ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДЕМОДУЛЯТОРА В СИСТЕМАХ С КВАДРАТУРНОЙ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
УДК 621.391.82
А. Ю. ЯНУШКОВСКИЙ, А. В. КРИВОШЕЙКИН
ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДЕМОДУЛЯТОРА В СИСТЕМАХ С КВАДРАТУРНОЙ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Предложен метод нахождения допусков на параметры демодулятора в цифровых системах связи, применяющих квадратурную амплитудно-фазовую модуляцию (например, в системе цифрового кабельного телевидения). Дан вывод выражения, связывающего отклонение параметра демодулятора и вероятность ошибки.
Ключевые слова: отклонение вероятности ошибки, квадратурная амплитудно-фазовая модуляция, допуск на параметры, расстояния между сигналами, поле сигналов, квадратурные каналы, пороговые уровни, чувствительность.
Введение. Основные результаты классической теории помехоустойчивости [1] получены в предположении, что появление ошибок в канале связи вызывают присутствующие в нем аддитивные или мультипликативные помехи. Между тем к ошибкам впоследствии могут привести дестабилизирующие факторы, возникающие в процессе производства и эксплуатации приемопередающей аппаратуры. Таким образом, значения параметров аппаратуры отклоняются от номинальных, и как следствие — реальная вероятность ошибки отклоняется от значения, полученного с использованием теории помехоустойчивости [1].
В настоящее время широкое применение нашли системы многоуровневой квадратурной амплитудно-фазовой модуляции (КАМ), чувствительные к этим факторам. Поэтому необходимо установить зависимость отклонения вероятности ошибки от отклонения параметров аппаратуры и найти допуск на параметры аппаратуры при заданном допуске на отклонение вероятности ошибки. Способ решения этих задач применительно к демодулятору системы КАМ рассматривается в предлагаемой статье.
Квадратурная амплитудная модуляция заключается в одновременной амплитудной модуляции двумя сигналами двух квадратурных составляющих несущей с частотой ω0 и получении суммарного сигнала.
Для демодуляции используется синхронное детектирование, заключающееся в умножении сигнала на cosω0t и на sinω0t с последующим подавлением высокочастотных составляющих фильтром низкой частоты [2].
Если для каждой из квадратурных составляющих зафиксировать 16 уровней, то в результате получится модуляция (манипуляция) 256 КАМ с 256 возможными комбинациями амплитуды и фазы несущей частоты. Эти 256 комбинаций образуют так называемое „созвездие“ — диаграмму, каждая из 256 точек на которой является вершиной вектора, длина которого соответствует амплитуде, а угол наклона к оси — фазе колебания несущей частоты.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
56 А. Ю. Янушковский, А. В. Кривошейкин
Каждому из 256 сочетаний амплитуды и фазы колебания несущей частоты в системе цифрового телевидения DVB C соответствует одно из 256 возможных сочетаний четырех битов двоичного сигнала [3].
Основные расчетные соотношения. Вероятность ошибочного приема сигнала с КАМ находится по формуле:
⎡⎤
∑ ∑P =
m
⎢ ⎢
p(sl
)
m
p(s j / sl )⎥⎥ ,
l=1 ⎢
j =1
⎥
⎣ j≠l
⎦
(1)
где p(sl ) — вероятность передачи l-го сигнала sl , p(s j / sl ) — вероятность ошибочного прие-
ма сигнала sj при условии, что был передан сигнал sl , m — число уровней сигнала, т.е. число
возможных сигналов в поле сигналов КАМ. Здесь под вероятностью ошибочного приема сиг-
нала понимается вероятность ошибочного приема символа, содержащего
k
ln m = ln 2
бит.
Считая, что в передаче появление всех сигналов равновероятно, т.е. p(sl ) = 1m , запишем (1) в виде
⎡⎤
∑ ∑P
=
1 m
m⎢ ⎢
l=1 ⎢
m j =1
p(s j
/
sl
)⎥⎥ . ⎥
⎣ j≠l ⎦
(2)
Примем, что наибольший вклад в вероятность ошибки вносит ошибочный прием четы-
рех соседних сигналов, ближайших к сигналу sl, так как при всех реальных значениях вероятности ошибки, при которых передача данных еще имеет смысл, вероятность превышения
последующего порогового уровня на порядок меньше, чем соседнего, и поэтому может не
учитываться [4]. Поэтому при суммировании вероятностей ошибки приема пренебрежем все-
ми составляющими за исключением четырех ближайших:
∑P
=
1 m
m
[
l =1
p(sl+1
/
sl
)
+
p(sl+2
/
sl
)+
p(sl+3
/
sl
)
+
p ( sl + 4
/
sl
)].
