ВЫБОР МИНИМАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА КОНТРОЛИРУЕМЫХ ПРИЗНАКОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ
УДК 681.326
В. И. СЕНЬЧЕНКОВ, Д. Р. АБСАЛЯМОВ
ВЫБОР МИНИМАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА КОНТРОЛИРУЕМЫХ ПРИЗНАКОВ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ
Рассматривается задача выбора минимального множества контролируемых признаков, обеспечивающих наблюдаемость заданных видов технического состояния системы, а следовательно, и требуемую достоверность принятия решений о ее функциональной пригодности. В основе решения указанной задачи — использование свойств ортогональных векторных систем.
Ключевые слова: техническое состояние, контролируемый признак, скалярное произведение, ортогональная система.
Введение. Для получения информации о техническом состоянии системы следует зарегистрировать траектории ее выходного процесса, которые затем подвергаются преобразованию с целью получения вектора контролируемых признаков Y является избыточной. Это означает, что существует такой вектор контролируемых признаков Y меньшей размерности (n< n'), на котором все виды технического состояния ОК являются наблюдаемыми.
Выделение минимального множества контролируемых признаков — это важнейшая задача, решение которой позволяет снизить размерность математической модели ОК и повысить ее обозримость. Кроме того, повышается достоверность контроля технического состояния ОК благодаря снижению количества измерений на ОК, каждое из которых сопровождается методическими и метрологическими погрешностями.
Теоретико-множественная формулировка задачи выбора минимального множества контролируемых признаков. На множестве векторов Y ∈Y, по которым области Yi ( i = 1, m ) пересекаются между собой. В результате снижения размерности про-
странства Y наблюдаемое состояние Y ∈Y (n< n') будет содержать только те координаты (контролируемые признаки), на которых все виды технического состояния являются наблюдаемыми.
Для того чтобы снизить размерность пространства Y и при этом исключить пересечение областей Yi, необходимо знать, какие контролируемые признаки недостаточно информативны для определения текущего технического состояния ОК. Поэтому в настоящей статье рассматривается подход к снижению размерности пространства Y, связанный со сжатием изображений видов технического состояния ОК. Под изображением понимается формальное представление вида технического состояния как составной части математической модели ОК. Предлагаемая процедура сжатия изображений позволяет выявлять и исключать малоинформативные контролируемые признаки.
Решение задачи выбора минимального множества контролируемых признаков системы. Построение исходных (несжатых) изображений
Ei = (ei1, ei2, ..., ein′ )Т , i = 1, m ,
производится на основе следующих данных: — перечень всех видов технического состояния ОК Q = {qi | i = 1, m} ; — состав контролируемых признаков Y = {y j | j = 1, n′} ;
(1)
(2) (3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
Выбор минимального множества контролируемых признаков
7
— ограниченная по объему обучающая выборка реализаций наблюдаемых состояний, принадлежность которых каждому виду технического состояния ОК известна:
{ }Yk | k = 1, N1 ⊂ Y1;
{ }Yk | k = 1, N 2 ⊂ Y 2 ;
(4)
{ }Yk | k = 1, N m ⊂ Y m ,
где Ni ( i = 1, m ) — мощность множества элементов, принадлежащих подмножеству Yi. По-
строение изображений (1) на основе исходных данных (2)—(4) с применением процедуры обучения рассматривается в работе [3].
Сжатие предполагает исключение из изображений E (Ei, Ek), i, k =1,m , i ≠ k.
Первое условие выполняется всегда, так как справедливо равенство (12). Второе условие
также выполняется в силу справедливости соотношений (10)—(12). Кроме того, данное усло-
вие можно использовать при задании порогового значения а2 в неравенстве (5):
а2 = min{(Ei, Ei)}, i = 1, m .
Таким образом, из исходного множества контролируемых признаков может быть вы-
брано n (m≤ n i ( i = 1, m ).
Количество полученных скалярных произведений определяется из комбинаторной фор-
мулы
Cn2′
=
n′! 2!(n′ −
2)!
=
0, 5n′(n′
−1) ,
где Cn2′ — число сочетаний из n' по два. 2. Скалярные произведения (13) ранжируются по неубыванию:
(E j1 , E j2 )1 ≤ (E j1 , E j3 )2 ≤ ... ≤ (E jp , E jq )с , с = Cn2′ .
