ∂h / ∂q.
Преобразование к задачно-ориентированным координатам осуществим, продифференцировав (4), (6):
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Управление траекторным движением многоканальных динамических систем
53
s e
=T
*
y
.
(9)
Свойство 1. Для y∈S матрица Якоби T * (5) удовлетворяет уравнению типа Френе [5]
T*= sξET * ,
где
ξ
—
кривизна
траектории,
заданной
выражением
(3),
E
=
⎡0 ⎣⎢−1
10⎤⎥⎦∈S .
Подставив уравнение (8) в (9), получим
s e
=T
*Cq q
.
(10) (11)
Продифференцировав (9) и используя свойство 1, можно доказать следующее положение. Свойство 2. В малой окрестности установившегося решения s = sd (t), e = 0 система (1), (2) принимает вид
s e
−
sξE
s e
=
T
*
⎣⎡Cq
q + Cq
A(q)−1 (−b(q,
q ) − c(q) + u ) ⎦⎤
.
(12)
Введем в рассмотрение задачно-ориентированные управления us и ue и выберем закон
управления в виде [7]
u = b(q, q)+c(q)+ ACq−1 ⎡⎣−Cqq+u⎤⎦ ,
(13)
где u — вектор пространственного управления, определяемый как
u =T *−1
us ue
,
(14)
us ue
=T*
⎡⎣Cqq +Cq A(q)−1(−b(q, q)−c(q)+u)⎦⎤
.
Получаем слабосвязанные модели продольного движения и траекторных ошибок
(15)
s e
− sξE
s e
=
us ue
(16)
или раздельно
s = ξ(s)se+us ,
(17)
e = s2ξ(s)+ue .
(18)
Для того чтобы стабилизировать решение (3), сигналы управления ue и us вырабатываются регуляторами [8]
P1 : ue = (s)2 ξ−ke 1e−ke2e , P2 : us = ks 1∆s+ ks2∆s ,
(19)
где ∆s = sd −s — продольная ошибка.
Выбор коэффициентов усиления ke1 , ke2 , ks1 , ks2 осуществляется из условия асимпто-
тической устойчивости модели (17), (18), что обеспечивает точность и желаемые динамиче-
ские показатели движения по заданной траектории.
Общий алгоритм управления роботом находится из уравнения (15) и принимает вид
u = b(q, q)+c(q)+ A(q)Cq−1 ⎢⎡−Cq q+T *T ⎣
us ue
⎤ ⎥
.
⎦
(20)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
54 А. Б. Бушуев, Е. Г. Исаева, С. Н. Морозов, С. А. Чепинский
Результаты моделирования. Синтезирована система управления механизмом при его движении по заданной прямой S:
S : cos α y1 +sin α y2 +ψ0 = 0 ,
(21)
где α = −0, 785 , ψ0 = 4, 5 .
Синтезирована система управления механизмом при его движении по отрезку окружно-
сти S с радиусом R:
( )S :
1 2R
R2 −∆y12 −∆y22
=0,
(22)
где ∆y1 = y1 − y01 , ∆y2 = y2 − y02 , y01, y02 — координаты центра окружности, R = 2, 4 .
Трехзвенный манипулятор. Результаты моделирования движения трехзвенного роботаманипулятора по заданной прямой S приведены на рис. 4.
На рис. 5 представлены результаты моделирования системы при ее движении из различных начальных положений.
Результаты моделирования движения трехзвенного робота-манипулятора по отрезку заданной окружности приведены на рис. 6.
На рис. 7 представлены результаты моделирования системы при ее движении из различных начальных положений.
y2 2S 1
y2 3
2 1
00
–1 –1
0 12 Рис. 4
3 y1
–1 –1
0
12 Рис. 5
3 y1
y2 y2
22 S
11
0 0
–1
–1 –3
–2
–1
0
1 y1
–2 –3 –2 –1 0
1 2 y1
Рис. 6
Рис. 7
Двузвенный маятник. Результаты моделирования движения двузвенного маятника по заданной прямой приведены на рис. 8 ( α — угловое отклонение от заданной прямой).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Управление траекторным движением многоканальных динамических систем
55
Результаты моделирования движения двузвенного маятника по заданной окружности приведены на рис. 9.
y2 S
1,5
y2 α
S
1 1
0,5 0,5
00
–1 –0,5 0
0,5 y1
–1 –0,5 0 0,5 y1
Рис. 8
Рис. 9
При этом в случае двузвенного маятника возможность управления продольным движе-
нием отсутствует, что и определяет основные особенности данной задачи.
Результаты моделирования рассмотренных систем для различных начальных положе-
ний звеньев показывают хорошую сходимость траекторий к заданным траекториям и асимпто-
тическую устойчивость систем.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ № МК3486.2009.8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Miroshnik I. V. and Nikiforov V. O. Trajectory motion control and coordination of multilink robots // 13th IFAC World Congress. San-Francisco, 1996. Vol. A. P.361—366.
2. Miroshnik I. V. Attractors and partial stability of nonlinear dynamical systems // 5th IFAC Symp. on Nonlinear Control Systems (NOLCOS'01). St. Petersburg, 2001. Vol. 3. P. 848—853.
3. Miroshnik I. V., Chepinsky S. A. Trajectory control of underactuated mechanisms // 2nd IFAC Conf. on Mechatronic Systems. Berkley, 2002. P. 46—51.
4. Chepinsky S. A. Trajectory control system for two-link underactuated mechanisms // 9th Int. Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). St. Petersburg, 2002. P. 15—19.
5. Miroshnik I. V., Chepinsky S. A. Trajectory motion control of underactuated manipulators // 7th IFAC Symp. on Robot Control. Wroclaw, Poland, 2003. P. 78—82.
6. Зенкевич С. Л., Ющенко А. С. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
7. Мирошник И. В., Чепинский С. А. Управление многозвенными кинематическими механизмами // Науч.технич. вестн. СПбГИТМО (ТУ). Вып. 3. Физические процессы, системы и технологии точной механики. 2002. С. 144—149.
8. Мирошник И. В., Чепинский С. А. Траекторное управление кинематическими механизмами нетривиальной конструкции // Науч.-технич. вестн. СПбГУИТМО. Вып. 14. Информационные технологии, вычислительные и управляюшие системы. 2004. С. 5—10.
Александр Борисович Бушуев
Сведения об авторах — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bushuev@inbox.ru
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
56 Р. А. Алексеев, Ю. П. Котельников
Елена Геннадьевна Исаева Сергей Николаевич Морозов Сергей Алексеевич Чепинский
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: isaeva_elena@inbox.ru
— студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: sirozha_86@mail.ru
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: chepinsky_s@hotmail.com
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11