ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
15
УДК 656.25, 621.391.82
А. В. ВОЛЫНСКАЯ
ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Показано, что при произвольном выборе дискретных значений сигналов (например, с помощью датчика случайных чисел при компьютерном моделировании) взаимообратные преобразования по формулам Голдмана некорректны, т.е. обратное преобразование не дает точных значений первоначального сигнала. Предложены уточненные формулы, позволяющие получить абсолютно корректный результат. Ключевые слова: дискретные сигналы, преобразования Фурье, ортогональность.
При функционировании сложных информационно-измерительных комплексов в условиях высокого уровня помех в широком спектре частот необходимо применять взаимные преобразования сигналов с временной области на частотную и обратно. Иными словами, в зависимости от решаемой задачи сигналы в каналах передачи информации можно рассматривать и как функции времени, и как функции частоты, которые однозначно связаны между собой преобразованиями Фурье [1]. Для дискретных сигналов это преобразование можно осуществлять по формулам, предложенным Голдманом [2]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
16 А. В. Волынская
∑Sk
=
1 2F
2FT
s(n)
e−
j
2πkn 2 FT
n=0
;
(1)
∑( )s
n
=
1 T
FT k =−FT
Sk
e
j
2πkn 2FT
,
(2)
где
Sk
≡
S
⎛ ⎜⎝
2πk T
⎞ ⎠⎟
,
s(n)
≡
s
⎛ ⎜⎝
n 2F
⎞ ⎟⎠
—
отсчетные
значения
сигнала
на
оси
частот
и
на
оси
вре-
мени соответственно; F — ширина спектра сигнала; Т — длительность сигнала.
Однако в выражениях (1) и (2) не учтены ограничения, связанные со свободой выбора
отсчетных значений сигнала на осях времени и частот. При произвольном выборе отсчетных
значений взаимообратный пересчет по этим формулам не дает совпадающих результатов.
В настоящей статье предложены скорректированные формулы, позволяющие получить одно-
значное соответствие при взаимном пересчете произвольно выбранных отсчетных значений
сигнала либо его фурье-образа.
Для того чтобы преобразования были ортогональными, они должны сохранять меру
преобразования [1]. Преобразование может быть выполнено с сохранением меры, если в фор-
муле для вычисления квадратичного эффекта сигнала
∫ ∑ ∑( )T ⎡⎣s (t)⎤⎦2 dt
0
=
1 2F
2FT n=0
⎡⎢⎣S
⎛ ⎝⎜
n 2F
2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
1 T
a02
+
2 T
FT n=1
an2
+ bn2
(3)
переменные а0, а и b заменить на новые переменные а′0, а′ и b′ по формулам
a0′ =
2F T
⋅ a0 ,
a′ = 2
F T
⋅ a,
b′ = 2
F T
⋅ b.
(4)
Зависимости (1) и (2) можно записать в виде системы уравнений
y1 = a11x1 + a12 x2 + … + a1n xn ; ⎫
y2 = a21x1 + a22 x2 + … + a2n xn ;⎪⎪
…………………………………
⎬ ⎪
yn = an1x1 + an2 x2 + … + ann xn ,⎭⎪
(5)
где n = 2FT +1 — число отсчетных значений; yi — отсчетные значения вещественной и мнимой составляющих спектральной функции сигнала; xi — отсчетные значения сигнала на оси времени; aik — постоянные коэффициенты, пропорциональные значениям синусов и косинусов кратных частот в отсчетных точках.
Рассматривая yi и xi как проекции векторов, можно сказать, что для произвольного задания отсчетных значений сигнала на оси частот необходимо, чтобы векторы yi были ортогональны, т.е. скалярное произведение любых двух различных векторов системы (5) должно
равняться нулю:
ai1a j1 + ai2a j2 + … + aina jn
=
⎧1 ⎩⎨0
при i = j, при i ≠ j.
