КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ
К 110-летию СПбГУ ИТМО
УДК 681.5.015
П. А. ДМИТРИЕВ, В. М. МУСАЛИМОВ
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ
Изучена динамика плоского движения автомобиля. Определены параметры, устанавливающие возможность мониторинга движения с использованием датчиков скорости и ускорения.
Ключевые слова: плоское движение автомобиля, датчик угловой скорости, угол поворота, угловая скорость, сила трения, обратная связь.
В основе функционирования систем управления движением лежит принцип сопоставления параметров реального движения с программируемым. Речь идет не о системе глобальной навигации, а об инерциальной системе отсчета, связанной с автомобилем. Текущие параметры движения автомобиля определяются с помощью углов поворота передних управляемых колес автомобиля и вычисляются системой датчиков, на основании чего вырабатывается управляющий сигнал корректировки безопасного курса.
Динамика плоского движения автомобиля. Рассмотрим расчетную схему движения автомобиля [см. лит.]. На рис. 1 представлен вид сверху плоской модели автомобиля с управляемыми передними колесами. Введены две системы координат: Oxyz — неподвижная,
Oxy — плоскость движения автомобиля, а ось Oz направлена на читателя; Gξηζ — под-
вижная система координат, жестко связанная с кузовом автомобиля, G — центр масс автомобиля, ось Gξ направлена по продольной оси AB автомобиля, ось Gη перпендикулярна ей,
а ось Gζ направлена на читателя. Пусть ϕ — угол, образуемый продольной осью AB с осью
Ox , а θ — угол поворота передних колес относительно продольной оси AB . Внешние силы, приложенные к автомобилю: FB — равнодействующая продольных сил реакций дороги, приложенных к задним колесам; RB — равнодействующая поперечных сил реакций дороги, приложенных к задним колесам; RA — равнодействующая поперечных сил реакций дороги, приложенных к передним колесам.
Получено [см. лит.] определяющее дифференциальное уравнение для функции ϕ(t) :
ϕ
=
l
ctgθ
⎡ ⎢ ⎣
lθ ϕ sin2 θ
+
FB m
k 2 +l2ctg2θ
⎤ ⎥ ⎦
,
где k — радиус инерции кузова относительно точки B , l = a + b .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 3
Кинематические и динамические параметры движения автомобиля
79
Если решение уравнения ϕ(t) получено, то находим vξ и vη — проекции вектора скорости. Затем по формулам преобразования координат для неподвижной системы координат Oxyz получим
x&G = vξ cos ϕ−vη sin ϕ = ϕ& l ctgθ cos ϕ−ϕ& b sin ϕ , y&G = vξ sin ϕ+vη cos ϕ = ϕ& l ctgθsin ϕ−ϕ& b cos ϕ .
θ
RA
y ηA ξ
νB G
a
FB B
b
RB ζ
z ϕ
Ox
Рис. 1
Поскольку θ есть функция времени, примем θ(t) = kt (в целях линеаризации уравнения движения), тогда дифференциальное уравнение для функции ϕ(t) принимает вид:
d 2ϕ dt 2
=
d dt
⎡ ⎣⎢
d d
ϕ θ
⋅
dθ dt
⎤ ⎦⎥
=
d dt
⋅
dϕ dθ
+
dϕ dθ
⋅
d 2θ dt
=
d d
2ϕ θ2
⎛ ⎝⎜
dθ dt
⎞2 ⎠⎟
+
dϕ dθ
⋅
d 2θ dt
.
Угол θ как угол поворота передних колес автомобиля не может выходить за пределы интервала 0≤ θ≤ π 2 , что позволяет линеаризовать ctgθ, ctg2θ, sin2 θ в дифференциальном уравне-
нии движения. Окончательно уравнение движения примет следующий вид:
ϕ&& =
l
(π
− 2t
)
⎛ ⎝⎜
at
2
lϕ& +bt
+
c
+
k 2 +l2 (π−2t)2
FB m
⎞ ⎠⎟
.
Для исходных данных ( a = 2; b = 0; c =1; k = 0,8; l =1; π = 3,14; FB = 200; m = 250 ) получены законы изменения ϕ(t) и ω(ϕ) , проиллюстрированные на рис. 2 и 3. На рис. 2 приведена за-
висимость угла поворота автомобиля от времени ϕ(t) . На рис. 3 представлена зависимость
угловой скорости вращения от угла поворота автомобиля. Таким образом, получены зависимости угловой скорости и ускорения автомобиля в
функции угла поворота передних колес и равнодействующей FB . С помощью уравнений находятся и реакции опор. Для создания системы управления автомобилем без проскальзывания
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 3
80 П. А. Дмитриев, В. М. Мусалимов при повороте необходимо отслеживать угловую скорость задних колес и сопоставлять ее значения с законом ϕ(θ) (преобразуя угловую скорость поворота автомобиля вокруг своей оси в угловые скорости задних колес). При отклонении от данного закона необходимо распределять нагрузку между задними колесами или с помощью коробки передач изменять соотношение крутящего момента и скорости вращения задних колес. Важную роль при этом играют вибрационные датчики угловой скорости. Один из датчиков размещают в окрестности центра масс автомобиля, обратная связь осуществляется по кривой зависимости „угол поворота колес—угловая скорость“ с учетом скорости вращения задних колес (равнодействующей FB ).
