ШЕСТЕРЕННЫЕ НАСОСЫ С ВНУТРЕННИМ ЦЕВОЧНЫМ ВНЕЦЕНТРОИДНЫМ ЗАЦЕПЛЕНИЕМ
СООБЩЕНИЯ
УДК 621.83.053.7
Б. П. ТИМОФЕЕВ, В. Ю. ДАЙНЕКО
ШЕСТЕРЕННЫЕ НАСОСЫ С ВНУТРЕННИМ ЦЕВОЧНЫМ ВНЕЦЕНТРОИДНЫМ ЗАЦЕПЛЕНИЕМ
Приведены расчетные формулы для построения профилей пары зубчатых колес внецентроидного цевочного зацепления с разностью чисел зубьев, равной единице. Обосновываются преимущества использования такого зацепления в шестеренных насосах при варьировании размеров цевки.
Ключевые слова: шестеренные насосы, внутреннее зацепление, цевочное зацепление, внецентроидное зацепление.
В планетарных редукторах с большим передаточным отношением давно используется
внецентроидное зацепление с разностью чисел зубьев колес, равной единице [1, 2]. Такое за-
цепление выполняется как цевочное, при
этом профили зубьев размещаются на ок-
Удлиненная эпициклоида
ружностях, смещенных по отношению к цен-
Эквидистанта удлиненной
троидам 1 и 2, как показано на рис. 1, где B0B1 — эпициклоида, K0K1 — эквидистанта удлиненной эпициклоиды D0 D1 , r1 и r2 —
2rц
эпициклоиды
D0 K0
Эпициклоида
радиусы центроид колес. При перекатывании без скольжения центроиды 1 по центроиде 2
точка B0 , жестко связанная с центроидой 2,
D1 K1 B1
B0
описывает эпициклоиду D0 D1 . Радиус цевки
r1
rц = D0K0 .
В рассматриваемом зацеплении в качестве профилей используются полные ветви удлиненной эпициклоиды. На центроиде 1
O1 aw
r2
O2
должно разместиться целое число таких ветвей. Поэтому шаг зубьев по центроиде
1
t = 2π(r2 − r1) = 2πaw , где aw — межосевое расстояние.
2
С другой стороны,
t
=
2πr1 z1
,
Рис. 1
где z1 — целое число ветвей (зубьев), размещаемых на центроиде колеса.
Отсюда
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
62 Б. П. Тимофеев, В. Ю. Дайнеко
r1 = aw z1 , r2 = aw (z1 + 1) , так как r1 r2 = z1 z2 ; z2 = z1 +1 — количество цевок.
Центроиды и профили зубьев во внецентроидном цевочном зацеплении изображены на рис. 2.
1
D1
R1 2
B1 r2 r1
D0
R2
O2 O1 aw
B0
γ
rц
D2
Рис. 2
Преимущества использования в шестеренных насосах внецентроидного цевочного за-
цепления при z2 − z1 = 1 очевидны. Во-первых, такой способ позволяет существенно умень-
шить габариты насоса по сравнению с эвольвентным зацеплением. Так, например [3], мини-
мальная разность чисел зубьев в эвольвентном зацеплении при z1 = 19 , z2 = 23 составляет
z2 − z1 ≥ 4 . Во-вторых, в таком насосе можно не использовать серповидный разделитель [4—6],
так как линии контакта, число которых равно девяти (см. рис. 2), надежно разделяют полости
всасывания и нагнетания рабочей среды. При этом существенно снижается шум насоса, вы-
званный пульсацией давления в конструкциях с серповидным разделителем, и упрощается
конструкция корпуса насоса.
Для построения профилей зубчатых колес внецентроидного цевочного зацепления рас-
смотрим следующие уравнения.
Уравнение удлиненной эпициклоиды запишем в следующем виде:
x1 y1
= =
−RR11csoisn((ϕϕ11−−ϕϕ22))−+((rr22−−r1r1))csoins ϕϕ11,;⎫⎭⎬
(1)
где ϕ1 — угол поворота шестерни, ϕ2 — угол поворота колеса.
