ТЕПЛОВЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ НЕРАЗЪЕМНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ И НАДЕЖНОСТЬ ПРИБОРОВ И СИСТЕМ
УДК 536.2
А. Н. СОКОЛОВ, Н. Н. ТАРНОВСКИЙ
ТЕПЛОВЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ НЕРАЗЪЕМНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Приведены тепловые и математические модели соединений, в которых температурные поля деталей рассматриваются одномерными, коэффициенты теплопроводности материалов и теплообмена через прослойку от температуры и координат не зависят, теплообмен на наружных поверхностях деталей отсутствует. Получены точные и приближенные для частных случаев формулы, определяющие тепловые сопротивления соединений при одинаковых и противоположных направлениях тепловых потоков, поступающих в соединения и вытекающих из него.
Ключевые слова: тепловое сопротивление, теплопередача, контактное сопротивление.
Во многих объектах приборостроения встречаются соединения внахлест деталей, имеющих форму пластин и соосных колец. Детали могут быть соединены болтами или клеем, разделены слоем пасты или тонкой газовой прослойкой. Схематические изображения таких соединений представлены на рис. 1, 2 (а — при одинаковом, б — при противоположном направлениях потоков, протекающих в обеих пластинах и обоих кольцах — рис. 1 и 2 соответственно).
При выполнении тепловых расчетов приборов необходимо вычислять тепловые сопротивления подобных соединений деталей. Авторам известна одна работа, посвященная расчету теплового сопротивления штыревого электрического разъема [1], конструкция которого подобна соединению деталей, изображенному на рис. 1, а.
В настоящей работе рассмотрены тепловые и математические модели соединений внахлест двух пластин и двух колец, разделенных теплопроводящей прослойкой, в которых тепловые потоки протекают в одном или противоположных направлениях.
Получены соотношения, определяющие тепловое сопротивление между деталями с учетом теплообмена через прослойку.
Тепловая модель соединения. Поместим начало координат на торце пластины, на котором задан тепловой поток. Длина общего участка пластин в направлении оси x — L, ширина пластин — H, толщина пластин δ1 и δ2, пластины разделены тонкой теплопроводящей прослойкой (см. рис. 1). Для соединения двух колец толщиной δ1 и δ2 с внутренним r1 и внешним радиусом r2 начало координат поместим на общей оси соединения (см. рис. 2).
Сделаем следующие допущения:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
Тепловые сопротивления неразъемных соединений элементов конструкций
71
— температурные поля пластин неравномерны только в направлении оси x (δ Rk ). В этих случаях формулы для тепловых сопротивлений можно упростить, их вид приведен в табл. 1.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
74 А. Н. Соколов, Н. Н. Тарновский
Частный случай
RI
Таблица 1 RII
R1 = R2 = R0
R0 2
⎡⎛ ⎢ cth ⎜ ⎢⎝ ⎢ ⎢ ⎢⎣
σk
R0 2
σk
R0 2
⎞ ⎟ ⎠
⎤ ⎥ + 1⎥⎥ ⎥ ⎥⎦
( )2R0 cth
σk
2σk R0
R1 >> R2
( )R1 cth
σk
σk R1
( )R1 cth
σk
σk R1
R1 + R2 >> Rk
1⎡ ⎢
R1 + R2 ⎢⎣
R12 +
σk ( R1
R22 + R2
)
+
R1R2
⎤ ⎥ ⎦⎥
R1 + R2 σk
Приведенные в табл. 1 выражения для тепловых сопротивлений значительно упрощаются
в случае, если cth ( y) =1, что имеет место при y > 3 .
Формулы, приведенные для случая равенства тепловых сопротивлений пластин, являются точными, для остальных случаев — приближенными.
