ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЯГОВОГО УСИЛИЯ НИЗКОЧАСТОТНОГО ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЯ
Определение тягового усилия электродинамического вибровозбудителя
59
УДК 621.81
Ю. Н. ЖУРАВЛЕВ, Д. С. ФЕДОРОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЯГОВОГО УСИЛИЯ НИЗКОЧАСТОТНОГО ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЯ
Получено соотношение для оценки тягового усилия низкочастотного электродинамического вибровозбудителя, служащего для поверки и градуировки датчиков ускорения. Приведены результаты экспериментальных исследований.
Ключевые слова: вибровозбудитель, датчик ускорения, акселерометр, магнитный подвес, взаимная индуктивность.
Во многих областях современной техники (сейсмология, космическая и авиационная индустрия, мощные энергетические установки, строительство высотных объектов, транспорт) широко используются датчики ускорения (акселерометры), работающие в диапазоне малыхчастот (0,01…5 Гц). Для поверки и градуировки таких датчиков требуются вибровозбудители, способные обеспечивать одномерные горизонтальные гармонические колебания поверяемого акселерометра. Малые частоты колебаний вызывают необходимость создания больших амплитуд перемещений для обеспечения приемлемых значений ускорений. Эта необходимость исключает возможность использования традиционного вибровозбудителя электромагнитного типа [1]. В связи с этим был выбран электродинамический тип вибровозбудителя с активным магнитным подвесом подвижной части [2].
1 34
2 0 Сz
z
l1
Рис. 1
Приводная часть вибровозбудителя (рис. 1) состоит из магнитопровода, четырех неподвижных катушек намагничивания 1 и одной подвижной катушки 2. Магнитопровод состоит из пяти горизонтально расположенных ферромагнитных стержней круглого поперечного сечения — трех продольных 3 и двух поперечных 4, соединяющих торцевые поверхности продольных стержней. Катушки намагничивания установлены на поперечные стержни, соединены последовательно, питаются постоянным током I1 и создают постоянное магнитное поле по всей длине рабочего воздушного зазора между центральным и боковыми продольными стержнями. Подвижная катушка свободно установлена на центральный продольный
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
60 Ю. Н. Журавлев, Д. С. Федоров
стержень. При питании катушки синусоидальным током на нее действует в продольном на-
правлении гармоническая сила электродинамического воздействия. Подвижная катушка вме-
сте с прикрепленным к ней акселерометром образует подвижную часть вибровозбудителя,
которая снабжена системой подвеса. Из двух возможных типов подвеса без трения — воз-
душного и магнитного — был выбран активный магнитный подвес [3].
Одним из основных параметров вибровозбудителя является его тяговое усилие. Цель
настоящей статьи — получение выражения для тягового усилия вибровозбудителя данной
конструкции и сравнительный анализ расчетных значений тягового усилия с эксперимен-
тально полученными данными.
Пусть z — координата центра подвижной катушки, отсчитываемая от середины длины
магнитопровода. Записав выражение для магнитной энергии системы и взяв частную произ-
водную от нее по координате z , получим выражение для электромагнитной силы тяги:
Pэм
=
∂L12 ∂z
I1i2 (t),
(1)
где I1 — ток катушек подмагничивания (первого контура); i2 — ток подвижной катушки
(второго контура); L12 — коэффициент взаимной индуктивности контуров катушек намагни-
чивания.
Взаимную индуктивность контуров можно определить как L12 = L21 = Ψ21 I1 , где
Ψ21 — потокосцепление катушек первого контура с витками w2 второго контура.
Предполагается, что магнитная система ненасыщенная и линейная, следовательно, маг-
нитное сопротивление стали постоянно. Поэтому воспользовавшись принципом суперпози-
ции, декомпозируем магнитную систему на две подсистемы, одна из которых запитывается
левыми катушками намагничивания, другая — правыми (рис. 2, а, б соответственно).
а) l
б) l
l2 l2
l2/2 l2/2
F1=I1w1
w2 Фл(x) z
0
z
0 z
w2 Фп(x)
F1 =I1w1
х dх
х dх
Рис. 2
Магнитодвижущую силу F1w1, создаваемую двумя катушками намагничивания, распо-
ложенными на поперечном стержне, заменим магнитодвижущей силой, создаваемой одной
катушкой, расположенной в начале продольного стержня. Тогда
Ψ 21
=
Ψ
л 21
+
Ψп21,
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Определение тягового усилия электродинамического вибровозбудителя
61
где
Ψ
л 21
и
Ψ
п 21
—
потокосцепления
левой
и
правой
катушек
первого
контура
с
витками
вто-
рого контура.
В подвижной катушке выделим элемент длиной dx на расстоянии x от левого конца
продольных
стержней
магнитопровода.