(3)
Формула (3) справедлива только в случае, когда для переданного сигнала sl имеются
все четыре ближайших сигнала. Однако на краях звездного поля КАМ, в том числе при l = m
(это зависит от принятой нумерации сигналов), это условие не выполняется. Здесь и далее
пренебрегается этим обстоятельством, так как таких сигналов значительно меньше, чем тех,
для которых формула (3) справедлива, и их вклад в вероятность ошибки незначителен.
Вероятность ошибочного приема одного сигнала при передаче другого зависит от рас-
стояния между ними, которое соответствует энергии разности двух соседних сигналов со-
звездия КАМ [4]. В системе КАМ расстояния между соседними сигналами одинаковы, по-
этому справедливы соотношения:
p ⎜⎛⎝ sl+1 sl ⎟⎞⎠ = p ⎝⎛⎜ s2 s1 ⎠⎟⎞ , p ⎝⎛⎜ sl+2 sl ⎞⎠⎟ = p ⎛⎜⎝ s3 s1 ⎞⎟⎠ , p ⎜⎝⎛ sl+3 sl ⎟⎠⎞ = p ⎜⎛⎝ s4 s1 ⎞⎟⎠ , p ⎜⎝⎛ sl+4 sl ⎠⎞⎟ = p ⎝⎜⎛ s5 s1 ⎟⎞⎠ , l =1, m.
(4)
Следовательно, без потери общности можно принять, что передавался сигнал s1. Подставив (4) в (3), получим выражение:
P = p(s2 / s1) + p(s3 / s1) + p(s4 / s1) + p(s5 / s1) .
(5)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Точность определения параметров демодулятора в системах с КАМ
57
Формирование КАМ сигнала при передаче и демодуляция сигнала при приеме произво-
дятся по квадратурным каналам I (inphase) и Q (quadrature). Выразим соотношение (5) через
квадратурные составляющие сигналов:
p ⎜⎛⎝
s2
s1
⎟⎞⎠ =
p ⎜⎛⎝ s2i
s1i
⎟⎞⎠ +
p
⎛ ⎜⎝
s2q
s1q
⎞ ⎟⎠
,
p ⎛⎝⎜ s3
s1
⎟⎠⎞ =
p ⎜⎛⎝ s3i
s1i
⎞⎠⎟ +
p
⎛ ⎝⎜
s3q
s1q
⎞ ⎠⎟
,
p ⎛⎜⎝
s4
s1
⎟⎞⎠ =
p ⎛⎝⎜ s4i
s1i
⎞⎟⎠ +
p
⎛ ⎜⎝
s4q
s1q
⎞ ⎠⎟
,
p ⎛⎝⎜
s5
s1
⎞⎠⎟ =
p ⎛⎜⎝
s5i
s1i
⎠⎟⎞ +
p
⎛ ⎜⎝
s5q
s1q
⎞⎠⎟ .
Q
s5q U1q s4 s1q
s5 s1
s2
s4i U2i s3q
s1i U1i s2i s3
I
При передаче сигнала s1 и приеме его в канале I в соответствии с рисунком может быть принято правильное решение о передаче сигнала и возможны только два ошибочных реше-
ния — передан сигнал s2 либо передан сигнал s4. Поэтому вероятность ошибочных решений о передаче s3 либо s5 равна нулю, т.е.
p⎝⎜⎛ s5i s1i ⎠⎞⎟ = p⎝⎛⎜ s3i s1i ⎠⎞⎟ = 0 .
Рассуждая подобным образом о приеме сигнала в канале Q, запишем аналогичные ра-
венства
p
⎛ ⎝⎜
s2q
s1q
⎞ ⎠⎟
=
p
⎛ ⎜⎝
s4q
s1q
⎞ ⎠⎟
=
0
.
Подставим полученные соотношения в формулу (5):
P
=
p
⎛⎜⎝
s2i
s1i
⎠⎞⎟
+
p ⎛⎝⎜
s4i
s1i
⎠⎞⎟
+
p
⎛ ⎝⎜
s3q
s1q
⎞ ⎟⎠
+
p
⎛ ⎜⎝
s5q
s1q
⎞ ⎠⎟
.
