СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОГРАММ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА
35
УДК 620.178
А. А. ВИНОГРАДОВА, С. В. ТРУТНЕНКО
СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОГРАММ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Дано краткое представление фрактала и мультифрактала. Рассматриваются три вида мультифрактального анализа на основе трех программ (программа, работающая под системой Linux, Fractan и Multifrac) и производится их сравнение.
Ключевые слова: анализ, фрактал, обработка сигналов, статистическая сумма, показатель Хёрста.
Введение. К фракталам относят геометрические объекты: линии, поверхности, тела, которые имеют сильно изрезанную форму и демонстрируют некоторую повторяемость в широком диапазоне масштабов. Она может быть полной (в этом случае говорят о фракталах), либо может наблюдаться некоторый элемент нерегулярности (такие фракталы называют случайными) [1]. При описании свойств фрактала используется такая характеристика, как фрактальная размерность — D [1]. Реальные физические объекты, даже обладающие признаками самоподобия, очень редко могут быть описаны с помощью лишь одной величины фрактальной размерности. Именно поэтому в последнее время получил большое распространение анализ, основанный на теории мультифракталов — неоднородных фрактальных объектов. Для характеристики мультифрактала недостаточно одной величины фрактальной размерности, а необходим их бесконечный спектр — D(q). Такими объектами, например, являются сигналы и изображения. Для определения их мультифрактальности используются программы для мультифрактального анализа.
Программа мультифрактального анализа, работающая под операционной системой Linux. На выходе программы реализуются скейлинговая экспонента τ(q):
τ(q)
=
lim
ε→0
ln(Z (q, ln ε
ε))
и спектр фрактальных размерностей D(q):
Dq
=
τ(q) q −1
,
где Z(q, ε ) — обобщенная статистическая сумма, q — показатель степени обобщенной статистической суммы, ε — размер ячейки.
Для обработки был взяты экспериментальные данные трибологического взаимодействия, полученные на кафедре мехатроники СПбГУ ИТМО с экспериментальной установки „Трибал“ (рис. 1).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 7
36 А. А. Виноградова, С. В. Трутненко
Входными данными для программы является текстовый файл, содержащий две колонки чисел (время и значение данных). Для получения входного сигнала необходимо преобразовать полученные экспериментальные данные (см. рис.1) в матрицу n×2, добавив столбец с порядковым номером.
На выходе получаются скейлинговая экспонента (рис. 2) и спектр фрактальных размерностей (рис. 3).
Y, мкм
20
15 10
5 0
1
t(q), мкм 0
61 121 181 241
301 361 421 х, мкм
Рис. 1
–2
–4
–6
2 6 10 14 18 22 26 х, мкм Рис. 2
D(q), мкм 1 0,8
0,6 0,4
0,2 0
–0,2 –0,4
–0,6
26
10 14 18 22
26 х, мкм
Рис. 3
Полученные выходные данные демонстрируют неравномерность входного сигнала, так
как при изменении показателя степени обобщенной статистической суммы меняется и фрак-
тальная размерность.
Программа Fractan на выходе выдает несколько параметров, но основным для муль-
тифрактального анализа является параметр Хёрста (Н), который характеризует степень изре-
занности исследуемого графика. Эмпирический закон Хёрст открыл, занимаясь изучением
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 7
Сравнительные особенности программ мультифрактального анализа
37
Нила [4], впоследствии оказалось, что и многие другие природные явления хорошо описыва-
ются этим законом.
Временные последовательности, для которых Н > 0,5, относятся к классу персистент-
ных — сохраняющих имеющуюся тенденцию (термин образован Мандельбротом от латинского „persistere“ — пребывать, оставаться [5]). Если в течение некоторого времени в прошлом происходило увеличение значений, то и впредь в среднем будет происходить увеличе-
ние. И наоборот, тенденция к уменьшению в прошлом означает в среднем продолжение
уменьшения в будущем. Чем больше значение Н, тем сильнее выражена тенденция. При
Н=0,5 выраженной тенденции процесса не выявлено, и нет оснований считать, что она появится в будущем.
Случай Н < 0,5 характеризуется антиперсистентностью — рост в прошлом означает
уменьшение в будущем, и наоборот — чем меньше Н, тем выше эта вероятность. В процессах
после возрастания переменной обычно происходит ее уменьшение, а после уменьшения — возрастание. Задача программ мультифрактальной обработки состоит в том, чтобы иденти-
фицировать существенно нелинейную динамическую систему, и здесь уровень идентифика-
ции отличается от уровня идентификации линейных систем.
