СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ КРУЖКА РАССЕЯНИЯ БЕЗАБЕРРАЦИОННОГО ОБЪЕКТИВА
Сравнение различных аппроксимаций кружка рассеяния безаберрационного объектива 47
УДК 621(397)
Е. В. ЗАЙЦЕВА
СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ КРУЖКА РАССЕЯНИЯ БЕЗАБЕРРАЦИОННОГО ОБЪЕКТИВА
Рассматриваются различные виды аппроксимации выражения распределения яркости в кружке рассеяния безаберрационного объектива, а также определены контраст и контрастность для каждого вида. Построены зависимости абсолютной погрешности аппроксимации.
Ключевые слова: объектив, кружок рассеяния, яркость, контрастность.
Теоретически предельное разрешаемое расстояние между двумя точками для идеального (безаберрационного) объектива определяется по закону Рэлея диаметром D входного зрач-
ка объектива, его фокусным расстоянием f ′ и длиной волны излучения λ [1]. Это расстояние определяется из аналитического выражения радиального ( r ) распределения яркости в кружке рассеяния такого объектива [2—4]:
h
(
x
)
=
⎡ ⎢ ⎣
2J1 (πx
πx
)
⎤2 ⎥ ⎦
,
(1)
где J1(x) — функция Бесселя 1-го порядка, x = r / r0 , r0 = λf ′ / D = λF (здесь F = D / f ′ — диа-
фрагменное число объектива), и получается равным r01 ≈1, 22r0 =1, 22λF . При таком расстоянии максимальная яркость излучения одной точки совпадает с первым минимумом распределения яркости второй (соседней) точки.
Зависимость (1) графически изображена на рис. 1. Следует отметить, что первый минимум имеет место при x = xmin1 =1, 220 , второй — при x = xmin 2 = 2, 233 , третий — при
x = xmin3 = 3, 238 ; первый максимум — при x = xmax1 =1, 635 , второй — при x = xmax 2 = 2, 679 ,
третий — при x = xmax3 = 3, 699 .
h(x)
0,8
0,6 0,4
0,2
h(x) 0
–3 –2,4 –1,8 –1,2 –0,6
0
h1(x) 0,6 1,2 1,8 2,4
x
Рис. 1
При r01 ≈1, 22r0 суммарная яркость (Н) излучения двух точек с учетом выражения (1) характеризуется графиком, приведенным на рис. 2, а; их контрастность (разностный контраст) K0 = (L1 − L2 ) / L1 ≈ 0, 265 , где L1, L2 — максимальное и минимальное значение суммарной яркости соответственно; контраст (определяемый в соответствии с рекомендациями
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 9
48 Е. В. Зайцева
Международной комиссии по освещенности как глубина
K = ( L1 − L2 ) / ( L1 + L2 ) ≈ 0,153 , поскольку K = K0 /(2− K0 ) .
а) H(x1).2
модуляции
яркости)
равен
0,906.96
0,702.72
Sum( x)
0,48Sum1( x) 0.48
0,204.24
H(x)
H1(x)
00
–33 –22,.44 –11,.88 –11,.22 –00,.66
00
00,.66 11,.22
11.,88 22,.44
x3
б) x
H(x1).2
0,906.96
0,70.272
Sum(x)
0,48Sum2( x) 0.48 0,20.424
H(x)
H2(x)
0
0
–33 –22,.44 –11,.88 –11,.22 –00,.66
00
x
00.,66 11,.22
11.,88 22,.44
x3
в)
H(x)1
0,08.8
0,06.6
Sum( x)
Sum3( x)
0,04.4
H(x)
0,02.2
H3(x)
00
–33 –22.,44 –11,.88 –11.,22 –00,.66
00
x
00.,66 11,.22
11.,88 22,.44
x3
Рис. 2
Для упрощения расчетов в работе [5] (с учетом [3, 4]) было предложено выражение (1)
аппроксимировать гауссоидой (см. рис. 1 — пунктирная кривая)
h1
(
x)
=
exp
⎡ ⎢− ⎣⎢
⎛ ⎝⎜
x 0, 61
⎞2 ⎠⎟
⎤ ⎥ ⎦⎥
,
(2)
радиус которой на уровне 1/е составляет xe = 0, 61, т.е. re = 0, 61r0 = 0,5r01 . Выражение (2) получено при условии равенства радиусов и условии пересечения гауссоиды и кривой на уровне 1/е.
