ДИНАМИКА ГИРОСКОПИЧЕСКОГО ИНКЛИНОМЕТРА
ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 531.746:531.3:534.833
Я. И. БИНДЕР, В. М. МУСАЛИМОВ, П. А. СЕРГУШИН, Д. А. СОКОЛОВ
ДИНАМИКА ГИРОСКОПИЧЕСКОГО ИНКЛИНОМЕТРА
Исследована динамика скважинного гироинклинометра при спускоподъемных операциях. Для анализа динамики использованы определяющие уравнения для спирально-анизотропных тел. Произведены расчеты гидродинамического сопротивления на базе уравнений Навье — Стокса. Приведено сопоставление расчетов с экспериментальными данными.
Ключевые слова: скважинный прибор, гироскопический инклинометр, спирально-анизотропное тело, продольно-крутильные колебания, уравнение Навье — Стокса, демпфирование колебаний.
Использование бесплатформенного малогабаритного гироскопического инклинометра,
работающего в режиме непрерывной съемки, — практически единственный в настоящее вре-
мя способ, позволяющий обеспечить мониторинг пространственного положения любых
скважин и тем самым удовлетворить требованиям, принятым основными мировыми нефтедо-
бывающими компаниями. Появление этих требований обусловлено интенсивным развитием
процессов направленного бурения, строительством скважин с высоким коэффициентом
сложности и, следовательно, необходимостью решения задач оптимальной проводки их ство-
лов в трехмерном геологическом пространстве.
Как показал анализ результатов проведения непрерывной съемки в скважинах различ-
ного типа, наиболее существенным внешним фактором, во многом определяющим точност-
ные характеристики этого режима, является так называемый „моторный эффект“, т.е. враща-
тельное движение кабеля, обусловленное, с одной стороны, его упругой деформацией, а с
другой — вертикальным линейным удлинением (укорочением) его свободного конца в про-
цессе спускоподъемных операций скважинного прибора. Возникает необходимость „скоррек-
тировать“ естественное крутильное движение кабеля.
Кабельно-тросовая конструкция (КТК), служащая подвесом скважинных приборов,
представляет собой систему, в которой при действии внешних нагрузок формируются кру-
тильно-продольные колебательные процессы. Исследование этих процессов позволяет рас-
сматривать задачу стабилизации движения прибора как задачу ограничения крутильно-
продольных колебаний.
Из теории спирально-анизотропных тел (САТ) известны уравнения статического равно-
весия деформируемого анизотропного тела [1]:
P πR2 M πR3
= a11e + a12θˆ;
⎫ ⎪⎪
⎬
=
−a21e
+
a22
θˆ ,⎪ ⎭⎪
(1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
8 Я. И. Биндер, В. М. Мусалимов, П. А. Сергушин, Д. А. Соколов
где P — осевая нагрузка, M — крутящий момент, R — радиус САТ, a11 — модуль растя-
жения-сжатия, a12 , a21 — модули растяжения-кручения, a22 — модуль кручения, e — отно-
сительная осевая деформация, θˆ — угол поворота поперечных сечений кабеля.
Соответственно динамика САТ может быть представлена системой уравнений
me J θˆ
= =
−πR 2 a11e πR3a21e −
−πRπR3a22a21θˆ2,θˆ;⎪⎭⎬⎪⎫
в которой согласно принципу Даламбера [2] использованы равенства P = me ; M = J θˆ ,
где m — масса САТ, J — тензор инерции САТ, &e& — продольное ускорение, θˆ — угловое ускорение.
Введем следующие обозначения:
A11 = πR2a11 ; A12 = πR2a12 ; A21 = πR3a21 ; A22 = πR3a22 ; s = d dt .
Для учета внутреннего трения введем коэффициенты k1, k2 ; введем также параметр
u(t) — входное воздействие. В результате получим
e
=
1 s2
⎛ ⎝⎜
−
A11 m
e
−
A12 m
θˆ ⎠⎟⎞
−
1 s
k1 m
e,
⎫ ⎪⎪
θˆ
=
1 s2
⎛ ⎝⎜
A21 J
e
−
A22 J
θˆ
⎞ ⎠⎟
+
1 s
k2 J
θˆ
+
⎬ u(t).⎭⎪⎪
Рассмотренная система имеет две степени свободы. Для упрощения расчетов приведем
ее к системе с одной степенью свободы.
