МЕТОД АДАПТИВНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ В НАВИГАЦИОННЫХ КОМПЛЕКСАХ
66 Ю. П. Иванов
УДК 681.5.015.42
Ю. П. ИВАНОВ
МЕТОД АДАПТИВНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ В НАВИГАЦИОННЫХ КОМПЛЕКСАХ
Предложен метод непараметрической адаптивной оптимальной фильтрации дискретного сигнала, наблюдаемого на фоне аддитивной, в общем случае коррелированной, помехи измерения. Предполагается, что модель измерения является линейной, сигнал и помеха не коррелированы. В качестве исходной информации используются матрицы моментов второго порядка вектора помехи и модели измерения, а также приблизительное значение интервала квазистационарности сигнала.
Ключевые слова: оптимальная фильтрация, адаптация, непараметрическая неопределенность, линейная модель измерения, марковский сигнал, коррелированная помеха, пространство состояний, модель авторегрессии — скользящего среднего.
Проектирование навигационных систем обработки информации часто происходит в условиях значительной априорной неопределенности статистических характеристик сигналов и помех измерения. В процессе эксплуатации навигационных систем статистические характеристики наблюдаемых сигналов могут непредсказуемо изменяться и значительно отличаться от исходной информации. В связи с этим классические методы обработки сигналов на основе уравнений Калмана и Стратановича, базирующихся на использовании полной исходной информации и оптимальной обработки сигналов, приводят к значительным ошибкам оценок навигационных параметров. Кроме этого, используемые классические алгоритмы обработки сигналов во многих случаях требуют значительных затрат на необходимую для работы память и производительность вычислительных средств при их реализации. Применяемые в настоящее время методы адаптивной обработки сигналов [1], к сожалению, не обладают желаемой универсальностью, а в случае параметрической априорной неопределенности требуют значительного объема исходной информации и достаточно сложны при их реализации. При использовании параметрической адаптивной оптимальной обработки информации предполагаются априори известными законы распределения и структуры моделей сигналов и помех измерения, которые часто не соответствуют реальным случайным процессам, протекающим в информационно-измерительной системе. В этом случае не всегда удается достичь точности получаемых оценок, а процесс адаптивной фильтрации может расходиться.
Поэтому для устранения указанных недостатков был разработан адаптивный оптимальный способ дискретной фильтрации сигналов в условиях полной априорной неопределенности относительно модели и параметров сигнала, принимаемого на фоне, в общем случае коррелированной помехи. Алгоритм фильтрации сигналов на основе данного метода является достаточно простым, обладает универсальностью в том смысле, что структура алгоритма инвариантна к моделям сигнала как при представлении сигнала в пространстве состояний, так и в виде модели авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего [2]. Структура адаптивного алгоритма также инвариантна к наличию или отсутствию корреляции помехи измерения.
Предлагаемый алгоритм устойчив в работе, а адаптивные оценки навигационных параметров, полученные на основе предложенного алгоритма, сходятся к оптимальным оценкам, полученным на основе классических алгоритмов в условиях полной априорной определенности.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
Метод адаптивной оптимальной фильтрации сигналов в навигационных комплексах
67
Эти алгоритмы могут работать и в условиях полной определенности, но их структура при обеспечении эквивалентной точности оценки значительно проще структуры алгоритма фильтрации Калмана, также отпадает необходимость в решении уравнения Риккати. В качестве недостатка метода, присущего всем адаптивным алгоритмам, можно отметить наличие существенного интервала адаптации процесса оценки, величину которого, правда, можно минимизировать.
Рассмотрим следующую линейную модель дискретного измерения сигнала:
Yj = RjXj + Ηj, j=1, 2, …,
(1)
где Xj — произвольный полезный сигнал размерности m×1 в момент времени j, математическая модель и статистические параметры которого неизвестны. Каждая составляющая векторного сигнала представляет собой марковскую последовательность неизвестного ki-го порядка (i=1, ..., m), Rj — известная (n×m)-матрица измерения, Ηj — вектор помех измерения размерности n×1.
