ОБРАБОТКА ДАННЫХ ВЕТРОВОГО КОГЕРЕНТНОГО ДОППЛЕРОВСКОГО ЛИДАРА НА ОСНОВЕ МЕТОДА ГАУССОВОЙ АППРОКСИМАЦИИ
20
УДК 681.7; 681.518.26
В. Р. АХМЕТЬЯНОВ, О. А. МИШИНА
ОБРАБОТКА ДАННЫХ ВЕТРОВОГО КОГЕРЕНТНОГО ДОППЛЕРОВСКОГО ЛИДАРА
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ГАУССОВОЙ АППРОКСИМАЦИИ
Рассмотрена задача определения параметров допплеровского спектра сигнала в ветровом когерентном допплеровском лидаре с использованием метода гауссовой аппроксимации. С помощью численного моделирования определены основные характеристики гауссова метода. Представлена оценка скорости ветра, проведено сравнение метода гауссовой аппроксимации с другими методами. Ключевые слова: ветровой когерентный допплеровский лидар, математическое моделирование, аппроксимация, итерация.
Введение. Одним из датчиков, позволяющих измерять скорость ветра в атмосфере, является ветровой когерентный допплеровский лидар (ВКДЛ). Исследования ВКДЛ проводились в США [1], Германии [2] и России [3—5].
Несколько подобных комплексов разработаны в НПП „Лазерные системы“ [5] и БГТУ „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф.Устинова и приняты в эксплуатацию рядом организаций.
В настоящее время уровень вычислительной мощности компьютерной техники и специализированных цифровых процессоров позволяет повышать точность измерения параметров скорости ветра с помощью ВКДЛ не только за счет совершенствования оптических и электронных узлов, но и благодаря разработке и применению современных методов обработки измерительной информации.
В работе [6] было предложено использовать двухэтапную обработку данных ВКДЛ. На первом этапе осуществляется внутриимпульсная обработка (оценивается скорость ветра на интервале времени в пределах длительности зондирующего импульса); на втором этапе проводится междуимпульсная обработка данных путем уточнения оценок скорости ветра методами калмановской фильтрации.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
Обработка данных ВКДЛ на основе метода гауссовой аппроксимации
21
На этапе внутриимпульсной обработки возможны такие подходы к получению оценок скорости ветра, как спектральная обработка, обработка по критерию максимума правдоподобия, поиск аргумента корреляционной функции.
В настоящей статье рассмотрен метод гауссовой аппроксимации амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) ВКДЛ на этапе внутриимпульсной обработки, проведено сравнение с известными алгоритмами.
Основные положения математической модели. В соответствии с известной моделью физических процессов, происходящих в ВКДЛ, для определения параметров скорости ветра используется метод фурье-преобразования принятого лидарного сигнала [7]. Анализ допплеровского спектра сигнала ВКДЛ позволяет сделать вывод, что область пика АЧХ представляет собой колоколообразную функцию.
На рис. 1 приведен пример допплеровского спектра сигнала ВКДЛ (и — амплитуда сигнала, f — его частота).
u, о.е.
1000
600
200
0
0,01 0,02 0,03
0,04 0,05 f, ГГц
Рис. 1
Положение максимума АЧХ соответствует средней скорости ветра, а полуширина ха-
рактеризует степень атмосферной турбулентности [8]. В связи с дискретностью допплеров-
ского спектра, полученного после преобразования Фурье, для более точного нахождения
оценки положения максимума предлагается провести его аппроксимацию.
Для определения оценки скорости ветра используются широко известный центроидный
метод [9], а также методы аппроксимации — с использованием кубических сплайнов [10] и
гауссов [11].
При использовании центроидного метода оценка скорости ветра определяется коорди-
натой центра тяжести допплеровского спектра, т.е.
M
∑ xiu(xi )
xc
=
i=1 M
,
∑u(xi )
i=1
(1)
где xi — координата по оси абсцисс, соответствующая i-му отсчету АЧХ, u(xi) — амплитуда сигнала i-го отсчета АЧХ, М — количество отсчетов.
Центроидный метод прост, следовательно, при его реализации не требуется больших
вычислительных затрат. Но этот метод имеет серьезный недостаток — высокую чувствитель-
ность к шуму во входном сигнале. В методе с использованием кубических сплайнов искомая
оценка определяется положением максимума аппроксимирующей функции.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
22 В. Р. Ахметьянов, О. А. Мишина
В отличие от первых двух методов с помощью гауссовой аппроксимации можно опре-
делить как положение максимума, так и полуширину спектра (см. рис. 1).
Метод аппроксимации отсчетов допплеровского спектра гауссоидой применялся в рабо-
те [12] для обработки брэгговских пиков. При этом параметры гауссоиды определялись по
методу Ньютона с использованием критерия минимума среднеквадратичной ошибки.