Эквидистанта удлиненной эпициклоиды определяется как
xэ = −R1 sin(ϕ1 − ϕ2 ) + (r2 − r1)sin ϕ1 − rцex ;⎪⎫
yэ
=
R1
cos(ϕ1
−
ϕ2 )
− (r2
−
r1) cos ϕ1
−
rц
ey
,
⎬ ⎭⎪
(2)
где ex — проекция нормали в точке эпициклоиды на ось х, ey — проекция нормали в точке
эпициклоиды на ось y.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Шестеренные насосы с внутренним цевочным внецентроидным зацеплением
63
Поскольку центроида 2 перекатывается по центроиде 1 без скольжения, то в соответствии с равенством r1ϕ1 = r2ϕ2 можно записать уравнение
ϕ1
− ϕ2
=
ϕ1
⎛ ⎜
⎝
r2 − r2
r1
⎞ ⎟ ⎠
=
aw r2
ϕ1
=
ϕ1 z2
.
(3)
Кроме того, радиусы R1 и R2 удлиненной эпициклоиды взаимосвязаны (см. рис. 2): R2 = R1 + aw при rц = 2aw .
Перепишем системы уравнений (1) и (2) с учетом выражения (3):
x1 y1
= =
−R1
sin
ϕ1 z2
R1
cos
ϕ1 z2
+ aw sin ϕ1;⎫⎪⎪
⎬
−
aw
cos
ϕ1;
⎪ ⎭⎪
(4)
xэ yэ
= =
−
R1
sin
ϕ1 z2
R1
cos
ϕ1 z2
+ aw sin − aw cos
ϕ1 ϕ1
− −
rц ex rц e y
;⎫⎪⎪ ⎬ .⎪ ⎪⎭
(5)
Записав уравнение нормали в виде ( X − x)
⎛ ⎜ ⎝
∂y ∂y1
⎞ ⎟ ⎠
=
−
(Y
−
y)
⎛ ∂x ⎞
⎜ ⎝
∂y1
⎟ ⎠
и
пронормировав
его, получим
ex
=
∂y ∂y1
=
−aw sin ϕ1
+
R1 z2
sin ϕ1 z2
,
ey
=
−
∂x ∂y1
=
aw cos ϕ1 +
R1 cos ϕ1 z2 z2
.
На окружности радиусом R1 найдем касательные и нормали к профилю D0 D2 и D0 D1
удлиненной эпициклоиды, а затем и угол между ними.
Уравнения касательных
(X
−
x)
∂y ∂y1
− (Y
−
y)
∂x ∂y1
=
0
(6)
перепишем в виде
Y
=
X
⎛ ∂y ⎝⎜ ∂y1
∂x ∂y1
⎞ ⎠⎟
−
x
⎛ ⎝⎜
∂y ∂y1
∂x ∂y1
⎞ ⎠⎟
+
y
или
Y = kX + b ,
(7)
где
b
=
y−
x
⎛ ⎜⎝
∂y ∂y1
∂x ∂y1
⎞ ⎟⎠
;
k
=
∂y ∂y1
∂x ∂y1
=
tgγ ;
здесь
угол
γ
определяет
участок
эквидистанты,
очерченный радиусом rц (см. рис. 2).
При использовании в насосах внутреннего зацепления вопрос о собственно „цевочных“
свойствах не стоит, так как цевки не применяются для замены трения скольжения на трение
качения, для снижения износа, повышения КПД и т.д. Мало того, в зацеплении участвует
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
64 Б. П. Тимофеев, В. Ю. Дайнеко
лишь сектор цевки, ограниченный углом γ . При увеличении радиуса R2 и при rц = 2aw в за-
цеплении используется только часть цевки, составляющая меньше половины ее дуги. Это особенно важно при технологии получения элементов зацепления методами порошковой металлургии.
Важным вопросом является выбор величин z1 и z2 . На рис. 2 показан вариант, когда
z1 = 9 , а z2 = 10 . Угловой шаг шестерни и колеса составляет 40 и 36° соответственно. Другими возможными соотношениями чисел зубьев являются следующие: 8/9, 5/6, 4/5 и т. д.
Следует отметить, что при уменьшении числа зубьев шестерни снижается коэффициент перекрытия: это при отсутствии серповидного разделителя нецелесообразно. Еще раз подчеркнем, что разделение полостей всасывания и нагнетания рабочей среды в этом случае достигается исключительно за счет линейного касания всех пар зубьев, передача же движения осуществляется только половиной всех зубьев.