Определим значение отношения xe = re r0 из условия равенства площадей под кривыми, описываемыми выражениями (1) и (2), т.е. из условия
∫ ∫+∞
−∞
exp
⎡ ⎢− ⎢⎣
⎛ ⎜ ⎝
x xe
⎞2 ⎟ ⎠
⎤ ⎥dx ⎦⎥
=
+∞ −∞
⎛ ⎝⎜
2 J1 (πx) πx
2
⎞ ⎠⎟
dx
.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 9
Сравнение различных аппроксимаций кружка рассеяния безаберрационного объектива 49
При пределах интегрирования, отличных от бесконечности, величина отношения
xe = re r0 несколько изменяется (см. табл. 1).
Таблица 1
Пределы интегрирования
хе K0 K
(–1,22;+1,22)
0,598
0,305 0,180
(–2,233; +2,233)
0,605
0,289 0,169
(–3,238; +3,238)
0,608
0,283 0,165
(–∞; +∞)
0,610
0,279 0,162
Рассчитаем относительную погрешность определения контраста δK по следующей
формуле:
δK =
KБ −Kа KБ
,
где KБ — контраст, определенный с помощью функции Бесселя; Kа — контраст, определен-
ный с помощью аппроксимирующей функции.
Как следует из табл. 1, чем больше пределы интегрирования, тем меньше относительная
погрешность определения контраста: при пределах (–q; +q) она составляет –22,2 %, а при пре-
делах (– ∞ ; + ∞ ) равна –5,9 %.
Два других способа аппроксимации выражения (1) рассмотрены в работе [6]. Так, вы-
ражение (1) можно аппроксимировать и „колокольной“ функцией [1]
h2
(
x)
=
1+
1 (bx)2
.
(3)
Расчеты показывают, что при x = −1, 22…+1, 22 и равенстве условных радиусов эта
функция имеет вид, представленный пунктирной линией на рис. 3, а, коэффициент b=2,150.
а) h(x)
0,8
0,6
0,4
0,2
0 –3 –2,4 –1,8
б) h(x) 1
h(x) –1,2 –0,6 0
h2(x) 0,6 1,2 1,8 2,4 x
0,80.8
0,60.6
h( x) h3( x)
0,40.4
0,20.2 0
–0 33
–22,.44
h(x) –1,18.8 –11,.22
–00,.66
h3(x) 00 00,.66 11,.22 11,.88
x
22,.44 x3
Рис. 3
Из условия равенства площадей под кривыми, описываемыми выражениями (1) и (3),
т.е. из условия
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 9
50 Е. В. Зайцева
∫ ∫1,22
−1,22
1+
1 (bx)2
dx
=
1,22 −1,22
⎛ ⎝⎜
2
J1 (πx) πx
2
⎞ ⎟⎠
dx
коэффициент b получается равным 2,338.
Для аппроксимации выражения (1) в пределах x = −1, 22…+1, 22 можно использовать и
„косинус-квадратную“ функцию [1] (рис. 3, б)
h3
(x)
=
cos2
⎛ ⎝⎜
π 2a
x
⎞ ⎠⎟
,
(4)
откуда при выполнении условия xe = re r0 = 0, 61 получаем коэффициент a=1,042, а при вы-
полнении условия равенства площадей под кривыми, описываемыми выражениями (1) и (4), —
коэффициент –a=1,047.
Функция h3 (x) имеет периодический характер, поэтому при ее расчете следует ограни-
читься пределами (–1,22; 1,22).
Зависимость значений K0 и K от видов аппроксимации представлена в табл. 2.
Таблица 2
Вид аппроксимации
K0 K
„Колокольная“:
равенство радиусов
0,315
0,187
равенство площадей
0,348
0,210
„Косинус-квадратная“:
равенство радиусов
0,265
0,153
равенство площадей
0,309
0,183
Анализ таблицы показывает, что контраст при „косинус-квадратной“ аппроксимации при равенстве условных радиусов имеет наилучшее совпадение с контрастом, полученным из выражения (1). Максимальная относительная погрешность наблюдается при „колокольной“ аппроксимации при равенстве площадей и составляет 37,3 %.
Для сравнения рассмотренных видов аппроксимации построены зависимости абсолютной погрешности аппроксимации от x (рис. 4).