(6)
Границами между сигналами в каналах, в соответствии с рисунком, являются следую-
щие пороговые уровни U1i, U2i, U1q, U2q [4]:
U1i
=
s2i
+ s1i 2
,
U 2i
=
s4i
+ 2
s1i
,
U1q
=
s5q
+ s1q 2
,
U2q
=
s3q
+ 2
s1q
.
(7)
При отклонении пороговых уровней от их номинальных значений (7) возникает откло-
нение вероятности ошибки от теоретического значения.
В теории допусков при небольших отклонениях принято использовать линейную часть
ряда Тейлора. Поэтому связь между отклонением вероятности ошибки и отклонениями поро-
говых уровней определяется следующей формулой [1]:
d (ln P) = AUP1i d (lnU1i ) + AUP2i d (lnU2i ) + AUP1q d (lnU1q ) + AUP2q d (lnU2q ) ,
(8)
где
AUP
=
U P
dP dU
— чувствительность вероятности ошибки к изменению порогового уровня [1].
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
58 А. Ю. Янушковский, А. В. Кривошейкин
Выведем формулы для определения чувствительности, для этого прежде всего устано-
вим выражение для вероятности ошибки P. Из-за наличия шумов в сигнале s1 его квадратурные составляющие являются случайными с математическим ожиданием S1i и S1q, имеют дисперсию σ2 и распределены по нормальному закону.
Рассмотрим чувствительность вероятности ошибки к отклонению порогового уровня U1i.
При нормальном законе распределения шумов вероятность ошибочного приема сигнала s2i
при переданном сигнале s1i, есть вероятность того, что сигнал si превосходит пороговое зна-
чение U1i, т.е.
p ⎝⎛⎜ s2i s1i ⎞⎠⎟ = p (si >U1 ) =
∫1
∞
t2
−
e
2
dt
.
2π (s1i −U1i )/σ
(9)
Распределение плотности вероятности сигнала принято нормальным исходя из теоре-
мы, в соответствии с которой сумма достаточно большого числа не связанных или слабосвя-
занных случайных процессов приближенно подчиняется нормальному закону. Кроме того,
многие шумовые процессы описываются именно принятой нами моделью [4].
Перейдем в (9) к производной:
dp(s2i / dU1i
s1i
)
=
1 2π
1 σ
⎛ exp ⎜
⎜⎝
( s1i −U1i ( 2σ )2
)2
⎞ ⎟ ⎟⎠
.
(10)
Используя выражение (10) и определение чувствительности, получим формулы
∫AUp1(is2i
/
s1i
)
=
−
U1i
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−h2 2
⎞ ⎟⎟⎠
∞
σ
h
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
t2 2
⎟⎞⎟⎠dt
,
(11)
h2
=
( s1i −U1i (σ)2
)2
.
(12)
Обозначим d = s1i −U1i — расстояние между средним и пороговым значением сигнала в
канале I. Расстояние между соседними сигналами в этом же канале равно 2d. Поэтому значение h2 пропорционально отношению мощности разности соседних сигналов в канале I к
мощности шума (в реальных системах передачи намного больше единицы).
Упростим выражение (11). Считая параметр h сколь угодно большим, получим неопре-
деленность
вида
0 0
,
для
устранения
которой
используем
правило Лопиталя. Окончательно
выражение имеет следующий вид:
AUp1(is2i
/ s1i )
=
− U1i h σ
.
(13)
Так как в (6) только первое слагаемое зависит от порогового уровня U1i, то формула
чувствительности вероятности ошибки к отклонению значения U1i имеет вид
AUP1i
=
p(s2i / P
s1i )
AUp1(is2i / s1i ) .
В силу эквидистантности точек поля сигналов КАМ значения всех слагаемых в (6) равны и
формула для чувствительности записывается в виде
AUP1i
=
−
1 4
U1i h σ
.
(14)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Точность определения параметров демодулятора в системах с КАМ
59
Повторив проведенные преобразования для пороговых значений U2i, U1q, U2q, получим следующие соотношения:
AUP2i
=
1 4
U 2i h σ
,
AUP1q
=−
1 4
U1q h σ
,
AUP2q
=
1 4
U2qh σ
.
(15)
В каждом из квадратурных каналов I и Q системы КАМ с m уровнями может появиться
один из n равновероятных сигналов ( n = m ). Мощность Π в квадратурном канале, получен-
ная усреднением значений мощности по всем равновероятным сигналам, находится по формуле [4]:
Π
=
n2 −1 3
d
2
.