Тепловое сопротивление соединения колец. Выражения для тепловых сопротивлений соединений колец, RI и RII, в соответствии с формулами (6) и (7) при граничных условиях соответственно (4) и (5) имеют вид:
RI
=
1 2πλ2δ2
1 1+ ξ
⎡⎢ln ⎣
r2 r1
+
1 aZ
⎛ ⎜ ⎝
1 ξ
B1 r`1
+
2 ar1r2
+ξ
B2 r2
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
,
RII
=
a 2πkr1
B1 , Z
(13)
здесь введены следующие обозначения:
B1 B2
= K1 (ar2 = K1 (ar1
) )
I0 I0
( (
ar1 )+ I1 (ar2 ar2 )+ I1 (ar1
) )
K0 K0
( (
ar1 ar2
), ),
⎫ ⎪ ⎬
Z = K1 (ar1 ) I1 (ar2 )− I1 (ar1 ) K1 (ar2 ).
⎪ ⎭
(14)
Отметим, что при выводе соотношений (13) использовано следующее свойство опреде-
лителя Вронского W для функций I0 (ar ) и K0 (ar ) [3]:
W (I0 (ar), K0 (ar)) = −1 r .
Выражения для тепловых сопротивлений колец, соединенных внахлест, выразим через
критерий Био, которые, следуя [4], определим по формулам:
Bi1
=
k λ1δ1
r22
,
Bi2
=
k λ2δ2
r22
,
Bis = Bi1 +Bi2 .
Преобразуем формулы (13):
RI
=
Bi1 2πλ 2 δ2 Bi s
⎡ ⎢ln ⎣⎢
r2 r1
+ Z
r2 Bis
⎛ ⎜⎜⎝
Bi1 Bi2
B1 r1
+
r1
2 Bis
+
Bi2 Bi1
B2 r2
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
,
RII
=
Bis 2πkr1r2
B1 ; Z
(15)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
Тепловые сопротивления неразъемных соединений элементов конструкций
75
( ) ( )B1 = K1
Bis
I0
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞⎟+ I1 ⎠
Bis
K0
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞ ⎟
,
⎫ ⎪
⎠⎪
( ) ( )B2
=
K1
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞ ⎟
I0
⎠
Bis
+
I1
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞ ⎟
K0
⎠
Bis ,⎪⎬⎪ ⎪
(16)
( ) ( )Z
=
K1
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞ ⎟
I1
⎠
Bis
−
I1
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞ ⎟
K1
⎠
⎪
Bis
.
⎪ ⎭⎪
Некоторые частные случаи тепловых сопротивлений колец сведены в табл. 2, при этом
коэффициенты B1 , B2 , Z определяются по формулам (16), где Bis = 2Bi .
Частный случай
Bi1 = Bi2 = Bi
Bi2 >> Bi1 Bi2 > 50
RI
1 4πλ 2 δ 2
⎢⎣⎡ln
r2 r1
+
1 r2 B1 + r2 1 + 2Bi r1 Z r1 ZBi
1 2πkr22
⎛ ⎜⎝
Bi1
ln
⎛ ⎜⎝
r2 r1
⎞ ⎠⎟
+
Bi2
⎞ ⎟⎠
1 B2 ⎤ 2Bi Z ⎥⎦
Таблица 2 RII 1 B1 πr1 2λ1δ1k Z 1
2πr1 λ2δ2 k
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Методика расчета теплового сопротивления штыревых электрических разъемов / Сушко В. Ю., Кораблев В. А., Шарков А. В. // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 9. С. 51—54.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1961.
3. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.
4. Дульнев Г. Н., Семяшкин Э. М. Теплообмен в радиоэлектронных аппаратах. Л., 1969.