Δh(0x.1)5
0,10.1
Δh1(x0) ,00.055
Δh2( x)
Δh3(x) 0 0
Δh2(x)
Δh3(x)
Δh1(x)
–0,00.505
–0,1 0.1 –11,.0044
–00,.8833 –00,.6633 –0,04.422
–0,02.211
00
x
Рис. 4
00,.2211
00,.4422 0,06.633
00,8.833
x1.04
При аппроксимации выражения (1) контраст и контрастность имеют важное значение, поэтому целесообразно вычислить коэффициенты для аппроксимации гауссоидальной и „колокольной“ функциями при условии равенства контрастности и контраста. Выражения (2) и (3) в этом случае соответственно приобретают вид
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 9
Сравнение различных аппроксимаций кружка рассеяния безаберрационного объектива 51
h1
(
x)
=
exp
⎡ ⎢− ⎢⎣
⎛ ⎜⎝
0,
x 616
⎞2 ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
,
h2
(x)
=
1+ (1,
1 908x)2
.
Коэффициент a в выражении (4) одинаков при равенстве контраста и равенстве услов-
ных радиусов.
На рис. 2, а—в приведены графики рассмотренных кривых.
Три представленных способа аппроксимации могут быть использованы для упрощения
расчетов. Вид аппроксимации необходимо выбирать в зависимости от поставленной задачи,
допустимых абсолютной и относительной погрешностей, параметров телевизионной систе-
мы. Исходя из этих же критериев следует рассчитывать и коэффициенты каждой аппрокси-
мирующей функции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рыфтин Я. А. Телевизионная система. М.: Сов. радио, 1967. 271 с.
2. Castelman K. R. Digital Image Processing. New Jersey: Prentice, 1996. P. 368
3. Мирошников М. М. Теоретические основы оптико-электронных приборов. Л.: Машиностроение, 1977. 592 с.
4. Порфирьев Л. Ф. Основы теории преобразования сигналов в оптико-электронных системах. Л.: Машиностроение, 1989. 383 с.
5. Пустынский И. Н., Кирпиченко Ю. Р. К оценке чувствительности и разрешающей способности телевизионных датчиков // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 11. С. 5—9.
6. Зайцева Е. В. Оценка погрешности аппроксимации гауссоидой распределения яркости в кружке рассеяния объектива // Докл. (материалы) 14-й Междунар. науч.-практ. конф. „Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири“, 6—8 окт. 2008. Томск, 2008 г. С. 93—96.
Сведения об авторе Екатерина Викторовна Зайцева — аспирант; Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники, кафедра телевидения и управления; E-mail: katya@tu.tusur.ru
Рекомендована кафедрой телевидения и управления
Поступила в редакцию 14.04.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 9
УДК 621(397)
Е. В. ЗАЙЦЕВА
СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ КРУЖКА РАССЕЯНИЯ БЕЗАБЕРРАЦИОННОГО ОБЪЕКТИВА
Рассматриваются различные виды аппроксимации выражения распределения яркости в кружке рассеяния безаберрационного объектива, а также определены контраст и контрастность для каждого вида. Построены зависимости абсолютной погрешности аппроксимации.
Ключевые слова: объектив, кружок рассеяния, яркость, контрастность.
Теоретически предельное разрешаемое расстояние между двумя точками для идеального (безаберрационного) объектива определяется по закону Рэлея диаметром D входного зрач-
ка объектива, его фокусным расстоянием f ′ и длиной волны излучения λ [1]. Это расстояние определяется из аналитического выражения радиального ( r ) распределения яркости в кружке рассеяния такого объектива [2—4]:
h
(
x
)
=
⎡ ⎢ ⎣
2J1 (πx
πx
)
⎤2 ⎥ ⎦
,
(1)
где J1(x) — функция Бесселя 1-го порядка, x = r / r0 , r0 = λf ′ / D = λF (здесь F = D / f ′ — диа-
фрагменное число объектива), и получается равным r01 ≈1, 22r0 =1, 22λF . При таком расстоянии максимальная яркость излучения одной точки совпадает с первым минимумом распределения яркости второй (соседней) точки.
Зависимость (1) графически изображена на рис. 1. Следует отметить, что первый минимум имеет место при x = xmin1 =1, 220 , второй — при x = xmin 2 = 2, 233 , третий — при
x = xmin3 = 3, 238 ; первый максимум — при x = xmax1 =1, 635 , второй — при x = xmax 2 = 2, 679 ,
третий — при x = xmax3 = 3, 699 .
h(x)
0,8
0,6 0,4
0,2
h(x) 0
–3 –2,4 –1,8 –1,2 –0,6
0
h1(x) 0,6 1,2 1,8 2,4
x
Рис. 1
При r01 ≈1, 22r0 суммарная яркость (Н) излучения двух точек с учетом выражения (1) характеризуется графиком, приведенным на рис. 2, а; их контрастность (разностный контраст) K0 = (L1 − L2 ) / L1 ≈ 0, 265 , где L1, L2 — максимальное и минимальное значение суммарной яркости соответственно; контраст (определяемый в соответствии с рекомендациями
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 9
48 Е. В. Зайцева
Международной комиссии по освещенности как глубина
K = ( L1 − L2 ) / ( L1 + L2 ) ≈ 0,153 , поскольку K = K0 /(2− K0 ) .