(16)
Прибавив к разностному сигналу d среднее значение напряжения Π в квадратурном канале, получим среднее значение порогового уровня:
⎛
U
ср
=
d
⎜1+ ⎝⎜
n
2
−1
⎞ ⎟
.
3 ⎟⎠
С учетом (13) заменим в (15) значения пороговых уровней их средним значением:
AUP1i = − AUP 2 i = AUP1 q = − AUP 2 q ,
AUP1i
⎛ d ⎜1+ =− ⎝⎜
n2 −1 3
4σ
⎞ ⎟ ⎠⎟
h
=
−
⎛ ⎜1+ ⎜⎝
n2
−1
⎞ ⎟
h2
3 ⎠⎟ .
4
(17)
Выразим h через параметр отношение сигнал/шум (SNR). В соответствии с соотношени-
ем (13) h2 = d 2 σ2 . Из (16) следует, что d =
3Π n2 −1
,
таким
образом,
( )h2 =
3Π n2 −1
σ2
=
3SNR n2 −1
.
(18)
Все чувствительности в (17) равны по абсолютной величине и различаются только по знаку. В дальнейшем нам понадобится абсолютная величина чувствительности А, выражение для которой с учетом (18) имеет вид:
A
=
3
⎜⎛⎝1+
m −1 ⎞ 3 ⎠⎟
4(m −1)
SNR
,
(19)
где m = n2 — число уровней сигнала в системе КАМ. Переменные m и n могут принимать только определенные значения (положительные целые числа начиная с 2). Это требование
возникает исходя из свойств КАМ [5].
Расчет допусков. Так как пороговые уровни между сигналами в квадратурных каналах
I и Q не зависят друг от друга, то и их отклонения в (9) являются независимыми случайными
величинами. С учетом этого обстоятельства, применяя выражение (19), перейдем от отклоне-
ний в (9) к дисперсиям:
σ2(d (ln P)) = A2[σ2 (d (lnU1i )) + σ2 (d (lnU2i )) + σ2 (d (lnU1q )) + σ2(d (lnU2q ))].
(20)
Для нормального закона распределения с вероятностью 0,997 выражение (20) по прави-
лу „ 3σ “ записывается в виде
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
60 А. Ю. Янушковский, А. В. Кривошейкин
∆(ln P) = 3A σ2 (d (lnU1i )) + σ2 (d (lnU2i )) + σ2 (d (lnU1q )) + σ2 (d (lnU2q )) ,
где ∆(ln P) — допуск на случайную величину отклонения вероятности ошибки от своего номинального значения. Применив правило „ 3σ “ к отклонениям пороговых уровней, получим следующее выражение для допусков:
∆(ln P) = A ∆2 (lnU1i )+ ∆2 (lnU2i ) + ∆2 (lnU1q )+ ∆2 (lnU2q ) .
(21)
Как следует из (16), вероятность ошибки равночувствительна к отклонениям пороговых
уровней от своих номинальных значений. Поэтому примем допуски на все пороговые уровни
равными друг другу, т.е.
∆(lnU1i ) = ∆(lnU2i ) = ∆(lnU1q ) = ∆(lnU2q ) = ∆(lnU ) .
Подставим это условие в (21) и получим следующую формулу для расчета допусков:
∆(ln
U
)
=
∆(ln P) 2A
.
(22)
Это выражение является искомым и устанавливает связь между допуском и отклонени-
ем на параметр системы (пороговый уровень) и отклонением вероятности ошибки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Сов. радио, 1973.
2. Смирнов А. В., Пескин А. Е. Цифровое телевидение: от теории к практике. М.: Горячая линия-Телеком, 2005.
3. ETSI TR 101 290 Digital Video Broadcasting (DVB); Measurment guidelines for DVB. 2001.
4. Боккер П. Передача данных. Техника связи в системах телеобработки данных. М.: Связь, 1980.
5. EN 300 429 Digital Video Broadcasting (DVB); Framing structure, channel coding and modulation for cable systems. 1998.