(6)
Однако последнее уравнение системы (5) этому условию не удовлетворяет, так как его
коэффициенты имеют множители типа sin π k и, следовательно, все они равны нулю (квад-
ратная матрица коэффициентов ai j выражения (6) вырождена). Это значит, что условие неза-
висимого выбора всех отсчетных значений не является безоговорочным. То же самое можно
сказать и о векторах xi. Требуется установить ограничения на свободу выбора отсчетных значений сигнала на оси частот и оси времени, однозначно связанных между собой.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Особенности преобразования дискретных сигналов
17
Вводя ортогональные составляющие спектральной функции
∑Ak
≡
A ⎜⎝⎛
2πk T
⎞ ⎟⎠
=
1 2F
2FT n=0
s(n)
cos
2πkn 2FT
;
∑Bk
≡
B
⎛ ⎜⎝
2πk T
⎞ ⎟⎠
=
1 2F
2 FT
s(n) sin
n=0
2πkn 2FT
,
рассмотрим следующую сумму:
(7) (8)
∑ ∑ ∑( )s
n
=
1 T
FT k =−FT
( Ak
−
j 2πkn
jBk ) e 2FT
1 =T
FT −1 k =−FT
1 2F
2FT j 2πk (n−i)
s(i) e 2FT
i=1
=
∑ ∑ ∑ ∑=
1 2FT
2 FT i=0
s(i) FT −1 cos 2πk(n − i)
k =−FT
2FT
+
j1 2FT
2FT s(i) FT −1 sin 2πk(n − i).
i=0 k=−FT
2FT
Второе слагаемое последнего равенства обращается в нуль, так как
(9)
∑ ∑FT −1
k =−FT
sin
2πkn 2FT
=
FT k =− FT
sin
2πkn 2FT
− sin
πn ,
где каждое из двух слагаемых равно нулю. Первое слагаемое равенства (9) можно выразить следующим образом:
∑ ∑1
2FT
2 FT i=0
FT −1
s(i)
k =− FT
cos
2πk(n − 2FT
i)
=
∑ ∑ ∑ ∑=
1 2FT
2 FT i=0
FT −1
s(n)
k =−FT
cos 0
+
1 2FT
2FT i=0
FT −1
s(i)
k =−FT
cos
2πk(n − 2FT
i).
i≠1
(10)
В свою очередь, первое слагаемое равенства (10) равно s(n). Второе слагаемое обращается в нуль при любых n, кроме n = 0 и n = 2FT, при которых оно равно s(2FT) и s(0) соответ-
ственно. Следовательно, равенство (9) обращается в тождество типа s(n) ≡ s(n) при любых n = =0, 1, 2 … 2FT, если принять, что s(0) = s(2FT) = 0. Только при этом условии второе слагаемое в уравнении (10) обращается в нуль при всех n.
Таким образом, точный пересчет отсчетных значений должен производиться по формулам
( ) ∑ ∑s
n
1 =T
FT −1
Sk
k =− FT
e
j
2πkn 2 FT
1 FT −1 = T k=−FT
( Ak
−
jBk
)
e
j
2πkn 2 FT
.
(11)
Принцип произвольного выбора отсчетных значений сигнала на оси времени распространя-
ется на все значения s(n), кроме s(0) и s(2FT), которые должны приниматься равными нулю.
Для выяснения ограничений по выбору отсчетных значений на оси частот преобразуем
выражение (11):
∑ ∑s(n)
=
1 T
FT −1 k =−FT
Ak
cos
2πkn 2FT
+
j
1 T
FT −1 k =− FT
Ak
sin
2πkn 2FT
−
∑ ∑−
j
1 T
FT −1 k =−FT
Bk
cos
2πkn 2FT
+
1 T
FT −1 k =−FT
Bk
sin
22πFkTn.
(12)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
18 А. В. Волынская
Второе слагаемое, как было показано выше, обращается в нуль. Чтобы правая часть бы-
ла вещественной, третье слагаемое должно быть равно нулю, его можно записать следующим
образом:
∑ ∑1
T
FT −1 k =−FT
Bk
cos
2πkn 2FT
=
1 T
FT k =−FT
Bk
cos
2πkn 2FT
−
(−1)n
1 T
BFT
.
С учетом того, что B0 = 0, первое слагаемое этого равенства обращается в нуль. Следова-
тельно, для обращения в нуль третьего слагаемого равенства (12) необходимо выбирать
BFT = 0. Кроме этого, при выборе отсчетных значений необходимо соблюсти четность Аk и не-
четность Вk. Учитывая эти свойства, выражение (12) можно преобразовать следующим образом:
∑s(n)
=
1 T
FT −1 k =−FT
⎛ ⎝⎜
Ak
cos
2πkn 2FT
+
Bk
sin
2πkn 2FT
⎞ ⎠⎟
=
∑ ∑=
1 T
FT −1⎛ k=0 ⎝⎜
Ak
cos
2πkn 2FT
+
Bk
sin
2πkn 2FT
⎞ ⎟⎠
+
1 T
FT k =−FT
⎛ ⎜⎝
Ak
cos
2πkn 2FT
+
Bk
sin
2πkn 2FT
⎞ ⎠⎟
=
∑=
2 T
⎡ ⎢ ⎢⎣
A0 2
+ (−1)n
AFT 2
+
FT −1⎛ k=1 ⎜⎝
Ak
cos 2πkn 2FT
+ Bk
sin
2πkn 2FT
⎞⎤ ⎠⎟⎥⎦⎥
.