Совокупность М экспериментальных точек u(xi) аппроксимируется гауссоидой U ϕ(x, xmax , σ) , где U — амплитудный коэффициент, φ(x, xmах, σ) — функция Гаусса:
ϕ(x, xmax , σ)
=
σ
1 2π
−
e
1 2
⎛ ⎝⎜
x − xmax σ
⎞2 ⎠⎟
,
(2)
где xmах — центр гауссова распределения, характеризующий положение максимума колоколообразной функции, σ — дисперсия гауссова распределения, характеризующая ширину ко-
локолообразной функции.
Для нахождения параметров гауссоиды используется итерационная процедура
⎡U (k+1) ⎤ ⎡U (k ) ⎤ ⎡δU (k) ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
xm(ka+x1) σ( k +1)
⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
xm(ka)x σ(k )
⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥
+
⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢
δxm(ka)x δσ(k )
⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
,
где U (k) — k-е приближение U ; xm(ka)x — k-е приближение xmах; k = 1…K, где K — количество
итераций; δU (k) — поправка к U (k) , δxm(ka)x — поправка к xm(ka)x , δσ(k) — поправка к σ(k) . Ну-
левые приближения определяются каким-либо другим методом, в частности центроидным.
В соответствии с методом Ньютона значения поправок δU (k) , δxm(ka)x , δσ(k) находятся из
системы уравнений
AX = B ,
(4)
где
∑⎛
⎜ ⎜ ⎜
M (ϕi(k ) )2
i=1
∑A
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
M ϕi(k)
i=1
∂ϕi( k ) ∂ xm(ka)x
∑⎜
⎜ ⎝⎜
M ϕi(k )
i=1
∂ϕi( k ) ∂σ(k )
∑U (k)
M ϕi(k )
i=1
∂ϕi(k ) ∂ xm(ka)x
∑U (k)
M i=1
⎛ ⎝⎜⎜
∂ϕi(k ) ∂ xm(ka)x
⎞2 ⎟⎠⎟
∑U
(k
)
M i=1
∂ϕi( k ) ∂ xm(ka)x
⋅
∂ϕi(k ∂σ(k
) )
∑U (k)
M ϕi(k )
i=1
∂ϕi(k ) ∂σ(k )
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
∑U (k)
M i=1
∂ϕi( k ) ∂xm(ka)x
⋅
∂ϕi(k ∂σ(k
) )
⎟ ⎟; ⎟ ⎟
∑U (k)
M⎛ i=1 ⎜⎜⎝
∂ϕi(k ) ∂σ(k)
⎞2 ⎠⎟⎟
⎟ ⎟ ⎠⎟
⎛ δU (k) ⎞
X
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
δxm(ka)x δσ( k )
⎟ ⎟; ⎟ ⎠⎟
∑ ∑⎛
⎜
M u(xi )ϕi(k ) − U (k ) M (ϕi(k) )2
⎞ ⎟
⎜ i=1
i=1 ⎟
∑ ∑B
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
M i=1
u ( xi
)
∂ϕi( k ) ∂ xm(ka)x
− U (k ) M ϕi(k)
i=1
∂ϕi( k ) ∂ xm(ka)x
⎟
⎟ ⎟
;
⎟
∑ ∑⎜
⎝⎜⎜
M i=1
u(
xi
)
∂ϕi(k ∂σ(k
) )
− U (k ) M ϕi(k)
i=1
∂ϕi(k ) ∂σ(k )
⎟ ⎟⎟⎠
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
Обработка данных ВКДЛ на основе метода гауссовой аппроксимации
23
( )ϕi(k) = ϕ xi , xm(ka)x , σ(k) ,
∂ϕi( k ) ∂ xmk ax
=
∂ϕ ∂ xmax
,
xmax =xmk ax , x=xi
∂ϕi( k ) ∂σk
= ∂ϕ ∂σ
.
σ=σk , x=xi
Итерационная процедура продолжается до тех пор, пока поправки δU (k) , δxm(ka)x , δσ(k)
не становятся по абсолютной величине меньше заданных значений. Иначе новые значения
U (k+1) , xm(ka+x1) , σ(k+1) используются как приближенные значения корней, и процесс повторя-
ется до тех пор, пока не будет найдено решение (или не станет ясно, что получить его невоз-
можно).
Методика моделирования сигнала ВКДЛ. Моделирование проводилось с использо-
ванием программного пакета MatLab Simulink.
Для формирования исходных данных применялась математическая модель сигнала
ВКДЛ, представленная в [3, 7]. Согласно этой модели, лидарный сигнал содержит как адди-
тивные, так и мультипликативные шумы, которые приводят к ошибкам определения пара-
метров допплеровского спектра. Мультипликативные шумы обусловлены когерентной при-
родой используемого лазерного излучения. Искажения сигнала также возникают из-за дис-
кретности данных.
