УСТАЛОСТНОЕ РАЗРУШЕНИЕ МИНИАТЮРНОГО ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СХВАТА
45
УДК 621.865.8-781.2.001.63
А. В. АМВРОСЬЕВА, В. М. МУСАЛИМОВ
УСТАЛОСТНОЕ РАЗРУШЕНИЕ МИНИАТЮРНОГО ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СХВАТА
Решена задача о трещине в пьезоэлектрическом схвате, предложен смешанный критерий разрушения, показано, что для построения предельных кривых целесообразно использовать агрегатный D-модуль. Ключевые слова: пьезоэлектрический схват, энергетический критерий разрушения, пьезомодуль.
Микроманипуляторы с пьезоэлектрическими захватными устройствами находят в настоящее время все более широкое применение. Для решения вопроса о прочности системы авторами настоящей статьи предлагается новый подход к решению задачи о статическом нагружении пьезоэлектрика и циклическом разрушении, предложен смешанный критерий разрушения.
Рассматриваемая задача (см. рис. 1) была решена в работе [1] для полупространства z ≥ 0 из пьезоэлектрического материала; прямолинейный разрез расположен в плоскости изотропии z = 0 на границе с упругим изотропным проводником ( z ≤ 0 ) с берегами трещины x ≤ 1 и y < ∞ , свободными от нагрузки; условие на бесконечности: σ∞ = σ0 . В настоящей статье для решения задачи будем рассматривать случай плоской деформации: χ = (3 − 4ν) , где ν — коэффициент Пуассона.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
46 А. В. Амвросьева, В. М. Мусалимов
Запишем выражение, связывающее критическую длину l трещины нормального отрыва
и приложенную нагрузку:
σ
=
⎡ ⎢ ⎣
πl
8d z (1 +
γz 4χ
2
)
⎤1 ⎥ ⎦
2
.
(1)
Аналогично получено выражение, связывающее критическую длину l трещины про-
дольного сдвига и нагрузки:
τ
=
⎡ ⎢ ⎣
πl
2d y (1 +
γy 4χ2
)
⎤1 ⎥ ⎦
2
.
(2)
В выражениях (1) и (2) γz = γ y = γ — плотность эффективной энергии разрушения,
d y = Λdz — приведенные пьезомодули, где Λ — коэффициент.
z
–1 1
x
y Рис. 1
Для рассматриваемой трещины смешанного типа (нормального отрыва и продольного сдвига) интенсивность освобождения упругой энергии рассчитывается как
G = GI + GIII ,
(3)
где GI =2γ для трещины нормального отрыва, GIII =2γ для трещины продольного сдвига.
Смешанный критерий разрушения можно выразить, используя коэффициенты интенсивности напряжений [1]:
Gc
=
1
+ E
ν
⎡⎣(1
−
ν)
K
2 I
+
KI2II
⎤ ⎦
,
(4)
где KI и KIII — коэффициенты интенсивности напряжений для трещины нормального отры-
ва и трещины продольного сдвига соответственно, E — модуль упругости.
Из формул (1) и (2) получаем
GI
=
σ2 πl (1 + 4dz
4χ2 )
;
а из уравнений (3) и (4) следует
GIII
=
τ2πl(1+ 4χ2 ) Λd z
,
σ2 a2
+
τ2 b2
=1,
(5)
где
a2
=
Gc 4dz πl(1+ 4χ2
)
,
b2
=
Gс Λd z πl(1+ 4χ2 )
(далее индекс в обозначениях пьезомодуля и критерия
разрушения опускаем).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Усталостное разрушение миниатюрного пьезоэлектрического схвата
47
На рис. 2 представлен график зависимости (5), где по оси абсцисс отложена нагрузка σ, по оси ординат — нагрузка τ.
τ, Н/м2⋅104
0,4
0,3 0,2 0,1
0
–0,1 –0,2
–0,3
–0,4
–0,5
–1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6
Рис. 2
Введем обозначение:
D2
=
Gd l
,
тогда
a2 = D2π4(1+ 4χ2 ) , b2 = D2πΛ (1+ 4χ2 ) .