При решении вопроса о выборе радиуса цевки rц и числа зубьев шестерни z1 необходи-
мо учитывать основные характеристики насоса — напор, расход жидкости (рабочей среды), скорость вращения насоса и т.д. При уменьшении z1 и увеличении rц взаимопересечения
профилей эквидистантны. Пример. Приведем расчет профилей шестерни и колеса при rц = 2aw.
Исходные данные: z1 = 12 ; z2 = 13; aw = 3, 2 мм ; rц = 6, 4 мм .
Тогда r1 = 38, 4 мм ; r2 = 41, 6 мм; R1 = 45,3 мм; R2 = 48,5 мм ; ϕ1 13 = 27,72D.
Согласно формулам (4)—(7) построены профили шестерни, колеса и зацепления (рис. 3, а—в соответственно).
а) rц=6,4
б) rц=6,4
в) 0,5
R1=45,3
27,72° 3,2 R2=48,5
3,2
R2=48,5
Рис. 3
Следует отметить, что увеличение радиуса rц при одновременном увеличении радиусов R1 и R2 может привести к тому, что зацепление будет невозможно.
Итак, рассмотрен вопрос об использовании в шестеренных насосах внутреннего внецентроидного цевочного зацепления. Выявлены преимущества насосов с использованием внутреннего цевочного зацепления с разностью чисел зубьев колеса и шестерни, равной единице. Применение таких передач позволяет уменьшить габариты насоса, снизить шум, упростить конструкцию корпуса и обеспечить ряд технологических преимуществ при изготовлении элементов зацепления.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Новые приборы и устройства для работы со смазочными материалами
65
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Литвин Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений. М.: Наука, 1986. 584 с.
2. Шанников В. М. Планетарные редукторы с внецетроидным зацеплением. М.: Машгиз, 1948. 172 с.
3. Кудрявцев В. Н. Планетарные передачи с цевочным зацеплением. М.: Машиностроение, 1966. 307 с.
4. Лямаев Б. Ф. Гидроструйные насосы и установки. Л.: Машиностроение, 1988. 256 с.
5. Рыбкин Е. А. Шестеренные насосы для металлорежущих станков. М.: Машгиз, 1960. 189 с.
6. Юдин Е. М. Шестеренные насосы. М.: Машиностроение, 1964. 238 с.
Борис Павлович Тимофеев Вячеслав Юрьевич Дайнеко
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный универ-
ситет информационных технологий механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: timborp@rambler.ru — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: zaza.seva@rambler.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 15.06.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
УДК 621.83.053.7
Б. П. ТИМОФЕЕВ, В. Ю. ДАЙНЕКО
ШЕСТЕРЕННЫЕ НАСОСЫ С ВНУТРЕННИМ ЦЕВОЧНЫМ ВНЕЦЕНТРОИДНЫМ ЗАЦЕПЛЕНИЕМ
Приведены расчетные формулы для построения профилей пары зубчатых колес внецентроидного цевочного зацепления с разностью чисел зубьев, равной единице. Обосновываются преимущества использования такого зацепления в шестеренных насосах при варьировании размеров цевки.
Ключевые слова: шестеренные насосы, внутреннее зацепление, цевочное зацепление, внецентроидное зацепление.
В планетарных редукторах с большим передаточным отношением давно используется
внецентроидное зацепление с разностью чисел зубьев колес, равной единице [1, 2]. Такое за-
цепление выполняется как цевочное, при
этом профили зубьев размещаются на ок-
Удлиненная эпициклоида
ружностях, смещенных по отношению к цен-
Эквидистанта удлиненной
троидам 1 и 2, как показано на рис. 1, где B0B1 — эпициклоида, K0K1 — эквидистанта удлиненной эпициклоиды D0 D1 , r1 и r2 —
2rц
эпициклоиды
D0 K0
Эпициклоида
радиусы центроид колес. При перекатывании без скольжения центроиды 1 по центроиде 2
точка B0 , жестко связанная с центроидой 2,
D1 K1 B1
B0
описывает эпициклоиду D0 D1 . Радиус цевки
r1
rц = D0K0 .
В рассматриваемом зацеплении в качестве профилей используются полные ветви удлиненной эпициклоиды. На центроиде 1
O1 aw
r2
O2
должно разместиться целое число таких ветвей. Поэтому шаг зубьев по центроиде
1
t = 2π(r2 − r1) = 2πaw , где aw — межосевое расстояние.
2
С другой стороны,
t
=
2πr1 z1
,
Рис. 1
где z1 — целое число ветвей (зубьев), размещаемых на центроиде колеса.