Антон Юльевич Янушковский Анатолий Валентинович Кривошейкин
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный универси-
тет кино и телевидения, кафедра технической электроники; E-mail: yanushkovskiy@mail.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения, кафедра технической электроники; E-mail: krivav@yandex.ru
Рекомендована кафедрой технической электроники
Поступила в редакцию 05.11.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
УДК 621.391.82
А. Ю. ЯНУШКОВСКИЙ, А. В. КРИВОШЕЙКИН
ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДЕМОДУЛЯТОРА В СИСТЕМАХ С КВАДРАТУРНОЙ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Предложен метод нахождения допусков на параметры демодулятора в цифровых системах связи, применяющих квадратурную амплитудно-фазовую модуляцию (например, в системе цифрового кабельного телевидения). Дан вывод выражения, связывающего отклонение параметра демодулятора и вероятность ошибки.
Ключевые слова: отклонение вероятности ошибки, квадратурная амплитудно-фазовая модуляция, допуск на параметры, расстояния между сигналами, поле сигналов, квадратурные каналы, пороговые уровни, чувствительность.
Введение. Основные результаты классической теории помехоустойчивости [1] получены в предположении, что появление ошибок в канале связи вызывают присутствующие в нем аддитивные или мультипликативные помехи. Между тем к ошибкам впоследствии могут привести дестабилизирующие факторы, возникающие в процессе производства и эксплуатации приемопередающей аппаратуры. Таким образом, значения параметров аппаратуры отклоняются от номинальных, и как следствие — реальная вероятность ошибки отклоняется от значения, полученного с использованием теории помехоустойчивости [1].
В настоящее время широкое применение нашли системы многоуровневой квадратурной амплитудно-фазовой модуляции (КАМ), чувствительные к этим факторам. Поэтому необходимо установить зависимость отклонения вероятности ошибки от отклонения параметров аппаратуры и найти допуск на параметры аппаратуры при заданном допуске на отклонение вероятности ошибки. Способ решения этих задач применительно к демодулятору системы КАМ рассматривается в предлагаемой статье.
Квадратурная амплитудная модуляция заключается в одновременной амплитудной модуляции двумя сигналами двух квадратурных составляющих несущей с частотой ω0 и получении суммарного сигнала.
Для демодуляции используется синхронное детектирование, заключающееся в умножении сигнала на cosω0t и на sinω0t с последующим подавлением высокочастотных составляющих фильтром низкой частоты [2].
Если для каждой из квадратурных составляющих зафиксировать 16 уровней, то в результате получится модуляция (манипуляция) 256 КАМ с 256 возможными комбинациями амплитуды и фазы несущей частоты. Эти 256 комбинаций образуют так называемое „созвездие“ — диаграмму, каждая из 256 точек на которой является вершиной вектора, длина которого соответствует амплитуде, а угол наклона к оси — фазе колебания несущей частоты.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
56 А. Ю. Янушковский, А. В. Кривошейкин
Каждому из 256 сочетаний амплитуды и фазы колебания несущей частоты в системе цифрового телевидения DVB C соответствует одно из 256 возможных сочетаний четырех битов двоичного сигнала [3].
Основные расчетные соотношения. Вероятность ошибочного приема сигнала с КАМ находится по формуле:
⎡⎤
∑ ∑P =
m
⎢ ⎢
p(sl
)
m
p(s j / sl )⎥⎥ ,
l=1 ⎢
j =1
⎥
⎣ j≠l
⎦
(1)
где p(sl ) — вероятность передачи l-го сигнала sl , p(s j / sl ) — вероятность ошибочного прие-
ма сигнала sj при условии, что был передан сигнал sl , m — число уровней сигнала, т.е. число
возможных сигналов в поле сигналов КАМ. Здесь под вероятностью ошибочного приема сиг-
нала понимается вероятность ошибочного приема символа, содержащего
k
ln m = ln 2
бит.
Считая, что в передаче появление всех сигналов равновероятно, т.е. p(sl ) = 1m , запишем (1) в виде
⎡⎤
∑ ∑P
=
1 m
m⎢ ⎢
l=1 ⎢
m j =1
p(s j
/
sl
)⎥⎥ . ⎥
⎣ j≠l ⎦
(2)
Примем, что наибольший вклад в вероятность ошибки вносит ошибочный прием четы-
рех соседних сигналов, ближайших к сигналу sl, так как при всех реальных значениях вероятности ошибки, при которых передача данных еще имеет смысл, вероятность превышения
последующего порогового уровня на порядок меньше, чем соседнего, и поэтому может не
учитываться [4]. Поэтому при суммировании вероятностей ошибки приема пренебрежем все-
ми составляющими за исключением четырех ближайших:
∑P
=
1 m
m
[
l =1
p(sl+1
/
sl
)
+
p(sl+2
/
sl
)+
p(sl+3
/
sl
)
+
p ( sl + 4
/
sl
)].