(15)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
10 В. И. Сеньченков, Д. Р. Абсалямов
3. Из последовательности (15) скалярных произведений, начиная с первого ее элемента и далее подряд, выбираются столбцы без повторения номеров, входящие в состав произведений. Как только количество выбранных столбцов становится равным m, процесс заканчивается. Данные столбцы в наибольшей степени приближаются к попарно ортогональным. Их номера указывают и на номера контролируемых признаков, которые войдут в минимальное множество.
Полученные строки, т.е. сжатые изображения видов технического состояния
Ei = (ei1, ei2 , ..., ein )Т , i = 1, m , n = m, также будут в наибольшей степени приближаться к попарно ортогональным, поскольку они включают элементы выбранных столбцов.
Реализация указанного этапа означает, что размерность евклидова пространства Y снижена до величины n за счет исключения тех координат из элементов данного пространства, по которым области Yi пересекаются в наибольшей степени.
4. Выполняется проверка неравенств (5): если они выполняются, то сформированные изображения включаются в состав модели контроля технического состояния.
5. При невыполнении условий (5) следует изменить состав контролируемых признаков, так как ни исходное множество этих признаков, ни какое-либо из его подмножеств не обеспечивает наблюдаемости видов технического состояния ОК, а следовательно и требуемой достоверности контроля.
В том случае, когда состав контролируемых признаков изменяется, необходимо повторить процедуру обучения [3] на основе исходных данных (2)—(4) и сформировать новое множество несжатых изображений, которое затем также подвергается сжатию.
Таким образом, в настоящей работе показано, что использование минимального множества информативных контролируемых признаков является важнейшим условием повышения достоверности принятия решений о функциональной пригодности системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сеньченков В. И. Математическое обеспечение контроля технического состояния мехатронных комплексов // Авиакосмическое приборостроение. 2005. № 10. С. 27—32.
2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2009.
3. Сеньченков В. И. Процедура обучения при разработке моделей контроля технического состояния сложных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 1. С. 3—8.
4. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.
5. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.
Валентин Иванович Сеньченков Дамир Расимович Абсалямов
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Военно-космическая академия им. А. Ф. Мо-
жайского, кафедра специальных технических систем космических комплексов, Санкт-Петербург; E-mail: svi9@rambler.ru — канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра специальных технических систем космических комплексов, Санкт-Петербург; E-mail: damir73@yandex.ru
Рекомендована кафедрой специальных технических систем космических комплексов
Поступила в редакцию 22.09.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
УДК 681.326
В. И. СЕНЬЧЕНКОВ, Д. Р. АБСАЛЯМОВ
ВЫБОР МИНИМАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА КОНТРОЛИРУЕМЫХ ПРИЗНАКОВ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ
Рассматривается задача выбора минимального множества контролируемых признаков, обеспечивающих наблюдаемость заданных видов технического состояния системы, а следовательно, и требуемую достоверность принятия решений о ее функциональной пригодности. В основе решения указанной задачи — использование свойств ортогональных векторных систем.
Ключевые слова: техническое состояние, контролируемый признак, скалярное произведение, ортогональная система.
Введение. Для получения информации о техническом состоянии системы следует зарегистрировать траектории ее выходного процесса, которые затем подвергаются преобразованию с целью получения вектора контролируемых признаков Y является избыточной. Это означает, что существует такой вектор контролируемых признаков Y меньшей размерности (n< n'), на котором все виды технического состояния ОК являются наблюдаемыми.
Выделение минимального множества контролируемых признаков — это важнейшая задача, решение которой позволяет снизить размерность математической модели ОК и повысить ее обозримость. Кроме того, повышается достоверность контроля технического состояния ОК благодаря снижению количества измерений на ОК, каждое из которых сопровождается методическими и метрологическими погрешностями.
Теоретико-множественная формулировка задачи выбора минимального множества контролируемых признаков. На множестве векторов Y ∈Y, по которым области Yi ( i = 1, m ) пересекаются между собой. В результате снижения размерности про-
странства Y наблюдаемое состояние Y ∈Y (n< n') будет содержать только те координаты (контролируемые признаки), на которых все виды технического состояния являются наблюдаемыми.
Для того чтобы снизить размерность пространства Y и при этом исключить пересечение областей Yi, необходимо знать, какие контролируемые признаки недостаточно информативны для определения текущего технического состояния ОК. Поэтому в настоящей статье рассматривается подход к снижению размерности пространства Y, связанный со сжатием изображений видов технического состояния ОК. Под изображением понимается формальное представление вида технического состояния как составной части математической модели ОК. Предлагаемая процедура сжатия изображений позволяет выявлять и исключать малоинформативные контролируемые признаки.