Отсюда
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
62 Б. П. Тимофеев, В. Ю. Дайнеко
r1 = aw z1 , r2 = aw (z1 + 1) , так как r1 r2 = z1 z2 ; z2 = z1 +1 — количество цевок.
Центроиды и профили зубьев во внецентроидном цевочном зацеплении изображены на рис. 2.
1
D1
R1 2
B1 r2 r1
D0
R2
O2 O1 aw
B0
γ
rц
D2
Рис. 2
Преимущества использования в шестеренных насосах внецентроидного цевочного за-
цепления при z2 − z1 = 1 очевидны. Во-первых, такой способ позволяет существенно умень-
шить габариты насоса по сравнению с эвольвентным зацеплением. Так, например [3], мини-
мальная разность чисел зубьев в эвольвентном зацеплении при z1 = 19 , z2 = 23 составляет
z2 − z1 ≥ 4 . Во-вторых, в таком насосе можно не использовать серповидный разделитель [4—6],
так как линии контакта, число которых равно девяти (см. рис. 2), надежно разделяют полости
всасывания и нагнетания рабочей среды. При этом существенно снижается шум насоса, вы-
званный пульсацией давления в конструкциях с серповидным разделителем, и упрощается
конструкция корпуса насоса.
Для построения профилей зубчатых колес внецентроидного цевочного зацепления рас-
смотрим следующие уравнения.
Уравнение удлиненной эпициклоиды запишем в следующем виде:
x1 y1
= =
−RR11csoisn((ϕϕ11−−ϕϕ22))−+((rr22−−r1r1))csoins ϕϕ11,;⎫⎭⎬
(1)
где ϕ1 — угол поворота шестерни, ϕ2 — угол поворота колеса.
Эквидистанта удлиненной эпициклоиды определяется как
xэ = −R1 sin(ϕ1 − ϕ2 ) + (r2 − r1)sin ϕ1 − rцex ;⎪⎫
yэ
=
R1
cos(ϕ1
−
ϕ2 )
− (r2
−
r1) cos ϕ1
−
rц
ey
,
⎬ ⎭⎪
(2)
где ex — проекция нормали в точке эпициклоиды на ось х, ey — проекция нормали в точке
эпициклоиды на ось y.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Шестеренные насосы с внутренним цевочным внецентроидным зацеплением
63
Поскольку центроида 2 перекатывается по центроиде 1 без скольжения, то в соответствии с равенством r1ϕ1 = r2ϕ2 можно записать уравнение
ϕ1
− ϕ2
=
ϕ1
⎛ ⎜
⎝
r2 − r2
r1
⎞ ⎟ ⎠
=
aw r2
ϕ1
=
ϕ1 z2
.
(3)
Кроме того, радиусы R1 и R2 удлиненной эпициклоиды взаимосвязаны (см. рис. 2): R2 = R1 + aw при rц = 2aw .
Перепишем системы уравнений (1) и (2) с учетом выражения (3):
x1 y1
= =
−R1
sin
ϕ1 z2
R1
cos
ϕ1 z2
+ aw sin ϕ1;⎫⎪⎪
⎬
−
aw
cos
ϕ1;
⎪ ⎭⎪
(4)
xэ yэ
= =
−
R1
sin
ϕ1 z2
R1
cos
ϕ1 z2
+ aw sin − aw cos
ϕ1 ϕ1
− −
rц ex rц e y
;⎫⎪⎪ ⎬ .⎪ ⎪⎭
(5)
Записав уравнение нормали в виде ( X − x)
⎛ ⎜ ⎝
∂y ∂y1
⎞ ⎟ ⎠
=
−
(Y
−
y)
⎛ ∂x ⎞
⎜ ⎝
∂y1
⎟ ⎠
и
пронормировав
его, получим
ex
=
∂y ∂y1
=
−aw sin ϕ1
+
R1 z2
sin ϕ1 z2
,
ey
=
−
∂x ∂y1
=
aw cos ϕ1 +
R1 cos ϕ1 z2 z2
.
На окружности радиусом R1 найдем касательные и нормали к профилю D0 D2 и D0 D1
удлиненной эпициклоиды, а затем и угол между ними.
