АНАЛИЗ ПРОЕКТНЫХ ИНВАРИАНТОВ ДЛЯ АНАМОРФОТНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ СКРУЧИВАНИЯ
ОПТИЧЕСКИЕ И ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ
УДК 536.8:621.384
И. А. КОНЯХИН, А. Д. МЕРСОН, А. Н. ТИМОФЕЕВ
АНАЛИЗ ПРОЕКТНЫХ ИНВАРИАНТОВ ДЛЯ АНАМОРФОТНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ СКРУЧИВАНИЯ
Рассматриваются инварианты, позволяющие упростить методику расчета параметров оптико-электронной системы с анаморфотным контрольным элементом. Исследована зависимость чувствительности системы измерения угла скручивания от параметров анаморфирования.
Ключевые слова: проектные инварианты, анаморфотные контрольные элементы, оптико-электронные системы, деформации скручивания.
Многие задачи в производственной и научной деятельности предусматривают измерение специфической угловой координаты объекта — деформации скручивания. При этом под углом скручивания подразумевается поворот контролируемого объекта (блока или элемента конструкции) относительно линии, соединяющей объект и некоторый базовый пункт (оси скручивания).
Примером задачи на измерение угла скручивания является контроль углового положения блоков систем навигации, передачи референтного направления, определения деформаций натурных образцов и моделей, скручивания осей, труб и цилиндрических опор.
Известные автоколлимационные системы для измерения угла скручивания с контрольными элементами в виде тетраэдрических призм формируют специальный световой пучок, распространяющийся под определенным углом к оси, что не позволяет их использовать в условиях малого (десятки миллиметров) светового диаметра трассы между контролируемым объектом и базовым пунктом, например, при размещении системы непосредственно внутри деформируемой цилиндрической опоры или вала [1]. Для измерения угла скручивания автоколлимационным методом в условиях узкой трассы были предложены анаморфотные контрольные элементы (КЭ) [1, 2]. При повороте контролируемого объекта вместе с анаморфотным КЭ изменяется форма изображения марки в плоскости анализа автоколлиматора. Параметры формы изображения определяются в результате микропроцессорной обработки видеокадра, сформированного матричным анализатором автоколлиматора, что позволяет найти величину угла скручивания.
Проблема проектирования таких измерительных систем обусловлена сложностью аналитического описания анаморфирования, в частности, неявным и нелинейным характером зависимости характеристик формы изображения от параметров КЭ и величины измеряемого угла скручивания. Для создания инженерной методики проектирования анаморфотных КЭ
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
56 И. А. Коняхин, А. Д. Мерсон, А. Н. Тимофеев необходимо разработать и исследовать проектные инварианты, под которыми понимаются расчетные выражения, аналитическая форма которых не изменяется при варьировании структуры КЭ и параметров анаморфирования.
Определим выражение для статической характеристики системы измерения скручивания с анаморфотным КЭ (рис. 1).
Θ 3
4
7
1
5 Ya Xa
Y
2 X
Z f(x)
Za fa(x)
6
Рис. 1
Система включает автоколлиматор, установленный на базовом пункте, и отражатель, расположенный на контролируемом объекте. Объектив 1 автоколлиматора формирует излучение марки 2, расположенной в его фокальной плоскости, в параллельный пучок лучей, падающий на отражатель.
Отражатель включает ретрорефлектор 3, например, призму БКР-180° и КЭ, в наиболее простом варианте являющийся одиночной анаморфотной системой 4, выполненной в виде двух оптических клиньев [2—4] и расположенной на половине апертуры ретрорефлектора (компонент 7 полагаем отсутствующим). Пучок автоколлиматора после трансформации анаморфотным КЭ 4 и отражения от ретрорефлектора 3 формирует в фокальной плоскости приемного канала, образованного светоделителем 5, изображение марки 6, которое анализируется видеосистемой в составе матричного фотоприемника и обрабатывающего микропроцессора (на рисунке не показаны).
Под действием анаморфотной системы 4 изменяется расходимость (увеличивается или уменьшается) пучка в сечениях, параллельных некоторой плоскости, проходящей через ось пучка (так называемая плоскость анаморфирования, на рис. 1 заштрихована). Коэффициент
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
Анализ проектных инвариантов для анаморфотных контрольных элементов
57
анаморфирования А численно равен отношению углов расходимости пучка после и до ана-
морфотной системы. Примем для рассматриваемой системы A >1 (угол расходимости пучка
увеличивается).
Пусть координаты y и x точек линии контура излучающей марки 1 связаны некоторой
функцией y = f(x) в системе координат XYZ, ось OZ которой совпадает с оптической осью
объектива 1 (осью скручивания).
Координаты xa, ya точек контура изображения 6 марки в системе координат XaYaZa, оси которой при условном совмещении фокальных плоскостей были бы сонаправлены осям сис-
темы XYZ, связаны функцией fa, зависящей от исходной функции f(x), коэффициента анамор-
фирования А и величины Θ поворота КЭ на угол скручивания:
ya = fa(xa,Θ) = fa(f(x),A, Θ).
(1)
После обработки видеокадра и определения координат xa, ya контура изображения мар-
ки в результате решения уравнения (1) находится угол Θ.
Для построения проектных инвариантов используем наиболее простую характеристику
формы изображения марки, соответствующую линейному виду функции f(x), описывающей
какую-либо часть контура марки (марка может быть треугольной, четырехугольной, много-
угольной формы). Тогда контур марки определяется отрезками прямой, заданной уравнением
вида y = kx + b (рис. 2).
