ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИЕМА СИГНАЛОВ ФАЗОАМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИИ В УСЛОВИЯХ НЕИДЕАЛЬНОСТИ КВАДРАТУРНЫХ КАНАЛОВ
ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
УДК 621.391.82
А. Ю. ЯНУШКОВСКИЙ А. В. КРИВОШЕЙКИН
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИЕМА СИГНАЛОВ ФАЗОАМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИИ В УСЛОВИЯХ НЕИДЕАЛЬНОСТИ КВАДРАТУРНЫХ КАНАЛОВ
Предлагается метод нахождения допусков на параметры демодулятора в цифровых системах связи, в которых применяется квадратурная амплитуднофазовая модуляция. Приводится выражение, связывающее отклонение угла сдвига фаз несущих колебаний квадратурных каналов демодулятора и вероятность ошибки.
Ключевые слова: номинальные значения, отклонение вероятности ошибки, квадратурная амплитудно-фазовая модуляция, поле сигналов, квадратурные каналы, пороговые уровни.
Введение. Квадратурная амплитудно-фазовая модуляция (КАМ) — это вид модуляции, при котором информация передается путем изменения амплитуды и фазы сигнала несущей частоты. При передаче цифровых сигналов некоторое число битов цифрового потока ставится в соответствие определенному сочетанию амплитуды и фазы; прием сигнала с такой модуляцией заключается в принятии решения о том, какое из возможных сочетаний амплитуды и фазы ( далее — сигналов) было передано. Такая модуляция может быть реализована путем амплитудной модуляции двух синусоидальных колебаний, угол сдвига фаз которых составляет 90° (квадратурные каналы i и q), с последующим их сложением. При приеме сигнала, в процессе демодуляции, также производится его разделение на квадратурные составляющие (поэтому в данной статье вывод всех выражений осуществляется для двух каналов i и q).
Показателем качества работы цифрового канала связи является вероятность возникновения ошибки, т.е. вероятность того, что при передаче какого-либо из сигналов было принято решение о приеме другого сигнала. Такая ошибка может возникнуть из-за наличия шумов в канале связи [1]. Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал/шум для систем, использующих КАМ, известна и регламентируется соответствующими стандартами [2]. Однако на вероятность возникновения ошибки могут также влиять и отклонения параметров систем, составляющих канал связи, а также неточное их изготовление.
В настоящей статье рассматривается влияние отклонения одного из параметров системы от номинального значения на помехоустойчивость системы, в которой используется квадратурная амплитудно-фазовая модуляция. В качестве параметра системы, вызывающего увеличение вероятности ошибки, принят угол сдвига фаз несущих колебаний квадратурных каналов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Помехоустойчивость приема сигналов фазоамплитудной модуляции
59
При выводе выражений было принято допущение, что на вероятность ошибки влияют
только четыре сигнала S2, S3, S4, S5 , ближайшие к переданному сигналу S1 (см. рисунок).
Справедливость такого допущения объясняется в работе [3]. В данной статье рассматривается модель канала связи, в котором области сигналов
приемника разделены некоторыми пороговыми уровнями U1i, U2i, U1q, U2q (см. рисунок), именно с этими значениями происходит сравнение принятого сигнала.
q
s5q S5
U1q S4 s1q
s4i
U2i, U2q
s3q
S1 S2
s1i U1i S3
s2i
i
Расчетные соотношения. Фазы сигналов несущей частоты в квадратурных каналах
многоуровневых систем передачи должны быть сдвинуты относительно друг друга на 90°. Неточность исполнения реальных систем (т.е. неточность выполнения операции сдвига не-
сущих колебаний на 90° как в цифровых системах, так и в аналоговых) приводит к дополнительному сдвигу на угол ϕ , что вызывает увеличение вероятности ошибки при приеме сигна-
ла. В этом случае передаваемый сигнал S1 определяется как
S1 = s1i cos (ωt + ϕ) + ξi + s1q sin (ωt ) + ξq =
( )= s1i cos ϕcos (ωt ) + ξi + s1q − s1i sin ϕ sin (ωt ) + ξq ,
(1)
где s1i и s1q — амплитуды квадратурных составляющих сигнала S1 при ϕ = 0 ; ξi , ξq — гаус-
совские некоррелированные шумы в каналах i, q.
Из выражения (1) следует, что сигналы в каналах i и q приемника определяются соот-
ветственно соотношениями
S1i = s1i cos ϕ + ξi ,
(2)
S1q = s1q − s1i sin ϕ + ξq .