Элемент
имеет
число
витков
dw
=
w2 l2
dx
,
где
l2
—
длина обмотки подвижной катушки. При этом очевидно, что составляющая магнитной ин-
дукции (В) в направлении оси z в воздухе равна нулю, а присутствует только радиальная со-
ставляющая. Кроме того, пусть диаметр l1 катушек намагничивания мал по сравнению с длиной магнитопровода l .
Полагая, что левые и правые катушки намагничивания создают встречно направленные
магнитные потоки, имеем
∫Ψ 21 ( z )
=
Ψ2л1(z) + Ψп21(z)
=
w2 l2
z+l2 z−l2
2
(Фп (х) − Фл (х))dx.
2
(3)
Здесь принято, что направление магнитодвижущей силы подвижной катушки в рас-
сматриваемый момент времени совпадает с направлением магнитного потока правой катушки
Фп (х) .
Определим магнитные потоки, создаваемые левой и правой катушками. Рассматриваемая магнитная система представляет собой магнитную цепь, состоящую из распределенных
по длине l продольных и поперечных магнитных сопротивлений. При этом продольными
магнитными сопротивлениями являются магнитные сопротивления ферромагнитных стерж-
ней, а поперечными — магнитные сопротивления воздушного зазора между центральным и боковыми стержнями. Данную магнитную цепь можно считать однородной, так как все про-
дольные сопротивления участков стержней одинаковой длины равны друг другу и попереч-
ные сопротивления участков цепи одинаковой длины в силу параллельности стержней также
равны друг другу. Магнитными сопротивлениями торцевых стержней пренебрежем. Расчет-
ная схема магнитной цепи, соответствующей системе, представленной на рис. 2, а, приведена на рис. 3, а. Через dx обозначен бесконечно малый элемент длины магнитной цепи, через
dR — магнитные сопротивления элементов стержней, через dG — магнитные проводимости
воздушного зазора между этими элементами, через ϕ — магнитный потенциал.
Учитывая,
что
ϕ2 = F1 − ФdR ,
ϕ3
=
ϕ1
=
Ф 2
dR
,
имеем
ϕ2
−
ϕ1
=
ϕ2
−
ϕ3
=
F1
−
Ф
3 2
dR
=
= u21 = u23 , где uij — магнитное напряжение между точками i и j. Кроме того, 2dФ =
= u21dG + u23dG = 2u21dG . Исходя из этого, трехпроводную систему на первом участке можно заменить двухпроводной. Аналогичным образом от расчетной схемы, представленной на
рис. 3, а, можно перейти к схеме, приведенной на рис. 3, б. Для этой упрощенной схемы
3 R Rпр ρ=2 l = l
— приведенное продольное магнитное сопротивление единицы длины магни-
топровода; R — магнитное сопротивление одного стержня; Rпр — приведенное продольное
магнитное сопротивление магнитопровода; g
=
2
G l
Gпр =l
— приведенная поперечная маг-
нитная проводимость единицы длины цепи; G — магнитная проводимость зазора между
двумя стержнями; Gпр — приведенная полная поперечная магнитная проводимость трех
стержней.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
62 Ю. Н. Журавлев, Д. С. Федоров
Магнитное сопротивление стержня
R
=
u Ф
=
Hl BS
=
l µS
,
где S — площадь сечения стержня; µ = µrµ0 — осредненная магнитная проницаемость ма-
териала. С учетом этого имеем
ρ
=
3 2l
R
=
3 2µ S
;
Rпр
=
3 2
l µS
.
а) dR
dR
dR
dR
Ф/2 ϕ =F1
F1 dR Ф
ϕ =0
Ф/2 dR
1 ϕ1
dG 2 dФ dR
ϕ2 dФ Ф–2dФ
dG
3 ϕ3
dR
dG
dФ dФ
dR
dG dR
dG dG
dG dR
dG dR
dx dx dx
dx
б) l
x dx Ф(x) Ф(x)+ dФ
ρdx
ρdx
u(x) ρdx
dФ
ρdx
F1=I1w1
gdx
gdx
gdx gdx
u(x)+du
Рис. 3
Магнитную проводимость воздушного зазора между двумя параллельными стержнями длиной l и диаметром d , расположенными на расстоянии l′ друг от друга, определим как [4]
G = µ0 ln ⎡⎣⎢l′ / d +
πl ; g
{(
l′
/
d
)2
−
1}
⎤ ⎦⎥
= µ0 ln ⎢⎣⎡l′ / d +
2π ; Gпр = 2G .
{(
l
′
/
d
)2
−
1}
⎤ ⎦⎥
Из схемы на рис. 3, б следует, что для замкнутого контура, пренебрегая слагаемыми вто-
рого порядка малости, по законам Кирхгофа можно получить следующие уравнения:
du − dx
= ρΦ(х) ;
(4)
−
dФ dx
=
gu ( х)
,
где u(х) — магнитное напряжение между линиями эквивалентной двухпроводной схемы.
