Например, Бобцов

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЗУБЧАТО-РЕМЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ

20 А. К. Беляев
УДК 534

А. К. БЕЛЯЕВ
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЗУБЧАТО-РЕМЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ

Рассмотрена проблема динамической устойчивости зубчато-ременной передачи. Предложен метод и получены уравнения для построения областей устойчивого поступательного движения зубчатого ремня. Построены две области неустойчивости прямолинейного движения ремня: область дивергентной неустойчивости и область параметрического резонанса.

Ключевые слова: зубчато-ременные передачи, дивергентная неустойчивость, параметрический резонанс.

Введение. Зубчато-ременные передачи широко распространены в различных устройствах и механизмах: в средствах оргтехники (принтеры, плоттеры, сканеры), двигателях и коробках передач автомобилей и пр. Это обусловлено, в первую очередь, тем, что благодаря зубчато-ременной передаче достигается высокая точность позиционирования приспособлений, управляемых ремнем. К неоспоримым плюсам следует также отнести низкий уровень шума, что немаловажно во всех сферах деятельности человека и является одним из требований, предъявляемых организациями технического надзора. Кроме того, зубчато-ременная передача достаточно проста в обслуживании и контроль ее технического состояния не представляет особой трудности.
Основное требование к зубчато-ременным передачам — точная передача крутящего момента от ведущего колеса к ведомому. Это настолько важное условие, что во многих мехатронных устройствах зубчатый ремень называется синхронным ремнем, гарантирующим синхронность вращений и тем самым точность позиционирования. Например, в двигателях автомобилей неточность в передаче крутящего момента от коленчатого вала к распределительному влечет за собой несвоевременное открытие впускных и выпускных клапанов, т.е. неустойчивую работу всего двигателя. Известно, что ошибка в 1 % приводит к повышенной эмиссии выхлопных газов, а ошибка в 3 % — к повреждению клапанов у дизельных двигателей. Другим примером точного позиционирования является использование зубчатых ремней в печатающих механизмах, где от точности подведения печатающей головки напрямую зависит качество печати.
В настоящей статье исследуется движение зубчатого ремня в зубчато-ременной передаче; предлагается вывод дифференциального уравнения движения ремня; приводятся расчет и метод построения областей устойчивого и неустойчивого движения в зависимости от скорости движения и силы натяжения ремня.
Постановка задачи динамической устойчивости. Зубчато-ременная передача схематически изображена на рис. 1. Исследуем устойчивость равномерного движения участка ремня 0 ≤ x ≤ l , для чего он аппроксимируется двуопертой балкой. Для получения дифференциального уравнения применим принцип Гамильтона — Остроградского. Кинетическая энергия участка ремня 0 ≤ x ≤ l определяется как

∫ ∫K

=

1 2

l
Vаb2ρAdx
0

=

1 2

l 0

⎣⎡V 2

+

( y&

+ Vy′)2

⎤⎦ ρAdx ,

где ρ — плотность материала ремня, A — площадь поперечного сечения; горизонтальная и вертикальная проекции абсолютной скорости Vаb элемента ремня равны соответственно V и

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2

Динамическая устойчивость зубчато-ременной передачи

21

( y& +Vy′) , где V — переносная скорость движения элемента ремня вдоль оси x , а точка и штрих обозначают соответственно производную по времени и по x .

y F(t)

y(x,t)

V

F(t) x

M(t) M(t)

ρ, E, I, A Ωz

l

Рис. 1

Потенциальная энергия изгибной деформации ремня

∫Π

=

1 2

l 0

EI

(

y

′′)2

dx

,

где EI — изгибная жесткость ремня.

Вследствие малости прогиба ремня выражение, характеризующее работу, вызванную

силой натяжения ремня, допускает упрощение:

∫ ∫WF

=

−F

l 0

(1−cos

y′)dx

≈−

1 2

F

l 0

y′2

( x, t )dx

,

а работа моментов определяется выражением

WM = M (0, t) y′(0,t)+ M (l, t) y′(l, t) .