Моделью каждого компонента векторной помехи является марковская последователь-
ность известного порядка pr×1 (r =1, …, n). Известны (n×n)-матрицы начальных одномерных моментов второго порядка NHj векторной марковской последовательности Ηj в j-й момент
времени и двумерных моментов второго порядка NHj, j− f размерности (f×n)×n на интервале,
определяемом f∆, где ∆ — интервал дискретизации, f — предполагаемый максимальный порядок компонентов марковского сигнала. Полезный сигнал и помеха измерения предполагаются взаимно некоррелированными. Если случайная последовательность, определяющая сигнал, не является стационарной, будем предполагать, что известен минимальный интервал квазистационарности компонентов сигнала. В качестве критерия оптимальности используем среднеквадратическую ошибку (СКО) оценки. Будем искать алгоритм оптимальной оценки после окончания процесса адаптации в классе линейных алгоритмов. Если законы распределения сигнала и погрешностей являются нормальными, то полученная оценка после окончания процесса адаптации будет оптимальной в классе любых оценок, в альтернативном случае оценка будет оптимальной только в классе линейных оценок [3].
Сформируем входной сигнал размерности (m×(k+1))×1 адаптивного фильтра, обеспечивающий рекуррентную обработку информации, в следующем виде:
Z j, j−k = Y1j , Xˆ ∗j−1..., Xˆ ∗j−k T ,
(2)
где Y1j=
(RTj
⋅R
j
)−1
⋅R
T j
Yj
— приведенный к размерности сигнала результат измерения,
Xˆ ∗j−1, ..., Xˆ ∗j−k — векторы оптимальных оценок фильтрации и интерполяции сигналов
X j , ..., X j−k на шагах наблюдения j–1, …, j–k . Структура вектора Zj,j–k определяет структуру рекуррентного алгоритма фильтрации сигналов. Можно при формировании вектора Zj,j–k ис-
пользовать линейные модели сигналов в виде процессов авторегрессии, скользящего средне-
го или авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего [2]. В этом случае размерность вектора Zj,j–k может уменьшиться.
Начальное значение вектора Zj,j–k можно определить в следующем виде:
Zk+1,1 = Y1k+1,..., Y11 T ,
где значение k определяется априори исходя из предположения о возможном минимальном порядке марковского процесса, определяющего модель полезного сигнала.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
68 Ю. П. Иванов
Как известно, оптимальная оценка по критерию минимума СКО в классе линейных оце-
нок для рассматриваемой дискретной модели измерения определяется следующим выраже-
нием [4]:
Xˆ ∗ j, j−k = A∗ j, j−k Z j, j−k .
(3)
В данном случае вектор Xˆ ∗ j, j−k размерности (m×(k +1))×1 определяет оптимальные на
текущем шаге j оценки сигналов Xj , …, Xj–k, полученные по результатам наблюдения вход-
ного сигнала фильтра Z j,1 на всем интервале наблюдения. Матрица размерности (m×(k +1))×
×(m×(k +1)) оптимального преобразования сигнала Z j, j−k будет в этом случае равна [4]:
A∗ j, j−k =M[Xj,j–k (Zj,j–k)T]⋅M[Zj,j–k (Zj,j–k)T]–1,
(4)
где X j, j−k = X j , ..., X j−k T — вектор-столбец размерности (m×(k +1))×1 сигналов на шагах
