ВЛИЯНИЕ ИНДИКАТРИСЫ РАССЕЯНИЯ МОРСКОЙ ВОДЫ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ АВИАЦИОННОГО ОКЕАНОЛОГИЧЕСКОГО ЛИДАРА
16
УДК 53.082.5
М. Е. КОНОНЕНКО, Ю. И. КОПИЛЕВИЧ, Е. И. ЗАДОРОЖНАЯ
ВЛИЯНИЕ ИНДИКАТРИСЫ РАССЕЯНИЯ МОРСКОЙ ВОДЫ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ АВИАЦИОННОГО ОКЕАНОЛОГИЧЕСКОГО ЛИДАРА
В приближении малоуглового рассеяния для уравнения переноса излучения получены аналитические выражения для характеристик пространственного разрешения авиационного океанологического лидара и скорости затухания лидарного эхо-сигнала с увеличением глубины при произвольном виде индикатрисы рассеяния морской воды. Проведен численный анализ для трех типов воды с использованием полученных Петцольдом экспериментальных данных по измерению функции рассеяния. Результаты сравниваются с расчетами на основе модельной индикатрисы Долина и малоуглового диффузионного приближения. Обсуждается применимость рассмотренных моделей в различных условиях. Ключевые слова: авиационный океанологический лидар, пространственное разрешение, системный показатель ослабления, индикатриса рассеяния, показатель малоуглового рассеяния.
Авиационные системы дистанционного лазерного зондирования океана (океанологические лидары) используются сегодня как для батиметрии прибрежных акваторий и обнаружения малоразмерных объектов в водной толще, так и для восстановления характеристик морской среды и дна по данным лидарных измерений [1, 2]. Важнейшими характеристиками лидара, определяющими его эффективность для перечисленных приложений, являются пространственное разрешение и максимальная глубина зондирования. Эти характеристики зависят как от конструктивных параметров лидарной системы, так и от оптических свойств морской воды [3, 4]. Учет последнего обстоятельства принципиально важен для эффективного планирования лидарного обследования заданной акватории.
Целью настоящей статьи является исследование влияния формы индикатрисы рассеяния в малые углы на пространственное разрешение и скорость затухания лидарного сигнала при увеличении глубины, а также оценка применимости известных модельных индикатрис в различных условиях.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Влияние индикатрисы рассеяния морской воды на характеристики лидара
17
Пространственное разрешение лидарной системы. Ограничимся рассмотрением моностатической лидарной системы (когда оптические оси излучателя и приемника совпадают) и случаем зондирования „в надир“. Тогда информативные составляющие мощности излучения на входе фотоприемника лидарной системы — сигнал обратного рассеяния от толщи морской во-
ды Sback (t) и импульс отражения от дна Sbot (t) — описываются выражениями [4, 5]
∫ ∫Sback
(t
)
=
W
ΣΩ
h 0
dzp
⎛ ⎜⎝
t
−
2n c
z
⎞ ⎟⎠
d
2rG
(z,
r)
βπ
(
z,
⎫ r);⎪
⎪
⎬
∫Sbot
(t)
=
1 π
W
ΣΩp
⎛ ⎜⎝
t
−
2n c
h
⎞ ⎟⎠
d 2rG(h, r)ρ(r),
⎪ ⎭⎪
(1)
здесь t = 0 соответствует моменту поступления на фотоприемник лидарного отклика от по-
верхности воды; п — показатель преломления морской воды; с — скорость света в вакууме;
h — глубина моря; W — эффективная энергия зондирующего импульса с учетом ослабления
излучения на атмосферной трассе, двукратного прохождения поверхности раздела воздух—
вода и потерь в оптической системе; Σ — площадь зрачка лидарного приемника; Ω — те-
лесный
угол
поля
приемной
системы,
„приведенный“
к
водной
среде:
Ω
=
π
⎛ ⎝⎜
FOV 2n
⎞2 ⎠⎟
,
где
FOV — плоский угол поля зрения приемника; p(t) — эффективная форма зондирующего
импульса (учитывающая вид излучаемого лазерного импульса и функцию отклика приемного
∞
тракта [4, 5]): p(t) = 0 при t < 0, ∫ p(t)dt = 1; βπ и ρ — показатель обратного рассеяния мор0
ской воды и коэффициент ламбертовского отражения дна соответственно. Из формул (1) видно, что разрешение лидарной системы в вертикальном направлении
(в частности, точность определения глубины) характеризуется длительностью зондирующего импульса, тогда как горизонтальное разрешение определяется функцией G(z, r) — распреде-
лением чувствительности лидарного сигнала к неоднородностям показателя обратного рассеяния и неоднородностям коэффициента отражения дна в плоскости z = const . В качестве меры пространственного разрешения лидара в горизонтальной плоскости целесообразно выбрать эффективный радиус R(z) , определяемый соотношением
∫π R2 (z) G(z, 0) = d 2r G(z,r) .
(2)
Функция G(z, r) может быть выражена как [4—6]
G(z, r) = Ee (z,r) ⋅ Er (z,r) ,
(3)
где Ee (z,r) — распределение освещенности, создаваемой стационарным зондирующим пуч-
ком излучения единичной мощности в плоскости z = const : Er (z,r) — освещенность, созда-
ваемая „фиктивным“ пучком единичной мощности с геометрическими параметрами (исход-
ным радиусом и расходимостью), равными соответствующим параметрам приемной системы.