(5)
При решении уравнений (4) и (5) необходимо задать граничные условия: они известны
только для u и имеют вид u = F1 при x = 0 ; u = 0 при x = l . Из этих же выражений вытекает дифференциальное уравнение
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Определение тягового усилия электродинамического вибровозбудителя
63
d 2u dx2
−
a2u
=0; a =
gρ =
решением которого является следующее выражение:
Gпр Rпр l,
uл = F1[ch(ax) − cth(al) ⋅ sh(ax)].
(6)
Подставив уравнение (6) в формулу (4), получим выражение для магнитного потока, создаваемого левой катушкой намагничивания:
Фл (х) = F1 g ρ ⋅[cth(al) ⋅ ch(ax) − sh(ax)].
Проделав аналогичные операции для системы, приведенной на рис. 2, б, получим выражение для магнитного потока, создаваемого правой катушкой:
Фп (х) = F1
g ρ
⋅
1 sh(al
)
ch(ax)
.
Потоки Фл (х) и Фп (х) направлены встречно, поэтому суммарный магнитный поток
Ф(х) = Фп (х) − Фл (х) = F1
g ρ
⋅
⎡ ⎢ ⎣
1 sh (al )
ch(ax)
+
sh(ax)
−
ch(ax)
⋅
cth(al
)⎤⎥ ⎦
.
Введем переменную ξ = х − l 2 , которая позволяет упростить выражение для магнитно-
го потока. Получаем
Ф(ξ) = F1
g ρ
⋅
1 ch(al
2)
sh(aξ)
.
По формуле (3) находим
∫Ψ 21 ( z )
=
w2 l2
z+l2 z−l2
2
Ф(ξ)d ξ
2
=
w2 l2
F1
g ρ
⋅
1 a
2sh(al2 ch(al
2) 2)
sh(az)
.
Данное выражение преобразуется к виду
Ψ 21 ( z )
=
F1w2 ch(al
g 2)
⎛ ⎜⎝
z
+
1 6
a2
z3
⎞ ⎠⎟
.
Теперь можно определить коэффициент взаимной индуктивности контуров
L12 (z)
=
Ψ 21 ( z ) I1
=
w1w2 g ch(al 2)
⎛ ⎝⎜
z
+
1 6
a2
z3
⎞ ⎟⎠
.
(7)
Выражение для тягового усилия электродинамического вибровозбудителя получается путем подстановки формулы (7) в уравнение (1):
Pэм
=
∂L12 ∂z
I1i2 (t)
=
F1F2 (t)g ch(al 2)
⎝⎜⎛1 +
1 2
a2z2
⎞ ⎠⎟
.
(8)
Из выражения (8) следует, что сила тяги будет гармонической при F2 (t) = w2I2 sin ωt ,
если a = gρ = 0 . Так как при g = 0 имеем Pэм = 0 , то необходимое условие принимает вид ρ = 0 . Но так как даже при малых значениях индукции ρ ≠ 0 , то в выражении для силы тяги
неизбежно наличие отклонения от гармонической зависимости. Это отклонение можно уменьшить за счет недопущения насыщения стали.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
64 Ю. Н. Журавлев, Д. С. Федоров
Выражение (8) для тягового усилия получено для случая встречного включения левых и правых катушек намагничивания. Используя те же рассуждения, для случая однонаправленного включения катушек, получаем
Pэм
=
∂L12 ∂z
I1i2 (t)
=
F1F2 (t)g ch(al 2)
⎡⎣⎢1 +
1 2
a2 z2
+
ath ⎝⎛⎜
al 2
z ⎠⎟⎞⎥⎤⎦ .
(9)
Сравнительный анализ выражений (8) и (9) показывает, что схема однонаправленного
включения имеет два существенных недостатка:
— величина Pэм существенно зависит от z , увеличиваясь при z > 0 и уменьшаясь при
z
<
0
за
счет
сомножителя
ath ⎝⎜⎛
al 2
z ⎠⎞⎟ ;
— в выражении для магнитного потока имеется значительная постоянная составляющая
2F1
g ρ
⋅
1 sh (al )
≅
2F1 Rпр
,
которая
приводит
к
насыщению
стали
магнитопровода.
Рассмотрим результаты экспериментов. Экспериментальные исследования производились на макете вибровозбудителя, созданном в Псковском государственном политехническом институте.