ϕ, рад
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Рис. 2
ω(ϕ), рад/с 0,6
1,2 1,4 t, с
0,4
0,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 ϕ, рад
Рис. 3
Парциальные силы трения (движение без проскальзывания). Далее целесообразно определить парциальные силы трения для дальнейшей коррекции движения. Найдем значения скорости и ускорения центра масс (ЦМ), силы трения, действующей на каждое колесо: Fтр1 , Fтр2 , Fтр3 и Fтр4 . Расчетная схема задачи приведена на рис. 4.
Так как движение происходит без проскальзывания, мгновенный центр скоростей (МЦС) должен лежать на прямой Ox , а углы θ1 и θ2 подобраны таким образом, что прямые, перпендикулярные направлению векторов линейных скоростей передних колес, пересекаются на оси Ox (если ось проходит через центры задних колес). На рис. 4 обозначены расстоя-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 3
Кинематические и динамические параметры движения автомобиля
81
ния от МЦС до каждого из четырех колес: h1, h2 , h3 и h4 . Обозначим расстояния от центра масс до колес — d1 , d2 , d3 и d4 соответственно.
ν2
ν1
θ1 θ2
Fтр1
νЦМ
Fтр2
y
h1
ω1 h2
d1 A аЦМ
ω2 d2
a1 a
hЦМ x α θ2 θ1
d4
d3 B
О h4
Fтр4
Fтр3
b1
h3 b
Рис. 4
Найдем значение h4 из треугольника, обозначенного точками h4 , h1 и a :
tgθ1
=
a h4
или
tgθ2
=
a h4 +b
,
рассчитаем h2
h2 = a 2 + (h4 + b)2 .
Найдем расстояние от МЦС до центра масс
Вычислим угол α : далее получим
hЦМ =
(a − a1 )2
+
⎛ ⎜⎝
h4
+
b 2
+ b1
⎞2 ⎠⎟
.
tgα
=
a − a1
h4
+
b 2
+b1
,
d4 = hЦМ2 + h42 −2hЦМ h4 cos α ,
d3 = hЦМ2 +(h4 +b)2 −2hЦМ (h4 +b) cos α ,
h1 = h42 + a 2 ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 3
82 П. А. Дмитриев, В. М. Мусалимов
d1 = h12 + hЦМ2 −2h1hЦМ cos(θ1 −α) ,
d2 = h22 + hЦМ2 −2h2hЦМ cos(θ2 −α) .
Все точки системы движутся с постоянной угловой скоростью
ω = ν1h1 = ω1rh1
и линейная скорость центра масс равна
νЦМ = ωhЦМ .
Центростремительное ускорение определим следующим образом:
aЦМ
=
νЦМ2 hЦМ
= ω2hЦМ
.
Приведенные значения массы колес вычисляются по формулам
m1
=
m d1 + d2 + d3 + d4
d1 ,
m2
=
m d1 + d2 + d3 + d4
d2 ,
m3
=
d1 + d2
m + d3
+d4
d3
,
m4
=
d1 + d2
m + d3
+d4
d4 .
Вычислим значения силы трения:
Fтр1 = m1aЦМ1 = m1ω2h1 , Fтр2 = m2aЦМ2 = m2ω2h2 ,
Fтр3 = m3aЦМ3 = m3ω2h3 , Fтр4 = m4aЦМ4 = m4ω2h4
Таким образом, постоянно получая с датчиков данные о положении передних колес, скорости вращения колес и распределения массы, можно вычислять значения силы реакции опоры (силы трения). Задача нахождения углового ускорения при известной равнодействующей продольной силы реакции требует дополнительного рассмотрения. Установлено, что достаточно эффективно система управления может быть аппаратно реализована с использованием обратной связи по зависимости „угол поворота колес—угловая скорость“. Для дополнительной коррекции систем управления целесообразно использовать парциальные составляющие сил трения.
ЛИТЕРАТУРА
Розенблат Г. М. Гироскопические эффекты в механике твердых тел. М.: Едиториал УРСС, 2003. 96 с.