Генерация сигнала производилась в соответствии с выражением
Z (ltS ) =
SNR
∑nS ∑2 PS (ltS
)
nS a(l)PS1/ 2 (ltS
l =1
) exp
⎡⎢⎣−
j
4πltS
(Vr
+ λ
0, 5∆f
λ) ⎤ ⎦⎥
+
1 2
b(ltS
)
,
l =1
(5)
где a(l) и b(ltS) — независимые случайные числа, распределенные по нормальному закону с
нулевым средним и единичной дисперсией ( l = 1, nS ); PS(ltS) — мощность зондирующего
пучка; SNR=S/Nш — отношение сигнал—шум; S — среднее значение мощности полезной составляющей фототока; Nш — средняя мощность шума; λ — длина волны зондирующего пучка; nS — число рассеивающих аэрозольных частиц в рассматриваемой области; tS — время дискретизации; Vr — заданная для модели скорость ветра; ∆f — сдвиг частоты опорного сигнала.
Характеристики моделируемого ВКДЛ [5] следующие: длительность импульса — 1—2 мкс; tS — 2—4 нс; ∆f — 20 МГц; λ (СО2-лазера) — 10,6 мкм.
Предполагалось, что скорость ветра в пределах длительности импульса постоянна. При моделировании использовалась форма импульса Т (рис. 2) зондирующего лазерного сигнала, генерируемого в реальном ВКДЛ, описанном в работе [5].
I, о.е.
0,4
0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 t, мкс Рис. 2
Для различных значений SNR проводилась генерация сигнала в соответствии с выражением (5). Затем осуществлялось быстрое преобразование Фурье с заданным временем дискретизации и определялось положение максимума АЧХ в соответствии с выбранным методом.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
24 В. Р. Ахметьянов, О. А. Мишина
Скорость ветра вычисляется по формуле
V
=
fDλ 2
,
(6)
где fD — допплеровская частота. В результате проведения вычислительного эксперимента для различных реализаций
шумов определялись оценки скорости ветра, их среднее значение, а также среднеквадратич-
ное отклонение. При моделировании для анализа использовалась ошибка (∆), представляющая собой сумму абсолютного значения систематической ошибки и среднеквадратичного отклонения.
Результаты. Рассмотрим результаты оценки скорости ветра при аппроксимации АЧХ гауссовым методом.
Моделирование проводилось для скорости ветра от 5 до 20 м/с, что соответствует по шкале Бофорта силе ветра от слабого до практически штормового, значение SNR в пределах
от 1 до 10. Нулевое приближение параметров U (0) , xm(0a)x аппроксимирующей гауссоиды на-
ходилось с помощью центроидного метода либо с использованием стандартной функции по-
иска максимума пакета MatLab. Для определения нулевого приближения σ(0) ширины пика АЧХ на полувысоте использовалась линейная аппроксимация допплеровского спектра. Количество итераций —10.
В качестве примера на рис. 3, а представлены результаты оценки скорости ветра (для Vr = 5 м/с), при отношении сигнал—шум, равном 4. Кривые 1—3 соответствуют отдельным реализациям вычислительного эксперимента. Кривая 4 является усредненной характеристикой оценки скорости ветра по 100 испытаниям. Подобная картина наблюдается и для других значений скорости ветра в пределах рассматриваемого диапазона при анализируемых значениях SNR. В результате анализа представленных на рис. 3, а кривых можно сделать вывод, что после второго-третьего шага итерационного процесса оценка скорости ветра стремится к постоянной величине.
На рис. 3, б представлены сглаженные кривые зависимости ошибки оценки скорости ветра от отношения сигнал—шум при условии, что заданная в модели скорость ветра равна 5 (кривая 1) и 10 м/с (2). Из графиков следует, что при SNR > 4—5 повышение точности оценок скорости ветра гауссовым методом не превышает 5—6 %. На рис. 3, в показана зависимость ошибки оценки от значения Vr. Видно, что с увеличением скорости ветра с 5 до 20 м/с абсолютное значение ошибки гауссова метода возрастает, а относительное падает соответственно
с 10 до 5 %. На рис. 3, г представлена зависимость параметра ∆ от ошибки нулевого прибли-
жения оценки скорости ветра V (0) (Vr =10 м/с). На следующем этапе моделирования при определении оценки скорости ветра проводи-
лось сравнение центроидного метода с методами аппроксимации АЧХ кубическими сплайнами и гауссоидой.