Макет имеет следующие параметры: амплитуда колебаний на частоте до 1 Гц равна 0,125 м; длина продольных стержней 0,66 м, поперечных стержней 0,42 м, диаметр стержней 10 см, воздушный зазор между продольными стержнями 6 см; постоянное магнитное поле в воздушных зазорах создается с помощью четырех катушек намагничивания, радиус катушки 10 см; подвижная катушка имеет радиус 7,4 см, зазор между катушкой и центральным стержнем магнитопровода, вдоль которого она движется, равен 8 мм; подвижная катушка имеет электромагнитный подвес, состоящий из четырех активных магнитных подшипников, движущихся вдоль двух параллельных направляющих диаметром 25 мм.
Измерение силы тяги производилось посредством измерения силы отрыва. На центральном стержне магнитопровода устанавливался упор. При взаимодействии токов подвижной и неподвижной катушек возникает сила, прижимающая подвижную катушку к упору. К подвижной катушке крепилась нить, перекинутая через блок, к другому концу нити подвешивался груз. Если постепенно уменьшать ток от некоторого максимального значения (1,4 А) до значения,
при котором произойдет отрыв катушки от упора, то можно считать, что Pэм = mg , где m —
масса груза. На неподвижные катушки подавался ток 4 А, на подвижную — 0,16…1,4 А.
Таким образом, была построена зависимость Pэм (I2 ) при фиксированных значениях ко-
ординаты z и тока I1 ( z = 125 мм, I1 = 4 А), график которой приведен на рис. 4, а. Анализ ри-
сунка показывает, что расчетное значение силы тяги на 8—12 % выше экспериментального. Причиной расхождения могут быть не учтенные в расчетах такие факторы, как магнитные сопротивления стыков продольных и поперечных стержней магнитопровода; неоднородность магнитных свойств материала по длине стержней; потоки рассеяния катушек намагничивания.
Аналогичным образом была сформирована зависимость Pэм (z) при фиксированных зна-
чениях I1 = 4 А и I2 = 0, 4 А (см. рис. 4, б). Из рисунка видно, что экспериментальная зависи-
мость силы тяги от координаты имеет параболический вид, что качественно подтверждает теорию. Теоретическая кривая соответствует второму слагаемому в выражении (8) для силы тяги.
Также в ходе эксперимента на основе измерения магнитного потока при токах I1 = 5 А и
I2 = 1,5 А было получено значение приведенной поперечной магнитной проводимости еди-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Определение тягового усилия электродинамического вибровозбудителя
65
ницы длины магнитной цепи: g = 7,78⋅10−6 Гн/м, что практически совпадает с расчетным
значением g = 8,2 ⋅10−6 Гн/м при тех же параметрах.
а) Рэм, Н 8
Расчет
Эксперимент
1 0
б) Рэм, Н
3
0,1
1,4 I2, A
Эксперимент Теория
0,5
0 20
120 z, мм
Рис. 4
Результаты эксперимента подтверждают качественно и с допустимой погрешностью ко-
личественно справедливость полученного теоретически выражения (8) для тягового усилия.
Результаты, изложенные в данной статье, были положены в основу создания низкочас-
тотного электродинамического вибровозбудителя с магнитным подвесом подвижной части
ВМГ-2* [4]; его основные параметры: диапазон частот 0,1—5,0 Гц; максимальная амплитуда
колебаний 500 мм; коэффициент нелинейных искажений 0,6 %; несущая способность маг-
нитного подвеса 60 Н; коэффициент трения в подвесе менее 0,0002.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Генкин М. Л., Русаков А. И., Яблонский В. В. Электродинамические вибраторы. М.: Машиностроение, 1975.
2. Грибов А. Н., Журавлев Ю. Н., Мацеевич В. Г. Вибровозбудитель низкочастотной вибрации с активной магнитной подвеской подвижной части // Современные проблемы совершенствования средств измерений механических величин: Сб. Л.: Энергоатомиздат, 1986. С. 77—82.
3. Журавлев Ю. Н. Активные магнитные подшипники: Теория, расчет, применение. СПб: Политехника, 2003. 206 с.
4. Постоянные магниты: Справочник / Под ред. Ю. М. Пятина. М.: Энергия, 1980. С. 488.
5. Zhuravlyov Y. N., Matcevich S. G., Kochevin F. G. et al. Low-frequency electrodynamic vibrator with magnetically suspended movable part // Proc. of the 4th Intern. Conf. on Motion and Vibration Control. 1998. Vol. 3. P. 1063—1067.
Юрий Николаевич Журавлев Дмитрий Сергеевич Федоров
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Псковский государственный политехнический
институт, кафедра строительной механики — Псковский государственный политехнический институт, кафедра электропри-
вода и систем автоматизации; ассистент; E-mail kreator353@pochta.ru
Рекомендована кафедрой электропривода и систем автоматизации
Поступила в редакцию 26.03.10 г.
* При совместном участии ФГУП „ВНИИМ им. Д. И Менделеева“ (Санкт-Петербург) и Псковского государственного политехнического института [5].