Применяя принцип Гамильтона [1], получаем дифференциальное уравнение движения

ремня

ρA&y&+(V 2ρA− F ) y′′+2V ρAy&′+ EIy′′′′ = 0

(1)

и следующие граничные условия

EIy′′(0, t) = −M (t), EIy′′(l,t) = M (t) .

(2)

Определение границ области устойчивости. Для сведения полученной граничной задачи, состоящей из дифференциального уравнения в частных производных (1) и граничных условий (2), к обыкновенному дифференциальному уравнению применим метод Галеркина. Решение будем искать в следующем виде:

y( x, t )

=

M (t) 6lEI

(2x3



3lx2

+

l 2 x)

+

q(t) sin

πx l

,

(3)

здесь первое слагаемое введено для преобразования граничных условий к однородным; q(t) — обобщенная координата; выбрана базисная функция sin(πx / l) , поскольку она одно-
временно является первой формой колебаний и формой потери статической устойчивости ремня.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2

22 А. К. Беляев
Подставим выражение (3) в уравнение движения (1) и применим метод Галеркина, т.е. умножим полученное выражение на базисную функцию sin(πx / l) и проинтегрируем по переменной x . В результате получим

q&&(t ) +

π2 l2

⎡ ⎢ ⎢⎣

1 ρA

⎛ ⎜⎜⎝

F

+

EI

π2 l2

⎞ ⎟⎟⎠

−V

2

⎤ ⎥ q(t) = ⎦⎥

4lV (12−π2 ) 3EI π3

M&

(t) .

(4)

Сила натяжения ремня имеет две составляющие: F (t ) = F0 + F 1Φ(t) , здесь F0 — посто-
янная составляющая, обозначающая силу первоначального натяжения ремня, а F1Ф(t) — периодическая составляющая, вызванная контактами зубьев ремня и колеса при движении ремня, причем функция Φ(t) имеет период T = πr /Vz , где r — радиус зубчатого колеса, z —

число зубьев колеса.

Полученное дифференциальное уравнение (4) может быть записано в форме классиче-

ского уравнения Хилла:

q&&(t)

+

Ω2 (1 +

2µΦ(t))q(t)

=

4lV (12 − π2 ) 3EI π2

M&

(t )

,

(5)

где

Ω=

π2 l2

EI F0 + F* − V 2ρA ρA F*

— собственная частота нагруженного ремня,

F*

=

π2 l2

EI



( )критическая сила Эйлера,

µ=

2

F1 F0 + F* − V 2ρA

— коэффициент осевого возбуждения.

Как показано в работе [2], уравнение Хилла имеет области неустойчивости, причем первое приближение к границе области устойчивости может быть получено, если ограничиться
первой гармоникой ряда Фурье периодической функции Φ(t) , т.е. принять Φ(t) = Φ1 cos ωt .
Тогда уравнение Хилла преобразуется в уравнение Матье [2] (ниже рассматривается только однородное уравнение Матье):

q&&(t) + Ω2 (1 + 2µΦ1 cos ωt)q(t) = 0 .

(6)

Верхняя и нижняя границы области неустойчивости определяются выражением

ω = 2Ω 1 ± µ (см. [2]). Так как в выражениях (5) и (6) Ω и µ зависят от силы первоначального

натяжения F0 и скорости движения ремня V , то область устойчивости строится на плоскости
параметров F0 , V . Проанализируем формулу для критической скорости. Как следует из выражения для
собственной частоты ремня, Ω обращается в нуль при критической скорости

Vкр =

F0 + F* , ρA

т.е. при V > Vкр наблюдается дивергентная неустойчивость поперечного движения ремня.