На рис. 4 представлена зависимость ошибки оценки скорости ветра от значения SNR для рассматриваемых методов: центроидного (кривая 1) метода и методов аппроксимации АЧХ кубическими сплайнами (2) и гауссоидой (3). Данные кривые получены для случая, когда скорость ветра в модели принималась равной 10 м/с.
Как видно из графиков, при использовании центроидного метода значение ошибки определения параметров ветра в среднем в 2—3 раза больше, чем при использовании других методов. В свою очередь, ошибка оценивания скорости ветра методом использования кубических сплайнов в среднем на 20—30 % больше, чем при применении метода гауссовой аппроксимации.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
Обработка данных ВКДЛ на основе метода гауссовой аппроксимации
25
а) V, м/с 4,82
4,62
4,42
4,22 0
в) ∆, м/с 0,9 0,8
0,7 0,6 0,5
0
б) 3 ∆, м/с 2 0,9
4 0,8
0,7
1 0,6
0,5
2 4 6 8 10 K
0
г)
∆, м/с
0,7
2 1 2 4 6 SNR
0,6
0,5 0,4 5 10 15 20 Vr, м/с 0 7 8 9 10 11 12 V(0), м/с Рис. 3 ∆, м/с 3
21
12 3
0 1 2 3 4 5 6 7 SNR Рис. 4
Заключение. В процессе математического моделирования с использованием пакета MatLab проведено сравнение результатов центроидного метода и двух методов аппроксимации допплеровского спектра сигнала ВКДЛ для определения оценок скорости ветра. При использовании гауссова метода и метода аппроксимации кубическими сплайнами достигаются более точные оценки параметров анализируемого допплеровского спектра по сравнению с центроидным, но требуется больше вычислительных затрат.
Установлено, что гауссов метод приводит к лучшим результатам по сравнению с методами кубических сплайнов.
Моделирование также показало, что итерационный процесс в методе гауссовой аппроксимации целесообразно завершать уже на втором-третьем шаге.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
26 В. Р. Ахметьянов, О. А. Мишина
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Munoz R. M., Mocker H. W. Airborne laser Doppler velocimeter // Appl. Optics. 1974. Vol. 13, N 12. P. 2890— 2898.
2. Hardesty R. M. Atmospheric remote sensing using the NOAA coherent lidar system // Opt. and Laser Remote Sensing. Berlin, 1983. P. 350—355.
3. Банах В. А., Фалиц А. В. Оценивание параметров атмосферной турбулентности из измерений скорости ветра импульсным когерентным СО2 допплеровским лидаром // Оптика атмосферы и океана. 2004. Т. 17, № 4. С. 297—305.
4. Гордиенко В. М., Путивский Ю. Я. Ветровой когерентный допплеровский ТЕА СО2-лидар // Квант. электрон. 1994. Т. 21, № 3. С. 284—290.
5. Борейшо А. С., Коняев М. А. и др. Мобильные многоволновые лидарные комплексы // Квант. электрон. 2005. Т. 35, № 12. С. 1167—1178.
6. Ахметьянов В. Р., Мишина О. А. Подход к разработке требований к информационному обеспечению систем дистанционного зондирования окружающей среды // Региональная информатика — 2008. Мат. конф. СПб, 2008. С. 258—259.
7. Протопопов В. В., Устинов Н. Д. Лазерное гетеродинирование. М.: Наука, 1985. 288 с.
8. Банах В. А., Фалиц А. В. и др. Оценка параметров турбулентности из измерений скорости ветра импульсным когерентным доплеровским лидаром // Оптика атмосферы и океана. 2005. Т. 18, № 12. С. 1062—1065.
9. Замятин В. В. Алгоритмы контроля координат источника излучения на фоточувствительной поверхности матрицы // Ползуновский вестник. 2008. № 3. С. 350—355.
10. Ахметьянов В. Р., Мишина О. А. Методика и результаты моделирования сигнала в ветровом когерентном доплеровском лидаре // Четвертые Уткинские чтения. Мат. междунар. науч.-технич. конф. Т. 1. СПб: БГТУ, 2009. С. 57—59.
11. Мишина О. А. Метод гауссовской аппроксимации доплеровского спектра лидарного сигнала // Системы управления и передачи информации. Мат. межвуз. науч.-технич. конф. студ., аспир. и мол. ученых. СПб: БГТУ, 2009. С. 38—39.
12. Веснин В.Л. Метод гауссовской аппроксимации пика спектра отражения волоконно-оптического брэгговского датчика // Изв. Самарского научного центра РАН. Общая физика и электроника. 2003. Т. 5, № 1. С. 156—164.