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
59
УДК 621.81
Ю. Н. ЖУРАВЛЕВ, Д. С. ФЕДОРОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЯГОВОГО УСИЛИЯ НИЗКОЧАСТОТНОГО ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЯ
Получено соотношение для оценки тягового усилия низкочастотного электродинамического вибровозбудителя, служащего для поверки и градуировки датчиков ускорения. Приведены результаты экспериментальных исследований.
Ключевые слова: вибровозбудитель, датчик ускорения, акселерометр, магнитный подвес, взаимная индуктивность.
Во многих областях современной техники (сейсмология, космическая и авиационная индустрия, мощные энергетические установки, строительство высотных объектов, транспорт) широко используются датчики ускорения (акселерометры), работающие в диапазоне малыхчастот (0,01…5 Гц). Для поверки и градуировки таких датчиков требуются вибровозбудители, способные обеспечивать одномерные горизонтальные гармонические колебания поверяемого акселерометра. Малые частоты колебаний вызывают необходимость создания больших амплитуд перемещений для обеспечения приемлемых значений ускорений. Эта необходимость исключает возможность использования традиционного вибровозбудителя электромагнитного типа [1]. В связи с этим был выбран электродинамический тип вибровозбудителя с активным магнитным подвесом подвижной части [2].
1 34
2 0 Сz
z
l1
Рис. 1
Приводная часть вибровозбудителя (рис. 1) состоит из магнитопровода, четырех неподвижных катушек намагничивания 1 и одной подвижной катушки 2. Магнитопровод состоит из пяти горизонтально расположенных ферромагнитных стержней круглого поперечного сечения — трех продольных 3 и двух поперечных 4, соединяющих торцевые поверхности продольных стержней. Катушки намагничивания установлены на поперечные стержни, соединены последовательно, питаются постоянным током I1 и создают постоянное магнитное поле по всей длине рабочего воздушного зазора между центральным и боковыми продольными стержнями. Подвижная катушка свободно установлена на центральный продольный
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
60 Ю. Н. Журавлев, Д. С. Федоров
стержень. При питании катушки синусоидальным током на нее действует в продольном на-
правлении гармоническая сила электродинамического воздействия. Подвижная катушка вме-
сте с прикрепленным к ней акселерометром образует подвижную часть вибровозбудителя,
которая снабжена системой подвеса. Из двух возможных типов подвеса без трения — воз-
душного и магнитного — был выбран активный магнитный подвес [3].
Одним из основных параметров вибровозбудителя является его тяговое усилие. Цель
настоящей статьи — получение выражения для тягового усилия вибровозбудителя данной
конструкции и сравнительный анализ расчетных значений тягового усилия с эксперимен-
тально полученными данными.
Пусть z — координата центра подвижной катушки, отсчитываемая от середины длины
магнитопровода. Записав выражение для магнитной энергии системы и взяв частную произ-
водную от нее по координате z , получим выражение для электромагнитной силы тяги:
Pэм
=
∂L12 ∂z
I1i2 (t),
(1)
где I1 — ток катушек подмагничивания (первого контура); i2 — ток подвижной катушки
(второго контура); L12 — коэффициент взаимной индуктивности контуров катушек намагни-
чивания.
Взаимную индуктивность контуров можно определить как L12 = L21 = Ψ21 I1 , где
Ψ21 — потокосцепление катушек первого контура с витками w2 второго контура.
Предполагается, что магнитная система ненасыщенная и линейная, следовательно, маг-
нитное сопротивление стали постоянно. Поэтому воспользовавшись принципом суперпози-
ции, декомпозируем магнитную систему на две подсистемы, одна из которых запитывается
левыми катушками намагничивания, другая — правыми (рис. 2, а, б соответственно).
а) l
б) l
l2 l2
l2/2 l2/2
F1=I1w1
w2 Фл(x) z
0
z
0 z
w2 Фп(x)
F1 =I1w1
х dх
х dх
Рис. 2
Магнитодвижущую силу F1w1, создаваемую двумя катушками намагничивания, распо-
ложенными на поперечном стержне, заменим магнитодвижущей силой, создаваемой одной
катушкой, расположенной в начале продольного стержня. Тогда
Ψ 21
=
Ψ
л 21
+
Ψп21,
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Определение тягового усилия электродинамического вибровозбудителя
61
где
Ψ
л 21
и
Ψ
п 21
—
потокосцепления
левой
и
правой
катушек
первого
контура
с
витками
вто-
рого контура.
В подвижной катушке выделим элемент длиной dx на расстоянии x от левого конца
продольных
стержней
магнитопровода.