Решение задачи выбора минимального множества контролируемых признаков системы. Построение исходных (несжатых) изображений
Ei = (ei1, ei2, ..., ein′ )Т , i = 1, m ,
производится на основе следующих данных: — перечень всех видов технического состояния ОК Q = {qi | i = 1, m} ; — состав контролируемых признаков Y = {y j | j = 1, n′} ;
(1)
(2) (3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
Выбор минимального множества контролируемых признаков
7
— ограниченная по объему обучающая выборка реализаций наблюдаемых состояний, принадлежность которых каждому виду технического состояния ОК известна:
{ }Yk | k = 1, N1 ⊂ Y1;
{ }Yk | k = 1, N 2 ⊂ Y 2 ;
(4)
{ }Yk | k = 1, N m ⊂ Y m ,
где Ni ( i = 1, m ) — мощность множества элементов, принадлежащих подмножеству Yi. По-
строение изображений (1) на основе исходных данных (2)—(4) с применением процедуры обучения рассматривается в работе [3].
Сжатие предполагает исключение из изображений E (Ei, Ek), i, k =1,m , i ≠ k.
Первое условие выполняется всегда, так как справедливо равенство (12). Второе условие
также выполняется в силу справедливости соотношений (10)—(12). Кроме того, данное усло-
вие можно использовать при задании порогового значения а2 в неравенстве (5):
а2 = min{(Ei, Ei)}, i = 1, m .
Таким образом, из исходного множества контролируемых признаков может быть вы-
брано n (m≤ n i ( i = 1, m ).
Количество полученных скалярных произведений определяется из комбинаторной фор-
мулы
Cn2′
=
n′! 2!(n′ −
2)!
=
0, 5n′(n′
−1) ,
где Cn2′ — число сочетаний из n' по два. 2. Скалярные произведения (13) ранжируются по неубыванию:
(E j1 , E j2 )1 ≤ (E j1 , E j3 )2 ≤ ... ≤ (E jp , E jq )с , с = Cn2′ .
(15)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
10 В. И. Сеньченков, Д. Р. Абсалямов
3. Из последовательности (15) скалярных произведений, начиная с первого ее элемента и далее подряд, выбираются столбцы без повторения номеров, входящие в состав произведений. Как только количество выбранных столбцов становится равным m, процесс заканчивается. Данные столбцы в наибольшей степени приближаются к попарно ортогональным. Их номера указывают и на номера контролируемых признаков, которые войдут в минимальное множество.
Полученные строки, т.е. сжатые изображения видов технического состояния
Ei = (ei1, ei2 , ..., ein )Т , i = 1, m , n = m, также будут в наибольшей степени приближаться к попарно ортогональным, поскольку они включают элементы выбранных столбцов.
Реализация указанного этапа означает, что размерность евклидова пространства Y снижена до величины n за счет исключения тех координат из элементов данного пространства, по которым области Yi пересекаются в наибольшей степени.
4. Выполняется проверка неравенств (5): если они выполняются, то сформированные изображения включаются в состав модели контроля технического состояния.
5. При невыполнении условий (5) следует изменить состав контролируемых признаков, так как ни исходное множество этих признаков, ни какое-либо из его подмножеств не обеспечивает наблюдаемости видов технического состояния ОК, а следовательно и требуемой достоверности контроля.
В том случае, когда состав контролируемых признаков изменяется, необходимо повторить процедуру обучения [3] на основе исходных данных (2)—(4) и сформировать новое множество несжатых изображений, которое затем также подвергается сжатию.
Таким образом, в настоящей работе показано, что использование минимального множества информативных контролируемых признаков является важнейшим условием повышения достоверности принятия решений о функциональной пригодности системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сеньченков В. И. Математическое обеспечение контроля технического состояния мехатронных комплексов // Авиакосмическое приборостроение. 2005. № 10. С. 27—32.
2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2009.
3. Сеньченков В. И. Процедура обучения при разработке моделей контроля технического состояния сложных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 1. С. 3—8.
4. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.
5. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.
Валентин Иванович Сеньченков Дамир Расимович Абсалямов
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Военно-космическая академия им. А. Ф. Мо-
жайского, кафедра специальных технических систем космических комплексов, Санкт-Петербург; E-mail: svi9@rambler.ru — канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра специальных технических систем космических комплексов, Санкт-Петербург; E-mail: damir73@yandex.ru
Рекомендована кафедрой специальных технических систем космических комплексов
Поступила в редакцию 22.09.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3