Павел Александрович Дмитриев Виктор Михайлович Мусалимов
Сведения об авторах — студент; Санкт-Петербургский государственный университет инфор-
мационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: musalimov@mail.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 25.12.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 3
УДК 681.5.015
П. А. ДМИТРИЕВ, В. М. МУСАЛИМОВ
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ
Изучена динамика плоского движения автомобиля. Определены параметры, устанавливающие возможность мониторинга движения с использованием датчиков скорости и ускорения.
Ключевые слова: плоское движение автомобиля, датчик угловой скорости, угол поворота, угловая скорость, сила трения, обратная связь.
В основе функционирования систем управления движением лежит принцип сопоставления параметров реального движения с программируемым. Речь идет не о системе глобальной навигации, а об инерциальной системе отсчета, связанной с автомобилем. Текущие параметры движения автомобиля определяются с помощью углов поворота передних управляемых колес автомобиля и вычисляются системой датчиков, на основании чего вырабатывается управляющий сигнал корректировки безопасного курса.
Динамика плоского движения автомобиля. Рассмотрим расчетную схему движения автомобиля [см. лит.]. На рис. 1 представлен вид сверху плоской модели автомобиля с управляемыми передними колесами. Введены две системы координат: Oxyz — неподвижная,
Oxy — плоскость движения автомобиля, а ось Oz направлена на читателя; Gξηζ — под-
вижная система координат, жестко связанная с кузовом автомобиля, G — центр масс автомобиля, ось Gξ направлена по продольной оси AB автомобиля, ось Gη перпендикулярна ей,
а ось Gζ направлена на читателя. Пусть ϕ — угол, образуемый продольной осью AB с осью
Ox , а θ — угол поворота передних колес относительно продольной оси AB . Внешние силы, приложенные к автомобилю: FB — равнодействующая продольных сил реакций дороги, приложенных к задним колесам; RB — равнодействующая поперечных сил реакций дороги, приложенных к задним колесам; RA — равнодействующая поперечных сил реакций дороги, приложенных к передним колесам.
Получено [см. лит.] определяющее дифференциальное уравнение для функции ϕ(t) :
ϕ
=
l
ctgθ
⎡ ⎢ ⎣
lθ ϕ sin2 θ
+
FB m
k 2 +l2ctg2θ
⎤ ⎥ ⎦
,
где k — радиус инерции кузова относительно точки B , l = a + b .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 3
Кинематические и динамические параметры движения автомобиля
79
Если решение уравнения ϕ(t) получено, то находим vξ и vη — проекции вектора скорости. Затем по формулам преобразования координат для неподвижной системы координат Oxyz получим
x&G = vξ cos ϕ−vη sin ϕ = ϕ& l ctgθ cos ϕ−ϕ& b sin ϕ , y&G = vξ sin ϕ+vη cos ϕ = ϕ& l ctgθsin ϕ−ϕ& b cos ϕ .
θ
RA
y ηA ξ
νB G
a
FB B
b
RB ζ
z ϕ
Ox
Рис. 1
Поскольку θ есть функция времени, примем θ(t) = kt (в целях линеаризации уравнения движения), тогда дифференциальное уравнение для функции ϕ(t) принимает вид:
d 2ϕ dt 2
=
d dt
⎡ ⎣⎢
d d
ϕ θ
⋅
dθ dt
⎤ ⎦⎥
=
d dt
⋅
dϕ dθ
+
dϕ dθ
⋅
d 2θ dt
=
d d
2ϕ θ2
⎛ ⎝⎜
dθ dt
⎞2 ⎠⎟
+
dϕ dθ
⋅
d 2θ dt
.
Угол θ как угол поворота передних колес автомобиля не может выходить за пределы интервала 0≤ θ≤ π 2 , что позволяет линеаризовать ctgθ, ctg2θ, sin2 θ в дифференциальном уравне-
нии движения. Окончательно уравнение движения примет следующий вид:
ϕ&& =
l
(π
− 2t
)
⎛ ⎝⎜
at
2
lϕ& +bt
+
c
+
k 2 +l2 (π−2t)2
FB m
⎞ ⎠⎟
.
Для исходных данных ( a = 2; b = 0; c =1; k = 0,8; l =1; π = 3,14; FB = 200; m = 250 ) получены законы изменения ϕ(t) и ω(ϕ) , проиллюстрированные на рис. 2 и 3. На рис. 2 приведена за-
висимость угла поворота автомобиля от времени ϕ(t) . На рис. 3 представлена зависимость
угловой скорости вращения от угла поворота автомобиля. Таким образом, получены зависимости угловой скорости и ускорения автомобиля в
функции угла поворота передних колес и равнодействующей FB . С помощью уравнений находятся и реакции опор. Для создания системы управления автомобилем без проскальзывания
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 3
80 П. А. Дмитриев, В. М. Мусалимов при повороте необходимо отслеживать угловую скорость задних колес и сопоставлять ее значения с законом ϕ(θ) (преобразуя угловую скорость поворота автомобиля вокруг своей оси в угловые скорости задних колес). При отклонении от данного закона необходимо распределять нагрузку между задними колесами или с помощью коробки передач изменять соотношение крутящего момента и скорости вращения задних колес. Важную роль при этом играют вибрационные датчики угловой скорости. Один из датчиков размещают в окрестности центра масс автомобиля, обратная связь осуществляется по кривой зависимости „угол поворота колес—угловая скорость“ с учетом скорости вращения задних колес (равнодействующей FB ).