Валерий Равизович Ахметьянов Ольга Александровна Мишина
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Балтийский государственный технический универси-
тет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, Санкт-Петербург; E-mail: zinval@mail.ru — Балтийский государственный технический университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, Санкт-Петербург; инженер; E-mail: olga_A_mishina@mail.ru
Рекомендована университетом
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
УДК 681.7; 681.518.26
В. Р. АХМЕТЬЯНОВ, О. А. МИШИНА
ОБРАБОТКА ДАННЫХ ВЕТРОВОГО КОГЕРЕНТНОГО ДОППЛЕРОВСКОГО ЛИДАРА
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ГАУССОВОЙ АППРОКСИМАЦИИ
Рассмотрена задача определения параметров допплеровского спектра сигнала в ветровом когерентном допплеровском лидаре с использованием метода гауссовой аппроксимации. С помощью численного моделирования определены основные характеристики гауссова метода. Представлена оценка скорости ветра, проведено сравнение метода гауссовой аппроксимации с другими методами. Ключевые слова: ветровой когерентный допплеровский лидар, математическое моделирование, аппроксимация, итерация.
Введение. Одним из датчиков, позволяющих измерять скорость ветра в атмосфере, является ветровой когерентный допплеровский лидар (ВКДЛ). Исследования ВКДЛ проводились в США [1], Германии [2] и России [3—5].
Несколько подобных комплексов разработаны в НПП „Лазерные системы“ [5] и БГТУ „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф.Устинова и приняты в эксплуатацию рядом организаций.
В настоящее время уровень вычислительной мощности компьютерной техники и специализированных цифровых процессоров позволяет повышать точность измерения параметров скорости ветра с помощью ВКДЛ не только за счет совершенствования оптических и электронных узлов, но и благодаря разработке и применению современных методов обработки измерительной информации.
В работе [6] было предложено использовать двухэтапную обработку данных ВКДЛ. На первом этапе осуществляется внутриимпульсная обработка (оценивается скорость ветра на интервале времени в пределах длительности зондирующего импульса); на втором этапе проводится междуимпульсная обработка данных путем уточнения оценок скорости ветра методами калмановской фильтрации.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
Обработка данных ВКДЛ на основе метода гауссовой аппроксимации
21
На этапе внутриимпульсной обработки возможны такие подходы к получению оценок скорости ветра, как спектральная обработка, обработка по критерию максимума правдоподобия, поиск аргумента корреляционной функции.
В настоящей статье рассмотрен метод гауссовой аппроксимации амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) ВКДЛ на этапе внутриимпульсной обработки, проведено сравнение с известными алгоритмами.
Основные положения математической модели. В соответствии с известной моделью физических процессов, происходящих в ВКДЛ, для определения параметров скорости ветра используется метод фурье-преобразования принятого лидарного сигнала [7]. Анализ допплеровского спектра сигнала ВКДЛ позволяет сделать вывод, что область пика АЧХ представляет собой колоколообразную функцию.
На рис. 1 приведен пример допплеровского спектра сигнала ВКДЛ (и — амплитуда сигнала, f — его частота).
u, о.е.
1000
600
200
0
0,01 0,02 0,03
0,04 0,05 f, ГГц
Рис. 1
Положение максимума АЧХ соответствует средней скорости ветра, а полуширина ха-
рактеризует степень атмосферной турбулентности [8]. В связи с дискретностью допплеров-
ского спектра, полученного после преобразования Фурье, для более точного нахождения
оценки положения максимума предлагается провести его аппроксимацию.
Для определения оценки скорости ветра используются широко известный центроидный
метод [9], а также методы аппроксимации — с использованием кубических сплайнов [10] и
гауссов [11].
При использовании центроидного метода оценка скорости ветра определяется коорди-
натой центра тяжести допплеровского спектра, т.е.
M
∑ xiu(xi )
xc
=
i=1 M
,
∑u(xi )
i=1
(1)
где xi — координата по оси абсцисс, соответствующая i-му отсчету АЧХ, u(xi) — амплитуда сигнала i-го отсчета АЧХ, М — количество отсчетов.
Центроидный метод прост, следовательно, при его реализации не требуется больших
вычислительных затрат. Но этот метод имеет серьезный недостаток — высокую чувствитель-
ность к шуму во входном сигнале. В методе с использованием кубических сплайнов искомая
оценка определяется положением максимума аппроксимирующей функции.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
22 В. Р. Ахметьянов, О. А. Мишина
В отличие от первых двух методов с помощью гауссовой аппроксимации можно опре-
делить как положение максимума, так и полуширину спектра (см. рис. 1).
Метод аппроксимации отсчетов допплеровского спектра гауссоидой применялся в рабо-
те [12] для обработки брэгговских пиков. При этом параметры гауссоиды определялись по
методу Ньютона с использованием критерия минимума среднеквадратичной ошибки.