Элемент
имеет
число
витков
dw
=
w2 l2
dx
,
где
l2
—
длина обмотки подвижной катушки. При этом очевидно, что составляющая магнитной ин-
дукции (В) в направлении оси z в воздухе равна нулю, а присутствует только радиальная со-
ставляющая. Кроме того, пусть диаметр l1 катушек намагничивания мал по сравнению с длиной магнитопровода l .
Полагая, что левые и правые катушки намагничивания создают встречно направленные
магнитные потоки, имеем
∫Ψ 21 ( z )
=
Ψ2л1(z) + Ψп21(z)
=
w2 l2
z+l2 z−l2
2
(Фп (х) − Фл (х))dx.
2
(3)
Здесь принято, что направление магнитодвижущей силы подвижной катушки в рас-
сматриваемый момент времени совпадает с направлением магнитного потока правой катушки
Фп (х) .
Определим магнитные потоки, создаваемые левой и правой катушками. Рассматриваемая магнитная система представляет собой магнитную цепь, состоящую из распределенных
по длине l продольных и поперечных магнитных сопротивлений. При этом продольными
магнитными сопротивлениями являются магнитные сопротивления ферромагнитных стерж-
ней, а поперечными — магнитные сопротивления воздушного зазора между центральным и боковыми стержнями. Данную магнитную цепь можно считать однородной, так как все про-
дольные сопротивления участков стержней одинаковой длины равны друг другу и попереч-
ные сопротивления участков цепи одинаковой длины в силу параллельности стержней также
равны друг другу. Магнитными сопротивлениями торцевых стержней пренебрежем. Расчет-
ная схема магнитной цепи, соответствующей системе, представленной на рис. 2, а, приведена на рис. 3, а. Через dx обозначен бесконечно малый элемент длины магнитной цепи, через
dR — магнитные сопротивления элементов стержней, через dG — магнитные проводимости
воздушного зазора между этими элементами, через ϕ — магнитный потенциал.
Учитывая,
что
ϕ2 = F1 − ФdR ,
ϕ3
=
ϕ1
=
Ф 2
dR
,
имеем
ϕ2
−
ϕ1
=
ϕ2
−
ϕ3
=
F1
−
Ф
3 2
dR
=
= u21 = u23 , где uij — магнитное напряжение между точками i и j. Кроме того, 2dФ =
= u21dG + u23dG = 2u21dG . Исходя из этого, трехпроводную систему на первом участке можно заменить двухпроводной. Аналогичным образом от расчетной схемы, представленной на
рис. 3, а, можно перейти к схеме, приведенной на рис. 3, б. Для этой упрощенной схемы
3 R Rпр ρ=2 l = l
— приведенное продольное магнитное сопротивление единицы длины магни-
топровода; R — магнитное сопротивление одного стержня; Rпр — приведенное продольное
магнитное сопротивление магнитопровода; g
=
2
G l
Gпр =l
— приведенная поперечная маг-
нитная проводимость единицы длины цепи; G — магнитная проводимость зазора между
двумя стержнями; Gпр — приведенная полная поперечная магнитная проводимость трех
стержней.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
62 Ю. Н. Журавлев, Д. С. Федоров
Магнитное сопротивление стержня
R
=
u Ф
=
Hl BS
=
l µS
,
где S — площадь сечения стержня; µ = µrµ0 — осредненная магнитная проницаемость ма-
териала. С учетом этого имеем
ρ
=
3 2l
R
=
3 2µ S
;
Rпр
=
3 2
l µS
.
а) dR
dR
dR
dR
Ф/2 ϕ =F1
F1 dR Ф
ϕ =0
Ф/2 dR
1 ϕ1
dG 2 dФ dR
ϕ2 dФ Ф–2dФ
dG
3 ϕ3
dR
dG
dФ dФ
dR
dG dR
dG dG
dG dR
dG dR
dx dx dx
dx
б) l
x dx Ф(x) Ф(x)+ dФ
ρdx
ρdx
u(x) ρdx
dФ
ρdx
F1=I1w1
gdx
gdx
gdx gdx
u(x)+du
Рис. 3
Магнитную проводимость воздушного зазора между двумя параллельными стержнями длиной l и диаметром d , расположенными на расстоянии l′ друг от друга, определим как [4]
G = µ0 ln ⎡⎣⎢l′ / d +
πl ; g
{(
l′
/
d
)2
−
1}
⎤ ⎦⎥
= µ0 ln ⎢⎣⎡l′ / d +
2π ; Gпр = 2G .
{(
l
′
/
d
)2
−
1}
⎤ ⎦⎥
Из схемы на рис. 3, б следует, что для замкнутого контура, пренебрегая слагаемыми вто-
рого порядка малости, по законам Кирхгофа можно получить следующие уравнения:
du − dx
= ρΦ(х) ;
(4)
−
dФ dx
=
gu ( х)
,
где u(х) — магнитное напряжение между линиями эквивалентной двухпроводной схемы.