В приближении малоуглового рассеяния [6, 7] освещенности Ee,r (z, r) выражаются че-
рез яркости Ie,r (z, r, n⊥ ) соответствующих пучков ( n⊥ — горизонтальная проекция единичного вектора направления) соотношениями
∫Ee,r (z, r) = Ie,r (z,r, n⊥ ) d 2n⊥ .
(4)
Функции Ie,r (z, r, n⊥ ) являются решениями малоуглового уравнения переноса излуче-
ния [6, 7] в полупространстве 0 ≤ z < ∞ , причем распределения яркостей на границе z = 0 целесообразно задать в виде [4, 6]
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
18 М. Е. Кононенко, Ю. И. Копилевич, Е. И. Задорожная
Ie (0, r, n⊥ )
=
π
H
4 2Div2
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
H
4r2 2Div2
⎞ ⎟⎟⎠
δ2
⎛ ⎜
n
⊥
⎝
−
r nH
⎞ ⎟
;
⎠
⎫ ⎪ ⎪
Ir
(0,
r,n⊥
)
=
π
H
4 2FOV2
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
H
4r2 2FOV2
⎞ ⎠⎟⎟
δ2
⎛ ⎜
n⊥
⎝
−
r nH
⎬
⎞ ⎟ ⎠
,⎪⎪ ⎭
(5)
где H — высота носителя лидара над уровнем моря, Div — расходимость освещающего
пучка, δ2 — двумерная дельта-функция.
При описании распространения светового пучка в морской воде в приближении малоуглового рассеяния индикатрису рассеяния среды x(ϑ) естественно представлять суммой мало-
углового и изотропного компонентов [6, 8]:
x(ϑ)
=
⎜⎝⎛1 −
2
bb b
⎞ ⎠⎟
xf
(ϑ) +
2
bb b
,
(6)
где b — показатель рассеяния, bb — показатель рассеяния назад; индикатриса рассеяния
x f (ϑ) отлична от нуля лишь для малых углов ϑ ; здесь и далее оптические характеристики
среды полагаем не зависящими от координат.
Используя известное аналитическое решение малоуглового уравнения переноса излучения [4, 6] с граничным условием вида (5), с учетом соотношений (3) и (4) получаем
G(z,
r)
=
exp (−2a1z
(2π)2
)
g
(z,
r,
Div) g (
z,
r,
FOV),
⎫ ⎪ ⎪
∫g ( z,
r,
Θ)
=
∞ 0
J0 (kr)
exp
⎡ ⎢−a ⎢⎣
f
(kz)z
−
k
2Θ2
⎛ ⎜⎝
nH + 4n
z
⎞2 ⎠⎟
⎤ ⎥ ⎥⎦
k
⎬ dk.⎪⎪
⎭
(7)
Здесь a1 = a + 2bb — эффективный показатель поглощения, где а — показатель поглощения;
b1 = b − 2bb — показатель рассеяния на малые углы. Функция
∫a f
( zk )
=
b1 2 zk
zk 0
⎡⎣2 −
x f
(s)⎤⎦ ds ,
∞
∫где x f (s) = x f (ϑ) J0 (sϑ) ϑ dϑ — преобразование Фурье — Бесселя от малоугловой части 0
индикатрисы x f (ϑ) , характеризует вклад малоуглового рассеяния в показатель ослабления
пространственной гармоники с частотой k исходного распределения яркости на трассе рас-
пространения длиной z [9]. Подстановка формулы (7) в соотношение (2) приводит к следующему выражению:
( )f z, Div2 + FOV2
R2 (z) = 2 g(z, 0, Div)g(z, 0, FOV) ,
⎫ ⎪ ⎪⎪
⎬
∫f
(z,
Θ)
=
∞ 0
exp
⎡ ⎢−2a ⎢⎣
f
(kz)
z
−
k
2Θ2
⎛ ⎝⎜
nH + 4n
z
⎞2 ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
k
dk.⎪⎪ ⎪⎭
(8)
Затухание лидарного сигнала при увеличении глубины. Для однородной среды, ко-
гда βπ и ρ не зависят от координат, затухание лидарного сигнала при увеличении глубины принято характеризовать величиной так называемого „системного показателя ослабления“
Ksyst (z) [4, 5]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Влияние индикатрисы рассеяния морской воды на характеристики лидара
19
∫Sback (t)
=
βπW
FOV2 Div2 + FOV2
h 0
dz
p
⎛ ⎜⎝
t
−
2n c
z
⎞ ⎟⎠
Ω′(
z)
exp
⎡⎣− zKsyst
⎫
(
z)⎤⎦
;⎪ ⎪
⎬
Sbot (t) =
ρW π
FOV2 Div2 + FOV2
p
⎛ ⎝⎜
t
−
2n c
h
⎞ ⎟⎠
Ω′(h)
exp
⎣⎡−hKsyst
(h)⎤⎦
,
⎪ ⎪ ⎭
(9)
где
Ω′(z)
=
(
Σ Hn +
z )2
— телесный угол, под которым зрачок приемной системы виден из
точки рассеяния на глубине z . Сравнивая выражения (9) с уравнениями (1) и используя формулы (7), для системного
показателя ослабления получаем выражение
∫Ksyst
(
z)
=
2a1
−
1 z
ln
⎧⎨⎪2∞ ⎪⎩ 0
exp
⎡ ⎢−2 ⎣⎢
za
f
⎛ ⎜ ⎝⎜ (Hn + z)
4nkz Div2
+ FOV2
⎞ ⎟ ⎟⎠
−
k
2
⎤ ⎥ ⎦⎥
k
dk
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
.