В качестве внешней нагрузки в исходной системе (1) выступает сила P , а момент
M = 0 , т.е. реализуется схема нагружения „свободное растяжение“ [3]. В этом случае величи-
ны
е
и
θˆ
оказываются
связанными:
a21e
=
−a22θˆ ,
откуда
e
=
−
a22 a21
θˆ ,
а
система
(1)
преобразу-
ется к виду
P πR2
=
θˆ
⎛ ⎜ ⎝
−a11
a22 a21
+
a12
⎞ ⎟
.
⎠
Правая часть этого уравнения представляет собой упругую составляющую вращатель-
ного движения, а левая — внешнюю нагрузку.
r O
B
Обозначим
⎛ ⎜ ⎝
−a11
a22 a21
+
a12
⎞ ⎟
=
a2*2
⎠
и
запишем
уравнение
свобод-
θ ных крутильных колебаний:
J θ + a2*2θ = 0 .
θ& Для демпфирования колебаний целесообразно использовать ес-
A
тественную жидкостную среду скважины, вдоль которой с ограниченной скоростью перемещается прибор. Для этого вдоль прибора
Рис. 1
устанавливаются тормозные лопасти, обеспечивающие гидродинамическое сопротивление. Схема движения лопастей сопротивления
AOB представлена на рис. 1, где AO = OB = R ; r , θ — полярные координаты.
Рассмотрим уравнение Навье — Стокса [4]:
ρ
⎡ ⎢⎣
∂V ∂t
+
(V
∇)V
⎤ ⎥⎦
=
−∇Pоб
− ∇Φ
,
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Динамика гироскопического инклинометра
9
где ρ — объемная плотность жидкости, t — время, V — скорость движения тела в жидко-
сти, ∇ — оператор Гамильтона, Pоб — объемная сила (действует на единичный объем),
Φ — удельная сила тяжести.
При
∂V ∂t
=0
из уравнения (2) получим
ρ(V ∇)V = −∇Pоб ;
ρ ⎛⎝⎜ V
∂ ∂r
⎟⎞⎠V
=
−
∂ ∂r
Pоб
;
ρV
∂V ∂r
=
−
∂Pоб ∂r
,
∂V ∂r
= θ .
Промежуточные расчеты по определению момента сопротивления сведены в таблице [5].
Эпюры нагрузок
Таблица Расчетные значения нагрузок
V
AOB θ
V = θ r
O ρH
B ρθ 2 R2 + ρH 2
ρθ 2r = − ∂P ∂r
F1 OB
S1 ρH
F1 = RρH
R/2 F2
OB
2/3R
S2 ρθ 2 R2 2
F2
=
ρθ 2 4
R3
2/3R R/2
F
F1 F2 B O
l1 l2 d
R
F = F1 + F2
П р и м е ч а н и е . Здесь r = 0…R — радиус-вектор, F1 — приведенная сила от глубины погружения, F1 — приведенная сила от скорости вращения, F — суммарная сила, d — плечо суммарной силы, S1 — площадь эпюры силы F1, S2 — площадь эпюры силы F2, H — глубина погружения.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
10 Я. И. Биндер, В. М. Мусалимов, П. А. Сергушин, Д. А. Соколов
Для нахождения суммарной силы по направлению z следует умножить полученную си-
лу F на длину лопасти Lz : F* = FLz .
Момент сопротивления определяется по формуле
Mc = F*d ,
где
d
=
R 2
+
R 6
ρ γ
θ 2 R2 4H
⎝⎜⎜⎛1 +
ρ γ
θ 2 R2 4H
⎞−1 ⎟⎠⎟
—
плечо,
или
по
формуле
Mc
=
RLz
( F1
+
F2
)
⎡ ⎢ ⎢⎣
1 2
+
1⎛
6
⎜ ⎝
F1 F2
+
1⎟⎞−1 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
.
(3)
Для неконсервативной системы уравнение (3) преобразуется к виду
J θ + a2*2θ = −Mc .