(5)
При решении уравнений (4) и (5) необходимо задать граничные условия: они известны
только для u и имеют вид u = F1 при x = 0 ; u = 0 при x = l . Из этих же выражений вытекает дифференциальное уравнение
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Определение тягового усилия электродинамического вибровозбудителя
63
d 2u dx2
−
a2u
=0; a =
gρ =
решением которого является следующее выражение:
Gпр Rпр l,
uл = F1[ch(ax) − cth(al) ⋅ sh(ax)].
(6)
Подставив уравнение (6) в формулу (4), получим выражение для магнитного потока, создаваемого левой катушкой намагничивания:
Фл (х) = F1 g ρ ⋅[cth(al) ⋅ ch(ax) − sh(ax)].
Проделав аналогичные операции для системы, приведенной на рис. 2, б, получим выражение для магнитного потока, создаваемого правой катушкой:
Фп (х) = F1
g ρ
⋅
1 sh(al
)
ch(ax)
.
Потоки Фл (х) и Фп (х) направлены встречно, поэтому суммарный магнитный поток
Ф(х) = Фп (х) − Фл (х) = F1
g ρ
⋅
⎡ ⎢ ⎣
1 sh (al )
ch(ax)
+
sh(ax)
−
ch(ax)
⋅
cth(al
)⎤⎥ ⎦
.
Введем переменную ξ = х − l 2 , которая позволяет упростить выражение для магнитно-
го потока. Получаем
Ф(ξ) = F1
g ρ
⋅
1 ch(al
2)
sh(aξ)
.
По формуле (3) находим
∫Ψ 21 ( z )
=
w2 l2
z+l2 z−l2
2
Ф(ξ)d ξ
2
=
w2 l2
F1
g ρ
⋅
1 a
2sh(al2 ch(al
2) 2)
sh(az)
.
Данное выражение преобразуется к виду
Ψ 21 ( z )
=
F1w2 ch(al
g 2)
⎛ ⎜⎝
z
+
1 6
a2
z3
⎞ ⎠⎟
.
Теперь можно определить коэффициент взаимной индуктивности контуров
L12 (z)
=
Ψ 21 ( z ) I1
=
w1w2 g ch(al 2)
⎛ ⎝⎜
z
+
1 6
a2
z3
⎞ ⎟⎠
.
(7)
Выражение для тягового усилия электродинамического вибровозбудителя получается путем подстановки формулы (7) в уравнение (1):
Pэм
=
∂L12 ∂z
I1i2 (t)
=
F1F2 (t)g ch(al 2)
⎝⎜⎛1 +
1 2
a2z2
⎞ ⎠⎟
.
(8)
Из выражения (8) следует, что сила тяги будет гармонической при F2 (t) = w2I2 sin ωt ,
если a = gρ = 0 . Так как при g = 0 имеем Pэм = 0 , то необходимое условие принимает вид ρ = 0 . Но так как даже при малых значениях индукции ρ ≠ 0 , то в выражении для силы тяги
неизбежно наличие отклонения от гармонической зависимости. Это отклонение можно уменьшить за счет недопущения насыщения стали.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
64 Ю. Н. Журавлев, Д. С. Федоров
Выражение (8) для тягового усилия получено для случая встречного включения левых и правых катушек намагничивания. Используя те же рассуждения, для случая однонаправленного включения катушек, получаем
Pэм
=
∂L12 ∂z
I1i2 (t)
=
F1F2 (t)g ch(al 2)
⎡⎣⎢1 +
1 2
a2 z2
+
ath ⎝⎛⎜
al 2
z ⎠⎟⎞⎥⎤⎦ .
(9)
Сравнительный анализ выражений (8) и (9) показывает, что схема однонаправленного
включения имеет два существенных недостатка:
— величина Pэм существенно зависит от z , увеличиваясь при z > 0 и уменьшаясь при
z
<
0
за
счет
сомножителя
ath ⎝⎜⎛
al 2
z ⎠⎞⎟ ;
— в выражении для магнитного потока имеется значительная постоянная составляющая
2F1
g ρ
⋅
1 sh (al )
≅
2F1 Rпр
,
которая
приводит
к
насыщению
стали
магнитопровода.
Рассмотрим результаты экспериментов. Экспериментальные исследования производились на макете вибровозбудителя, созданном в Псковском государственном политехническом институте.