(10)
Отметим, что в отсутствие малоуглового рассеяния, т.е. при a f ≡ 0 , имеем
Ksyst (z) ≡ Ksyst (0) = 2a1 .
Анализ влияния формы индикатрисы рассеяния. Для численного анализа получен-
ных выражений воспользуемся данными проведенных Петцольдом измерений объемных
функций рассеяния β(ϑ) для трех типов морской воды — “clear ocean”, “coastal ocean” и “tur-
bid harbor” [10, 11]; описание метода и результаты расчета входящих в формулы (8) и (10)
функций a f (κ) для этих типов воды приведены в работе [9].
Результаты вычисления эффективного радиуса R(z) области чувствительности [см.
уравнения (8)] и относительной величины вклада малоуглового рассеяния в системный пока-
затель ослабления лидарного сигнала
K f (z) = ⎣⎡Ksyst (z) − 2a1 ⎤⎦ (2a1)−1
для указанных типов морской воды приведены на рис. 1 и 2. Расчеты проведены для одного
значения расходимости зондирующего пучка Div = 5 мрад и двух значений угла поля зрения
лидарной системы: FOV = 40 мрад и FOV = 2 мрад, характерных для „широкопольных кана-
лов“ известных лидарных систем [12] и „узкопольных“ лидаров [13] соответственно.
На рис. 1 и 2 представлены также результаты расчета рассматриваемых характеристик
для двух модельных индикатрис [6, 7, 14] — индикатрисы Долина
xДf (ϑ)
=
2α exp (−αϑ) ,
ϑ
xДf (s) =
2
1+ (s α)2
(11)
и так называемой „диффузионной“ индикатрисы, бесселев образ xdf (s) которой формируется из уравнения (11) при сохранении лишь первых двух членов разложения в ряд Тейлора по s α :
xdf
(s)
=
⎪⎧2−(
⎨
s
⎪⎩0,
α)2
,
0≤ s < 2⋅α; s ≥ 2⋅α.
(12)
Применение индикатрисы (11) эквивалентно использованию диффузионного малоуглового приближения в задаче переноса излучения [6]. Параметр α в модельных индикатрисах (11) и (12) для каждого из типов воды определялся по соответствующему значению среднего
косинуса угла рассеяния [14]: α = [0,142 − 0,132cos θ]−1 2 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
20 М. Е. Кононенко, Ю. И. Копилевич, Е. И. Задорожная
На рис. 1 и 2 кривые 1 соответствуют экспериментальным индикатрисам Петцольда,
кривые 2 — модельным индикатрисам Долина, кривые 3 — „диффузионным“ индикатрисам.
а) R(z), м Тип воды — “clear ocean” а = 0,114 м–1 а1 = 0,117 м–1 b = 0,037 м–1 b1 = 0,034 м–1
3
2 FOV = = 40 мрад
11
0,5
321
FOV =
= 2 мрад
0 5 10 15
б) R(z), м Тип воды — “coastal ocean”
2
а = 0,179 м–1 b = 0,219 м–1
а1 = 0,185 м–1 b1 = 0,213 м–1
1,5
3 2
13
1
0,5 1 2
20 z, м
FOV = = 40 мрад
FOV = = 2 мрад
0 5 10
в) R(z), м Тип воды — “turbid harbor” а = 0,366 м–1 а1 = 0,439 м–1 b = 1,824 м–1 b1 = 1,751 м–1
2
1
3 12
1
15 z, м
FOV = = 40 мрад 3
FOV = = 2 мрад
2
0
246
8 z, м
Рис. 1
Как видно из рис. 1, применение модельной индикатрисы Долина (11) для расчета вели-
чины R(z) приводит к результатам (см. рис. 1, а—в, кривые 2), отличающимся не более чем
на 20 % от результатов расчетов по экспериментальным индикатрисам Петцольда (кривые 1) практически во всем диапазоне глубин; при этом в случае чистой воды (“clear ocean”, см. рис. 1, а) расхождения пренебрежимо малы, а максимальные ошибки наблюдаются на предельных глубинах в мутной воде (“turbid harbor”, см. рис. 1, в) для широкопольного лидара. Результаты расчета R(z) с применением „диффузионной“ индикатрисы (12) демонстрируют
максимальные отклонения (более 50 %) от данных, соответствующих экспериментальной индикатрисе, для „промежуточного“ типа морской воды (“coastal ocean”, см. рис. 1, б).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Влияние индикатрисы рассеяния морской воды на характеристики лидара
21
Как показывают результаты вычисления вклада малоуглового рассеяния в систем-
ный показатель ослабления лидарного сигнала при увеличении глубины (см. рис. 2, а—в),
а) Kf (z), м Тип воды — “clear ocean”
0,2
а = 0,114 м–1 b = 0,037 м–1
а1 = 0,117 м–1 b1 = 0,034 м–1
3
FOV =
= 2 мрад 0,15 1
0,1 2
0,05
3 1
0 5 10 15
б) Kf (z), м Тип воды — “coastal ocean” а = 0,179 м–1 а1 = 0,185 м–1
0,4 b = 0,219 м–1 b1 = 0,213 м–1 3 2
0,3 1
2 FOV =
= 40 мрад 20 z, м
FOV = = 2 мрад
0,2
0,1
2 1
0 5 10
в) Kf (z), м Тип воды — “turbid harbor”
0,5
а = 0,366 м–1 b = 1,824 м–1
а1 = 0,439 м–1 b1 = 1,751 м–1
0,4 3
1
3 FOV =
= 40 мрад 15 z, м
FOV = = 2 мрад
0,3 2
0,2
12
3
0,1 FOV =
= 40 мрад
0
246
8 z, м
Рис. 2
этот вклад особенно существенен для узкопольного лидара в случае мутной воды (см. рис. 2, в);
применение любой из двух модельных индикатрис в этом случае приводит к заниженным
(до 50 %) значениям величины K f уже на сравнительно небольших глубинах. При моделиро-
вании лидарного сигнала в более чистых водах (см. рис. 2, а, б) модельная индикатриса Долина
обеспечивает приемлемую точность расчетов K f (z) , тогда как применение „диффузионной“
индикатрисы оправдано лишь для оценки затухания сигналов широкопольного лидара.