Сведения об авторах
Антон Николаевич Соколов
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютер-
ной теплофизики и энергофизического мониторинга;
E-mail: dioux@rambler.ru
Николай Николаевич Тарновский — канд. техн. наук; Комета, Санкт-Петербург; ст. научный сотрудник
Рекомендована кафедрой компьютерной теплофизики и энергофизического мониторинга
Поступила в редакцию 29.05.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
УДК 536.2
А. Н. СОКОЛОВ, Н. Н. ТАРНОВСКИЙ
ТЕПЛОВЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ НЕРАЗЪЕМНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Приведены тепловые и математические модели соединений, в которых температурные поля деталей рассматриваются одномерными, коэффициенты теплопроводности материалов и теплообмена через прослойку от температуры и координат не зависят, теплообмен на наружных поверхностях деталей отсутствует. Получены точные и приближенные для частных случаев формулы, определяющие тепловые сопротивления соединений при одинаковых и противоположных направлениях тепловых потоков, поступающих в соединения и вытекающих из него.
Ключевые слова: тепловое сопротивление, теплопередача, контактное сопротивление.
Во многих объектах приборостроения встречаются соединения внахлест деталей, имеющих форму пластин и соосных колец. Детали могут быть соединены болтами или клеем, разделены слоем пасты или тонкой газовой прослойкой. Схематические изображения таких соединений представлены на рис. 1, 2 (а — при одинаковом, б — при противоположном направлениях потоков, протекающих в обеих пластинах и обоих кольцах — рис. 1 и 2 соответственно).
При выполнении тепловых расчетов приборов необходимо вычислять тепловые сопротивления подобных соединений деталей. Авторам известна одна работа, посвященная расчету теплового сопротивления штыревого электрического разъема [1], конструкция которого подобна соединению деталей, изображенному на рис. 1, а.
В настоящей работе рассмотрены тепловые и математические модели соединений внахлест двух пластин и двух колец, разделенных теплопроводящей прослойкой, в которых тепловые потоки протекают в одном или противоположных направлениях.
Получены соотношения, определяющие тепловое сопротивление между деталями с учетом теплообмена через прослойку.
Тепловая модель соединения. Поместим начало координат на торце пластины, на котором задан тепловой поток. Длина общего участка пластин в направлении оси x — L, ширина пластин — H, толщина пластин δ1 и δ2, пластины разделены тонкой теплопроводящей прослойкой (см. рис. 1). Для соединения двух колец толщиной δ1 и δ2 с внутренним r1 и внешним радиусом r2 начало координат поместим на общей оси соединения (см. рис. 2).
Сделаем следующие допущения:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
Тепловые сопротивления неразъемных соединений элементов конструкций
71
— температурные поля пластин неравномерны только в направлении оси x (δ Rk ). В этих случаях формулы для тепловых сопротивлений можно упростить, их вид приведен в табл. 1.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
74 А. Н. Соколов, Н. Н. Тарновский
Частный случай
RI
Таблица 1 RII
R1 = R2 = R0
R0 2
⎡⎛ ⎢ cth ⎜ ⎢⎝ ⎢ ⎢ ⎢⎣
σk
R0 2
σk
R0 2
⎞ ⎟ ⎠
⎤ ⎥ + 1⎥⎥ ⎥ ⎥⎦
( )2R0 cth
σk
2σk R0
R1 >> R2
( )R1 cth
σk
σk R1
( )R1 cth
σk
σk R1
R1 + R2 >> Rk
1⎡ ⎢
R1 + R2 ⎢⎣
R12 +
σk ( R1
R22 + R2
)
+
R1R2
⎤ ⎥ ⎦⎥
R1 + R2 σk
Приведенные в табл. 1 выражения для тепловых сопротивлений значительно упрощаются
в случае, если cth ( y) =1, что имеет место при y > 3 .
Формулы, приведенные для случая равенства тепловых сопротивлений пластин, являются точными, для остальных случаев — приближенными.