а) H(x1).2
модуляции
яркости)
равен
0,906.96
0,702.72
Sum( x)
0,48Sum1( x) 0.48
0,204.24
H(x)
H1(x)
00
–33 –22,.44 –11,.88 –11,.22 –00,.66
00
00,.66 11,.22
11.,88 22,.44
x3
б) x
H(x1).2
0,906.96
0,70.272
Sum(x)
0,48Sum2( x) 0.48 0,20.424
H(x)
H2(x)
0
0
–33 –22,.44 –11,.88 –11,.22 –00,.66
00
x
00.,66 11,.22
11.,88 22,.44
x3
в)
H(x)1
0,08.8
0,06.6
Sum( x)
Sum3( x)
0,04.4
H(x)
0,02.2
H3(x)
00
–33 –22.,44 –11,.88 –11.,22 –00,.66
00
x
00.,66 11,.22
11.,88 22,.44
x3
Рис. 2
Для упрощения расчетов в работе [5] (с учетом [3, 4]) было предложено выражение (1)
аппроксимировать гауссоидой (см. рис. 1 — пунктирная кривая)
h1
(
x)
=
exp
⎡ ⎢− ⎣⎢
⎛ ⎝⎜
x 0, 61
⎞2 ⎠⎟
⎤ ⎥ ⎦⎥
,
(2)
радиус которой на уровне 1/е составляет xe = 0, 61, т.е. re = 0, 61r0 = 0,5r01 . Выражение (2) получено при условии равенства радиусов и условии пересечения гауссоиды и кривой на уровне 1/е.
Определим значение отношения xe = re r0 из условия равенства площадей под кривыми, описываемыми выражениями (1) и (2), т.е. из условия
∫ ∫+∞
−∞
exp
⎡ ⎢− ⎢⎣
⎛ ⎜ ⎝
x xe
⎞2 ⎟ ⎠
⎤ ⎥dx ⎦⎥
=
+∞ −∞
⎛ ⎝⎜
2 J1 (πx) πx
2
⎞ ⎠⎟
dx
.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 9
Сравнение различных аппроксимаций кружка рассеяния безаберрационного объектива 49
При пределах интегрирования, отличных от бесконечности, величина отношения
xe = re r0 несколько изменяется (см. табл. 1).
Таблица 1
Пределы интегрирования
хе K0 K
(–1,22;+1,22)
0,598
0,305 0,180
(–2,233; +2,233)
0,605
0,289 0,169
(–3,238; +3,238)
0,608
0,283 0,165
(–∞; +∞)
0,610
0,279 0,162
Рассчитаем относительную погрешность определения контраста δK по следующей
формуле:
δK =
KБ −Kа KБ
,
где KБ — контраст, определенный с помощью функции Бесселя; Kа — контраст, определен-
ный с помощью аппроксимирующей функции.
Как следует из табл. 1, чем больше пределы интегрирования, тем меньше относительная
погрешность определения контраста: при пределах (–q; +q) она составляет –22,2 %, а при пре-
делах (– ∞ ; + ∞ ) равна –5,9 %.
Два других способа аппроксимации выражения (1) рассмотрены в работе [6]. Так, вы-
ражение (1) можно аппроксимировать и „колокольной“ функцией [1]
h2
(
x)
=
1+
1 (bx)2
.
(3)
Расчеты показывают, что при x = −1, 22…+1, 22 и равенстве условных радиусов эта
функция имеет вид, представленный пунктирной линией на рис. 3, а, коэффициент b=2,150.
а) h(x)
0,8
0,6
0,4
0,2
0 –3 –2,4 –1,8
б) h(x) 1
h(x) –1,2 –0,6 0
h2(x) 0,6 1,2 1,8 2,4 x
0,80.8
0,60.6
h( x) h3( x)
0,40.4
0,20.2 0
–0 33
–22,.44
h(x) –1,18.8 –11,.22
–00,.66
h3(x) 00 00,.66 11,.22 11,.88
x
22,.44 x3
Рис. 3
Из условия равенства площадей под кривыми, описываемыми выражениями (1) и (3),
т.е. из условия
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 9
50 Е. В. Зайцева
∫ ∫1,22
−1,22
1+
1 (bx)2
dx
=
1,22 −1,22
⎛ ⎝⎜
2
J1 (πx) πx
2
⎞ ⎟⎠
dx
коэффициент b получается равным 2,338.