(3)
Формула (3) справедлива только в случае, когда для переданного сигнала sl имеются
все четыре ближайших сигнала. Однако на краях звездного поля КАМ, в том числе при l = m
(это зависит от принятой нумерации сигналов), это условие не выполняется. Здесь и далее
пренебрегается этим обстоятельством, так как таких сигналов значительно меньше, чем тех,
для которых формула (3) справедлива, и их вклад в вероятность ошибки незначителен.
Вероятность ошибочного приема одного сигнала при передаче другого зависит от рас-
стояния между ними, которое соответствует энергии разности двух соседних сигналов со-
звездия КАМ [4]. В системе КАМ расстояния между соседними сигналами одинаковы, по-
этому справедливы соотношения:
p ⎜⎛⎝ sl+1 sl ⎟⎞⎠ = p ⎝⎛⎜ s2 s1 ⎠⎟⎞ , p ⎝⎛⎜ sl+2 sl ⎞⎠⎟ = p ⎛⎜⎝ s3 s1 ⎞⎟⎠ , p ⎜⎝⎛ sl+3 sl ⎟⎠⎞ = p ⎜⎛⎝ s4 s1 ⎞⎟⎠ , p ⎜⎝⎛ sl+4 sl ⎠⎞⎟ = p ⎝⎜⎛ s5 s1 ⎟⎞⎠ , l =1, m.
(4)
Следовательно, без потери общности можно принять, что передавался сигнал s1. Подставив (4) в (3), получим выражение:
P = p(s2 / s1) + p(s3 / s1) + p(s4 / s1) + p(s5 / s1) .
(5)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Точность определения параметров демодулятора в системах с КАМ
57
Формирование КАМ сигнала при передаче и демодуляция сигнала при приеме произво-
дятся по квадратурным каналам I (inphase) и Q (quadrature). Выразим соотношение (5) через
квадратурные составляющие сигналов:
p ⎜⎛⎝
s2
s1
⎟⎞⎠ =
p ⎜⎛⎝ s2i
s1i
⎟⎞⎠ +
p
⎛ ⎜⎝
s2q
s1q
⎞ ⎟⎠
,
p ⎛⎝⎜ s3
s1
⎟⎠⎞ =
p ⎜⎛⎝ s3i
s1i
⎞⎠⎟ +
p
⎛ ⎝⎜
s3q
s1q
⎞ ⎠⎟
,
p ⎛⎜⎝
s4
s1
⎟⎞⎠ =
p ⎛⎝⎜ s4i
s1i
⎞⎟⎠ +
p
⎛ ⎜⎝
s4q
s1q
⎞ ⎠⎟
,
p ⎛⎝⎜
s5
s1
⎞⎠⎟ =
p ⎛⎜⎝
s5i
s1i
⎠⎟⎞ +
p
⎛ ⎜⎝
s5q
s1q
⎞⎠⎟ .
Q
s5q U1q s4 s1q
s5 s1
s2
s4i U2i s3q
s1i U1i s2i s3
I
При передаче сигнала s1 и приеме его в канале I в соответствии с рисунком может быть принято правильное решение о передаче сигнала и возможны только два ошибочных реше-
ния — передан сигнал s2 либо передан сигнал s4. Поэтому вероятность ошибочных решений о передаче s3 либо s5 равна нулю, т.е.
p⎝⎜⎛ s5i s1i ⎠⎞⎟ = p⎝⎛⎜ s3i s1i ⎠⎞⎟ = 0 .
Рассуждая подобным образом о приеме сигнала в канале Q, запишем аналогичные ра-
венства
p
⎛ ⎝⎜
s2q
s1q
⎞ ⎠⎟
=
p
⎛ ⎜⎝
s4q
s1q
⎞ ⎠⎟
=
0
.
Подставим полученные соотношения в формулу (5):
P
=
p
⎛⎜⎝
s2i
s1i
⎠⎞⎟
+
p ⎛⎝⎜
s4i
s1i
⎠⎞⎟
+
p
⎛ ⎝⎜
s3q
s1q
⎞ ⎟⎠
+
p
⎛ ⎜⎝
s5q
s1q
⎞ ⎠⎟
.