Полученные результаты показывают, что в общем случае при расчете характеристик
лидара (изменения области чувствительности и показателя ослабления лидарного сигнала
при увеличении глубины) требуется учитывать конкретную форму индикатрисы в области
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
22 М. Е. Кононенко, Ю. И. Копилевич, Е. И. Задорожная
малых углов рассеяния; применение модельных индикатрис с единственным варьируемым параметром (индикатрис Долина и „диффузионной“) может приводить к существенным ошибкам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Feigels V. I., Kopilevich Yu. I. Laser remote sensing of natural waters: from theory to practice // Proc. SPIE. 1996. Vol. 2964. 216 p.
2. Tuell G., Feygels V., Kopilevich Yu. Measurement of ocean water optical properties and seafloor reflectance with scanning hydrographic operational airborne lidar survey (SHOALS): II. Practical results and comparison with independent data // Proc. SPIE. 2005. Vol. 5885. P. 115—27.
3. Feigels.V., Kopilevich Yu. Ocean-Scientific for Windows. Basic Concepts. Description of the Theory. EG&G Washington Analitical Service, Inc., 1993. 52 p.
4. Копилевич Ю. И., Сурков А. Г. Математическое моделирование входных сигналов авиационных океанологических лидаров // Опт. журн. 2008. T. 75, № 5. С. 45—51.
5. Tuell G., Feygels V., Kopilevich Yu., Surkov A. G. Measurement of ocean water optical properties and seafloor reflectance with scanning hydrographic operational airborne lidar survey (SHOALS): I. Theoretical background // Proc. SPIE. 2005. Vol. 5885. P. 106—14.
6. Долин Л. С., Левин И. М. Справочник по теории подводного видения. Л.: Гидрометеоиздат, 1991. С. 229.
7. Оптика океана. Т.1. Физическая оптика океана / Под ред. А. С. Монина. М.: Наука, 1983. С. 351.
8. Dolina I. S., Dolin L. S., Levin I. M., Rodionov A. A. Diagnostic abilities of oceanic lidar // Proc. of the III Intern. Conf. “Current Problems of Natural Waters”. St. Petersburg, 2005. P. 220—225.
9. Копилевич Ю. И., Кононенко М. Е., Задорожная Е. И. Влияние индикатрисы рассеяния вперед на характеристики светового пучка в морской воде // Опт. журн. 2010. Т. 77б, № 10. С. 10—14.
10. Petzold T. J. Volume scattering functions for selected ocean waters // Scrips Institution of Oceanography, UCSD. 1972. 79 p.
11. Mobley C. D. Optical properties of water // Handbook of Optics / Ed. M. Bass. McGraw-Hill, Inc., 1994. P. 43.3—43.56.
12. Долин Л. С., Копелевич О. В., Левин И. М., Фейгельс В. И. Малопараметрические модели световых полей в море и интегральные характеристики индикатрис рассеяния воды // Изв. АН СССР. Сер. Физика атмосферы и океана. 1988. Т. 24, № 11. С. 1218—1222.
13. Feygels V., Kopilevich Yu., Tuell G. et al. Water optical properties and bottom reflectance measuremen with SHOALS 1000/3000 bathymetric system // Proc. of the III Intern. Conf. “Current Problems of Natural Waters”. St. Petersburg, 2005. P. 254—259.
14. Feygels V., Wright C., Kopilevich Yu., Surkov A. Narrow field-of-view bathymetrical lidar: Theory and field test // Proc. SPIE. 2004. Vol. 5155. P. 1—11.