(3)
Распределение плотности вероятности принято нормальным исходя из закона больших чисел [4]. Математические ожидания сигналов (2) и (3) вычисляются как
M [S1i ] = s1i cos ϕ ,
(4)
M ⎡⎣S1q ⎦⎤ = s1q − s1i sin ϕ .
(5)
Рассмотрим сначала канал i. Вероятность ошибки Pi, возникающая в канале i, равна
сумме вероятности того, что сигнал S1i превысит пороговое значение U1i , и вероятности то-
го, что сигнал S1i будет меньше значения U2i . Таким образом, справедлива формула
Pi ( M [S1i ]) = P ( S1i > U1i ) + P ( S1i < U2i ) =
∫1
∞ −ρ2
e 2 dρ +
2π U1i −M [S1i ]
∫1
U2i −M [S1i ]
σ
−ρ2
e 2 dρ , (6)
2π −∞
σ
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
60 А. Ю. Янушковский А. В. Кривошейкин
где ρ — переменная интегрирования, σ — среднее квадратическое отклонение.
Разложим функцию Pi (M [S1i ]) в ряд Тейлора по переменной M [S1i ] в окрестности
значения s1i и ограничимся тремя членами разложения. Найдем выражения для первой и вто-
рой
производной
и
определим
их
значения
при
условии
s1i
=
U 2i
+ U1i 2
,
т.е.
при
номинальном
значении сигнала, находящемся в середине области (между пороговыми уровнями) [5]:
dPi dM
(s1i ) [S1i ]
=
0,
(7)
( )d 2Pi (s1i ) ( )d M [S1i ] 2
=
σ3
2
2π
exp
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
−
U1i
− M [S1i ]
8σ2
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎝⎜
U1i
− U2i 2
⎞ ⎟⎠
.
(8)
Ограничимся тремя членами разложения и представим выражение (6) в следующем виде:
Pi
(
M
[
S1i
])
=
Pi
(
s1i
)
+
dPi dM
(s1i ) [S1i ]
(
M
[
S1i
]
−
s1i
)
+
1 2
d
d 2Pi (s1i )
(M [S1i ])2
(
M
[ S1i
]
−
s1i
)2
.
Подставив уравнения (7) и (8) в формулу (9), получим
(9)
( ) ( )Pi
M [S1i ]
−
Pi
( s1i
)
=
σ3
1 2π
exp
⎛ ⎜⎝
−
U1i − U 8σ2
2i
⎞ ⎛ U1i ⎟⎠ ⎜⎝
− U2i 2
⎞ ⎠⎟
M [S1i ] − s1i
2.
(10)
Введем функцию X (ϕ) = ( M [S1i ] − s1i )2 , которая с учетом выражения (4) имеет вид
X (ϕ) = s1i2 (1 − cos ϕ)2 .
(11)
Для разложения функции (11) в ряд Тейлора по переменной φ при ϕ = 0 определим ко-
эффициенты разложения:
dX (ϕ)
dϕ
ϕ=0
=
0,
d2 X (ϕ)
d ϕ2
ϕ=0
=
0,
d3X (ϕ)
d ϕ3
ϕ=0
=
0,
d4 X (ϕ)
d ϕ4
ϕ=0
=
6s12i
.
Ограничимся пятью членами разложения и представим выражение (11) в следующем
виде:
X
(ϕ)
=
6 4!
s12iϕ4
=
1 4
s12iϕ4
.
(12)
Подставив формулу (12) в (10) и разделив обе части выражения (10) на величину
Pi ( s1i ) , после выполнения преобразований получим
( )Pi M [S1i ]
Pi ( s1i )
=1+
⎡ ⎢
1
⎢ ⎣
4σ3
2π
U1i
− U2i 2
s12i Pi
exp
⎛ ⎜ ⎜⎝
−
(U1i
−U 8σ2
2i
(s1i )
)2
⎞⎤
⎟ ϕ4 ⎥
⎠⎟
⎥ ⎦
.
(13)
Из уравнения (13) следует, что при любом отклонении разности фаз от значения 90° вероят-
ность ошибки увеличится.