(13)
В формуле (13) отрицательные составляющие не содержатся. Поэтому при выборе от-
счетных значений на положительной полуоси частот можно не соблюдать четность. Однако
этот выбор должен быть таким, чтобы в соответствии с выражением (13) s(0) и s(2FT) равня-
лись нулю. Подставив в него n = 0 и n = 2FT, получим два уравнения, из которых найдем ог-
раничения, накладываемые на выбор отсчетных значений Ak:
A0
∑2
A0
∑2
+
AFT 2
FT −1
+ Ak
k =1
= 0,
+ (−1)2FT
AFT 2
FT −1
+ Ak
k =1
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ = 0.⎪⎪⎭
(14)
В соответствии с системой уравнений (14) все значения Ak могут быть выбраны произвольно, кроме А0 и AFT, которые определяются из ее решения. При этом возможны два варианта. Если 2FT четное число, то решение неоднозначно, и один из коэффициентов может
быть задан произвольно. Если 2FТ нечетное число, то FT и FT – 1 нецелые числа, и в форму-
лах (7), (8), (13) и (14) k принимает значения 0, 1, 2, ..., FT – 1, FT, где два последних значе-
ния — нецелые числа. Это приводит к нарушению условия ортогональности векторов и, как
следствие, к нарушению однозначного соответствия между отсчетными значениями в полу-
ченных формулах.
На рис. 1 показано расположение отсчетных значений Ak и Bk на интервале 2π на оси частот при четном и нечетном значениях 2FT. Когда k принимает значение FТ, частота при-
нимает значение π. При четном значении 2FT (см. рис. 1, а) все частоты кратны относительно
низшей частоты, а при нечетном (см. рис. 1, б) — последняя частота (при k = FT) некратна
относительно низшей частоты, что и нарушает ортогональность.
Для восстановления ортогональности преобразуем аргумент в формулах (7) и (8) сле-
дующим образом:
2πkn 2FT
=
π FTц+
FTц+ FT
kπ =
πk ′n FTц+
;
0 ≤ k ′ ≤ FTц+ ;
k
=
FT FTц+
k ′,
(15)
где FT — нецелое число, а FTц+ — ближайшее к нему сверху целое число.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Особенности преобразования дискретных сигналов
19
С учетом этого преобразования аргумента формулы (7) и (8) перепишем следующим об-
разом:
∑Ak′
=
C
1 2F
2 FT n=0
s(n) cos
πk ′n FTц+
;
(16)
∑Bk′
=
C
1 2F
2 FT n=0
s(n) sin
πk ′n FTц+
,
(17)
где
C
=
FTц+ −1 , FTц+
k ′ = 0, 1, 2, …, FTц+ −1, FTц+ .
Точки расположения отсчетных значений на оси частот для этого случая показаны на
рис. 1, в. Как видно из рисунка, все частоты кратны относительно низшей частоты. Приведе-
ние к прежнему расположению частот осуществляется с использованием формулы (15).
2π а)
π 2FT = 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
б) k → π
2FT = 11 FT = 5,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
в)
k→ π
2FT = 11 FTц+ = 6
01 23456
k′ →
Рис. 1
Появление в формулах коэффициента пропорциональности С обусловлено тем, что амплитуды составляющих сигнала зависят от изменившегося интервала между точками расположения отсчетных значений на оси частот. Значения коэффициентов A0 и AFTц+ при выборе отсчетных значений на оси частот находим из системы уравнений (14), которая преобразуется к виду
∑A0
2
+
AFTц+ 2
FTц+ −1
+ Ak
k′=1
= 0,
⎫ ⎪ ⎪
∑A0
2
−
AFTц+ 2
+
FTц+ −1⎛ k′=1 ⎝⎜⎜
Ak′
cos
2πFT FTц+
k
′
+
Bk′
sin
2πFT FTц+
⎬
k
′
⎞ ⎟⎠⎟
=
0.⎪⎪ ⎭
(18)
Как следует из системы (18), в отличие от четного случая, ни один из коэффициентов А0 и AFTц+ не может быть выбран произвольно, они определяются однозначно из решения сис-
темы. Кроме того, коэффициенты А0 и AFTц+ в данном случае зависят не только от произ-
вольно выбираемых Аk′ , но имеют слабую зависимость и от всех коэффициентов Bk′ .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
20 А. В. Волынская
По выбранным значениям A и B находим отсчетные значения сигнала на оси времени:
∑s(n)
=
2 T
⎡ ⎢ ⎢⎣
A0 2
+ (−1)n
AFTц+ 2
+
FTц+ −1⎛ k′=1 ⎝⎜⎜
Ak′
cos
πk ′n FTц+
k ′ + Bk′ sin
πk ′n FTц+
⎞⎤ ⎠⎟⎟⎥⎦⎥
,
n
=
0,
1,
2,
…,
2FT
.