Например, обработав данные экспериментальных данных (см. рис.1), получаем пара-
метр Хёрста Н = 1,049 975, это означает, что сигнал персистентен. Параметр Хёрста H выражается через размах R изменений значений исследуемого сиг-
нала на отрезке времени ∆t и рассчитанное для этого отрезка стандартное отклонение S [2]: H = ln(R / S ) / ln(∆t),
R = max X H (t) − min X H (t).
XH — функция, описывающая сигналы с определенным значением Н [2]. Программа Multifrac. На кафедре мехатроники СПБГУ ИТМО создана программа, с
помощью которой можно получить как фрактальную размерность, так и показатель Хёрста.
Приложение позволяет просчитывать показатели сигнала, визуализировать данные и
выводить информацию в соответствующие поля.
Данные в программе имеют следующие обозначения: HE (Энтропия) — мера беспорядка системы, состоящей из многих элементов, в данном случае — мера количества
информации, необходимой для определения системы в некотором положении i; H (Хёрст) —
антиперсистентность сигнала; D0 — размерность данных (является локальной харак-
теристикой данного объекта); D1 — информационная размерность (характеризует
информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке, в случае многомерного ряда не рассчитывается); D2 — обобщенная фрактальная (корреля-
ционная) размерность.
Обобщенная фрактальная размерность определяет зависимость корреляционного инте-
грала I:
∑I (ε)
=
lim
N →∞
1 N2
Θ(ε−
n,m
|
rn
−
rm
|) ,
суммирование проводится по всем парам точек фрактального множества с радиусами-
векторами rn и rm, с использованием ступенчатой функции Хевисайда Θ(х) . Сумма в данном выражении определяет число пар точек n и m, для которых расстояние между ними меньше ε . Поэтому поделенная на N2, она определяет вероятность того, что две произвольные точки
разделены расстоянием менее ε . По этой причине величину D2 называют корреляционной размерностью.
Между значениями среднеквадратического σ = Rq и среднеарифметического отклонения
профиля Ra установлена следующая зависимость: σ = Rq = 0, 016 28Ra .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 7
38 А. А. Виноградова, С. В. Трутненко
Зависимость между показателем Хёрста и величиной среднеарифметического откло-
нения профиля имеет вид H z = 2, 636Ra .
Программа Multifrac позволяет рассчитывать и выводить данные без использования математических моделей.
В таблице приведены значения, полученные при использовании трех программ (во второй колонке программа, работающая под системой Linux).
Параметры HE H D0 D1 D2 σ Hz
Fractan —
1,0499 75 0,950 025
— 1,118
— —
Linux — —
0,301 03 0,316 081 0,331 133
— —
Multifrac 0,210 49 0,179 73 1,8203 0,003 656 5 0,149 13 0,011 628Ra 2,636Ra
Выводы. Обычно в любой программе используются разные математические модели, т.е. системы уравнений и концепций, используемых для описания и прогнозирования данного феномена или поведения объекта.
Программа Multifrac позволяет определять большее количество параметров по сравнению с программой Fractan и мультифрактальным анализом под системой Linux. Это дает возможность более точно описать характеристики обрабатываемого сигнала. В программе реализуется обработка без применения математических моделей. Планируется использование математических моделей в программе Multifrac.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. 488 с.
2. Ashkenazy Y. Software for analysis of multifractal time series [Electronic resurce]: < http://physionet.ph.biu.ac.il/ physiotools/>.
3. Мусалимов В. М., Валетов В. А. Динамика фрикционного взаимодействия. СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. 191 с.
4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., 2002.
5. Короленко П. В. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. М., 2004.
6. Научно-технический словарь [Электронный ресурс]: .
7. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. М.: Научно-издательский центр „Регулярная и хаотическая динамика“, 2001.
8. Павлов А. Н. Мультифрактальный анализ сложных сигналов // УФН. 2005. Т. 177, № 8. С. 859—876.
9. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. 1072 с.