Михаил Евгеньевич Кононенко Юрий Исаакович Копилевич Екатерина Ивановна Задорожная
Сведения об авторах — студент; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра фотоники и оптоинформатики; E-mail: mihailkon@yandx.ru — канд. физ.-мат. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра лазерных технологий и экологического приборостроения; E-mail: yurikopilevich@gmail.com — студентка; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра фотоники и оптоинформатики; E-mail: cattie@yandex.ru
Рекомендована кафедрой лазерных технологий и экологического приборостроения
Поступила в редакцию 17.06.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
УДК 53.082.5
М. Е. КОНОНЕНКО, Ю. И. КОПИЛЕВИЧ, Е. И. ЗАДОРОЖНАЯ
ВЛИЯНИЕ ИНДИКАТРИСЫ РАССЕЯНИЯ МОРСКОЙ ВОДЫ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ АВИАЦИОННОГО ОКЕАНОЛОГИЧЕСКОГО ЛИДАРА
В приближении малоуглового рассеяния для уравнения переноса излучения получены аналитические выражения для характеристик пространственного разрешения авиационного океанологического лидара и скорости затухания лидарного эхо-сигнала с увеличением глубины при произвольном виде индикатрисы рассеяния морской воды. Проведен численный анализ для трех типов воды с использованием полученных Петцольдом экспериментальных данных по измерению функции рассеяния. Результаты сравниваются с расчетами на основе модельной индикатрисы Долина и малоуглового диффузионного приближения. Обсуждается применимость рассмотренных моделей в различных условиях. Ключевые слова: авиационный океанологический лидар, пространственное разрешение, системный показатель ослабления, индикатриса рассеяния, показатель малоуглового рассеяния.
Авиационные системы дистанционного лазерного зондирования океана (океанологические лидары) используются сегодня как для батиметрии прибрежных акваторий и обнаружения малоразмерных объектов в водной толще, так и для восстановления характеристик морской среды и дна по данным лидарных измерений [1, 2]. Важнейшими характеристиками лидара, определяющими его эффективность для перечисленных приложений, являются пространственное разрешение и максимальная глубина зондирования. Эти характеристики зависят как от конструктивных параметров лидарной системы, так и от оптических свойств морской воды [3, 4]. Учет последнего обстоятельства принципиально важен для эффективного планирования лидарного обследования заданной акватории.
Целью настоящей статьи является исследование влияния формы индикатрисы рассеяния в малые углы на пространственное разрешение и скорость затухания лидарного сигнала при увеличении глубины, а также оценка применимости известных модельных индикатрис в различных условиях.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Влияние индикатрисы рассеяния морской воды на характеристики лидара
17
Пространственное разрешение лидарной системы. Ограничимся рассмотрением моностатической лидарной системы (когда оптические оси излучателя и приемника совпадают) и случаем зондирования „в надир“. Тогда информативные составляющие мощности излучения на входе фотоприемника лидарной системы — сигнал обратного рассеяния от толщи морской во-
ды Sback (t) и импульс отражения от дна Sbot (t) — описываются выражениями [4, 5]
∫ ∫Sback
(t
)
=
W
ΣΩ
h 0
dzp
⎛ ⎜⎝
t
−
2n c
z
⎞ ⎟⎠
d
2rG
(z,
r)
βπ
(
z,
⎫ r);⎪
⎪
⎬
∫Sbot
(t)
=
1 π
W
ΣΩp
⎛ ⎜⎝
t
−
2n c
h
⎞ ⎟⎠
d 2rG(h, r)ρ(r),
⎪ ⎭⎪
(1)
здесь t = 0 соответствует моменту поступления на фотоприемник лидарного отклика от по-
верхности воды; п — показатель преломления морской воды; с — скорость света в вакууме;
h — глубина моря; W — эффективная энергия зондирующего импульса с учетом ослабления
излучения на атмосферной трассе, двукратного прохождения поверхности раздела воздух—
вода и потерь в оптической системе; Σ — площадь зрачка лидарного приемника; Ω — те-
лесный
угол
поля
приемной
системы,
„приведенный“
к
водной
среде:
Ω
=
π
⎛ ⎝⎜
FOV 2n
⎞2 ⎠⎟
,
где
FOV — плоский угол поля зрения приемника; p(t) — эффективная форма зондирующего
импульса (учитывающая вид излучаемого лазерного импульса и функцию отклика приемного
∞
тракта [4, 5]): p(t) = 0 при t < 0, ∫ p(t)dt = 1; βπ и ρ — показатель обратного рассеяния мор0
ской воды и коэффициент ламбертовского отражения дна соответственно. Из формул (1) видно, что разрешение лидарной системы в вертикальном направлении
(в частности, точность определения глубины) характеризуется длительностью зондирующего импульса, тогда как горизонтальное разрешение определяется функцией G(z, r) — распреде-
лением чувствительности лидарного сигнала к неоднородностям показателя обратного рассеяния и неоднородностям коэффициента отражения дна в плоскости z = const . В качестве меры пространственного разрешения лидара в горизонтальной плоскости целесообразно выбрать эффективный радиус R(z) , определяемый соотношением
∫π R2 (z) G(z, 0) = d 2r G(z,r) .
(2)
Функция G(z, r) может быть выражена как [4—6]
G(z, r) = Ee (z,r) ⋅ Er (z,r) ,
(3)
где Ee (z,r) — распределение освещенности, создаваемой стационарным зондирующим пуч-
ком излучения единичной мощности в плоскости z = const : Er (z,r) — освещенность, созда-
ваемая „фиктивным“ пучком единичной мощности с геометрическими параметрами (исход-
ным радиусом и расходимостью), равными соответствующим параметрам приемной системы.