Используя
соотношение
s1i
= U2i
+ U1i 2
,
подставим
в
формулу (6)
значение
M [S1i ] ϕ=0 = s1i , в результате получим
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Помехоустойчивость приема сигналов фазоамплитудной модуляции
61
Pi ( s1i ) =
∫1
∞ −ρ2
e 2 dρ +
2π U1i −U2i
2σ
∫1
U2i −U1i 2σ
−ρ2
e 2 dρ =
2π −∞
∫2
∞ −ρ2
e 2 dρ .
2π U1i −U2i
2σ
(14)
Введем
обозначение
hi
=
U1i − U2i 2σ
и
подставим
выражение
(14)
в
(13):
( )Pi M [S1i ] ∫Pi (s1i )
=
1+
⎢⎣⎢⎡⎢⎜⎝⎛
s1i 2σ
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
⎞2 ⎟⎠
2 2π
1 2π
−hi2
hi e 2
ϕ4
∞ −ρ2 ⎤ e 2 dρ⎥⎥
hi ⎥⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎦⎥
.
(15)
Величина hi в реальных системах с многоуровневой модуляцией значительно больше
единицы. Поэтому, считая величину hi в уравнении (15) сколь угодно большой, воспользуем-
ся правилом Лопиталя для устранения неопределенности, в результате получим
Pi
(M [S1i
P i (s1i )
])
=
1+
1 8
⎛ ⎜⎝
s1i σ
⎞2 ⎠⎟
hi2ϕ4
.
(16)
Перейдем теперь к рассмотрению канала q. Вероятность ошибки Pq, возникающая в канале q, определяется по формуле
( ) ( ) ( )Pq M ⎡⎣S1q ⎤⎦ = P S1q > U1q + P S1q < U2q =
∫ ∫= 1
∞
−ρ2
e 2 dρ +
1
U2q −M ⎡⎣S1q ⎤⎦ σ
−ρ2
e 2 dρ.
2π U1q −M ⎣⎡S1q ⎦⎤
2π −∞
σ
(17)
Выполнив преобразования уравнения (17), идентичные проведенным для канала i, получим формулу, аналогичную выражению (10):
( ) ( ) ( )Pq
M ⎣⎡S1q ⎤⎦ − Pq
s1q
=
σ3
1 2π
exp
⎛ ⎜
⎝
−
U1q − U2q 8σ2
⎞ ⎛ U1q ⎟⎜ ⎠⎝
− U 2q 2
⎞ ⎟ ⎠
M ⎡⎣S1q ⎤⎦ − s1q
2.
(18)
( )Введем функцию Y (ϕ) =
M ⎡⎣S1q ⎦⎤ − s1q
2
, которая с учетом уравнения (3) имеет вид
Y (ϕ) = s12i sin2 ϕ .
(19)
Разложим (19) в ряд Тейлора по переменной ϕ при ϕ = 0 , для этого определим коэффициен-
ты разложения:
dY (ϕ)
dϕ
ϕ=0
=
0,
d 2Y (ϕ)
d ϕ2
ϕ=0
=
2s12i .
Ограничимся тремя членами разложения и представим выражение (19) в следующем виде:
Y (ϕ) = s12iϕ2 .
(20)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
62 А. Ю. Янушковский А. В. Кривошейкин
Подставив формулу (20) в (18) и разделив обе части выражения (18) на величину
( )Pq s1q , после выполнения преобразований получим
( ) ( )Pq M ⎣⎡S1q ⎤⎦
( )Pq s1q
⎡ ⎢
1
U1q −U2q
=
1
+
⎢ ⎢
σ3
2
⎢⎣
⎛ s12i exp ⎜⎜⎝ −
Pq(s1q )
U1q −U2q 8σ2
2⎞ ⎤
⎟⎟⎠
ϕ2
⎥ ⎥ ⎥
.
⎥⎦
(21)
Используя
соотношение
s1q
=
U2q
+ U1q 2
,
подставим
в
формулу
(17)
величину
M ⎣⎡S1q ⎦⎤ ϕ=0 = s1q , в результате получим
( )Pq s1q =
∫1
∞ −ρ2
e 2 dρ +
2π U1q −U2q
∫1
U2q −U1q 2σ
−ρ2
e 2 dρ =
2π −∞
∫2
∞ −ρ2
e 2 dρ .
2π U1q −U2q
2σ 2σ
Введем
обозначение
hq
=
U1q − U2q 2σ
и подставим выражение (22) в (21):
(22)
( )Pq M ⎡⎣S1q ⎦⎤
( ) ∫Pq s1q
=
1+
⎡ ⎢⎛ ⎢⎢ ⎝⎜ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢
s1i σ
⎞2 ⎠⎟
2 2π
hq
−hq2
e 2 ϕ2
2π
∞ −ρ2
e 2 dρ
hq
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥
.