σ, Н/м2⋅104
(6)
В формуле (6) пьезомодуль d, интенсивность освобождения энергии G (скорость освобождения энергии) и длина трещины l связаны зависимостью, где D2 имеет размерность „напряжение в квадрате“. Таким образом, зная предельную кривую (см. рис. 2), можно определить допустимый размер трещины при заданном пьезоупругом нагружении. Агрегатный модуль D2 в определенной степени характеризует „энергию ускорений“ [2], умноженную на плотность приповерхностного слоя трещины.
Обратимся, далее, к решению рассматриваемой задачи применительно к телу конечных размеров. На рис. 3 представлено схематическое изображение пьезоэлектрического схвата, для которого справедливы следующие значения параметров [3]:
KI = σ
πl
⋅
Y1
⎛ ⎜⎝
l⎞ L ⎟⎠
=
237 ⋅109 H
м2
;
KIII = τ
πl
⋅
Y3
⎛ ⎜⎝
l L
⎞ ⎠⎟
=
59
⋅109
H
м2
,
где Y1 [4—6] и Y3 [7] — поправочные функции. Тогда
σY1
⎛ ⎝⎜
l L
⎞ ⎟⎠
=
6M1l th3
=
6MP1l 2 th3
= 1728⋅109
H
м2
,
где l = 0, 6 ⋅10−2 м; t = 0,1⋅10−3 м; h = 0,5⋅10−3 м; P1 = 100 Н, и
τY3
⎛ ⎝⎜
l L
⎞ ⎟⎠
=
6M3l t3h
=
6MP3l 2 t3h
= 432 ⋅109
Н/м2,
где l = 0, 6 ⋅10−2 м; t = 0,1⋅10−3 м; h = 0,5⋅10−3 м; P3 = P1 ⋅10−2 Н.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
48 А. В. Амвросьева, В. М. Мусалимов Вычислим плотность эффективной энергии разрушения γ = G 2 = 1425 ⋅108 Н/м и най-
дем предельные нагрузки: σ = 104 Н/м2, τ = 0, 5 ⋅104 Н/м2.
M3 z
x h
t
M1 y
Рис. 3
Рассмотрим задачу об усталостном разрушении. Примем, что размах цикла напряжений
∆σ = 2 a2 + b2 = 24 ⋅103 Н/м2 или ∆σ = 2D π(4 + Λ)(1 + 4χ2 ) ,
тогда
σ=
∆σ 2 sin(ωt)
.
Для оценки усталостной прочности используется закон Пэриса [4, 5]:
dl dN
= C1(∆K )n ,
где ∆K = f ∆σ — размах коэффициента интенсивности при f = 1; для n = 4 и С = 2 ⋅10−10 [6, 7]
получим значение
dl dN
= 66,36 ⋅106 , где N — число циклов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Партон В. З., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения: Специальные задачи механики разрушения. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 192 с.
2. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1960. Т. 1, 2.
3. Смирнов А. Б. Системы микроперемещений с пьезоэлектрическими приводами: Мехатроника и робототехника. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2003. 160 с.
4. Пестриков В. М., Морозов Е. М. Механика разрушения на базе компьютерных технологий: Практикум. СПб: „БХВ-Петербург“, 2007. 450 с.
5. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.
6. Amvrosieva A., Musalimov V. Fracturing mechanism the push-wire connector // Proc. of the 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference. Lisbon, 2009.