(19)
Математическое моделирование для конкретного достаточно сложного сигнала под-
тверждает правильность полученных соотношений и ограничений. На рис. 2 показаны графи-
ки восстановления сигнала на оси времени по формулам Голдмана (кривые 1) и уточненным
формулам (кривые 2) при четном (рис. 2, а) и нечетном (рис. 2, б) значениях 2FT. Расчет ко-
эффициентов Ak и Bk по формулам (7) и (8) и обратный пересчет их по формуле (11) или (12) дает точное совпадение отсчетных значений на оси времени с выбранными ранее (кривая 1 на
рис. 2, а), а полученные коэффициенты Ak удовлетворяют системе (14). При этом A0 = 0,0219 и AFT = 0,127. Если все коэффициенты Ak и Bk сохранить, а коэффициент AFT выбрать таким, чтобы система уравнений (14) не выполнялась (например, AFT = 0,28), то пересчет по формуле (11) или (13) дает отсчетные значения (кривая 2 на рис. 2, а), не совпадающие с ранее вы-
бранными. Если принять эти отсчетные значения за исходные, то не удается найти отсчетные
значения на оси частот, однозначно им соответствующие. Это очевидно из того, что s(0) и
s(2FT) не равны нулю.
а) s(n)
100 50 0
–50 –100 –150 –200
50 п 2 1
б) s(n)
100 50 0
–50 –100 –150
51 п 2 1
–200
Рис. 2
В случае когда 2FT нечетное число, взаимообратный пересчет отсчетных значений по формулам (7), (8) и (13) приводит к несовпадению результатов (кривая 2 на рис. 2, б), а пересчет по формулам (16), (17) и (19) дает точное совпадение, и получаемые при этом коэффи-
циенты Аk′ и Bk′ удовлетворяют системе уравнений (14). Итак, для отсчетных значений сигнала на оси времени осуществляется свободный вы-
бор всех отсчетов, кроме s(0) и s(2FT), которые должны быть выбраны равными нулю. Для отсчетных значений сигнала на оси частот осуществляется свободный выбор всех коэффициен-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Особенности преобразования дискретных сигналов
21
тов Аk и Bk, кроме В0 и BFT, которые должны быть выбраны равными нулю, а коэффициенты A0 и AFT определяются из решения системы уравнений (14) или (18), как и при нечетном значении 2FT. В последнем случае необходимо изменить расположение отсчетных точек на оси
частот.
Приведенные скорректированные выражения позволяют получать более точные резуль-
таты при взаимных преобразованиях сигналов, в частности при математическом моделирова-
нии [3, 4].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров М.: Наука, 1965. С. 109.
2. Голдман С. Теория информации. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. С. 99.
3. Волынская А. В., Сергеев Б. С. Моделирование метода весового накопления сигнала для сетей передачи информации транспорта // Электроника и электрооборудование транспорта. 2008. № 3. С. 2—6.
4. Волынская А. В. Результаты математического моделирования процесса поиска кодовых последовательностей с заданными корреляционными свойствами // Вестн. Урал. гос. ун-та путей сообщения: Науч.-техн. журнал. Екатеринбург: УрГУПС, 2009. № 3—4. С. 64—71.