(23)
Считая величину hq в уравнении (23) сколь угодно большой и используя правило Лопиталя для устранения неопределенности, получаем
( )Pq M ⎡⎣S1q ⎦⎤
Pq (s1q )
=1+
1 2
⎛ ⎝⎜
s1i σ
⎞2 ⎟⎠
hq2ϕ2 .
(24)
В силу того, что точки звездного поля [2] находятся на равном расстоянии друг от друга, справедливы следующие соотношения:
( )hq
=
hi
=
U1i − U2i 2σ
;
Pq s1q = Pi ( s1i ) .
(25)
Введем обозначения для вероятностей ошибок в каналах i и q при наличии угла ϕ и его
отсутствии, т.е. при ϕ = 0 :
Pi (ϕ) = Pi (M [S1i ]), Pi (0) = Pi (s1i );
⎫⎪
( ) ( )Pq (ϕ) = Pq M ⎣⎡S1q ⎦⎤ , Pq (0) = Pq s1q = Pi (0).⎭⎪⎬
(26)
Полная вероятность ошибки P (ϕ) при наличии дополнительного угла ϕ равна сумме
вероятностей ошибок в каналах i и q. Используя выражения (16) и (24)—(26) , получаем
P(ϕ)
=
Pi
(ϕ)
+
Pq
(ϕ)
=
Pi
(0)
+
Pq
(0)
+
Pi
(0)
1 8
⎛ ⎝⎜
s1i σ
⎞2 ⎟⎠
hi 2 ϕ4
+
Pq
(0)
1 2
⎛ ⎜⎝
s1i σ
⎞2 ⎟⎠
hi2ϕ2
.
(27)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Помехоустойчивость приема сигналов фазоамплитудной модуляции
63
Из уравнений (26) следует, что Pi(0)=P(0)/2, где P(0) — полная вероятность ошибки при φ=0. Преобразуем выражение (27):
( )P(ϕ)
P(0)
=
1+
⎛ ⎝⎜
s1i σ
⎞2 ⎟⎠
hi2
1 4
ϕ2
+
1 16
ϕ4
.
(28)
Так как значение угла φ
УДК 621.391.82
А. Ю. ЯНУШКОВСКИЙ А. В. КРИВОШЕЙКИН
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИЕМА СИГНАЛОВ ФАЗОАМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИИ В УСЛОВИЯХ НЕИДЕАЛЬНОСТИ КВАДРАТУРНЫХ КАНАЛОВ
Предлагается метод нахождения допусков на параметры демодулятора в цифровых системах связи, в которых применяется квадратурная амплитуднофазовая модуляция. Приводится выражение, связывающее отклонение угла сдвига фаз несущих колебаний квадратурных каналов демодулятора и вероятность ошибки.
Ключевые слова: номинальные значения, отклонение вероятности ошибки, квадратурная амплитудно-фазовая модуляция, поле сигналов, квадратурные каналы, пороговые уровни.
Введение. Квадратурная амплитудно-фазовая модуляция (КАМ) — это вид модуляции, при котором информация передается путем изменения амплитуды и фазы сигнала несущей частоты. При передаче цифровых сигналов некоторое число битов цифрового потока ставится в соответствие определенному сочетанию амплитуды и фазы; прием сигнала с такой модуляцией заключается в принятии решения о том, какое из возможных сочетаний амплитуды и фазы ( далее — сигналов) было передано. Такая модуляция может быть реализована путем амплитудной модуляции двух синусоидальных колебаний, угол сдвига фаз которых составляет 90° (квадратурные каналы i и q), с последующим их сложением. При приеме сигнала, в процессе демодуляции, также производится его разделение на квадратурные составляющие (поэтому в данной статье вывод всех выражений осуществляется для двух каналов i и q).
Показателем качества работы цифрового канала связи является вероятность возникновения ошибки, т.е. вероятность того, что при передаче какого-либо из сигналов было принято решение о приеме другого сигнала. Такая ошибка может возникнуть из-за наличия шумов в канале связи [1]. Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал/шум для систем, использующих КАМ, известна и регламентируется соответствующими стандартами [2]. Однако на вероятность возникновения ошибки могут также влиять и отклонения параметров систем, составляющих канал связи, а также неточное их изготовление.