Совокупность М экспериментальных точек u(xi) аппроксимируется гауссоидой U ϕ(x, xmax , σ) , где U — амплитудный коэффициент, φ(x, xmах, σ) — функция Гаусса:
ϕ(x, xmax , σ)
=
σ
1 2π
−
e
1 2
⎛ ⎝⎜
x − xmax σ
⎞2 ⎠⎟
,
(2)
где xmах — центр гауссова распределения, характеризующий положение максимума колоколообразной функции, σ — дисперсия гауссова распределения, характеризующая ширину ко-
локолообразной функции.
Для нахождения параметров гауссоиды используется итерационная процедура
⎡U (k+1) ⎤ ⎡U (k ) ⎤ ⎡δU (k) ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
xm(ka+x1) σ( k +1)
⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
xm(ka)x σ(k )
⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥
+
⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢
δxm(ka)x δσ(k )
⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
,
где U (k) — k-е приближение U ; xm(ka)x — k-е приближение xmах; k = 1…K, где K — количество
итераций; δU (k) — поправка к U (k) , δxm(ka)x — поправка к xm(ka)x , δσ(k) — поправка к σ(k) . Ну-
левые приближения определяются каким-либо другим методом, в частности центроидным.
В соответствии с методом Ньютона значения поправок δU (k) , δxm(ka)x , δσ(k) находятся из
системы уравнений
AX = B ,
(4)
где
∑⎛
⎜ ⎜ ⎜
M (ϕi(k ) )2
i=1
∑A
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
M ϕi(k)
i=1
∂ϕi( k ) ∂ xm(ka)x
∑⎜
⎜ ⎝⎜
M ϕi(k )
i=1
∂ϕi( k ) ∂σ(k )
∑U (k)
M ϕi(k )
i=1
∂ϕi(k ) ∂ xm(ka)x
∑U (k)
M i=1
⎛ ⎝⎜⎜
∂ϕi(k ) ∂ xm(ka)x
⎞2 ⎟⎠⎟
∑U
(k
)
M i=1
∂ϕi( k ) ∂ xm(ka)x
⋅
∂ϕi(k ∂σ(k
) )
∑U (k)
M ϕi(k )
i=1
∂ϕi(k ) ∂σ(k )
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
∑U (k)
M i=1
∂ϕi( k ) ∂xm(ka)x
⋅
∂ϕi(k ∂σ(k
) )
⎟ ⎟; ⎟ ⎟
∑U (k)
M⎛ i=1 ⎜⎜⎝
∂ϕi(k ) ∂σ(k)
⎞2 ⎠⎟⎟
⎟ ⎟ ⎠⎟
⎛ δU (k) ⎞
X
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
δxm(ka)x δσ( k )
⎟ ⎟; ⎟ ⎠⎟
∑ ∑⎛
⎜
M u(xi )ϕi(k ) − U (k ) M (ϕi(k) )2
⎞ ⎟
⎜ i=1
i=1 ⎟
∑ ∑B
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
M i=1
u ( xi
)
∂ϕi( k ) ∂ xm(ka)x
− U (k ) M ϕi(k)
i=1
∂ϕi( k ) ∂ xm(ka)x
⎟
⎟ ⎟
;
⎟
∑ ∑⎜
⎝⎜⎜
M i=1
u(
xi
)
∂ϕi(k ∂σ(k
) )
− U (k ) M ϕi(k)
i=1
∂ϕi(k ) ∂σ(k )
⎟ ⎟⎟⎠
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
Обработка данных ВКДЛ на основе метода гауссовой аппроксимации
23
( )ϕi(k) = ϕ xi , xm(ka)x , σ(k) ,
∂ϕi( k ) ∂ xmk ax
=
∂ϕ ∂ xmax
,
xmax =xmk ax , x=xi
∂ϕi( k ) ∂σk
= ∂ϕ ∂σ
.
σ=σk , x=xi
Итерационная процедура продолжается до тех пор, пока поправки δU (k) , δxm(ka)x , δσ(k)
не становятся по абсолютной величине меньше заданных значений. Иначе новые значения
U (k+1) , xm(ka+x1) , σ(k+1) используются как приближенные значения корней, и процесс повторя-
ется до тех пор, пока не будет найдено решение (или не станет ясно, что получить его невоз-
можно).
Методика моделирования сигнала ВКДЛ. Моделирование проводилось с использо-
ванием программного пакета MatLab Simulink.
Для формирования исходных данных применялась математическая модель сигнала
ВКДЛ, представленная в [3, 7]. Согласно этой модели, лидарный сигнал содержит как адди-
тивные, так и мультипликативные шумы, которые приводят к ошибкам определения пара-
метров допплеровского спектра. Мультипликативные шумы обусловлены когерентной при-
родой используемого лазерного излучения. Искажения сигнала также возникают из-за дис-
кретности данных.