7. Amvrosieva A., Musalimov V. Fatigue fracture of miniature piezoelectric grabs // Proc. of the XV Intern. Colloquium Mechanical Fatigue of Metals. Opole, 2010.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Усталостное разрушение миниатюрного пьезоэлектрического схвата
49
Анна Владимировна Амвросьева Виктор Михайлович Мусалимов
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра измерительных технологий и компьютерной томографии; E-mail: destyni@mail.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: musVM@yandex.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 05.10.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
УДК 621.865.8-781.2.001.63
А. В. АМВРОСЬЕВА, В. М. МУСАЛИМОВ
УСТАЛОСТНОЕ РАЗРУШЕНИЕ МИНИАТЮРНОГО ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СХВАТА
Решена задача о трещине в пьезоэлектрическом схвате, предложен смешанный критерий разрушения, показано, что для построения предельных кривых целесообразно использовать агрегатный D-модуль. Ключевые слова: пьезоэлектрический схват, энергетический критерий разрушения, пьезомодуль.
Микроманипуляторы с пьезоэлектрическими захватными устройствами находят в настоящее время все более широкое применение. Для решения вопроса о прочности системы авторами настоящей статьи предлагается новый подход к решению задачи о статическом нагружении пьезоэлектрика и циклическом разрушении, предложен смешанный критерий разрушения.
Рассматриваемая задача (см. рис. 1) была решена в работе [1] для полупространства z ≥ 0 из пьезоэлектрического материала; прямолинейный разрез расположен в плоскости изотропии z = 0 на границе с упругим изотропным проводником ( z ≤ 0 ) с берегами трещины x ≤ 1 и y < ∞ , свободными от нагрузки; условие на бесконечности: σ∞ = σ0 . В настоящей статье для решения задачи будем рассматривать случай плоской деформации: χ = (3 − 4ν) , где ν — коэффициент Пуассона.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
46 А. В. Амвросьева, В. М. Мусалимов
Запишем выражение, связывающее критическую длину l трещины нормального отрыва
и приложенную нагрузку:
σ
=
⎡ ⎢ ⎣
πl
8d z (1 +
γz 4χ
2
)
⎤1 ⎥ ⎦
2
.
(1)
Аналогично получено выражение, связывающее критическую длину l трещины про-
дольного сдвига и нагрузки:
τ
=
⎡ ⎢ ⎣
πl
2d y (1 +
γy 4χ2
)
⎤1 ⎥ ⎦
2
.
(2)
В выражениях (1) и (2) γz = γ y = γ — плотность эффективной энергии разрушения,
d y = Λdz — приведенные пьезомодули, где Λ — коэффициент.
z
–1 1
x
y Рис. 1
Для рассматриваемой трещины смешанного типа (нормального отрыва и продольного сдвига) интенсивность освобождения упругой энергии рассчитывается как
G = GI + GIII ,
(3)
где GI =2γ для трещины нормального отрыва, GIII =2γ для трещины продольного сдвига.
Смешанный критерий разрушения можно выразить, используя коэффициенты интенсивности напряжений [1]:
Gc
=
1
+ E
ν
⎡⎣(1
−
ν)
K
2 I
+
KI2II
⎤ ⎦
,
(4)
где KI и KIII — коэффициенты интенсивности напряжений для трещины нормального отры-
ва и трещины продольного сдвига соответственно, E — модуль упругости.
Из формул (1) и (2) получаем
GI
=
σ2 πl (1 + 4dz
4χ2 )
;
а из уравнений (3) и (4) следует
GIII
=
τ2πl(1+ 4χ2 ) Λd z
,
σ2 a2
+
τ2 b2
=1,
(5)
где
a2
=
Gc 4dz πl(1+ 4χ2
)
,
b2
=
Gс Λd z πl(1+ 4χ2 )
(далее индекс в обозначениях пьезомодуля и критерия
разрушения опускаем).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Усталостное разрушение миниатюрного пьезоэлектрического схвата
47
На рис. 2 представлен график зависимости (5), где по оси абсцисс отложена нагрузка σ, по оси ординат — нагрузка τ.
τ, Н/м2⋅104
0,4
0,3 0,2 0,1
0
–0,1 –0,2
–0,3
–0,4
–0,5
–1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6
Рис. 2
Введем обозначение:
D2
=
Gd l
,
тогда
a2 = D2π4(1+ 4χ2 ) , b2 = D2πΛ (1+ 4χ2 ) .