Тепловое сопротивление соединения колец. Выражения для тепловых сопротивлений соединений колец, RI и RII, в соответствии с формулами (6) и (7) при граничных условиях соответственно (4) и (5) имеют вид:
RI
=
1 2πλ2δ2
1 1+ ξ
⎡⎢ln ⎣
r2 r1
+
1 aZ
⎛ ⎜ ⎝
1 ξ
B1 r`1
+
2 ar1r2
+ξ
B2 r2
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
,
RII
=
a 2πkr1
B1 , Z
(13)
здесь введены следующие обозначения:
B1 B2
= K1 (ar2 = K1 (ar1
) )
I0 I0
( (
ar1 )+ I1 (ar2 ar2 )+ I1 (ar1
) )
K0 K0
( (
ar1 ar2
), ),
⎫ ⎪ ⎬
Z = K1 (ar1 ) I1 (ar2 )− I1 (ar1 ) K1 (ar2 ).
⎪ ⎭
(14)
Отметим, что при выводе соотношений (13) использовано следующее свойство опреде-
лителя Вронского W для функций I0 (ar ) и K0 (ar ) [3]:
W (I0 (ar), K0 (ar)) = −1 r .
Выражения для тепловых сопротивлений колец, соединенных внахлест, выразим через
критерий Био, которые, следуя [4], определим по формулам:
Bi1
=
k λ1δ1
r22
,
Bi2
=
k λ2δ2
r22
,
Bis = Bi1 +Bi2 .
Преобразуем формулы (13):
RI
=
Bi1 2πλ 2 δ2 Bi s
⎡ ⎢ln ⎣⎢
r2 r1
+ Z
r2 Bis
⎛ ⎜⎜⎝
Bi1 Bi2
B1 r1
+
r1
2 Bis
+
Bi2 Bi1
B2 r2
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
,
RII
=
Bis 2πkr1r2
B1 ; Z
(15)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1
Тепловые сопротивления неразъемных соединений элементов конструкций
75
( ) ( )B1 = K1
Bis
I0
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞⎟+ I1 ⎠
Bis
K0
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞ ⎟
,
⎫ ⎪
⎠⎪
( ) ( )B2
=
K1
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞ ⎟
I0
⎠
Bis
+
I1
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞ ⎟
K0
⎠
Bis ,⎪⎬⎪ ⎪
(16)
( ) ( )Z
=
K1
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞ ⎟
I1
⎠
Bis
−
I1
⎛ ⎜
⎝
Bis
r1 r2
⎞ ⎟
K1
⎠
⎪
Bis
.
⎪ ⎭⎪
Некоторые частные случаи тепловых сопротивлений колец сведены в табл. 2, при этом
коэффициенты B1 , B2 , Z определяются по формулам (16), где Bis = 2Bi .
Частный случай
Bi1 = Bi2 = Bi
Bi2 >> Bi1 Bi2 > 50
RI
1 4πλ 2 δ 2
⎢⎣⎡ln
r2 r1
+
1 r2 B1 + r2 1 + 2Bi r1 Z r1 ZBi
1 2πkr22
⎛ ⎜⎝
Bi1
ln
⎛ ⎜⎝
r2 r1
⎞ ⎠⎟
+
Bi2
⎞ ⎟⎠
1 B2 ⎤ 2Bi Z ⎥⎦
Таблица 2 RII 1 B1 πr1 2λ1δ1k Z 1
2πr1 λ2δ2 k
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Методика расчета теплового сопротивления штыревых электрических разъемов / Сушко В. Ю., Кораблев В. А., Шарков А. В. // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 9. С. 51—54.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1961.
3. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.
4. Дульнев Г. Н., Семяшкин Э. М. Теплообмен в радиоэлектронных аппаратах. Л., 1969.
Сведения об авторах
Антон Николаевич Соколов
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютер-
ной теплофизики и энергофизического мониторинга;
E-mail: dioux@rambler.ru
Николай Николаевич Тарновский — канд. техн. наук; Комета, Санкт-Петербург; ст. научный сотрудник
Рекомендована кафедрой компьютерной теплофизики и энергофизического мониторинга
Поступила в редакцию 29.05.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 1