МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ РОГОВОЙ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗА ЧЕЛОВЕКА
Математическое моделирование напряженного состояния роговой оболочки глаза человека 15
УДК 535.551
К. Ю. КУЗНЕЦОВ, Ю. Т. НАГИБИН, В. А. ТРОФИМОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ РОГОВОЙ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗА ЧЕЛОВЕКА
Рассматривается возможность использования информации о напряженнодеформированном состоянии глаза человека для диагностики офтальмологических заболеваний. Описывается математическая модель напряженно-деформированного состояния глаза. Приведены результаты математического моделирования картины интерференции поляризованного света.
Ключевые слова: офтальмология, диагностика, напряженно-деформированное состояние глаза.
Лечение широко распространенного заболевания глаз — глаукомы — остается актуаль-
ной проблемой и в настоящее время. Глаукома опасна тем, что проявляется на ранних стади-
ях заболевания лишь повышением внутриглазного давления.
Для диагностики глаукомы используются „бесконтактные“ оптико-электронные тоно-
метры [1], в основе действия которых лежит пневматическая аппланация (от англ. applanation —
уплощение) роговицы глаза, что позволяет установить значение внутриглазного давления.
Данный метод можно назвать бесконтактным лишь условно, так как на глаз действует пнев-
матический импульс, а вследствие инерционности воздействия происходит нежелательная
избыточная деформация роговицы глаза.
Известны также проводимые с помощью офтальмологического поляриметра [2] иссле-
дования картины интерференции поляризованного света, представляющей собой результат
двойного прохождения лучей через роговицу глаза при их отражении от радужной оболочки.
Наблюдаемая картина интерференции, отображающая напряженно-деформированное состоя-
ние роговицы глаза, позволяет выявить различного рода патологии и, следовательно, обеспе-
чить возможность их диагностики [3].
Картина интерференции формируется в результате одновременного интегрального дей-
ствия различных факторов, определяющих напряженное состояние тканей роговицы. Раз-
дельное действие каждого из этих факторов невозможно определить экспериментально. Эта
проблема может быть решена численными исследованиями на основе математической моде-
ли процессов взаимодействия поляризованного излучения с тканями роговицы глаза.
Математическое моделирование целесообразно осуществлять, поэтапно исследуя влия-
ние силовых факторов на напряженно-деформированное состояние роговицы и уточняя гео-
метрию оболочек глаза [4].
Распределения по полю роговицы нормальных усилий, вызванных действием глазодви-
гательных мышц и внутриглазным давлением, зависят от обеих сферических координат θ и ϕ (рис. 1, здесь а и б — усилия, действующие вдоль меридианов и вдоль параллелей соответст-
венно):
T1
(θ,
ϕ)
=
T1∗
+T1k
+T1с
=
T1∗
+
⎛ ⎝⎜
Sat0 sin 2
θ
+
Sat1
cos
4ϕ⋅sin
θ
⎞ ⎟⎠
;
T2
(θ,
ϕ)
= T2∗
+T2k
+T2с
=
T2∗
+T2k
−⎜⎛⎝
Sat0 sin 2
θ
+
Sat1
cos
4ϕ⋅sin
θ
⎞ ⎠⎟
,
где
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 4
16 К. Ю. Кузнецов, Ю. Т. Нагибин, В. А. Трофимов
at0
=
S
3 sin
2
θ
,
at1
=
S
5 sin2
θ
,
S
=
−E h
R (1+ν)
.
В приведенных формулах: E — модуль Юнга, ν — коэффициент Пуассона, R — радиус роговицы, h — толщина роговицы; символом „*“ обозначены величины, характеризующие
основное напряженное состояние, „k“ — напряжения при краевом эффекте, „с“ — тангенци-
альные напряжения [5].
а) T1(θ, ϕ), Н/м
б) T2(θ, ϕ), Н/м
–13,6
–13,5
–13,4
0
–13,3 –2
2
Y, мм
–13,6
–13,5
–13,4 –13,3
0 –2
2 Y, мм
–4 –2 0
24
Х, мм
–4 –2 0
2 4 Х, мм
Рис. 1
При фурье-разложении функции силового воздействия глазодвигательных мышц можно допустить, что силовое воздействие определено зависимостью:
f (ϕ) =(1+cos 4ϕ)t,
где t — постоянная, принимаемая в расчетах равной примерно 0,0667. Распределение по полю роговицы уровней относительной интенсивности расчетной
картины интерференции, наблюдаемой при настройке кругового полярископа в скрещенном состоянии, содержит полосы в виде концентрических окружностей (рис. 2). При возрастании внутриглазного давления у лимба роговицы возникают новые полосы, которые смещаются к центру и сгущаются по краям поля; максимум интенсивности отображается белым фоном, минимум — черным.