На рис. 2, а, б представлены графики сравнения соответственно расчетных и экспери-
ментальных данных, полученных в результате ступенчатого опускания инклинометра с кон-
структивным демпфером в скважину, при δ = 0,5 (рис. 2, а) и δ = 0,8 (рис. 2, б).
а) θ, рад
100
50
б) θ, рад
40
20
00
–50 –20
–100
–150 2 4 8 10 12 14 16 18 t, c
–40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t, c
Рис. 2
Результаты исследований позволяют сделать следующие выводы:
— динамика гироскопического инклинометра в основном зависит от особенностей его кабельно-тросовой конструкции;
— использование теории спирально-анизотропных тел позволяет эффективно оценить динамику КТК и определить технические средства демпфирования угловых колебаний сис-
темы; — на основе достижений в области гидродинамики (уравнения Навье — Стокса) рас-
считаны конструктивные характеристики гидродинамического демпфера; — теоретические расчеты удовлетворяют экспериментальным данным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мусалимов В. М. Механика деформируемого кабеля. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. 203 с. 2. Воронков И. М. Курс теоретической механики. М.: Гостехиздат, 1957. 596 с. 3. Мусалимов В. М., Соханев Б. В. Механические испытания гибких кабелей. Томск: Изд-во Томск. ун-та,
1984. 64 с. 4. Чихос Х. Системный анализ в трибонике: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 351 с. 5. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. школа, 1975. 656 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Варианты конструктивного исполнения универсального малогабаритного гироинклинометра 11
Яков Исаакович Биндер Виктор Михайлович Мусалимов Павел Анатольевич Сергушин Дмитрий Александрович Соколов
Сведения об авторах — канд. техн. наук, доцент; ОАО „Электромеханика“, Санкт-Петер-
бург; генеральный директор; E-mail: mail@elmech.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: musalimov@mail.ifmo.ru — Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; ассистент; E-mail: pavel.sergushin@gmail.com — ОАО „Электромеханика“, Санкт-Петербург; науч. сотрудник; E-mail: d.a.sokolov@mail.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники СПбГУ ИТМО
Поступила в редакцию 15.06.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
УДК 531.746:531.3:534.833
Я. И. БИНДЕР, В. М. МУСАЛИМОВ, П. А. СЕРГУШИН, Д. А. СОКОЛОВ
ДИНАМИКА ГИРОСКОПИЧЕСКОГО ИНКЛИНОМЕТРА
Исследована динамика скважинного гироинклинометра при спускоподъемных операциях. Для анализа динамики использованы определяющие уравнения для спирально-анизотропных тел. Произведены расчеты гидродинамического сопротивления на базе уравнений Навье — Стокса. Приведено сопоставление расчетов с экспериментальными данными.
Ключевые слова: скважинный прибор, гироскопический инклинометр, спирально-анизотропное тело, продольно-крутильные колебания, уравнение Навье — Стокса, демпфирование колебаний.
Использование бесплатформенного малогабаритного гироскопического инклинометра,
работающего в режиме непрерывной съемки, — практически единственный в настоящее вре-
мя способ, позволяющий обеспечить мониторинг пространственного положения любых
скважин и тем самым удовлетворить требованиям, принятым основными мировыми нефтедо-
бывающими компаниями. Появление этих требований обусловлено интенсивным развитием
процессов направленного бурения, строительством скважин с высоким коэффициентом
сложности и, следовательно, необходимостью решения задач оптимальной проводки их ство-
лов в трехмерном геологическом пространстве.
Как показал анализ результатов проведения непрерывной съемки в скважинах различ-
ного типа, наиболее существенным внешним фактором, во многом определяющим точност-
ные характеристики этого режима, является так называемый „моторный эффект“, т.е. враща-
тельное движение кабеля, обусловленное, с одной стороны, его упругой деформацией, а с
другой — вертикальным линейным удлинением (укорочением) его свободного конца в про-
цессе спускоподъемных операций скважинного прибора. Возникает необходимость „скоррек-
тировать“ естественное крутильное движение кабеля.