(6)
Границами между сигналами в каналах, в соответствии с рисунком, являются следую-
щие пороговые уровни U1i, U2i, U1q, U2q [4]:
U1i
=
s2i
+ s1i 2
,
U 2i
=
s4i
+ 2
s1i
,
U1q
=
s5q
+ s1q 2
,
U2q
=
s3q
+ 2
s1q
.
(7)
При отклонении пороговых уровней от их номинальных значений (7) возникает откло-
нение вероятности ошибки от теоретического значения.
В теории допусков при небольших отклонениях принято использовать линейную часть
ряда Тейлора. Поэтому связь между отклонением вероятности ошибки и отклонениями поро-
говых уровней определяется следующей формулой [1]:
d (ln P) = AUP1i d (lnU1i ) + AUP2i d (lnU2i ) + AUP1q d (lnU1q ) + AUP2q d (lnU2q ) ,
(8)
где
AUP
=
U P
dP dU
— чувствительность вероятности ошибки к изменению порогового уровня [1].
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
58 А. Ю. Янушковский, А. В. Кривошейкин
Выведем формулы для определения чувствительности, для этого прежде всего устано-
вим выражение для вероятности ошибки P. Из-за наличия шумов в сигнале s1 его квадратурные составляющие являются случайными с математическим ожиданием S1i и S1q, имеют дисперсию σ2 и распределены по нормальному закону.
Рассмотрим чувствительность вероятности ошибки к отклонению порогового уровня U1i.
При нормальном законе распределения шумов вероятность ошибочного приема сигнала s2i
при переданном сигнале s1i, есть вероятность того, что сигнал si превосходит пороговое зна-
чение U1i, т.е.
p ⎝⎛⎜ s2i s1i ⎞⎠⎟ = p (si >U1 ) =
∫1
∞
t2
−
e
2
dt
.
2π (s1i −U1i )/σ
(9)
Распределение плотности вероятности сигнала принято нормальным исходя из теоре-
мы, в соответствии с которой сумма достаточно большого числа не связанных или слабосвя-
занных случайных процессов приближенно подчиняется нормальному закону. Кроме того,
многие шумовые процессы описываются именно принятой нами моделью [4].
Перейдем в (9) к производной:
dp(s2i / dU1i
s1i
)
=
1 2π
1 σ
⎛ exp ⎜
⎜⎝
( s1i −U1i ( 2σ )2
)2
⎞ ⎟ ⎟⎠
.
(10)
Используя выражение (10) и определение чувствительности, получим формулы
∫AUp1(is2i
/
s1i
)
=
−
U1i
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−h2 2
⎞ ⎟⎟⎠
∞
σ
h
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
t2 2
⎟⎞⎟⎠dt
,
(11)
h2
=
( s1i −U1i (σ)2
)2
.
(12)
Обозначим d = s1i −U1i — расстояние между средним и пороговым значением сигнала в
канале I. Расстояние между соседними сигналами в этом же канале равно 2d. Поэтому значение h2 пропорционально отношению мощности разности соседних сигналов в канале I к
мощности шума (в реальных системах передачи намного больше единицы).
Упростим выражение (11). Считая параметр h сколь угодно большим, получим неопре-
деленность
вида
0 0
,
для
устранения
которой
используем
правило Лопиталя. Окончательно
выражение имеет следующий вид:
AUp1(is2i
/ s1i )
=
− U1i h σ
.
(13)
Так как в (6) только первое слагаемое зависит от порогового уровня U1i, то формула
чувствительности вероятности ошибки к отклонению значения U1i имеет вид
AUP1i
=
p(s2i / P
s1i )
AUp1(is2i / s1i ) .
В силу эквидистантности точек поля сигналов КАМ значения всех слагаемых в (6) равны и
формула для чувствительности записывается в виде
AUP1i
=
−
1 4
U1i h σ
.
(14)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Точность определения параметров демодулятора в системах с КАМ
59
Повторив проведенные преобразования для пороговых значений U2i, U1q, U2q, получим следующие соотношения:
AUP2i
=
1 4
U 2i h σ
,
AUP1q
=−
1 4
U1q h σ
,
AUP2q
=
1 4
U2qh σ
.
(15)
В каждом из квадратурных каналов I и Q системы КАМ с m уровнями может появиться
один из n равновероятных сигналов ( n = m ). Мощность Π в квадратурном канале, получен-
ная усреднением значений мощности по всем равновероятным сигналам, находится по формуле [4]:
Π
=
n2 −1 3
d
2
.