Алла Алексеевна Виноградова Сергей Викторович Трутненко
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: vinogradova_a@list.ru — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: trutnenko@gmail.com
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 01.03.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 7
УДК 620.178
А. А. ВИНОГРАДОВА, С. В. ТРУТНЕНКО
СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОГРАММ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Дано краткое представление фрактала и мультифрактала. Рассматриваются три вида мультифрактального анализа на основе трех программ (программа, работающая под системой Linux, Fractan и Multifrac) и производится их сравнение.
Ключевые слова: анализ, фрактал, обработка сигналов, статистическая сумма, показатель Хёрста.
Введение. К фракталам относят геометрические объекты: линии, поверхности, тела, которые имеют сильно изрезанную форму и демонстрируют некоторую повторяемость в широком диапазоне масштабов. Она может быть полной (в этом случае говорят о фракталах), либо может наблюдаться некоторый элемент нерегулярности (такие фракталы называют случайными) [1]. При описании свойств фрактала используется такая характеристика, как фрактальная размерность — D [1]. Реальные физические объекты, даже обладающие признаками самоподобия, очень редко могут быть описаны с помощью лишь одной величины фрактальной размерности. Именно поэтому в последнее время получил большое распространение анализ, основанный на теории мультифракталов — неоднородных фрактальных объектов. Для характеристики мультифрактала недостаточно одной величины фрактальной размерности, а необходим их бесконечный спектр — D(q). Такими объектами, например, являются сигналы и изображения. Для определения их мультифрактальности используются программы для мультифрактального анализа.
Программа мультифрактального анализа, работающая под операционной системой Linux. На выходе программы реализуются скейлинговая экспонента τ(q):
τ(q)
=
lim
ε→0
ln(Z (q, ln ε
ε))
и спектр фрактальных размерностей D(q):
Dq
=
τ(q) q −1
,
где Z(q, ε ) — обобщенная статистическая сумма, q — показатель степени обобщенной статистической суммы, ε — размер ячейки.
Для обработки был взяты экспериментальные данные трибологического взаимодействия, полученные на кафедре мехатроники СПбГУ ИТМО с экспериментальной установки „Трибал“ (рис. 1).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 7
36 А. А. Виноградова, С. В. Трутненко
Входными данными для программы является текстовый файл, содержащий две колонки чисел (время и значение данных). Для получения входного сигнала необходимо преобразовать полученные экспериментальные данные (см. рис.1) в матрицу n×2, добавив столбец с порядковым номером.
На выходе получаются скейлинговая экспонента (рис. 2) и спектр фрактальных размерностей (рис. 3).
Y, мкм
20
15 10
5 0
1
t(q), мкм 0
61 121 181 241
301 361 421 х, мкм
Рис. 1
–2
–4
–6
2 6 10 14 18 22 26 х, мкм Рис. 2
D(q), мкм 1 0,8
0,6 0,4
0,2 0
–0,2 –0,4
–0,6
26
10 14 18 22
26 х, мкм
Рис. 3
Полученные выходные данные демонстрируют неравномерность входного сигнала, так
как при изменении показателя степени обобщенной статистической суммы меняется и фрак-
тальная размерность.
Программа Fractan на выходе выдает несколько параметров, но основным для муль-
тифрактального анализа является параметр Хёрста (Н), который характеризует степень изре-
занности исследуемого графика. Эмпирический закон Хёрст открыл, занимаясь изучением
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 7
Сравнительные особенности программ мультифрактального анализа
37
Нила [4], впоследствии оказалось, что и многие другие природные явления хорошо описыва-
ются этим законом.
Временные последовательности, для которых Н > 0,5, относятся к классу персистент-
ных — сохраняющих имеющуюся тенденцию (термин образован Мандельбротом от латинского „persistere“ — пребывать, оставаться [5]). Если в течение некоторого времени в прошлом происходило увеличение значений, то и впредь в среднем будет происходить увеличе-
ние. И наоборот, тенденция к уменьшению в прошлом означает в среднем продолжение
уменьшения в будущем. Чем больше значение Н, тем сильнее выражена тенденция. При
Н=0,5 выраженной тенденции процесса не выявлено, и нет оснований считать, что она появится в будущем.
Случай Н < 0,5 характеризуется антиперсистентностью — рост в прошлом означает
уменьшение в будущем, и наоборот — чем меньше Н, тем выше эта вероятность. В процессах
после возрастания переменной обычно происходит ее уменьшение, а после уменьшения — возрастание. Задача программ мультифрактальной обработки состоит в том, чтобы иденти-
фицировать существенно нелинейную динамическую систему, и здесь уровень идентифика-
ции отличается от уровня идентификации линейных систем.