σ, Н/м2⋅104
(6)
В формуле (6) пьезомодуль d, интенсивность освобождения энергии G (скорость освобождения энергии) и длина трещины l связаны зависимостью, где D2 имеет размерность „напряжение в квадрате“. Таким образом, зная предельную кривую (см. рис. 2), можно определить допустимый размер трещины при заданном пьезоупругом нагружении. Агрегатный модуль D2 в определенной степени характеризует „энергию ускорений“ [2], умноженную на плотность приповерхностного слоя трещины.
Обратимся, далее, к решению рассматриваемой задачи применительно к телу конечных размеров. На рис. 3 представлено схематическое изображение пьезоэлектрического схвата, для которого справедливы следующие значения параметров [3]:
KI = σ
πl
⋅
Y1
⎛ ⎜⎝
l⎞ L ⎟⎠
=
237 ⋅109 H
м2
;
KIII = τ
πl
⋅
Y3
⎛ ⎜⎝
l L
⎞ ⎠⎟
=
59
⋅109
H
м2
,
где Y1 [4—6] и Y3 [7] — поправочные функции. Тогда
σY1
⎛ ⎝⎜
l L
⎞ ⎟⎠
=
6M1l th3
=
6MP1l 2 th3
= 1728⋅109
H
м2
,
где l = 0, 6 ⋅10−2 м; t = 0,1⋅10−3 м; h = 0,5⋅10−3 м; P1 = 100 Н, и
τY3
⎛ ⎝⎜
l L
⎞ ⎟⎠
=
6M3l t3h
=
6MP3l 2 t3h
= 432 ⋅109
Н/м2,
где l = 0, 6 ⋅10−2 м; t = 0,1⋅10−3 м; h = 0,5⋅10−3 м; P3 = P1 ⋅10−2 Н.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
48 А. В. Амвросьева, В. М. Мусалимов Вычислим плотность эффективной энергии разрушения γ = G 2 = 1425 ⋅108 Н/м и най-
дем предельные нагрузки: σ = 104 Н/м2, τ = 0, 5 ⋅104 Н/м2.
M3 z
x h
t
M1 y
Рис. 3
Рассмотрим задачу об усталостном разрушении. Примем, что размах цикла напряжений
∆σ = 2 a2 + b2 = 24 ⋅103 Н/м2 или ∆σ = 2D π(4 + Λ)(1 + 4χ2 ) ,
тогда
σ=
∆σ 2 sin(ωt)
.
Для оценки усталостной прочности используется закон Пэриса [4, 5]:
dl dN
= C1(∆K )n ,
где ∆K = f ∆σ — размах коэффициента интенсивности при f = 1; для n = 4 и С = 2 ⋅10−10 [6, 7]
получим значение
dl dN
= 66,36 ⋅106 , где N — число циклов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Партон В. З., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения: Специальные задачи механики разрушения. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 192 с.
2. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1960. Т. 1, 2.
3. Смирнов А. Б. Системы микроперемещений с пьезоэлектрическими приводами: Мехатроника и робототехника. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2003. 160 с.
4. Пестриков В. М., Морозов Е. М. Механика разрушения на базе компьютерных технологий: Практикум. СПб: „БХВ-Петербург“, 2007. 450 с.
5. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.
6. Amvrosieva A., Musalimov V. Fracturing mechanism the push-wire connector // Proc. of the 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference. Lisbon, 2009.
7. Amvrosieva A., Musalimov V. Fatigue fracture of miniature piezoelectric grabs // Proc. of the XV Intern. Colloquium Mechanical Fatigue of Metals. Opole, 2010.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Усталостное разрушение миниатюрного пьезоэлектрического схвата
49
Анна Владимировна Амвросьева Виктор Михайлович Мусалимов
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра измерительных технологий и компьютерной томографии; E-mail: destyni@mail.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: musVM@yandex.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 05.10.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1