Анна Владимировна Волынская
Сведения об авторе — канд. техн. наук, доцент; Уральский государственный университет
путей сообщения, кафедра связи, Екатеринбург; E-mail: anna-volinskaya@mail.ru
Рекомендована кафедрой связи
Поступила в редакцию 12.12.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
УДК 656.25, 621.391.82
А. В. ВОЛЫНСКАЯ
ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Показано, что при произвольном выборе дискретных значений сигналов (например, с помощью датчика случайных чисел при компьютерном моделировании) взаимообратные преобразования по формулам Голдмана некорректны, т.е. обратное преобразование не дает точных значений первоначального сигнала. Предложены уточненные формулы, позволяющие получить абсолютно корректный результат. Ключевые слова: дискретные сигналы, преобразования Фурье, ортогональность.
При функционировании сложных информационно-измерительных комплексов в условиях высокого уровня помех в широком спектре частот необходимо применять взаимные преобразования сигналов с временной области на частотную и обратно. Иными словами, в зависимости от решаемой задачи сигналы в каналах передачи информации можно рассматривать и как функции времени, и как функции частоты, которые однозначно связаны между собой преобразованиями Фурье [1]. Для дискретных сигналов это преобразование можно осуществлять по формулам, предложенным Голдманом [2]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
16 А. В. Волынская
∑Sk
=
1 2F
2FT
s(n)
e−
j
2πkn 2 FT
n=0
;
(1)
∑( )s
n
=
1 T
FT k =−FT
Sk
e
j
2πkn 2FT
,
(2)
где
Sk
≡
S
⎛ ⎜⎝
2πk T
⎞ ⎠⎟
,
s(n)
≡
s
⎛ ⎜⎝
n 2F
⎞ ⎟⎠
—
отсчетные
значения
сигнала
на
оси
частот
и
на
оси
вре-
мени соответственно; F — ширина спектра сигнала; Т — длительность сигнала.
Однако в выражениях (1) и (2) не учтены ограничения, связанные со свободой выбора
отсчетных значений сигнала на осях времени и частот. При произвольном выборе отсчетных
значений взаимообратный пересчет по этим формулам не дает совпадающих результатов.
В настоящей статье предложены скорректированные формулы, позволяющие получить одно-
значное соответствие при взаимном пересчете произвольно выбранных отсчетных значений
сигнала либо его фурье-образа.
Для того чтобы преобразования были ортогональными, они должны сохранять меру
преобразования [1]. Преобразование может быть выполнено с сохранением меры, если в фор-
муле для вычисления квадратичного эффекта сигнала
∫ ∑ ∑( )T ⎡⎣s (t)⎤⎦2 dt
0
=
1 2F
2FT n=0
⎡⎢⎣S
⎛ ⎝⎜
n 2F
2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
1 T
a02
+
2 T
FT n=1
an2
+ bn2
(3)
переменные а0, а и b заменить на новые переменные а′0, а′ и b′ по формулам
a0′ =
2F T
⋅ a0 ,
a′ = 2
F T
⋅ a,
b′ = 2
F T
⋅ b.
(4)
Зависимости (1) и (2) можно записать в виде системы уравнений
y1 = a11x1 + a12 x2 + … + a1n xn ; ⎫
y2 = a21x1 + a22 x2 + … + a2n xn ;⎪⎪
…………………………………
⎬ ⎪
yn = an1x1 + an2 x2 + … + ann xn ,⎭⎪
(5)
где n = 2FT +1 — число отсчетных значений; yi — отсчетные значения вещественной и мнимой составляющих спектральной функции сигнала; xi — отсчетные значения сигнала на оси времени; aik — постоянные коэффициенты, пропорциональные значениям синусов и косинусов кратных частот в отсчетных точках.
Рассматривая yi и xi как проекции векторов, можно сказать, что для произвольного задания отсчетных значений сигнала на оси частот необходимо, чтобы векторы yi были ортогональны, т.е. скалярное произведение любых двух различных векторов системы (5) должно
равняться нулю:
ai1a j1 + ai2a j2 + … + aina jn
=
⎧1 ⎩⎨0
при i = j, при i ≠ j.