а) б)
Y, мм 4
Y, мм 4
22 00
–2 –2
–4 –4
–4 –2 0 2
4 Х, мм
–4 –2 0 2
4 Х, мм
Рис. 2
При исследовании влияния глазодвигательных мышц наблюдаются различия при их симметричном и несимметричном действиях. В первом случае (рис. 2, а) интерференционная картина роговицы содержит полосы ромбовидного очертания, во втором случае (рис. 2, б) наблюдается симметрия относительно медиальной мышцы.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 4
Математическое моделирование напряженного состояния роговой оболочки глаза человека 17
Результаты математического моделирования напряженного состояния роговицы могут быть использованы для определения значения внутриглазного давления или получения информации о других частных причинах патологии. Создание библиотеки расчетных картин интерференции позволит офтальмологам более точно установить диагноз заболеваний пациента.
Авторы выражают благодарность канд. техн. наук О. А. Шеломовой за помощь в проведении расчетов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Forbes M., Piko G., Grolman B. A noncontact applаnation tonometer// Arch. Ophthalmol. 1974. Vol. 91, N 2. P. 134—140.
2. Журавлев А. И., Малышев Л. К. Офтальмологический поляриметр // Оптич. журн. 1994. № 12. C. 71—75.
3. Тамарова Р. М. Оптические приборы для исследования глаза. М.: Медицина, 1982.
4. Галилеева П. С., Трофимов В. А., Шеломова О. А. Математическое моделирование наведенного двулучепреломления фиброзной оболочки глаза человека // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т. 46, № 6. C. 9—14.
5. Бегун П. И., Шукейло Ю. А. Биомеханика: Учеб. пособие. СПб: СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 1996.
Константин Юрьевич Кузнецов Юрий Тихонович Нагибин Владимир Анатольевич Трофимов
Сведения об авторах — студент; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра твердотельной оптоэлектроники; E-mail: ckyznetsov@gmail.com — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра твердотельной оптоэлектроники; E-mail: nagibin77@mail.ru — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра твердотельной оптоэлектроники; E-mail: troftu@mail.ru
Рекомендована кафедрой твердотельной оптоэлектроники
Поступила в редакцию 07.12.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 4
УДК 535.551
К. Ю. КУЗНЕЦОВ, Ю. Т. НАГИБИН, В. А. ТРОФИМОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ РОГОВОЙ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗА ЧЕЛОВЕКА
Рассматривается возможность использования информации о напряженнодеформированном состоянии глаза человека для диагностики офтальмологических заболеваний. Описывается математическая модель напряженно-деформированного состояния глаза. Приведены результаты математического моделирования картины интерференции поляризованного света.
Ключевые слова: офтальмология, диагностика, напряженно-деформированное состояние глаза.
Лечение широко распространенного заболевания глаз — глаукомы — остается актуаль-
ной проблемой и в настоящее время. Глаукома опасна тем, что проявляется на ранних стади-
ях заболевания лишь повышением внутриглазного давления.
Для диагностики глаукомы используются „бесконтактные“ оптико-электронные тоно-
метры [1], в основе действия которых лежит пневматическая аппланация (от англ. applanation —
уплощение) роговицы глаза, что позволяет установить значение внутриглазного давления.
Данный метод можно назвать бесконтактным лишь условно, так как на глаз действует пнев-
матический импульс, а вследствие инерционности воздействия происходит нежелательная
избыточная деформация роговицы глаза.
Известны также проводимые с помощью офтальмологического поляриметра [2] иссле-
дования картины интерференции поляризованного света, представляющей собой результат
двойного прохождения лучей через роговицу глаза при их отражении от радужной оболочки.
Наблюдаемая картина интерференции, отображающая напряженно-деформированное состоя-
ние роговицы глаза, позволяет выявить различного рода патологии и, следовательно, обеспе-
чить возможность их диагностики [3].
Картина интерференции формируется в результате одновременного интегрального дей-
ствия различных факторов, определяющих напряженное состояние тканей роговицы. Раз-
дельное действие каждого из этих факторов невозможно определить экспериментально. Эта
проблема может быть решена численными исследованиями на основе математической моде-
ли процессов взаимодействия поляризованного излучения с тканями роговицы глаза.
Математическое моделирование целесообразно осуществлять, поэтапно исследуя влия-
ние силовых факторов на напряженно-деформированное состояние роговицы и уточняя гео-
метрию оболочек глаза [4].