j, …, j–k наблюдения. M[ ] — оператор математического ожидания. Начальное значение мат-
рицы оценки можно определить в виде единичной матрицы размерности (m×(k+1))×
×(m×(k+1)). Оценку матрицы Mˆ [Zj,j–k (Zj,j–k)T] в процессе адаптации можно найти в случае
стационарной последовательности Zj с помощью рекуррентного соотношения Mˆ [Zj,j–k (Zj,j–k)T]= Mˆ [Zj–1,j–k–1 (Zj–1,j–k–1)T]+
{ }1
+j
⎣⎡Z j, j−k ⋅ (Z j, j−k )T ⎤⎦ − Mˆ ⎣⎡Z j−1, j−k−1 ⋅ (Z j−1, j−k−1)T ⎦⎤
(5)
и в случае нестационарных последовательностей Zj в следующем виде:
∑ ( )Mˆ [Zj,j–k (Zj,j–k)T]=
1 s
i=
j −1 j−1−s
⎣⎢⎡Zi,i−k
⋅
Zi,i−k
T
⎤ ⎥⎦
+
∑+
1s {[Z
j,
j-k
⋅ (Z
j,
j−k
)T
]
−
1 s
i=
j−1
[Zi,i-k
j −1− s
⋅
(Zi,i−k
)T
]},
(6)
где j=k+1 (k+2, …), s — число дискретов, определяющих максимальный интервал квазистационарности компонентов сигнала Xj, Mˆ [ ] — оценка математического ожидания. Матрицу
Mˆ [Zj,j–k (Zj,j–k)T] можно представить в виде следующих подматриц:
Mˆ [Zj,j–k (Zj,j–k)T]
=
Mˆ [Y1
j
⋅
Y1
T j
]
Mˆ [Y1j−1,
j−k
⋅
Y1
T j
]
Mˆ [Y1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] Mˆ [Xˆ ∗ j−1, j−k ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ]
,
(7)
где Xˆ ∗ j−1, j−k = Xˆ ∗j−1, ..., Xˆ ∗j−k T — вектор оптимальных оценок сигналов X j−1, ..., X j−k ,
Y1j−1, j−k = Y1j−1, ..., Y1j−k T — вектор преобразованных результатов измерений сигналов
X j−1, ..., X j−k на шагах наблюдения j–1, …, j–k. Для определения матрицы Mˆ [Xj,j–k (Zj,j–k)T]
можно воспользоваться следующими очевидными соотношениями: Mˆ [Xj,j–k (Zj,j–k)T]= Mˆ [Y1j,j–k (Zj,j–k)T] – Mˆ [H1j,j–k (Zj,j–k)T]=
=
Mˆ [Y1j
⋅
Y1
T j
]
−
N1Hj 1
Mˆ [Y1j−1,
j−k
⋅
Y1
T j
]
−
N1Hj,1j−k
Mˆ [Y1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] − M[H1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] Mˆ [ Xˆ ∗ j−1, j−k ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ]
,
(8)
где H1j−1, j−k = H1j−1, ..., H1j−k T — вектор преобразованных помех измерений H1j−r =
= (RTj−r ⋅ R j−r )−1 ⋅ RTj−rH j−r (r=1, …, k) на шагах наблюдения j–1, …, j–k, (m×m)-матрица
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
Метод адаптивной оптимальной фильтрации сигналов в навигационных комплексах
69
N1Hj 1
=
M[H1 j
×
H1
T j
]
,
((k×m)×m)-матрица
N
j −1, H1
j−k;j
=
M[H1 j −1,
j−k
×
H1
T j
].
Можно
показать,
что матрица M[H1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] определяется рекуррентным способом с помощью сле-
дующего соотношения:
M[H1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] = N1Hj,1j−1, M[H1j−1 ⋅ (Xˆ ∗ j−2, j−k−1)T ] ⋅ (A1∗ j−1, j−k−1)T ,
(9)
где N1Hj,1j−1 — (m×m)-матрица взаимных начальных вторых моментов векторов помех изме-
рения сигналов H1j и H1j–1 на шагах j и j–1 наблюдения, A1∗ j−1, j−k−1 — матрица оптимальной адаптивной фильтрации сигналов на (j–1)-м шаге измерения сигнала размерности
(m×(k+1))×m. Матрица A1∗ j−1, j−k−1 размерности (m×(k+1))×m является подматрицей матрицы
A∗ j−1, j−k −1 :
A∗ j−1, j−k−1 = A1∗ j−1, j−k−1 A2∗ j−1, j−k−1 .