В приближении малоуглового рассеяния [6, 7] освещенности Ee,r (z, r) выражаются че-
рез яркости Ie,r (z, r, n⊥ ) соответствующих пучков ( n⊥ — горизонтальная проекция единичного вектора направления) соотношениями
∫Ee,r (z, r) = Ie,r (z,r, n⊥ ) d 2n⊥ .
(4)
Функции Ie,r (z, r, n⊥ ) являются решениями малоуглового уравнения переноса излуче-
ния [6, 7] в полупространстве 0 ≤ z < ∞ , причем распределения яркостей на границе z = 0 целесообразно задать в виде [4, 6]
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
18 М. Е. Кононенко, Ю. И. Копилевич, Е. И. Задорожная
Ie (0, r, n⊥ )
=
π
H
4 2Div2
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
H
4r2 2Div2
⎞ ⎟⎟⎠
δ2
⎛ ⎜
n
⊥
⎝
−
r nH
⎞ ⎟
;
⎠
⎫ ⎪ ⎪
Ir
(0,
r,n⊥
)
=
π
H
4 2FOV2
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
H
4r2 2FOV2
⎞ ⎠⎟⎟
δ2
⎛ ⎜
n⊥
⎝
−
r nH
⎬
⎞ ⎟ ⎠
,⎪⎪ ⎭
(5)
где H — высота носителя лидара над уровнем моря, Div — расходимость освещающего
пучка, δ2 — двумерная дельта-функция.
При описании распространения светового пучка в морской воде в приближении малоуглового рассеяния индикатрису рассеяния среды x(ϑ) естественно представлять суммой мало-
углового и изотропного компонентов [6, 8]:
x(ϑ)
=
⎜⎝⎛1 −
2
bb b
⎞ ⎠⎟
xf
(ϑ) +
2
bb b
,
(6)
где b — показатель рассеяния, bb — показатель рассеяния назад; индикатриса рассеяния
x f (ϑ) отлична от нуля лишь для малых углов ϑ ; здесь и далее оптические характеристики
среды полагаем не зависящими от координат.
Используя известное аналитическое решение малоуглового уравнения переноса излучения [4, 6] с граничным условием вида (5), с учетом соотношений (3) и (4) получаем
G(z,
r)
=
exp (−2a1z
(2π)2
)
g
(z,
r,
Div) g (
z,
r,
FOV),
⎫ ⎪ ⎪
∫g ( z,
r,
Θ)
=
∞ 0
J0 (kr)
exp
⎡ ⎢−a ⎢⎣
f
(kz)z
−
k
2Θ2
⎛ ⎜⎝
nH + 4n
z
⎞2 ⎠⎟
⎤ ⎥ ⎥⎦
k
⎬ dk.⎪⎪
⎭
(7)
Здесь a1 = a + 2bb — эффективный показатель поглощения, где а — показатель поглощения;
b1 = b − 2bb — показатель рассеяния на малые углы. Функция
∫a f
( zk )
=
b1 2 zk
zk 0
⎡⎣2 −
x f
(s)⎤⎦ ds ,
∞
∫где x f (s) = x f (ϑ) J0 (sϑ) ϑ dϑ — преобразование Фурье — Бесселя от малоугловой части 0
индикатрисы x f (ϑ) , характеризует вклад малоуглового рассеяния в показатель ослабления
пространственной гармоники с частотой k исходного распределения яркости на трассе рас-
пространения длиной z [9]. Подстановка формулы (7) в соотношение (2) приводит к следующему выражению:
( )f z, Div2 + FOV2
R2 (z) = 2 g(z, 0, Div)g(z, 0, FOV) ,
⎫ ⎪ ⎪⎪
⎬
∫f
(z,
Θ)
=
∞ 0
exp
⎡ ⎢−2a ⎢⎣
f
(kz)
z
−
k
2Θ2
⎛ ⎝⎜
nH + 4n
z
⎞2 ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
k
dk.⎪⎪ ⎪⎭
(8)
Затухание лидарного сигнала при увеличении глубины. Для однородной среды, ко-
гда βπ и ρ не зависят от координат, затухание лидарного сигнала при увеличении глубины принято характеризовать величиной так называемого „системного показателя ослабления“
Ksyst (z) [4, 5]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Влияние индикатрисы рассеяния морской воды на характеристики лидара
19
∫Sback (t)
=
βπW
FOV2 Div2 + FOV2
h 0
dz
p
⎛ ⎜⎝
t
−
2n c
z
⎞ ⎟⎠
Ω′(
z)
exp
⎡⎣− zKsyst
⎫
(
z)⎤⎦
;⎪ ⎪
⎬
Sbot (t) =
ρW π
FOV2 Div2 + FOV2
p
⎛ ⎝⎜
t
−
2n c
h
⎞ ⎟⎠
Ω′(h)
exp
⎣⎡−hKsyst
(h)⎤⎦
,
⎪ ⎪ ⎭
(9)
где
Ω′(z)
=
(
Σ Hn +
z )2
— телесный угол, под которым зрачок приемной системы виден из
точки рассеяния на глубине z . Сравнивая выражения (9) с уравнениями (1) и используя формулы (7), для системного
показателя ослабления получаем выражение
∫Ksyst
(
z)
=
2a1
−
1 z
ln
⎧⎨⎪2∞ ⎪⎩ 0
exp
⎡ ⎢−2 ⎣⎢
za
f
⎛ ⎜ ⎝⎜ (Hn + z)
4nkz Div2
+ FOV2
⎞ ⎟ ⎟⎠
−
k
2
⎤ ⎥ ⎦⎥
k
dk
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
.