(6)
Однако последнее уравнение системы (5) этому условию не удовлетворяет, так как его
коэффициенты имеют множители типа sin π k и, следовательно, все они равны нулю (квад-
ратная матрица коэффициентов ai j выражения (6) вырождена). Это значит, что условие неза-
висимого выбора всех отсчетных значений не является безоговорочным. То же самое можно
сказать и о векторах xi. Требуется установить ограничения на свободу выбора отсчетных значений сигнала на оси частот и оси времени, однозначно связанных между собой.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Особенности преобразования дискретных сигналов
17
Вводя ортогональные составляющие спектральной функции
∑Ak
≡
A ⎜⎝⎛
2πk T
⎞ ⎟⎠
=
1 2F
2FT n=0
s(n)
cos
2πkn 2FT
;
∑Bk
≡
B
⎛ ⎜⎝
2πk T
⎞ ⎟⎠
=
1 2F
2 FT
s(n) sin
n=0
2πkn 2FT
,
рассмотрим следующую сумму:
(7) (8)
∑ ∑ ∑( )s
n
=
1 T
FT k =−FT
( Ak
−
j 2πkn
jBk ) e 2FT
1 =T
FT −1 k =−FT
1 2F
2FT j 2πk (n−i)
s(i) e 2FT
i=1
=
∑ ∑ ∑ ∑=
1 2FT
2 FT i=0
s(i) FT −1 cos 2πk(n − i)
k =−FT
2FT
+
j1 2FT
2FT s(i) FT −1 sin 2πk(n − i).
i=0 k=−FT
2FT
Второе слагаемое последнего равенства обращается в нуль, так как
(9)
∑ ∑FT −1
k =−FT
sin
2πkn 2FT
=
FT k =− FT
sin
2πkn 2FT
− sin
πn ,
где каждое из двух слагаемых равно нулю. Первое слагаемое равенства (9) можно выразить следующим образом:
∑ ∑1
2FT
2 FT i=0
FT −1
s(i)
k =− FT
cos
2πk(n − 2FT
i)
=
∑ ∑ ∑ ∑=
1 2FT
2 FT i=0
FT −1
s(n)
k =−FT
cos 0
+
1 2FT
2FT i=0
FT −1
s(i)
k =−FT
cos
2πk(n − 2FT
i).
i≠1
(10)
В свою очередь, первое слагаемое равенства (10) равно s(n). Второе слагаемое обращается в нуль при любых n, кроме n = 0 и n = 2FT, при которых оно равно s(2FT) и s(0) соответ-
ственно. Следовательно, равенство (9) обращается в тождество типа s(n) ≡ s(n) при любых n = =0, 1, 2 … 2FT, если принять, что s(0) = s(2FT) = 0. Только при этом условии второе слагаемое в уравнении (10) обращается в нуль при всех n.
Таким образом, точный пересчет отсчетных значений должен производиться по формулам
( ) ∑ ∑s
n
1 =T
FT −1
Sk
k =− FT
e
j
2πkn 2 FT
1 FT −1 = T k=−FT
( Ak
−
jBk
)
e
j
2πkn 2 FT
.
(11)
Принцип произвольного выбора отсчетных значений сигнала на оси времени распространя-
ется на все значения s(n), кроме s(0) и s(2FT), которые должны приниматься равными нулю.
Для выяснения ограничений по выбору отсчетных значений на оси частот преобразуем
выражение (11):
∑ ∑s(n)
=
1 T
FT −1 k =−FT
Ak
cos
2πkn 2FT
+
j
1 T
FT −1 k =− FT
Ak
sin
2πkn 2FT
−
∑ ∑−
j
1 T
FT −1 k =−FT
Bk
cos
2πkn 2FT
+
1 T
FT −1 k =−FT
Bk
sin
22πFkTn.
(12)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
18 А. В. Волынская
Второе слагаемое, как было показано выше, обращается в нуль. Чтобы правая часть бы-
ла вещественной, третье слагаемое должно быть равно нулю, его можно записать следующим
образом:
∑ ∑1
T
FT −1 k =−FT
Bk
cos
2πkn 2FT
=
1 T
FT k =−FT
Bk
cos
2πkn 2FT
−
(−1)n
1 T
BFT
.
С учетом того, что B0 = 0, первое слагаемое этого равенства обращается в нуль. Следова-
тельно, для обращения в нуль третьего слагаемого равенства (12) необходимо выбирать
BFT = 0. Кроме этого, при выборе отсчетных значений необходимо соблюсти четность Аk и не-
четность Вk. Учитывая эти свойства, выражение (12) можно преобразовать следующим образом:
∑s(n)
=
1 T
FT −1 k =−FT
⎛ ⎝⎜
Ak
cos
2πkn 2FT
+
Bk
sin
2πkn 2FT
⎞ ⎠⎟
=
∑ ∑=
1 T
FT −1⎛ k=0 ⎝⎜
Ak
cos
2πkn 2FT
+
Bk
sin
2πkn 2FT
⎞ ⎟⎠
+
1 T
FT k =−FT
⎛ ⎜⎝
Ak
cos
2πkn 2FT
+
Bk
sin
2πkn 2FT
⎞ ⎠⎟
=
∑=
2 T
⎡ ⎢ ⎢⎣
A0 2
+ (−1)n
AFT 2
+
FT −1⎛ k=1 ⎜⎝
Ak
cos 2πkn 2FT
+ Bk
sin
2πkn 2FT
⎞⎤ ⎠⎟⎥⎦⎥
.