Кабельно-тросовая конструкция (КТК), служащая подвесом скважинных приборов,
представляет собой систему, в которой при действии внешних нагрузок формируются кру-
тильно-продольные колебательные процессы. Исследование этих процессов позволяет рас-
сматривать задачу стабилизации движения прибора как задачу ограничения крутильно-
продольных колебаний.
Из теории спирально-анизотропных тел (САТ) известны уравнения статического равно-
весия деформируемого анизотропного тела [1]:
P πR2 M πR3
= a11e + a12θˆ;
⎫ ⎪⎪
⎬
=
−a21e
+
a22
θˆ ,⎪ ⎭⎪
(1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
8 Я. И. Биндер, В. М. Мусалимов, П. А. Сергушин, Д. А. Соколов
где P — осевая нагрузка, M — крутящий момент, R — радиус САТ, a11 — модуль растя-
жения-сжатия, a12 , a21 — модули растяжения-кручения, a22 — модуль кручения, e — отно-
сительная осевая деформация, θˆ — угол поворота поперечных сечений кабеля.
Соответственно динамика САТ может быть представлена системой уравнений
me J θˆ
= =
−πR 2 a11e πR3a21e −
−πRπR3a22a21θˆ2,θˆ;⎪⎭⎬⎪⎫
в которой согласно принципу Даламбера [2] использованы равенства P = me ; M = J θˆ ,
где m — масса САТ, J — тензор инерции САТ, &e& — продольное ускорение, θˆ — угловое ускорение.
Введем следующие обозначения:
A11 = πR2a11 ; A12 = πR2a12 ; A21 = πR3a21 ; A22 = πR3a22 ; s = d dt .
Для учета внутреннего трения введем коэффициенты k1, k2 ; введем также параметр
u(t) — входное воздействие. В результате получим
e
=
1 s2
⎛ ⎝⎜
−
A11 m
e
−
A12 m
θˆ ⎠⎟⎞
−
1 s
k1 m
e,
⎫ ⎪⎪
θˆ
=
1 s2
⎛ ⎝⎜
A21 J
e
−
A22 J
θˆ
⎞ ⎠⎟
+
1 s
k2 J
θˆ
+
⎬ u(t).⎭⎪⎪
Рассмотренная система имеет две степени свободы. Для упрощения расчетов приведем
ее к системе с одной степенью свободы.
В качестве внешней нагрузки в исходной системе (1) выступает сила P , а момент
M = 0 , т.е. реализуется схема нагружения „свободное растяжение“ [3]. В этом случае величи-
ны
е
и
θˆ
оказываются
связанными:
a21e
=
−a22θˆ ,
откуда
e
=
−
a22 a21
θˆ ,
а
система
(1)
преобразу-
ется к виду
P πR2
=
θˆ
⎛ ⎜ ⎝
−a11
a22 a21
+
a12
⎞ ⎟
.
⎠
Правая часть этого уравнения представляет собой упругую составляющую вращатель-
ного движения, а левая — внешнюю нагрузку.
r O
B
Обозначим
⎛ ⎜ ⎝
−a11
a22 a21
+
a12
⎞ ⎟
=
a2*2
⎠
и
запишем
уравнение
свобод-
θ ных крутильных колебаний:
J θ + a2*2θ = 0 .
θ& Для демпфирования колебаний целесообразно использовать ес-
A
тественную жидкостную среду скважины, вдоль которой с ограниченной скоростью перемещается прибор. Для этого вдоль прибора
Рис. 1
устанавливаются тормозные лопасти, обеспечивающие гидродинамическое сопротивление. Схема движения лопастей сопротивления
AOB представлена на рис. 1, где AO = OB = R ; r , θ — полярные координаты.
Рассмотрим уравнение Навье — Стокса [4]:
ρ
⎡ ⎢⎣
∂V ∂t
+
(V
∇)V
⎤ ⎥⎦
=
−∇Pоб
− ∇Φ
,
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Динамика гироскопического инклинометра
9
где ρ — объемная плотность жидкости, t — время, V — скорость движения тела в жидко-
сти, ∇ — оператор Гамильтона, Pоб — объемная сила (действует на единичный объем),
Φ — удельная сила тяжести.