Для аппроксимации выражения (1) в пределах x = −1, 22…+1, 22 можно использовать и
„косинус-квадратную“ функцию [1] (рис. 3, б)
h3
(x)
=
cos2
⎛ ⎝⎜
π 2a
x
⎞ ⎠⎟
,
(4)
откуда при выполнении условия xe = re r0 = 0, 61 получаем коэффициент a=1,042, а при вы-
полнении условия равенства площадей под кривыми, описываемыми выражениями (1) и (4), —
коэффициент –a=1,047.
Функция h3 (x) имеет периодический характер, поэтому при ее расчете следует ограни-
читься пределами (–1,22; 1,22).
Зависимость значений K0 и K от видов аппроксимации представлена в табл. 2.
Таблица 2
Вид аппроксимации
K0 K
„Колокольная“:
равенство радиусов
0,315
0,187
равенство площадей
0,348
0,210
„Косинус-квадратная“:
равенство радиусов
0,265
0,153
равенство площадей
0,309
0,183
Анализ таблицы показывает, что контраст при „косинус-квадратной“ аппроксимации при равенстве условных радиусов имеет наилучшее совпадение с контрастом, полученным из выражения (1). Максимальная относительная погрешность наблюдается при „колокольной“ аппроксимации при равенстве площадей и составляет 37,3 %.
Для сравнения рассмотренных видов аппроксимации построены зависимости абсолютной погрешности аппроксимации от x (рис. 4).
Δh(0x.1)5
0,10.1
Δh1(x0) ,00.055
Δh2( x)
Δh3(x) 0 0
Δh2(x)
Δh3(x)
Δh1(x)
–0,00.505
–0,1 0.1 –11,.0044
–00,.8833 –00,.6633 –0,04.422
–0,02.211
00
x
Рис. 4
00,.2211
00,.4422 0,06.633
00,8.833
x1.04
При аппроксимации выражения (1) контраст и контрастность имеют важное значение, поэтому целесообразно вычислить коэффициенты для аппроксимации гауссоидальной и „колокольной“ функциями при условии равенства контрастности и контраста. Выражения (2) и (3) в этом случае соответственно приобретают вид
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 9
Сравнение различных аппроксимаций кружка рассеяния безаберрационного объектива 51
h1
(
x)
=
exp
⎡ ⎢− ⎢⎣
⎛ ⎜⎝
0,
x 616
⎞2 ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
,
h2
(x)
=
1+ (1,
1 908x)2
.
Коэффициент a в выражении (4) одинаков при равенстве контраста и равенстве услов-
ных радиусов.
На рис. 2, а—в приведены графики рассмотренных кривых.
Три представленных способа аппроксимации могут быть использованы для упрощения
расчетов. Вид аппроксимации необходимо выбирать в зависимости от поставленной задачи,
допустимых абсолютной и относительной погрешностей, параметров телевизионной систе-
мы. Исходя из этих же критериев следует рассчитывать и коэффициенты каждой аппрокси-
мирующей функции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рыфтин Я. А. Телевизионная система. М.: Сов. радио, 1967. 271 с.
2. Castelman K. R. Digital Image Processing. New Jersey: Prentice, 1996. P. 368
3. Мирошников М. М. Теоретические основы оптико-электронных приборов. Л.: Машиностроение, 1977. 592 с.
4. Порфирьев Л. Ф. Основы теории преобразования сигналов в оптико-электронных системах. Л.: Машиностроение, 1989. 383 с.
5. Пустынский И. Н., Кирпиченко Ю. Р. К оценке чувствительности и разрешающей способности телевизионных датчиков // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 11. С. 5—9.
6. Зайцева Е. В. Оценка погрешности аппроксимации гауссоидой распределения яркости в кружке рассеяния объектива // Докл. (материалы) 14-й Междунар. науч.-практ. конф. „Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири“, 6—8 окт. 2008. Томск, 2008 г. С. 93—96.
Сведения об авторе Екатерина Викторовна Зайцева — аспирант; Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники, кафедра телевидения и управления; E-mail: katya@tu.tusur.ru
Рекомендована кафедрой телевидения и управления
Поступила в редакцию 14.04.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 9