Начальную матрицу M[H1k+1 ⋅ (Xˆ ∗k,1)T ] можно определить в следующем виде: M[H1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] = NHk+11,1.
При определении соотношения (8) было использовано следствие теоремы ортогональ-
ного проецирования (теорема Пугачева) [4]:
M[Xj,j–k (Xˆ ∗ j, j−k )T ] =M[ Xˆ ∗ j, j−k (Xˆ ∗ j, j−k )T ] .
Если моделями помех измерения являются белые последовательности, то алгоритм адаптивной оптимальной оценки сигналов значительно упрощается. В этом случае матрицы
M[H1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ]
и
N
j −1, H1
j−k
;j
являются
нулевыми
при
всех
значениях
j,
а
матрицу
Mˆ [Y1j
⋅
Y1
T j
]
−
N
j H1
при
малом
значении
дискрета
∆
можно
приближенно
представить
в
сле-
дующем
виде
Mˆ [Y1j
⋅
Y1
T j −1
]
,
т.е.
в
этом
случае
можно
обойтись
без
знания
начальных
вто-
рых моментов помехи измерения. При этом m строк и m первых столбцов матрицы Aj,j–k определяют подматрицу матрицы
усиления Калмана.
Алгоритм фильтрации сигналов, определяемый соотношениями (2)—(9), применим как
к случайным стационарным, так и к нестационарным последовательностям Xj и Ηj. Необходимо только учитывать, что при рассмотрении процесса адаптации алгоритма оптимальной
фильтрации случайных нестационарных последовательностей Xj и Ηj интервал осреднения s∆ матрицы фильтрации Aj,j–k должен выбираться из следующих условий: s∆>τXj, s∆jτ,j–Xkj)
необходимо, чтобы (Zj,j–k)T], ξ2= Mˆ [Zj,j–k
случайные (Zj,j–k)T] –
ошибки M [Zj,j–k
приближения (Zj,j–k)T] были
достаточно малыми, второе условие (s∆
УДК 681.5.015.42
Ю. П. ИВАНОВ
МЕТОД АДАПТИВНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ В НАВИГАЦИОННЫХ КОМПЛЕКСАХ
Предложен метод непараметрической адаптивной оптимальной фильтрации дискретного сигнала, наблюдаемого на фоне аддитивной, в общем случае коррелированной, помехи измерения. Предполагается, что модель измерения является линейной, сигнал и помеха не коррелированы. В качестве исходной информации используются матрицы моментов второго порядка вектора помехи и модели измерения, а также приблизительное значение интервала квазистационарности сигнала.
Ключевые слова: оптимальная фильтрация, адаптация, непараметрическая неопределенность, линейная модель измерения, марковский сигнал, коррелированная помеха, пространство состояний, модель авторегрессии — скользящего среднего.
Проектирование навигационных систем обработки информации часто происходит в условиях значительной априорной неопределенности статистических характеристик сигналов и помех измерения. В процессе эксплуатации навигационных систем статистические характеристики наблюдаемых сигналов могут непредсказуемо изменяться и значительно отличаться от исходной информации. В связи с этим классические методы обработки сигналов на основе уравнений Калмана и Стратановича, базирующихся на использовании полной исходной информации и оптимальной обработки сигналов, приводят к значительным ошибкам оценок навигационных параметров. Кроме этого, используемые классические алгоритмы обработки сигналов во многих случаях требуют значительных затрат на необходимую для работы память и производительность вычислительных средств при их реализации. Применяемые в настоящее время методы адаптивной обработки сигналов [1], к сожалению, не обладают желаемой универсальностью, а в случае параметрической априорной неопределенности требуют значительного объема исходной информации и достаточно сложны при их реализации. При использовании параметрической адаптивной оптимальной обработки информации предполагаются априори известными законы распределения и структуры моделей сигналов и помех измерения, которые часто не соответствуют реальным случайным процессам, протекающим в информационно-измерительной системе. В этом случае не всегда удается достичь точности получаемых оценок, а процесс адаптивной фильтрации может расходиться.