(10)
Отметим, что в отсутствие малоуглового рассеяния, т.е. при a f ≡ 0 , имеем
Ksyst (z) ≡ Ksyst (0) = 2a1 .
Анализ влияния формы индикатрисы рассеяния. Для численного анализа получен-
ных выражений воспользуемся данными проведенных Петцольдом измерений объемных
функций рассеяния β(ϑ) для трех типов морской воды — “clear ocean”, “coastal ocean” и “tur-
bid harbor” [10, 11]; описание метода и результаты расчета входящих в формулы (8) и (10)
функций a f (κ) для этих типов воды приведены в работе [9].
Результаты вычисления эффективного радиуса R(z) области чувствительности [см.
уравнения (8)] и относительной величины вклада малоуглового рассеяния в системный пока-
затель ослабления лидарного сигнала
K f (z) = ⎣⎡Ksyst (z) − 2a1 ⎤⎦ (2a1)−1
для указанных типов морской воды приведены на рис. 1 и 2. Расчеты проведены для одного
значения расходимости зондирующего пучка Div = 5 мрад и двух значений угла поля зрения
лидарной системы: FOV = 40 мрад и FOV = 2 мрад, характерных для „широкопольных кана-
лов“ известных лидарных систем [12] и „узкопольных“ лидаров [13] соответственно.
На рис. 1 и 2 представлены также результаты расчета рассматриваемых характеристик
для двух модельных индикатрис [6, 7, 14] — индикатрисы Долина
xДf (ϑ)
=
2α exp (−αϑ) ,
ϑ
xДf (s) =
2
1+ (s α)2
(11)
и так называемой „диффузионной“ индикатрисы, бесселев образ xdf (s) которой формируется из уравнения (11) при сохранении лишь первых двух членов разложения в ряд Тейлора по s α :
xdf
(s)
=
⎪⎧2−(
⎨
s
⎪⎩0,
α)2
,
0≤ s < 2⋅α; s ≥ 2⋅α.
(12)
Применение индикатрисы (11) эквивалентно использованию диффузионного малоуглового приближения в задаче переноса излучения [6]. Параметр α в модельных индикатрисах (11) и (12) для каждого из типов воды определялся по соответствующему значению среднего
косинуса угла рассеяния [14]: α = [0,142 − 0,132cos θ]−1 2 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
20 М. Е. Кононенко, Ю. И. Копилевич, Е. И. Задорожная
На рис. 1 и 2 кривые 1 соответствуют экспериментальным индикатрисам Петцольда,
кривые 2 — модельным индикатрисам Долина, кривые 3 — „диффузионным“ индикатрисам.
а) R(z), м Тип воды — “clear ocean” а = 0,114 м–1 а1 = 0,117 м–1 b = 0,037 м–1 b1 = 0,034 м–1
3
2 FOV = = 40 мрад
11
0,5
321
FOV =
= 2 мрад
0 5 10 15
б) R(z), м Тип воды — “coastal ocean”
2
а = 0,179 м–1 b = 0,219 м–1
а1 = 0,185 м–1 b1 = 0,213 м–1
1,5
3 2
13
1
0,5 1 2
20 z, м
FOV = = 40 мрад
FOV = = 2 мрад
0 5 10
в) R(z), м Тип воды — “turbid harbor” а = 0,366 м–1 а1 = 0,439 м–1 b = 1,824 м–1 b1 = 1,751 м–1
2
1
3 12
1
15 z, м
FOV = = 40 мрад 3
FOV = = 2 мрад
2
0
246
8 z, м
Рис. 1
Как видно из рис. 1, применение модельной индикатрисы Долина (11) для расчета вели-
чины R(z) приводит к результатам (см. рис. 1, а—в, кривые 2), отличающимся не более чем
на 20 % от результатов расчетов по экспериментальным индикатрисам Петцольда (кривые 1) практически во всем диапазоне глубин; при этом в случае чистой воды (“clear ocean”, см. рис. 1, а) расхождения пренебрежимо малы, а максимальные ошибки наблюдаются на предельных глубинах в мутной воде (“turbid harbor”, см. рис. 1, в) для широкопольного лидара. Результаты расчета R(z) с применением „диффузионной“ индикатрисы (12) демонстрируют
максимальные отклонения (более 50 %) от данных, соответствующих экспериментальной индикатрисе, для „промежуточного“ типа морской воды (“coastal ocean”, см. рис. 1, б).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Влияние индикатрисы рассеяния морской воды на характеристики лидара
21
Как показывают результаты вычисления вклада малоуглового рассеяния в систем-
ный показатель ослабления лидарного сигнала при увеличении глубины (см. рис. 2, а—в),
а) Kf (z), м Тип воды — “clear ocean”
0,2
а = 0,114 м–1 b = 0,037 м–1
а1 = 0,117 м–1 b1 = 0,034 м–1
3
FOV =
= 2 мрад 0,15 1
0,1 2
0,05
3 1
0 5 10 15
б) Kf (z), м Тип воды — “coastal ocean” а = 0,179 м–1 а1 = 0,185 м–1
0,4 b = 0,219 м–1 b1 = 0,213 м–1 3 2
0,3 1
2 FOV =
= 40 мрад 20 z, м
FOV = = 2 мрад
0,2
0,1
2 1
0 5 10
в) Kf (z), м Тип воды — “turbid harbor”
0,5
а = 0,366 м–1 b = 1,824 м–1
а1 = 0,439 м–1 b1 = 1,751 м–1
0,4 3
1
3 FOV =
= 40 мрад 15 z, м
FOV = = 2 мрад
0,3 2
0,2
12
3
0,1 FOV =
= 40 мрад
0
246
8 z, м
Рис. 2
этот вклад особенно существенен для узкопольного лидара в случае мутной воды (см. рис. 2, в);
применение любой из двух модельных индикатрис в этом случае приводит к заниженным
(до 50 %) значениям величины K f уже на сравнительно небольших глубинах. При моделиро-
вании лидарного сигнала в более чистых водах (см. рис. 2, а, б) модельная индикатриса Долина
обеспечивает приемлемую точность расчетов K f (z) , тогда как применение „диффузионной“
индикатрисы оправдано лишь для оценки затухания сигналов широкопольного лидара.