ϕ, рад
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Рис. 2
ω(ϕ), рад/с 0,6
1,2 1,4 t, с
0,4
0,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 ϕ, рад
Рис. 3
Парциальные силы трения (движение без проскальзывания). Далее целесообразно определить парциальные силы трения для дальнейшей коррекции движения. Найдем значения скорости и ускорения центра масс (ЦМ), силы трения, действующей на каждое колесо: Fтр1 , Fтр2 , Fтр3 и Fтр4 . Расчетная схема задачи приведена на рис. 4.
Так как движение происходит без проскальзывания, мгновенный центр скоростей (МЦС) должен лежать на прямой Ox , а углы θ1 и θ2 подобраны таким образом, что прямые, перпендикулярные направлению векторов линейных скоростей передних колес, пересекаются на оси Ox (если ось проходит через центры задних колес). На рис. 4 обозначены расстоя-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 3
Кинематические и динамические параметры движения автомобиля
81
ния от МЦС до каждого из четырех колес: h1, h2 , h3 и h4 . Обозначим расстояния от центра масс до колес — d1 , d2 , d3 и d4 соответственно.
ν2
ν1
θ1 θ2
Fтр1
νЦМ
Fтр2
y
h1
ω1 h2
d1 A аЦМ
ω2 d2
a1 a
hЦМ x α θ2 θ1
d4
d3 B
О h4
Fтр4
Fтр3
b1
h3 b
Рис. 4
Найдем значение h4 из треугольника, обозначенного точками h4 , h1 и a :
tgθ1
=
a h4
или
tgθ2
=
a h4 +b
,
рассчитаем h2
h2 = a 2 + (h4 + b)2 .
Найдем расстояние от МЦС до центра масс
Вычислим угол α : далее получим
hЦМ =
(a − a1 )2
+
⎛ ⎜⎝
h4
+
b 2
+ b1
⎞2 ⎠⎟
.
tgα
=
a − a1
h4
+
b 2
+b1
,
d4 = hЦМ2 + h42 −2hЦМ h4 cos α ,
d3 = hЦМ2 +(h4 +b)2 −2hЦМ (h4 +b) cos α ,
h1 = h42 + a 2 ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 3
82 П. А. Дмитриев, В. М. Мусалимов
d1 = h12 + hЦМ2 −2h1hЦМ cos(θ1 −α) ,
d2 = h22 + hЦМ2 −2h2hЦМ cos(θ2 −α) .
Все точки системы движутся с постоянной угловой скоростью
ω = ν1h1 = ω1rh1
и линейная скорость центра масс равна
νЦМ = ωhЦМ .
Центростремительное ускорение определим следующим образом:
aЦМ
=
νЦМ2 hЦМ
= ω2hЦМ
.
Приведенные значения массы колес вычисляются по формулам
m1
=
m d1 + d2 + d3 + d4
d1 ,
m2
=
m d1 + d2 + d3 + d4
d2 ,
m3
=
d1 + d2
m + d3
+d4
d3
,
m4
=
d1 + d2
m + d3
+d4
d4 .
Вычислим значения силы трения:
Fтр1 = m1aЦМ1 = m1ω2h1 , Fтр2 = m2aЦМ2 = m2ω2h2 ,
Fтр3 = m3aЦМ3 = m3ω2h3 , Fтр4 = m4aЦМ4 = m4ω2h4
Таким образом, постоянно получая с датчиков данные о положении передних колес, скорости вращения колес и распределения массы, можно вычислять значения силы реакции опоры (силы трения). Задача нахождения углового ускорения при известной равнодействующей продольной силы реакции требует дополнительного рассмотрения. Установлено, что достаточно эффективно система управления может быть аппаратно реализована с использованием обратной связи по зависимости „угол поворота колес—угловая скорость“. Для дополнительной коррекции систем управления целесообразно использовать парциальные составляющие сил трения.
ЛИТЕРАТУРА
Розенблат Г. М. Гироскопические эффекты в механике твердых тел. М.: Едиториал УРСС, 2003. 96 с.
Павел Александрович Дмитриев Виктор Михайлович Мусалимов
Сведения об авторах — студент; Санкт-Петербургский государственный университет инфор-
мационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: musalimov@mail.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 25.12.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 3