Поэтому для устранения указанных недостатков был разработан адаптивный оптимальный способ дискретной фильтрации сигналов в условиях полной априорной неопределенности относительно модели и параметров сигнала, принимаемого на фоне, в общем случае коррелированной помехи. Алгоритм фильтрации сигналов на основе данного метода является достаточно простым, обладает универсальностью в том смысле, что структура алгоритма инвариантна к моделям сигнала как при представлении сигнала в пространстве состояний, так и в виде модели авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего [2]. Структура адаптивного алгоритма также инвариантна к наличию или отсутствию корреляции помехи измерения.
Предлагаемый алгоритм устойчив в работе, а адаптивные оценки навигационных параметров, полученные на основе предложенного алгоритма, сходятся к оптимальным оценкам, полученным на основе классических алгоритмов в условиях полной априорной определенности.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
Метод адаптивной оптимальной фильтрации сигналов в навигационных комплексах
67
Эти алгоритмы могут работать и в условиях полной определенности, но их структура при обеспечении эквивалентной точности оценки значительно проще структуры алгоритма фильтрации Калмана, также отпадает необходимость в решении уравнения Риккати. В качестве недостатка метода, присущего всем адаптивным алгоритмам, можно отметить наличие существенного интервала адаптации процесса оценки, величину которого, правда, можно минимизировать.
Рассмотрим следующую линейную модель дискретного измерения сигнала:
Yj = RjXj + Ηj, j=1, 2, …,
(1)
где Xj — произвольный полезный сигнал размерности m×1 в момент времени j, математическая модель и статистические параметры которого неизвестны. Каждая составляющая векторного сигнала представляет собой марковскую последовательность неизвестного ki-го порядка (i=1, ..., m), Rj — известная (n×m)-матрица измерения, Ηj — вектор помех измерения размерности n×1.
Моделью каждого компонента векторной помехи является марковская последователь-
ность известного порядка pr×1 (r =1, …, n). Известны (n×n)-матрицы начальных одномерных моментов второго порядка NHj векторной марковской последовательности Ηj в j-й момент
времени и двумерных моментов второго порядка NHj, j− f размерности (f×n)×n на интервале,
определяемом f∆, где ∆ — интервал дискретизации, f — предполагаемый максимальный порядок компонентов марковского сигнала. Полезный сигнал и помеха измерения предполагаются взаимно некоррелированными. Если случайная последовательность, определяющая сигнал, не является стационарной, будем предполагать, что известен минимальный интервал квазистационарности компонентов сигнала. В качестве критерия оптимальности используем среднеквадратическую ошибку (СКО) оценки. Будем искать алгоритм оптимальной оценки после окончания процесса адаптации в классе линейных алгоритмов. Если законы распределения сигнала и погрешностей являются нормальными, то полученная оценка после окончания процесса адаптации будет оптимальной в классе любых оценок, в альтернативном случае оценка будет оптимальной только в классе линейных оценок [3].
Сформируем входной сигнал размерности (m×(k+1))×1 адаптивного фильтра, обеспечивающий рекуррентную обработку информации, в следующем виде:
Z j, j−k = Y1j , Xˆ ∗j−1..., Xˆ ∗j−k T ,
(2)
где Y1j=
(RTj
⋅R
j
)−1
⋅R
T j
Yj
— приведенный к размерности сигнала результат измерения,
Xˆ ∗j−1, ..., Xˆ ∗j−k — векторы оптимальных оценок фильтрации и интерполяции сигналов
X j , ..., X j−k на шагах наблюдения j–1, …, j–k . Структура вектора Zj,j–k определяет структуру рекуррентного алгоритма фильтрации сигналов. Можно при формировании вектора Zj,j–k ис-
пользовать линейные модели сигналов в виде процессов авторегрессии, скользящего средне-
го или авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего [2]. В этом случае размерность вектора Zj,j–k может уменьшиться.