(13)
В формуле (13) отрицательные составляющие не содержатся. Поэтому при выборе от-
счетных значений на положительной полуоси частот можно не соблюдать четность. Однако
этот выбор должен быть таким, чтобы в соответствии с выражением (13) s(0) и s(2FT) равня-
лись нулю. Подставив в него n = 0 и n = 2FT, получим два уравнения, из которых найдем ог-
раничения, накладываемые на выбор отсчетных значений Ak:
A0
∑2
A0
∑2
+
AFT 2
FT −1
+ Ak
k =1
= 0,
+ (−1)2FT
AFT 2
FT −1
+ Ak
k =1
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ = 0.⎪⎪⎭
(14)
В соответствии с системой уравнений (14) все значения Ak могут быть выбраны произвольно, кроме А0 и AFT, которые определяются из ее решения. При этом возможны два варианта. Если 2FT четное число, то решение неоднозначно, и один из коэффициентов может
быть задан произвольно. Если 2FТ нечетное число, то FT и FT – 1 нецелые числа, и в форму-
лах (7), (8), (13) и (14) k принимает значения 0, 1, 2, ..., FT – 1, FT, где два последних значе-
ния — нецелые числа. Это приводит к нарушению условия ортогональности векторов и, как
следствие, к нарушению однозначного соответствия между отсчетными значениями в полу-
ченных формулах.
На рис. 1 показано расположение отсчетных значений Ak и Bk на интервале 2π на оси частот при четном и нечетном значениях 2FT. Когда k принимает значение FТ, частота при-
нимает значение π. При четном значении 2FT (см. рис. 1, а) все частоты кратны относительно
низшей частоты, а при нечетном (см. рис. 1, б) — последняя частота (при k = FT) некратна
относительно низшей частоты, что и нарушает ортогональность.
Для восстановления ортогональности преобразуем аргумент в формулах (7) и (8) сле-
дующим образом:
2πkn 2FT
=
π FTц+
FTц+ FT
kπ =
πk ′n FTц+
;
0 ≤ k ′ ≤ FTц+ ;
k
=
FT FTц+
k ′,
(15)
где FT — нецелое число, а FTц+ — ближайшее к нему сверху целое число.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Особенности преобразования дискретных сигналов
19
С учетом этого преобразования аргумента формулы (7) и (8) перепишем следующим об-
разом:
∑Ak′
=
C
1 2F
2 FT n=0
s(n) cos
πk ′n FTц+
;
(16)
∑Bk′
=
C
1 2F
2 FT n=0
s(n) sin
πk ′n FTц+
,
(17)
где
C
=
FTц+ −1 , FTц+
k ′ = 0, 1, 2, …, FTц+ −1, FTц+ .
Точки расположения отсчетных значений на оси частот для этого случая показаны на
рис. 1, в. Как видно из рисунка, все частоты кратны относительно низшей частоты. Приведе-
ние к прежнему расположению частот осуществляется с использованием формулы (15).
2π а)
π 2FT = 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
б) k → π
2FT = 11 FT = 5,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
в)
k→ π
2FT = 11 FTц+ = 6
01 23456
k′ →
Рис. 1
Появление в формулах коэффициента пропорциональности С обусловлено тем, что амплитуды составляющих сигнала зависят от изменившегося интервала между точками расположения отсчетных значений на оси частот. Значения коэффициентов A0 и AFTц+ при выборе отсчетных значений на оси частот находим из системы уравнений (14), которая преобразуется к виду
∑A0
2
+
AFTц+ 2
FTц+ −1
+ Ak
k′=1
= 0,
⎫ ⎪ ⎪
∑A0
2
−
AFTц+ 2
+
FTц+ −1⎛ k′=1 ⎝⎜⎜
Ak′
cos
2πFT FTц+
k
′
+
Bk′
sin
2πFT FTц+
⎬
k
′
⎞ ⎟⎠⎟
=
0.⎪⎪ ⎭
(18)
Как следует из системы (18), в отличие от четного случая, ни один из коэффициентов А0 и AFTц+ не может быть выбран произвольно, они определяются однозначно из решения сис-
темы. Кроме того, коэффициенты А0 и AFTц+ в данном случае зависят не только от произ-
вольно выбираемых Аk′ , но имеют слабую зависимость и от всех коэффициентов Bk′ .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
20 А. В. Волынская
По выбранным значениям A и B находим отсчетные значения сигнала на оси времени:
∑s(n)
=
2 T
⎡ ⎢ ⎢⎣
A0 2
+ (−1)n
AFTц+ 2
+
FTц+ −1⎛ k′=1 ⎝⎜⎜
Ak′
cos
πk ′n FTц+
k ′ + Bk′ sin
πk ′n FTц+
⎞⎤ ⎠⎟⎟⎥⎦⎥
,
n
=
0,
1,
2,
…,
2FT
.