Генерация сигнала производилась в соответствии с выражением
Z (ltS ) =
SNR
∑nS ∑2 PS (ltS
)
nS a(l)PS1/ 2 (ltS
l =1
) exp
⎡⎢⎣−
j
4πltS
(Vr
+ λ
0, 5∆f
λ) ⎤ ⎦⎥
+
1 2
b(ltS
)
,
l =1
(5)
где a(l) и b(ltS) — независимые случайные числа, распределенные по нормальному закону с
нулевым средним и единичной дисперсией ( l = 1, nS ); PS(ltS) — мощность зондирующего
пучка; SNR=S/Nш — отношение сигнал—шум; S — среднее значение мощности полезной составляющей фототока; Nш — средняя мощность шума; λ — длина волны зондирующего пучка; nS — число рассеивающих аэрозольных частиц в рассматриваемой области; tS — время дискретизации; Vr — заданная для модели скорость ветра; ∆f — сдвиг частоты опорного сигнала.
Характеристики моделируемого ВКДЛ [5] следующие: длительность импульса — 1—2 мкс; tS — 2—4 нс; ∆f — 20 МГц; λ (СО2-лазера) — 10,6 мкм.
Предполагалось, что скорость ветра в пределах длительности импульса постоянна. При моделировании использовалась форма импульса Т (рис. 2) зондирующего лазерного сигнала, генерируемого в реальном ВКДЛ, описанном в работе [5].
I, о.е.
0,4
0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 t, мкс Рис. 2
Для различных значений SNR проводилась генерация сигнала в соответствии с выражением (5). Затем осуществлялось быстрое преобразование Фурье с заданным временем дискретизации и определялось положение максимума АЧХ в соответствии с выбранным методом.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
24 В. Р. Ахметьянов, О. А. Мишина
Скорость ветра вычисляется по формуле
V
=
fDλ 2
,
(6)
где fD — допплеровская частота. В результате проведения вычислительного эксперимента для различных реализаций
шумов определялись оценки скорости ветра, их среднее значение, а также среднеквадратич-
ное отклонение. При моделировании для анализа использовалась ошибка (∆), представляющая собой сумму абсолютного значения систематической ошибки и среднеквадратичного отклонения.
Результаты. Рассмотрим результаты оценки скорости ветра при аппроксимации АЧХ гауссовым методом.
Моделирование проводилось для скорости ветра от 5 до 20 м/с, что соответствует по шкале Бофорта силе ветра от слабого до практически штормового, значение SNR в пределах
от 1 до 10. Нулевое приближение параметров U (0) , xm(0a)x аппроксимирующей гауссоиды на-
ходилось с помощью центроидного метода либо с использованием стандартной функции по-
иска максимума пакета MatLab. Для определения нулевого приближения σ(0) ширины пика АЧХ на полувысоте использовалась линейная аппроксимация допплеровского спектра. Количество итераций —10.
В качестве примера на рис. 3, а представлены результаты оценки скорости ветра (для Vr = 5 м/с), при отношении сигнал—шум, равном 4. Кривые 1—3 соответствуют отдельным реализациям вычислительного эксперимента. Кривая 4 является усредненной характеристикой оценки скорости ветра по 100 испытаниям. Подобная картина наблюдается и для других значений скорости ветра в пределах рассматриваемого диапазона при анализируемых значениях SNR. В результате анализа представленных на рис. 3, а кривых можно сделать вывод, что после второго-третьего шага итерационного процесса оценка скорости ветра стремится к постоянной величине.
На рис. 3, б представлены сглаженные кривые зависимости ошибки оценки скорости ветра от отношения сигнал—шум при условии, что заданная в модели скорость ветра равна 5 (кривая 1) и 10 м/с (2). Из графиков следует, что при SNR > 4—5 повышение точности оценок скорости ветра гауссовым методом не превышает 5—6 %. На рис. 3, в показана зависимость ошибки оценки от значения Vr. Видно, что с увеличением скорости ветра с 5 до 20 м/с абсолютное значение ошибки гауссова метода возрастает, а относительное падает соответственно
с 10 до 5 %. На рис. 3, г представлена зависимость параметра ∆ от ошибки нулевого прибли-
жения оценки скорости ветра V (0) (Vr =10 м/с). На следующем этапе моделирования при определении оценки скорости ветра проводи-
лось сравнение центроидного метода с методами аппроксимации АЧХ кубическими сплайнами и гауссоидой.
На рис. 4 представлена зависимость ошибки оценки скорости ветра от значения SNR для рассматриваемых методов: центроидного (кривая 1) метода и методов аппроксимации АЧХ кубическими сплайнами (2) и гауссоидой (3). Данные кривые получены для случая, когда скорость ветра в модели принималась равной 10 м/с.