Начальное значение вектора Zj,j–k можно определить в следующем виде:
Zk+1,1 = Y1k+1,..., Y11 T ,
где значение k определяется априори исходя из предположения о возможном минимальном порядке марковского процесса, определяющего модель полезного сигнала.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
68 Ю. П. Иванов
Как известно, оптимальная оценка по критерию минимума СКО в классе линейных оце-
нок для рассматриваемой дискретной модели измерения определяется следующим выраже-
нием [4]:
Xˆ ∗ j, j−k = A∗ j, j−k Z j, j−k .
(3)
В данном случае вектор Xˆ ∗ j, j−k размерности (m×(k +1))×1 определяет оптимальные на
текущем шаге j оценки сигналов Xj , …, Xj–k, полученные по результатам наблюдения вход-
ного сигнала фильтра Z j,1 на всем интервале наблюдения. Матрица размерности (m×(k +1))×
×(m×(k +1)) оптимального преобразования сигнала Z j, j−k будет в этом случае равна [4]:
A∗ j, j−k =M[Xj,j–k (Zj,j–k)T]⋅M[Zj,j–k (Zj,j–k)T]–1,
(4)
где X j, j−k = X j , ..., X j−k T — вектор-столбец размерности (m×(k +1))×1 сигналов на шагах
j, …, j–k наблюдения. M[ ] — оператор математического ожидания. Начальное значение мат-
рицы оценки можно определить в виде единичной матрицы размерности (m×(k+1))×
×(m×(k+1)). Оценку матрицы Mˆ [Zj,j–k (Zj,j–k)T] в процессе адаптации можно найти в случае
стационарной последовательности Zj с помощью рекуррентного соотношения Mˆ [Zj,j–k (Zj,j–k)T]= Mˆ [Zj–1,j–k–1 (Zj–1,j–k–1)T]+
{ }1
+j
⎣⎡Z j, j−k ⋅ (Z j, j−k )T ⎤⎦ − Mˆ ⎣⎡Z j−1, j−k−1 ⋅ (Z j−1, j−k−1)T ⎦⎤
(5)
и в случае нестационарных последовательностей Zj в следующем виде:
∑ ( )Mˆ [Zj,j–k (Zj,j–k)T]=
1 s
i=
j −1 j−1−s
⎣⎢⎡Zi,i−k
⋅
Zi,i−k
T
⎤ ⎥⎦
+
∑+
1s {[Z
j,
j-k
⋅ (Z
j,
j−k
)T
]
−
1 s
i=
j−1
[Zi,i-k
j −1− s
⋅
(Zi,i−k
)T
]},
(6)
где j=k+1 (k+2, …), s — число дискретов, определяющих максимальный интервал квазистационарности компонентов сигнала Xj, Mˆ [ ] — оценка математического ожидания. Матрицу
Mˆ [Zj,j–k (Zj,j–k)T] можно представить в виде следующих подматриц:
Mˆ [Zj,j–k (Zj,j–k)T]
=
Mˆ [Y1
j
⋅
Y1
T j
]
Mˆ [Y1j−1,
j−k
⋅
Y1
T j
]
Mˆ [Y1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] Mˆ [Xˆ ∗ j−1, j−k ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ]
,
(7)
где Xˆ ∗ j−1, j−k = Xˆ ∗j−1, ..., Xˆ ∗j−k T — вектор оптимальных оценок сигналов X j−1, ..., X j−k ,
Y1j−1, j−k = Y1j−1, ..., Y1j−k T — вектор преобразованных результатов измерений сигналов
X j−1, ..., X j−k на шагах наблюдения j–1, …, j–k. Для определения матрицы Mˆ [Xj,j–k (Zj,j–k)T]
можно воспользоваться следующими очевидными соотношениями: Mˆ [Xj,j–k (Zj,j–k)T]= Mˆ [Y1j,j–k (Zj,j–k)T] – Mˆ [H1j,j–k (Zj,j–k)T]=
=
Mˆ [Y1j
⋅
Y1
T j
]
−
N1Hj 1
Mˆ [Y1j−1,
j−k
⋅
Y1
T j
]
−
N1Hj,1j−k
Mˆ [Y1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] − M[H1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] Mˆ [ Xˆ ∗ j−1, j−k ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ]
,
(8)
где H1j−1, j−k = H1j−1, ..., H1j−k T — вектор преобразованных помех измерений H1j−r =
= (RTj−r ⋅ R j−r )−1 ⋅ RTj−rH j−r (r=1, …, k) на шагах наблюдения j–1, …, j–k, (m×m)-матрица
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
Метод адаптивной оптимальной фильтрации сигналов в навигационных комплексах
69
N1Hj 1
=
M[H1 j
×
H1
T j
]
,
((k×m)×m)-матрица
N
j −1, H1
j−k;j
=
M[H1 j −1,
j−k
×
H1
T j
].