(19)
Математическое моделирование для конкретного достаточно сложного сигнала под-
тверждает правильность полученных соотношений и ограничений. На рис. 2 показаны графи-
ки восстановления сигнала на оси времени по формулам Голдмана (кривые 1) и уточненным
формулам (кривые 2) при четном (рис. 2, а) и нечетном (рис. 2, б) значениях 2FT. Расчет ко-
эффициентов Ak и Bk по формулам (7) и (8) и обратный пересчет их по формуле (11) или (12) дает точное совпадение отсчетных значений на оси времени с выбранными ранее (кривая 1 на
рис. 2, а), а полученные коэффициенты Ak удовлетворяют системе (14). При этом A0 = 0,0219 и AFT = 0,127. Если все коэффициенты Ak и Bk сохранить, а коэффициент AFT выбрать таким, чтобы система уравнений (14) не выполнялась (например, AFT = 0,28), то пересчет по формуле (11) или (13) дает отсчетные значения (кривая 2 на рис. 2, а), не совпадающие с ранее вы-
бранными. Если принять эти отсчетные значения за исходные, то не удается найти отсчетные
значения на оси частот, однозначно им соответствующие. Это очевидно из того, что s(0) и
s(2FT) не равны нулю.
а) s(n)
100 50 0
–50 –100 –150 –200
50 п 2 1
б) s(n)
100 50 0
–50 –100 –150
51 п 2 1
–200
Рис. 2
В случае когда 2FT нечетное число, взаимообратный пересчет отсчетных значений по формулам (7), (8) и (13) приводит к несовпадению результатов (кривая 2 на рис. 2, б), а пересчет по формулам (16), (17) и (19) дает точное совпадение, и получаемые при этом коэффи-
циенты Аk′ и Bk′ удовлетворяют системе уравнений (14). Итак, для отсчетных значений сигнала на оси времени осуществляется свободный вы-
бор всех отсчетов, кроме s(0) и s(2FT), которые должны быть выбраны равными нулю. Для отсчетных значений сигнала на оси частот осуществляется свободный выбор всех коэффициен-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Особенности преобразования дискретных сигналов
21
тов Аk и Bk, кроме В0 и BFT, которые должны быть выбраны равными нулю, а коэффициенты A0 и AFT определяются из решения системы уравнений (14) или (18), как и при нечетном значении 2FT. В последнем случае необходимо изменить расположение отсчетных точек на оси
частот.
Приведенные скорректированные выражения позволяют получать более точные резуль-
таты при взаимных преобразованиях сигналов, в частности при математическом моделирова-
нии [3, 4].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров М.: Наука, 1965. С. 109.
2. Голдман С. Теория информации. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. С. 99.
3. Волынская А. В., Сергеев Б. С. Моделирование метода весового накопления сигнала для сетей передачи информации транспорта // Электроника и электрооборудование транспорта. 2008. № 3. С. 2—6.
4. Волынская А. В. Результаты математического моделирования процесса поиска кодовых последовательностей с заданными корреляционными свойствами // Вестн. Урал. гос. ун-та путей сообщения: Науч.-техн. журнал. Екатеринбург: УрГУПС, 2009. № 3—4. С. 64—71.
Анна Владимировна Волынская
Сведения об авторе — канд. техн. наук, доцент; Уральский государственный университет
путей сообщения, кафедра связи, Екатеринбург; E-mail: anna-volinskaya@mail.ru
Рекомендована кафедрой связи
Поступила в редакцию 12.12.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9