В настоящей статье рассматривается влияние отклонения одного из параметров системы от номинального значения на помехоустойчивость системы, в которой используется квадратурная амплитудно-фазовая модуляция. В качестве параметра системы, вызывающего увеличение вероятности ошибки, принят угол сдвига фаз несущих колебаний квадратурных каналов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Помехоустойчивость приема сигналов фазоамплитудной модуляции
59
При выводе выражений было принято допущение, что на вероятность ошибки влияют
только четыре сигнала S2, S3, S4, S5 , ближайшие к переданному сигналу S1 (см. рисунок).
Справедливость такого допущения объясняется в работе [3]. В данной статье рассматривается модель канала связи, в котором области сигналов
приемника разделены некоторыми пороговыми уровнями U1i, U2i, U1q, U2q (см. рисунок), именно с этими значениями происходит сравнение принятого сигнала.
q
s5q S5
U1q S4 s1q
s4i
U2i, U2q
s3q
S1 S2
s1i U1i S3
s2i
i
Расчетные соотношения. Фазы сигналов несущей частоты в квадратурных каналах
многоуровневых систем передачи должны быть сдвинуты относительно друг друга на 90°. Неточность исполнения реальных систем (т.е. неточность выполнения операции сдвига не-
сущих колебаний на 90° как в цифровых системах, так и в аналоговых) приводит к дополнительному сдвигу на угол ϕ , что вызывает увеличение вероятности ошибки при приеме сигна-
ла. В этом случае передаваемый сигнал S1 определяется как
S1 = s1i cos (ωt + ϕ) + ξi + s1q sin (ωt ) + ξq =
( )= s1i cos ϕcos (ωt ) + ξi + s1q − s1i sin ϕ sin (ωt ) + ξq ,
(1)
где s1i и s1q — амплитуды квадратурных составляющих сигнала S1 при ϕ = 0 ; ξi , ξq — гаус-
совские некоррелированные шумы в каналах i, q.
Из выражения (1) следует, что сигналы в каналах i и q приемника определяются соот-
ветственно соотношениями
S1i = s1i cos ϕ + ξi ,
(2)
S1q = s1q − s1i sin ϕ + ξq .
(3)
Распределение плотности вероятности принято нормальным исходя из закона больших чисел [4]. Математические ожидания сигналов (2) и (3) вычисляются как
M [S1i ] = s1i cos ϕ ,
(4)
M ⎡⎣S1q ⎦⎤ = s1q − s1i sin ϕ .
(5)
Рассмотрим сначала канал i. Вероятность ошибки Pi, возникающая в канале i, равна
сумме вероятности того, что сигнал S1i превысит пороговое значение U1i , и вероятности то-
го, что сигнал S1i будет меньше значения U2i . Таким образом, справедлива формула
Pi ( M [S1i ]) = P ( S1i > U1i ) + P ( S1i < U2i ) =
∫1
∞ −ρ2
e 2 dρ +
2π U1i −M [S1i ]
∫1
U2i −M [S1i ]
σ
−ρ2
e 2 dρ , (6)
2π −∞
σ
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
60 А. Ю. Янушковский А. В. Кривошейкин
где ρ — переменная интегрирования, σ — среднее квадратическое отклонение.
Разложим функцию Pi (M [S1i ]) в ряд Тейлора по переменной M [S1i ] в окрестности
значения s1i и ограничимся тремя членами разложения. Найдем выражения для первой и вто-
рой
производной
и
определим
их
значения
при
условии
s1i
=
U 2i
+ U1i 2
,
т.е.
при
номинальном
значении сигнала, находящемся в середине области (между пороговыми уровнями) [5]:
dPi dM
(s1i ) [S1i ]
=
0,
(7)
( )d 2Pi (s1i ) ( )d M [S1i ] 2
=
σ3
2
2π
exp
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
−
U1i
− M [S1i ]
8σ2
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎝⎜
U1i
− U2i 2
⎞ ⎟⎠
.
(8)
Ограничимся тремя членами разложения и представим выражение (6) в следующем виде:
Pi
(
M
[
S1i
])
=
Pi
(
s1i
)
+
dPi dM
(s1i ) [S1i ]
(
M
[
S1i
]
−
s1i
)
+
1 2
d
d 2Pi (s1i )
(M [S1i ])2
(
M
[ S1i
]
−
s1i
)2
.