(16)
Прибавив к разностному сигналу d среднее значение напряжения Π в квадратурном канале, получим среднее значение порогового уровня:
⎛
U
ср
=
d
⎜1+ ⎝⎜
n
2
−1
⎞ ⎟
.
3 ⎟⎠
С учетом (13) заменим в (15) значения пороговых уровней их средним значением:
AUP1i = − AUP 2 i = AUP1 q = − AUP 2 q ,
AUP1i
⎛ d ⎜1+ =− ⎝⎜
n2 −1 3
4σ
⎞ ⎟ ⎠⎟
h
=
−
⎛ ⎜1+ ⎜⎝
n2
−1
⎞ ⎟
h2
3 ⎠⎟ .
4
(17)
Выразим h через параметр отношение сигнал/шум (SNR). В соответствии с соотношени-
ем (13) h2 = d 2 σ2 . Из (16) следует, что d =
3Π n2 −1
,
таким
образом,
( )h2 =
3Π n2 −1
σ2
=
3SNR n2 −1
.
(18)
Все чувствительности в (17) равны по абсолютной величине и различаются только по знаку. В дальнейшем нам понадобится абсолютная величина чувствительности А, выражение для которой с учетом (18) имеет вид:
A
=
3
⎜⎛⎝1+
m −1 ⎞ 3 ⎠⎟
4(m −1)
SNR
,
(19)
где m = n2 — число уровней сигнала в системе КАМ. Переменные m и n могут принимать только определенные значения (положительные целые числа начиная с 2). Это требование
возникает исходя из свойств КАМ [5].
Расчет допусков. Так как пороговые уровни между сигналами в квадратурных каналах
I и Q не зависят друг от друга, то и их отклонения в (9) являются независимыми случайными
величинами. С учетом этого обстоятельства, применяя выражение (19), перейдем от отклоне-
ний в (9) к дисперсиям:
σ2(d (ln P)) = A2[σ2 (d (lnU1i )) + σ2 (d (lnU2i )) + σ2 (d (lnU1q )) + σ2(d (lnU2q ))].
(20)
Для нормального закона распределения с вероятностью 0,997 выражение (20) по прави-
лу „ 3σ “ записывается в виде
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
60 А. Ю. Янушковский, А. В. Кривошейкин
∆(ln P) = 3A σ2 (d (lnU1i )) + σ2 (d (lnU2i )) + σ2 (d (lnU1q )) + σ2 (d (lnU2q )) ,
где ∆(ln P) — допуск на случайную величину отклонения вероятности ошибки от своего номинального значения. Применив правило „ 3σ “ к отклонениям пороговых уровней, получим следующее выражение для допусков:
∆(ln P) = A ∆2 (lnU1i )+ ∆2 (lnU2i ) + ∆2 (lnU1q )+ ∆2 (lnU2q ) .
(21)
Как следует из (16), вероятность ошибки равночувствительна к отклонениям пороговых
уровней от своих номинальных значений. Поэтому примем допуски на все пороговые уровни
равными друг другу, т.е.
∆(lnU1i ) = ∆(lnU2i ) = ∆(lnU1q ) = ∆(lnU2q ) = ∆(lnU ) .
Подставим это условие в (21) и получим следующую формулу для расчета допусков:
∆(ln
U
)
=
∆(ln P) 2A
.
(22)
Это выражение является искомым и устанавливает связь между допуском и отклонени-
ем на параметр системы (пороговый уровень) и отклонением вероятности ошибки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Сов. радио, 1973.
2. Смирнов А. В., Пескин А. Е. Цифровое телевидение: от теории к практике. М.: Горячая линия-Телеком, 2005.
3. ETSI TR 101 290 Digital Video Broadcasting (DVB); Measurment guidelines for DVB. 2001.
4. Боккер П. Передача данных. Техника связи в системах телеобработки данных. М.: Связь, 1980.
5. EN 300 429 Digital Video Broadcasting (DVB); Framing structure, channel coding and modulation for cable systems. 1998.
Антон Юльевич Янушковский Анатолий Валентинович Кривошейкин
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный универси-
тет кино и телевидения, кафедра технической электроники; E-mail: yanushkovskiy@mail.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения, кафедра технической электроники; E-mail: krivav@yandex.ru
Рекомендована кафедрой технической электроники
Поступила в редакцию 05.11.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10