Полученные результаты показывают, что в общем случае при расчете характеристик
лидара (изменения области чувствительности и показателя ослабления лидарного сигнала
при увеличении глубины) требуется учитывать конкретную форму индикатрисы в области
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
22 М. Е. Кононенко, Ю. И. Копилевич, Е. И. Задорожная
малых углов рассеяния; применение модельных индикатрис с единственным варьируемым параметром (индикатрис Долина и „диффузионной“) может приводить к существенным ошибкам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Feigels V. I., Kopilevich Yu. I. Laser remote sensing of natural waters: from theory to practice // Proc. SPIE. 1996. Vol. 2964. 216 p.
2. Tuell G., Feygels V., Kopilevich Yu. Measurement of ocean water optical properties and seafloor reflectance with scanning hydrographic operational airborne lidar survey (SHOALS): II. Practical results and comparison with independent data // Proc. SPIE. 2005. Vol. 5885. P. 115—27.
3. Feigels.V., Kopilevich Yu. Ocean-Scientific for Windows. Basic Concepts. Description of the Theory. EG&G Washington Analitical Service, Inc., 1993. 52 p.
4. Копилевич Ю. И., Сурков А. Г. Математическое моделирование входных сигналов авиационных океанологических лидаров // Опт. журн. 2008. T. 75, № 5. С. 45—51.
5. Tuell G., Feygels V., Kopilevich Yu., Surkov A. G. Measurement of ocean water optical properties and seafloor reflectance with scanning hydrographic operational airborne lidar survey (SHOALS): I. Theoretical background // Proc. SPIE. 2005. Vol. 5885. P. 106—14.
6. Долин Л. С., Левин И. М. Справочник по теории подводного видения. Л.: Гидрометеоиздат, 1991. С. 229.
7. Оптика океана. Т.1. Физическая оптика океана / Под ред. А. С. Монина. М.: Наука, 1983. С. 351.
8. Dolina I. S., Dolin L. S., Levin I. M., Rodionov A. A. Diagnostic abilities of oceanic lidar // Proc. of the III Intern. Conf. “Current Problems of Natural Waters”. St. Petersburg, 2005. P. 220—225.
9. Копилевич Ю. И., Кононенко М. Е., Задорожная Е. И. Влияние индикатрисы рассеяния вперед на характеристики светового пучка в морской воде // Опт. журн. 2010. Т. 77б, № 10. С. 10—14.
10. Petzold T. J. Volume scattering functions for selected ocean waters // Scrips Institution of Oceanography, UCSD. 1972. 79 p.
11. Mobley C. D. Optical properties of water // Handbook of Optics / Ed. M. Bass. McGraw-Hill, Inc., 1994. P. 43.3—43.56.
12. Долин Л. С., Копелевич О. В., Левин И. М., Фейгельс В. И. Малопараметрические модели световых полей в море и интегральные характеристики индикатрис рассеяния воды // Изв. АН СССР. Сер. Физика атмосферы и океана. 1988. Т. 24, № 11. С. 1218—1222.
13. Feygels V., Kopilevich Yu., Tuell G. et al. Water optical properties and bottom reflectance measuremen with SHOALS 1000/3000 bathymetric system // Proc. of the III Intern. Conf. “Current Problems of Natural Waters”. St. Petersburg, 2005. P. 254—259.
14. Feygels V., Wright C., Kopilevich Yu., Surkov A. Narrow field-of-view bathymetrical lidar: Theory and field test // Proc. SPIE. 2004. Vol. 5155. P. 1—11.
Михаил Евгеньевич Кононенко Юрий Исаакович Копилевич Екатерина Ивановна Задорожная
Сведения об авторах — студент; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра фотоники и оптоинформатики; E-mail: mihailkon@yandx.ru — канд. физ.-мат. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра лазерных технологий и экологического приборостроения; E-mail: yurikopilevich@gmail.com — студентка; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра фотоники и оптоинформатики; E-mail: cattie@yandex.ru
Рекомендована кафедрой лазерных технологий и экологического приборостроения
Поступила в редакцию 17.06.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1