Подставив уравнения (7) и (8) в формулу (9), получим
(9)
( ) ( )Pi
M [S1i ]
−
Pi
( s1i
)
=
σ3
1 2π
exp
⎛ ⎜⎝
−
U1i − U 8σ2
2i
⎞ ⎛ U1i ⎟⎠ ⎜⎝
− U2i 2
⎞ ⎠⎟
M [S1i ] − s1i
2.
(10)
Введем функцию X (ϕ) = ( M [S1i ] − s1i )2 , которая с учетом выражения (4) имеет вид
X (ϕ) = s1i2 (1 − cos ϕ)2 .
(11)
Для разложения функции (11) в ряд Тейлора по переменной φ при ϕ = 0 определим ко-
эффициенты разложения:
dX (ϕ)
dϕ
ϕ=0
=
0,
d2 X (ϕ)
d ϕ2
ϕ=0
=
0,
d3X (ϕ)
d ϕ3
ϕ=0
=
0,
d4 X (ϕ)
d ϕ4
ϕ=0
=
6s12i
.
Ограничимся пятью членами разложения и представим выражение (11) в следующем
виде:
X
(ϕ)
=
6 4!
s12iϕ4
=
1 4
s12iϕ4
.
(12)
Подставив формулу (12) в (10) и разделив обе части выражения (10) на величину
Pi ( s1i ) , после выполнения преобразований получим
( )Pi M [S1i ]
Pi ( s1i )
=1+
⎡ ⎢
1
⎢ ⎣
4σ3
2π
U1i
− U2i 2
s12i Pi
exp
⎛ ⎜ ⎜⎝
−
(U1i
−U 8σ2
2i
(s1i )
)2
⎞⎤
⎟ ϕ4 ⎥
⎠⎟
⎥ ⎦
.
(13)
Из уравнения (13) следует, что при любом отклонении разности фаз от значения 90° вероят-
ность ошибки увеличится.
Используя
соотношение
s1i
= U2i
+ U1i 2
,
подставим
в
формулу (6)
значение
M [S1i ] ϕ=0 = s1i , в результате получим
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Помехоустойчивость приема сигналов фазоамплитудной модуляции
61
Pi ( s1i ) =
∫1
∞ −ρ2
e 2 dρ +
2π U1i −U2i
2σ
∫1
U2i −U1i 2σ
−ρ2
e 2 dρ =
2π −∞
∫2
∞ −ρ2
e 2 dρ .
2π U1i −U2i
2σ
(14)
Введем
обозначение
hi
=
U1i − U2i 2σ
и
подставим
выражение
(14)
в
(13):
( )Pi M [S1i ] ∫Pi (s1i )
=
1+
⎢⎣⎢⎡⎢⎜⎝⎛
s1i 2σ
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
⎞2 ⎟⎠
2 2π
1 2π
−hi2
hi e 2
ϕ4
∞ −ρ2 ⎤ e 2 dρ⎥⎥
hi ⎥⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎦⎥
.
(15)
Величина hi в реальных системах с многоуровневой модуляцией значительно больше
единицы. Поэтому, считая величину hi в уравнении (15) сколь угодно большой, воспользуем-
ся правилом Лопиталя для устранения неопределенности, в результате получим
Pi
(M [S1i
P i (s1i )
])
=
1+
1 8
⎛ ⎜⎝
s1i σ
⎞2 ⎠⎟
hi2ϕ4
.
(16)
Перейдем теперь к рассмотрению канала q. Вероятность ошибки Pq, возникающая в канале q, определяется по формуле
( ) ( ) ( )Pq M ⎡⎣S1q ⎤⎦ = P S1q > U1q + P S1q < U2q =
∫ ∫= 1
∞
−ρ2
e 2 dρ +
1
U2q −M ⎡⎣S1q ⎤⎦ σ
−ρ2
e 2 dρ.
2π U1q −M ⎣⎡S1q ⎦⎤
2π −∞
σ
(17)
Выполнив преобразования уравнения (17), идентичные проведенным для канала i, получим формулу, аналогичную выражению (10):
( ) ( ) ( )Pq
M ⎣⎡S1q ⎤⎦ − Pq
s1q
=
σ3
1 2π
exp
⎛ ⎜
⎝
−
U1q − U2q 8σ2
⎞ ⎛ U1q ⎟⎜ ⎠⎝
− U 2q 2
⎞ ⎟ ⎠
M ⎡⎣S1q ⎤⎦ − s1q
2.