Можно
показать,
что матрица M[H1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] определяется рекуррентным способом с помощью сле-
дующего соотношения:
M[H1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] = N1Hj,1j−1, M[H1j−1 ⋅ (Xˆ ∗ j−2, j−k−1)T ] ⋅ (A1∗ j−1, j−k−1)T ,
(9)
где N1Hj,1j−1 — (m×m)-матрица взаимных начальных вторых моментов векторов помех изме-
рения сигналов H1j и H1j–1 на шагах j и j–1 наблюдения, A1∗ j−1, j−k−1 — матрица оптимальной адаптивной фильтрации сигналов на (j–1)-м шаге измерения сигнала размерности
(m×(k+1))×m. Матрица A1∗ j−1, j−k−1 размерности (m×(k+1))×m является подматрицей матрицы
A∗ j−1, j−k −1 :
A∗ j−1, j−k−1 = A1∗ j−1, j−k−1 A2∗ j−1, j−k−1 .
Начальную матрицу M[H1k+1 ⋅ (Xˆ ∗k,1)T ] можно определить в следующем виде: M[H1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ] = NHk+11,1.
При определении соотношения (8) было использовано следствие теоремы ортогональ-
ного проецирования (теорема Пугачева) [4]:
M[Xj,j–k (Xˆ ∗ j, j−k )T ] =M[ Xˆ ∗ j, j−k (Xˆ ∗ j, j−k )T ] .
Если моделями помех измерения являются белые последовательности, то алгоритм адаптивной оптимальной оценки сигналов значительно упрощается. В этом случае матрицы
M[H1j ⋅ (Xˆ ∗ j−1, j−k )T ]
и
N
j −1, H1
j−k
;j
являются
нулевыми
при
всех
значениях
j,
а
матрицу
Mˆ [Y1j
⋅
Y1
T j
]
−
N
j H1
при
малом
значении
дискрета
∆
можно
приближенно
представить
в
сле-
дующем
виде
Mˆ [Y1j
⋅
Y1
T j −1
]
,
т.е.
в
этом
случае
можно
обойтись
без
знания
начальных
вто-
рых моментов помехи измерения. При этом m строк и m первых столбцов матрицы Aj,j–k определяют подматрицу матрицы
усиления Калмана.
Алгоритм фильтрации сигналов, определяемый соотношениями (2)—(9), применим как
к случайным стационарным, так и к нестационарным последовательностям Xj и Ηj. Необходимо только учитывать, что при рассмотрении процесса адаптации алгоритма оптимальной
фильтрации случайных нестационарных последовательностей Xj и Ηj интервал осреднения s∆ матрицы фильтрации Aj,j–k должен выбираться из следующих условий: s∆>τXj, s∆jτ,j–Xkj)
необходимо, чтобы (Zj,j–k)T], ξ2= Mˆ [Zj,j–k
случайные (Zj,j–k)T] –
ошибки M [Zj,j–k
приближения (Zj,j–k)T] были
достаточно малыми, второе условие (s∆