Макет имеет следующие параметры: амплитуда колебаний на частоте до 1 Гц равна 0,125 м; длина продольных стержней 0,66 м, поперечных стержней 0,42 м, диаметр стержней 10 см, воздушный зазор между продольными стержнями 6 см; постоянное магнитное поле в воздушных зазорах создается с помощью четырех катушек намагничивания, радиус катушки 10 см; подвижная катушка имеет радиус 7,4 см, зазор между катушкой и центральным стержнем магнитопровода, вдоль которого она движется, равен 8 мм; подвижная катушка имеет электромагнитный подвес, состоящий из четырех активных магнитных подшипников, движущихся вдоль двух параллельных направляющих диаметром 25 мм.
Измерение силы тяги производилось посредством измерения силы отрыва. На центральном стержне магнитопровода устанавливался упор. При взаимодействии токов подвижной и неподвижной катушек возникает сила, прижимающая подвижную катушку к упору. К подвижной катушке крепилась нить, перекинутая через блок, к другому концу нити подвешивался груз. Если постепенно уменьшать ток от некоторого максимального значения (1,4 А) до значения,
при котором произойдет отрыв катушки от упора, то можно считать, что Pэм = mg , где m —
масса груза. На неподвижные катушки подавался ток 4 А, на подвижную — 0,16…1,4 А.
Таким образом, была построена зависимость Pэм (I2 ) при фиксированных значениях ко-
ординаты z и тока I1 ( z = 125 мм, I1 = 4 А), график которой приведен на рис. 4, а. Анализ ри-
сунка показывает, что расчетное значение силы тяги на 8—12 % выше экспериментального. Причиной расхождения могут быть не учтенные в расчетах такие факторы, как магнитные сопротивления стыков продольных и поперечных стержней магнитопровода; неоднородность магнитных свойств материала по длине стержней; потоки рассеяния катушек намагничивания.
Аналогичным образом была сформирована зависимость Pэм (z) при фиксированных зна-
чениях I1 = 4 А и I2 = 0, 4 А (см. рис. 4, б). Из рисунка видно, что экспериментальная зависи-
мость силы тяги от координаты имеет параболический вид, что качественно подтверждает теорию. Теоретическая кривая соответствует второму слагаемому в выражении (8) для силы тяги.
Также в ходе эксперимента на основе измерения магнитного потока при токах I1 = 5 А и
I2 = 1,5 А было получено значение приведенной поперечной магнитной проводимости еди-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1
Определение тягового усилия электродинамического вибровозбудителя
65
ницы длины магнитной цепи: g = 7,78⋅10−6 Гн/м, что практически совпадает с расчетным
значением g = 8,2 ⋅10−6 Гн/м при тех же параметрах.
а) Рэм, Н 8
Расчет
Эксперимент
1 0
б) Рэм, Н
3
0,1
1,4 I2, A
Эксперимент Теория
0,5
0 20
120 z, мм
Рис. 4
Результаты эксперимента подтверждают качественно и с допустимой погрешностью ко-
личественно справедливость полученного теоретически выражения (8) для тягового усилия.
Результаты, изложенные в данной статье, были положены в основу создания низкочас-
тотного электродинамического вибровозбудителя с магнитным подвесом подвижной части
ВМГ-2* [4]; его основные параметры: диапазон частот 0,1—5,0 Гц; максимальная амплитуда
колебаний 500 мм; коэффициент нелинейных искажений 0,6 %; несущая способность маг-
нитного подвеса 60 Н; коэффициент трения в подвесе менее 0,0002.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Генкин М. Л., Русаков А. И., Яблонский В. В. Электродинамические вибраторы. М.: Машиностроение, 1975.
2. Грибов А. Н., Журавлев Ю. Н., Мацеевич В. Г. Вибровозбудитель низкочастотной вибрации с активной магнитной подвеской подвижной части // Современные проблемы совершенствования средств измерений механических величин: Сб. Л.: Энергоатомиздат, 1986. С. 77—82.
3. Журавлев Ю. Н. Активные магнитные подшипники: Теория, расчет, применение. СПб: Политехника, 2003. 206 с.
4. Постоянные магниты: Справочник / Под ред. Ю. М. Пятина. М.: Энергия, 1980. С. 488.
5. Zhuravlyov Y. N., Matcevich S. G., Kochevin F. G. et al. Low-frequency electrodynamic vibrator with magnetically suspended movable part // Proc. of the 4th Intern. Conf. on Motion and Vibration Control. 1998. Vol. 3. P. 1063—1067.
Юрий Николаевич Журавлев Дмитрий Сергеевич Федоров
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Псковский государственный политехнический
институт, кафедра строительной механики — Псковский государственный политехнический институт, кафедра электропри-
вода и систем автоматизации; ассистент; E-mail kreator353@pochta.ru
Рекомендована кафедрой электропривода и систем автоматизации
Поступила в редакцию 26.03.10 г.
* При совместном участии ФГУП „ВНИИМ им. Д. И Менделеева“ (Санкт-Петербург) и Псковского государственного политехнического института [5].
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 1