(18)
( )Введем функцию Y (ϕ) =
M ⎡⎣S1q ⎦⎤ − s1q
2
, которая с учетом уравнения (3) имеет вид
Y (ϕ) = s12i sin2 ϕ .
(19)
Разложим (19) в ряд Тейлора по переменной ϕ при ϕ = 0 , для этого определим коэффициен-
ты разложения:
dY (ϕ)
dϕ
ϕ=0
=
0,
d 2Y (ϕ)
d ϕ2
ϕ=0
=
2s12i .
Ограничимся тремя членами разложения и представим выражение (19) в следующем виде:
Y (ϕ) = s12iϕ2 .
(20)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
62 А. Ю. Янушковский А. В. Кривошейкин
Подставив формулу (20) в (18) и разделив обе части выражения (18) на величину
( )Pq s1q , после выполнения преобразований получим
( ) ( )Pq M ⎣⎡S1q ⎤⎦
( )Pq s1q
⎡ ⎢
1
U1q −U2q
=
1
+
⎢ ⎢
σ3
2
⎢⎣
⎛ s12i exp ⎜⎜⎝ −
Pq(s1q )
U1q −U2q 8σ2
2⎞ ⎤
⎟⎟⎠
ϕ2
⎥ ⎥ ⎥
.
⎥⎦
(21)
Используя
соотношение
s1q
=
U2q
+ U1q 2
,
подставим
в
формулу
(17)
величину
M ⎣⎡S1q ⎦⎤ ϕ=0 = s1q , в результате получим
( )Pq s1q =
∫1
∞ −ρ2
e 2 dρ +
2π U1q −U2q
∫1
U2q −U1q 2σ
−ρ2
e 2 dρ =
2π −∞
∫2
∞ −ρ2
e 2 dρ .
2π U1q −U2q
2σ 2σ
Введем
обозначение
hq
=
U1q − U2q 2σ
и подставим выражение (22) в (21):
(22)
( )Pq M ⎡⎣S1q ⎦⎤
( ) ∫Pq s1q
=
1+
⎡ ⎢⎛ ⎢⎢ ⎝⎜ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢
s1i σ
⎞2 ⎠⎟
2 2π
hq
−hq2
e 2 ϕ2
2π
∞ −ρ2
e 2 dρ
hq
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥
.
(23)
Считая величину hq в уравнении (23) сколь угодно большой и используя правило Лопиталя для устранения неопределенности, получаем
( )Pq M ⎡⎣S1q ⎦⎤
Pq (s1q )
=1+
1 2
⎛ ⎝⎜
s1i σ
⎞2 ⎟⎠
hq2ϕ2 .
(24)
В силу того, что точки звездного поля [2] находятся на равном расстоянии друг от друга, справедливы следующие соотношения:
( )hq
=
hi
=
U1i − U2i 2σ
;
Pq s1q = Pi ( s1i ) .
(25)
Введем обозначения для вероятностей ошибок в каналах i и q при наличии угла ϕ и его
отсутствии, т.е. при ϕ = 0 :
Pi (ϕ) = Pi (M [S1i ]), Pi (0) = Pi (s1i );
⎫⎪
( ) ( )Pq (ϕ) = Pq M ⎣⎡S1q ⎦⎤ , Pq (0) = Pq s1q = Pi (0).⎭⎪⎬
(26)
Полная вероятность ошибки P (ϕ) при наличии дополнительного угла ϕ равна сумме
вероятностей ошибок в каналах i и q. Используя выражения (16) и (24)—(26) , получаем
P(ϕ)
=
Pi
(ϕ)
+
Pq
(ϕ)
=
Pi
(0)
+
Pq
(0)
+
Pi
(0)
1 8
⎛ ⎝⎜
s1i σ
⎞2 ⎟⎠
hi 2 ϕ4
+
Pq
(0)
1 2
⎛ ⎜⎝
s1i σ
⎞2 ⎟⎠
hi2ϕ2
.
(27)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 9
Помехоустойчивость приема сигналов фазоамплитудной модуляции
63
Из уравнений (26) следует, что Pi(0)=P(0)/2, где P(0) — полная вероятность ошибки при φ=0. Преобразуем выражение (27):
( )P(ϕ)
P(0)
=
1+
⎛ ⎝⎜
s1i σ
⎞2 ⎟⎠
hi2
1 4
ϕ2
+
1 16
ϕ4
.
(28)
Так как значение угла φ