Пример. Рассмотрим построение областей неустойчивости зубчатого ремня трапецеи-
дального профиля DIN 7721-16T10×880 / DIN 7721-18T10N2. Расчеты контактного взаимодействия при движении зубчатого ремня по зубчатому колесу, с момента начального контакта до момента полного схода зуба ремня с зуба шестерни, были проведены с использованием конечно-элементного пакета ANSYS. Были приняты следующие физико-механические характеристики зубчатого ремня: модуль Юнга Е = 1⋅109 Н/м2 и коэффициент Пуассона ν = 0, 2 , а для

зубчатого колеса Е = 1⋅1011 Н/м2 и ν = 0,3 . Значения горизонтальной проекции силы, воз-

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2

Динамическая устойчивость зубчато-ременной передачи

23

никающей при движении, иллюстрируются графиком, представленным на рис. 2. Номер за-
дачи (N) по оси абсцисс соответствует определенному углу поворота ϕ зуба, так что фактически горизонтальная ось соответствует повороту колеса на один зуб.
Fx, Н

12

8

4

0 1 2 3 4 5N Рис. 2
Аппроксимация данной зависимости функции на интервале от 0 до 2π имеет следующий вид:
Fx = 0, 00139ϕ5 + 0, 0337ϕ4 − 0, 685ϕ3 + 2,89ϕ2 − 1, 71ϕ + 7, 29 . Разложение данной зависимости в ряд Фурье позволяет вычислить значение перемен-
ной составляющей силы, возникающей при движении зубчатого ремня: F1 = 3, 058 H. Для построения областей неустойчивости были взяты следующие параметры:

А = 2,8 ⋅10−5 м2, ρ = 3 ⋅10−3 кг/м3, l = 0,3 м, ЕI = 0, 045 H⋅м2, z = 16 , r = 24 ⋅10−3 м.

Построенные области динамической неустойчивости (дивергентная неустойчивость и параметрический резонанс) графически представлены на рис. 3, а; область параметрического резонанса (неустойчивость) представлена в увеличенном масштабе на рис. 3, б.
а) б)

V, м/с Область дивергентной
100 неустойчивости

V, м/с 4

80 V >Vкр 60

V =Vкр

3,8 3,6

40 3,4

20

Область параметрического резонанса

3,2

3

–20

20 40 60 80 F0, Н

100 106 112 118 F0, Н

Рис. 3

Выводы. Рассмотрена проблема динамической устойчивости зубчато-ременной переда-

чи. Предложен метод и получены уравнения для построения областей устойчивого поступа-

тельного движения зубчатого ремня.

Построены две области неустойчивости прямолинейного движения ремня принципи-

ально различной природы. Первая — область дивергентной неустойчивости — расположена

над кривой критической скорости; вторая, гораздо меньшая область является областью пара-

метрического резонанса.

Как известно, в процессе эксплуатации любой системы в ней происходят некоторые из-

менения характеристик и настроек. В зубчато-ременных передачах одной из таких характе-

ристик является сила натяжения ремня, изменение которой может повлечь попадание рабоче-

го состояния системы в область неустойчивости. Изменения силы натяжения ремня вызыва-

ется множеством причин. В первую очередь, это естественный износ и вытягивание ремня,

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2

24 В. Н. Шамберов
ослабление крепежных и натягивающих механизмов, а также изменение температурного режима в процессе работы. Как следует из диаграммы устойчивости, неустойчивость возможна не только при превышении некой критической скорости для конкретной силы натяжения (т.е. дивергентная неустойчивость), но и изменение силы натяжения может привести к попаданию в область параметрического резонанса. Несмотря на кажущуюся узость области параметрического резонанса для выбранных параметров, она может оказать существенное влияние на рабочую область системы.
Таким образом, при проектировании систем с зубчато-ременными передачами необходимо учитывать существование дополнительных областей неустойчивости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Наука, 1961.

2. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Наука, 1956.

Александр Константинович Беляев

Сведения об авторе — д-р физ.-мат. наук; Институт проблем машиноведения РАН; зам.
директора по научной работе; E-mail: vice.ipme@gmail.com

Рекомендована кафедрой мехатроники СПбГУ ИТМО

Поступила в редакцию 15.06.09 г.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2