Например, обработав данные экспериментальных данных (см. рис.1), получаем пара-
метр Хёрста Н = 1,049 975, это означает, что сигнал персистентен. Параметр Хёрста H выражается через размах R изменений значений исследуемого сиг-
нала на отрезке времени ∆t и рассчитанное для этого отрезка стандартное отклонение S [2]: H = ln(R / S ) / ln(∆t),
R = max X H (t) − min X H (t).
XH — функция, описывающая сигналы с определенным значением Н [2]. Программа Multifrac. На кафедре мехатроники СПБГУ ИТМО создана программа, с
помощью которой можно получить как фрактальную размерность, так и показатель Хёрста.
Приложение позволяет просчитывать показатели сигнала, визуализировать данные и
выводить информацию в соответствующие поля.
Данные в программе имеют следующие обозначения: HE (Энтропия) — мера беспорядка системы, состоящей из многих элементов, в данном случае — мера количества
информации, необходимой для определения системы в некотором положении i; H (Хёрст) —
антиперсистентность сигнала; D0 — размерность данных (является локальной харак-
теристикой данного объекта); D1 — информационная размерность (характеризует
информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке, в случае многомерного ряда не рассчитывается); D2 — обобщенная фрактальная (корреля-
ционная) размерность.
Обобщенная фрактальная размерность определяет зависимость корреляционного инте-
грала I:
∑I (ε)
=
lim
N →∞
1 N2
Θ(ε−
n,m
|
rn
−
rm
|) ,
суммирование проводится по всем парам точек фрактального множества с радиусами-
векторами rn и rm, с использованием ступенчатой функции Хевисайда Θ(х) . Сумма в данном выражении определяет число пар точек n и m, для которых расстояние между ними меньше ε . Поэтому поделенная на N2, она определяет вероятность того, что две произвольные точки
разделены расстоянием менее ε . По этой причине величину D2 называют корреляционной размерностью.
Между значениями среднеквадратического σ = Rq и среднеарифметического отклонения
профиля Ra установлена следующая зависимость: σ = Rq = 0, 016 28Ra .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 7
38 А. А. Виноградова, С. В. Трутненко
Зависимость между показателем Хёрста и величиной среднеарифметического откло-
нения профиля имеет вид H z = 2, 636Ra .
Программа Multifrac позволяет рассчитывать и выводить данные без использования математических моделей.
В таблице приведены значения, полученные при использовании трех программ (во второй колонке программа, работающая под системой Linux).
Параметры HE H D0 D1 D2 σ Hz
Fractan —
1,0499 75 0,950 025
— 1,118
— —
Linux — —
0,301 03 0,316 081 0,331 133
— —
Multifrac 0,210 49 0,179 73 1,8203 0,003 656 5 0,149 13 0,011 628Ra 2,636Ra
Выводы. Обычно в любой программе используются разные математические модели, т.е. системы уравнений и концепций, используемых для описания и прогнозирования данного феномена или поведения объекта.
Программа Multifrac позволяет определять большее количество параметров по сравнению с программой Fractan и мультифрактальным анализом под системой Linux. Это дает возможность более точно описать характеристики обрабатываемого сигнала. В программе реализуется обработка без применения математических моделей. Планируется использование математических моделей в программе Multifrac.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. 488 с.
2. Ashkenazy Y. Software for analysis of multifractal time series [Electronic resurce]: < http://physionet.ph.biu.ac.il/ physiotools/>.
3. Мусалимов В. М., Валетов В. А. Динамика фрикционного взаимодействия. СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. 191 с.
4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., 2002.
5. Короленко П. В. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. М., 2004.
6. Научно-технический словарь [Электронный ресурс]: .
7. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. М.: Научно-издательский центр „Регулярная и хаотическая динамика“, 2001.
8. Павлов А. Н. Мультифрактальный анализ сложных сигналов // УФН. 2005. Т. 177, № 8. С. 859—876.
9. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. 1072 с.
Алла Алексеевна Виноградова Сергей Викторович Трутненко
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: vinogradova_a@list.ru — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: trutnenko@gmail.com
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 01.03.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 7