Уравнения касательных
(X
−
x)
∂y ∂y1
− (Y
−
y)
∂x ∂y1
=
0
(6)
перепишем в виде
Y
=
X
⎛ ∂y ⎝⎜ ∂y1
∂x ∂y1
⎞ ⎠⎟
−
x
⎛ ⎝⎜
∂y ∂y1
∂x ∂y1
⎞ ⎠⎟
+
y
или
Y = kX + b ,
(7)
где
b
=
y−
x
⎛ ⎜⎝
∂y ∂y1
∂x ∂y1
⎞ ⎟⎠
;
k
=
∂y ∂y1
∂x ∂y1
=
tgγ ;
здесь
угол
γ
определяет
участок
эквидистанты,
очерченный радиусом rц (см. рис. 2).
При использовании в насосах внутреннего зацепления вопрос о собственно „цевочных“
свойствах не стоит, так как цевки не применяются для замены трения скольжения на трение
качения, для снижения износа, повышения КПД и т.д. Мало того, в зацеплении участвует
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
64 Б. П. Тимофеев, В. Ю. Дайнеко
лишь сектор цевки, ограниченный углом γ . При увеличении радиуса R2 и при rц = 2aw в за-
цеплении используется только часть цевки, составляющая меньше половины ее дуги. Это особенно важно при технологии получения элементов зацепления методами порошковой металлургии.
Важным вопросом является выбор величин z1 и z2 . На рис. 2 показан вариант, когда
z1 = 9 , а z2 = 10 . Угловой шаг шестерни и колеса составляет 40 и 36° соответственно. Другими возможными соотношениями чисел зубьев являются следующие: 8/9, 5/6, 4/5 и т. д.
Следует отметить, что при уменьшении числа зубьев шестерни снижается коэффициент перекрытия: это при отсутствии серповидного разделителя нецелесообразно. Еще раз подчеркнем, что разделение полостей всасывания и нагнетания рабочей среды в этом случае достигается исключительно за счет линейного касания всех пар зубьев, передача же движения осуществляется только половиной всех зубьев.
При решении вопроса о выборе радиуса цевки rц и числа зубьев шестерни z1 необходи-
мо учитывать основные характеристики насоса — напор, расход жидкости (рабочей среды), скорость вращения насоса и т.д. При уменьшении z1 и увеличении rц взаимопересечения
профилей эквидистантны. Пример. Приведем расчет профилей шестерни и колеса при rц = 2aw.
Исходные данные: z1 = 12 ; z2 = 13; aw = 3, 2 мм ; rц = 6, 4 мм .
Тогда r1 = 38, 4 мм ; r2 = 41, 6 мм; R1 = 45,3 мм; R2 = 48,5 мм ; ϕ1 13 = 27,72D.
Согласно формулам (4)—(7) построены профили шестерни, колеса и зацепления (рис. 3, а—в соответственно).
а) rц=6,4
б) rц=6,4
в) 0,5
R1=45,3
27,72° 3,2 R2=48,5
3,2
R2=48,5
Рис. 3
Следует отметить, что увеличение радиуса rц при одновременном увеличении радиусов R1 и R2 может привести к тому, что зацепление будет невозможно.
Итак, рассмотрен вопрос об использовании в шестеренных насосах внутреннего внецентроидного цевочного зацепления. Выявлены преимущества насосов с использованием внутреннего цевочного зацепления с разностью чисел зубьев колеса и шестерни, равной единице. Применение таких передач позволяет уменьшить габариты насоса, снизить шум, упростить конструкцию корпуса и обеспечить ряд технологических преимуществ при изготовлении элементов зацепления.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Новые приборы и устройства для работы со смазочными материалами
65
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Литвин Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений. М.: Наука, 1986. 584 с.
2. Шанников В. М. Планетарные редукторы с внецетроидным зацеплением. М.: Машгиз, 1948. 172 с.
3. Кудрявцев В. Н. Планетарные передачи с цевочным зацеплением. М.: Машиностроение, 1966. 307 с.
4. Лямаев Б. Ф. Гидроструйные насосы и установки. Л.: Машиностроение, 1988. 256 с.
5. Рыбкин Е. А. Шестеренные насосы для металлорежущих станков. М.: Машгиз, 1960. 189 с.
6. Юдин Е. М. Шестеренные насосы. М.: Машиностроение, 1964. 238 с.
Борис Павлович Тимофеев Вячеслав Юрьевич Дайнеко
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный универ-
ситет информационных технологий механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: timborp@rambler.ru — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: zaza.seva@rambler.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 15.06.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2