При
∂V ∂t
=0
из уравнения (2) получим
ρ(V ∇)V = −∇Pоб ;
ρ ⎛⎝⎜ V
∂ ∂r
⎟⎞⎠V
=
−
∂ ∂r
Pоб
;
ρV
∂V ∂r
=
−
∂Pоб ∂r
,
∂V ∂r
= θ .
Промежуточные расчеты по определению момента сопротивления сведены в таблице [5].
Эпюры нагрузок
Таблица Расчетные значения нагрузок
V
AOB θ
V = θ r
O ρH
B ρθ 2 R2 + ρH 2
ρθ 2r = − ∂P ∂r
F1 OB
S1 ρH
F1 = RρH
R/2 F2
OB
2/3R
S2 ρθ 2 R2 2
F2
=
ρθ 2 4
R3
2/3R R/2
F
F1 F2 B O
l1 l2 d
R
F = F1 + F2
П р и м е ч а н и е . Здесь r = 0…R — радиус-вектор, F1 — приведенная сила от глубины погружения, F1 — приведенная сила от скорости вращения, F — суммарная сила, d — плечо суммарной силы, S1 — площадь эпюры силы F1, S2 — площадь эпюры силы F2, H — глубина погружения.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
10 Я. И. Биндер, В. М. Мусалимов, П. А. Сергушин, Д. А. Соколов
Для нахождения суммарной силы по направлению z следует умножить полученную си-
лу F на длину лопасти Lz : F* = FLz .
Момент сопротивления определяется по формуле
Mc = F*d ,
где
d
=
R 2
+
R 6
ρ γ
θ 2 R2 4H
⎝⎜⎜⎛1 +
ρ γ
θ 2 R2 4H
⎞−1 ⎟⎠⎟
—
плечо,
или
по
формуле
Mc
=
RLz
( F1
+
F2
)
⎡ ⎢ ⎢⎣
1 2
+
1⎛
6
⎜ ⎝
F1 F2
+
1⎟⎞−1 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
.
(3)
Для неконсервативной системы уравнение (3) преобразуется к виду
J θ + a2*2θ = −Mc .
На рис. 2, а, б представлены графики сравнения соответственно расчетных и экспери-
ментальных данных, полученных в результате ступенчатого опускания инклинометра с кон-
структивным демпфером в скважину, при δ = 0,5 (рис. 2, а) и δ = 0,8 (рис. 2, б).
а) θ, рад
100
50
б) θ, рад
40
20
00
–50 –20
–100
–150 2 4 8 10 12 14 16 18 t, c
–40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t, c
Рис. 2
Результаты исследований позволяют сделать следующие выводы:
— динамика гироскопического инклинометра в основном зависит от особенностей его кабельно-тросовой конструкции;
— использование теории спирально-анизотропных тел позволяет эффективно оценить динамику КТК и определить технические средства демпфирования угловых колебаний сис-
темы; — на основе достижений в области гидродинамики (уравнения Навье — Стокса) рас-
считаны конструктивные характеристики гидродинамического демпфера; — теоретические расчеты удовлетворяют экспериментальным данным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мусалимов В. М. Механика деформируемого кабеля. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. 203 с. 2. Воронков И. М. Курс теоретической механики. М.: Гостехиздат, 1957. 596 с. 3. Мусалимов В. М., Соханев Б. В. Механические испытания гибких кабелей. Томск: Изд-во Томск. ун-та,
1984. 64 с. 4. Чихос Х. Системный анализ в трибонике: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 351 с. 5. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. школа, 1975. 656 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Варианты конструктивного исполнения универсального малогабаритного гироинклинометра 11
Яков Исаакович Биндер Виктор Михайлович Мусалимов Павел Анатольевич Сергушин Дмитрий Александрович Соколов
Сведения об авторах — канд. техн. наук, доцент; ОАО „Электромеханика“, Санкт-Петер-
бург; генеральный директор; E-mail: mail@elmech.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: musalimov@mail.ifmo.ru — Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; ассистент; E-mail: pavel.sergushin@gmail.com — ОАО „Электромеханика“, Санкт-Петербург; науч. сотрудник; E-mail: d.a.sokolov@mail.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники СПбГУ ИТМО
Поступила в редакцию 15.06.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2