Как видно из графиков, при использовании центроидного метода значение ошибки определения параметров ветра в среднем в 2—3 раза больше, чем при использовании других методов. В свою очередь, ошибка оценивания скорости ветра методом использования кубических сплайнов в среднем на 20—30 % больше, чем при применении метода гауссовой аппроксимации.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
Обработка данных ВКДЛ на основе метода гауссовой аппроксимации
25
а) V, м/с 4,82
4,62
4,42
4,22 0
в) ∆, м/с 0,9 0,8
0,7 0,6 0,5
0
б) 3 ∆, м/с 2 0,9
4 0,8
0,7
1 0,6
0,5
2 4 6 8 10 K
0
г)
∆, м/с
0,7
2 1 2 4 6 SNR
0,6
0,5 0,4 5 10 15 20 Vr, м/с 0 7 8 9 10 11 12 V(0), м/с Рис. 3 ∆, м/с 3
21
12 3
0 1 2 3 4 5 6 7 SNR Рис. 4
Заключение. В процессе математического моделирования с использованием пакета MatLab проведено сравнение результатов центроидного метода и двух методов аппроксимации допплеровского спектра сигнала ВКДЛ для определения оценок скорости ветра. При использовании гауссова метода и метода аппроксимации кубическими сплайнами достигаются более точные оценки параметров анализируемого допплеровского спектра по сравнению с центроидным, но требуется больше вычислительных затрат.
Установлено, что гауссов метод приводит к лучшим результатам по сравнению с методами кубических сплайнов.
Моделирование также показало, что итерационный процесс в методе гауссовой аппроксимации целесообразно завершать уже на втором-третьем шаге.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
26 В. Р. Ахметьянов, О. А. Мишина
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Munoz R. M., Mocker H. W. Airborne laser Doppler velocimeter // Appl. Optics. 1974. Vol. 13, N 12. P. 2890— 2898.
2. Hardesty R. M. Atmospheric remote sensing using the NOAA coherent lidar system // Opt. and Laser Remote Sensing. Berlin, 1983. P. 350—355.
3. Банах В. А., Фалиц А. В. Оценивание параметров атмосферной турбулентности из измерений скорости ветра импульсным когерентным СО2 допплеровским лидаром // Оптика атмосферы и океана. 2004. Т. 17, № 4. С. 297—305.
4. Гордиенко В. М., Путивский Ю. Я. Ветровой когерентный допплеровский ТЕА СО2-лидар // Квант. электрон. 1994. Т. 21, № 3. С. 284—290.
5. Борейшо А. С., Коняев М. А. и др. Мобильные многоволновые лидарные комплексы // Квант. электрон. 2005. Т. 35, № 12. С. 1167—1178.
6. Ахметьянов В. Р., Мишина О. А. Подход к разработке требований к информационному обеспечению систем дистанционного зондирования окружающей среды // Региональная информатика — 2008. Мат. конф. СПб, 2008. С. 258—259.
7. Протопопов В. В., Устинов Н. Д. Лазерное гетеродинирование. М.: Наука, 1985. 288 с.
8. Банах В. А., Фалиц А. В. и др. Оценка параметров турбулентности из измерений скорости ветра импульсным когерентным доплеровским лидаром // Оптика атмосферы и океана. 2005. Т. 18, № 12. С. 1062—1065.
9. Замятин В. В. Алгоритмы контроля координат источника излучения на фоточувствительной поверхности матрицы // Ползуновский вестник. 2008. № 3. С. 350—355.
10. Ахметьянов В. Р., Мишина О. А. Методика и результаты моделирования сигнала в ветровом когерентном доплеровском лидаре // Четвертые Уткинские чтения. Мат. междунар. науч.-технич. конф. Т. 1. СПб: БГТУ, 2009. С. 57—59.
11. Мишина О. А. Метод гауссовской аппроксимации доплеровского спектра лидарного сигнала // Системы управления и передачи информации. Мат. межвуз. науч.-технич. конф. студ., аспир. и мол. ученых. СПб: БГТУ, 2009. С. 38—39.
12. Веснин В.Л. Метод гауссовской аппроксимации пика спектра отражения волоконно-оптического брэгговского датчика // Изв. Самарского научного центра РАН. Общая физика и электроника. 2003. Т. 5, № 1. С. 156—164.
Валерий Равизович Ахметьянов Ольга Александровна Мишина
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Балтийский государственный технический универси-
тет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, Санкт-Петербург; E-mail: zinval@mail.ru — Балтийский государственный технический университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, Санкт-Петербург; инженер; E-mail: olga_A_mishina@mail.ru
Рекомендована университетом
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1