Распределения по полю роговицы нормальных усилий, вызванных действием глазодви-
гательных мышц и внутриглазным давлением, зависят от обеих сферических координат θ и ϕ (рис. 1, здесь а и б — усилия, действующие вдоль меридианов и вдоль параллелей соответст-
венно):
T1
(θ,
ϕ)
=
T1∗
+T1k
+T1с
=
T1∗
+
⎛ ⎝⎜
Sat0 sin 2
θ
+
Sat1
cos
4ϕ⋅sin
θ
⎞ ⎟⎠
;
T2
(θ,
ϕ)
= T2∗
+T2k
+T2с
=
T2∗
+T2k
−⎜⎛⎝
Sat0 sin 2
θ
+
Sat1
cos
4ϕ⋅sin
θ
⎞ ⎠⎟
,
где
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 4
16 К. Ю. Кузнецов, Ю. Т. Нагибин, В. А. Трофимов
at0
=
S
3 sin
2
θ
,
at1
=
S
5 sin2
θ
,
S
=
−E h
R (1+ν)
.
В приведенных формулах: E — модуль Юнга, ν — коэффициент Пуассона, R — радиус роговицы, h — толщина роговицы; символом „*“ обозначены величины, характеризующие
основное напряженное состояние, „k“ — напряжения при краевом эффекте, „с“ — тангенци-
альные напряжения [5].
а) T1(θ, ϕ), Н/м
б) T2(θ, ϕ), Н/м
–13,6
–13,5
–13,4
0
–13,3 –2
2
Y, мм
–13,6
–13,5
–13,4 –13,3
0 –2
2 Y, мм
–4 –2 0
24
Х, мм
–4 –2 0
2 4 Х, мм
Рис. 1
При фурье-разложении функции силового воздействия глазодвигательных мышц можно допустить, что силовое воздействие определено зависимостью:
f (ϕ) =(1+cos 4ϕ)t,
где t — постоянная, принимаемая в расчетах равной примерно 0,0667. Распределение по полю роговицы уровней относительной интенсивности расчетной
картины интерференции, наблюдаемой при настройке кругового полярископа в скрещенном состоянии, содержит полосы в виде концентрических окружностей (рис. 2). При возрастании внутриглазного давления у лимба роговицы возникают новые полосы, которые смещаются к центру и сгущаются по краям поля; максимум интенсивности отображается белым фоном, минимум — черным.
а) б)
Y, мм 4
Y, мм 4
22 00
–2 –2
–4 –4
–4 –2 0 2
4 Х, мм
–4 –2 0 2
4 Х, мм
Рис. 2
При исследовании влияния глазодвигательных мышц наблюдаются различия при их симметричном и несимметричном действиях. В первом случае (рис. 2, а) интерференционная картина роговицы содержит полосы ромбовидного очертания, во втором случае (рис. 2, б) наблюдается симметрия относительно медиальной мышцы.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 4
Математическое моделирование напряженного состояния роговой оболочки глаза человека 17
Результаты математического моделирования напряженного состояния роговицы могут быть использованы для определения значения внутриглазного давления или получения информации о других частных причинах патологии. Создание библиотеки расчетных картин интерференции позволит офтальмологам более точно установить диагноз заболеваний пациента.
Авторы выражают благодарность канд. техн. наук О. А. Шеломовой за помощь в проведении расчетов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Forbes M., Piko G., Grolman B. A noncontact applаnation tonometer// Arch. Ophthalmol. 1974. Vol. 91, N 2. P. 134—140.
2. Журавлев А. И., Малышев Л. К. Офтальмологический поляриметр // Оптич. журн. 1994. № 12. C. 71—75.
3. Тамарова Р. М. Оптические приборы для исследования глаза. М.: Медицина, 1982.
4. Галилеева П. С., Трофимов В. А., Шеломова О. А. Математическое моделирование наведенного двулучепреломления фиброзной оболочки глаза человека // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т. 46, № 6. C. 9—14.
5. Бегун П. И., Шукейло Ю. А. Биомеханика: Учеб. пособие. СПб: СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 1996.
Константин Юрьевич Кузнецов Юрий Тихонович Нагибин Владимир Анатольевич Трофимов
Сведения об авторах — студент; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра твердотельной оптоэлектроники; E-mail: ckyznetsov@gmail.com — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра твердотельной оптоэлектроники; E-mail: nagibin77@mail.ru — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра твердотельной оптоэлектроники; E-mail: troftu@mail.ru
Рекомендована кафедрой твердотельной оптоэлектроники
Поступила в редакцию 07.12.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 4