Y Yκ
κ1
2
β
α1 –α2
X
О
α −α
Xκ
Рис. 2
Характеристикой формы марки является угол β между прямыми контура:
β
=
arctg
⎛ ⎜⎜⎝
k1 − k2 1+ k1k2
⎞ ⎟⎠⎟
(2)
или, при определенных условиях, разность ∆k угловых коэффициентов прямых
∆k = k1 – k2, где k1 = tgα1, k2 = tgα2 (см. рис. 2).
Выразим характеристики формы β и ∆k через параметры анаморфотного КЭ.
(3)
Координаты точек xa, ya прямых контура изображения марки при повороте КЭ на угол скручивания Θ определяются выражением (действие ретрорефлектора, не влияющего на рас-
ходимость пучка, не учитывается):
⎡ xa
⎢ ⎣
ya
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ xa
⎢ ⎣
xa
ka
+
ba
⎤ ⎥ ⎦
=
MM AMT
⎡x ⎣⎢kx +
⎤ b⎦⎥
,
(4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
58 И. А. Коняхин, А. Д. Мерсон, А. Н. Тимофеев
где матричный сомножитель MА определяет анаморфирование, M и MT — прямая и транспонированная матрицы поворота на угол Θ относительно оси OZ. Эти матрицы задаются выра-
жениями:
M
=
⎡cos Θ ⎣⎢sin Θ
− sin Θ⎤ cos Θ ⎥⎦
;
MA
=
⎡1 ⎣⎢0
0⎤ A⎥⎦
.
(5)
Решив уравнение (4) относительно ka углового коэффициента прямой контура анаморфированного изображения, получим для изображения первого прямолинейного края марки
(рис. 2, 1):
k1A
=
Asin α1 + ( A −1) cos(α1 + Θ) sin Θ cos α1 + (A −1) sin(α1 + Θ)sin Θ
,
(6)
где α1 = arctgk1 — угол между первой прямой контура исходной марки и осью OX. Выражение для углового коэффициента контура изображения второго края марки
(рис. 2, 2) аналогично (6) при подстановке вместо α1 угла α2 между второй прямой контура исходной марки и осью OX.
Статическая характеристика измерительной системы при использовании ∆k как регист-
рируемого параметра формы изображения определяется при подстановке полученных выра-
жений в соотношение (3), при использовании угла β — в соотношение (2):
∆k (Θ)
=
cosp(2Θ)2
−
4 A(k1 − k2 ) k1k2sinp(2Θ)2 + (k1
+
k2
)cosp2Θsinp2Θ
,
(7)
где вспомогательные функции: cosp2Θ = 2 + ( A −1)(1 − cos 2Θ) , sinp2Θ = ( A −1) sin 2Θ .
При следующем соотношении между угловыми коэффициентами:
k1 = tgα =k; k2 = tg(–α) = –k
(8)
выражение для статической характеристики упрощается, в частности, мультипликативное
слагаемое в знаменателе будет равно нулю. Условие (8) может быть реализовано поворотом
исходной системы координат относительно оси OZ на некоторый угол κ (см. рис. 2).
В соответствии с выражением (7) статическая характеристика является гармонической
функцией аргумента Θ с периодом T = 180°, что определяет диапазон однозначного измере-
ния угла скручивания, равный интервалу [0, 90°].
∆k(Θ) β( Θ+90°),
рад 5
4
4
На рис. 3 приведены графики статической характеристики для величины параметра контура k = 1 и двух значений коэффициента анаморфирования A = 1,2 (кривая 1) и 1,6 (2). Для A = 1,6 также построен график (5) статической харак-
2 3
1 2
5
1
3
теристики β(Θ+90°) вида (2), его аналитическое выражение не приведено по причине сложности. Вид статических характеристик при использовании двух рассмотренных параметров формы аналогичен, при этом статическая характе-
ристика ∆k(Θ) описывается более про-
0 20 40 60 80 Θ, …° стым аналитическим выражением.
Рис. 3
Статическая характеристика нели-
нейна, ее крутизна S, определяющая
чувствительность измерения, зависит от величины Θ0 исходного разворота КЭ на угол скручивания. Графики зависимости S(Θ), полученные дифференцированием функции ∆k(Θ) с
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
Анализ проектных инвариантов для анаморфотных контрольных элементов
59
последующим взятием абсолютной величины, приведены на рис. 4 (параметры анаморфотного КЭ и обозначения те же, что и на рис. 3).
S(Θ), 1/…° 6,4
45 4
4,8
3,2 2
1,6 3 1
0 20 40 60 80 Θ, …°
Рис. 4
Из графиков следует, что наибольшей чувствительности измерения Sm соответствует угол, величина Θ0 которого в зависимости от величин параметров k, A находится в интервале [30°—40°].
Величина Sm на 20—25 % превышает значение S45 чувствительности, соответствующей углу Θ0 = 45°. Значение S45 определяется выражением
S45
=
⎣⎡(
A
+
32kA( A −1) 1)2 − k 2 ( A −1)2
⎤2 ⎦
.
(9)
Полученные соотношения соответствуют КЭ с анаморфотной системой в виде пары
клиньев. Для этого типа анаморфотов практически трудно получить величину коэффициента
анаморфирования, большую А = 1,5 [4], что определяет невысокую чувствительность измере-
ния скручивания.
Для увеличения чувствительности возможно использовать КЭ, включающий две (и бо-
лее) последовательно установленные по ходу луча анаморфотные системы. Например, вторая
анаморфотная система 7 может устанавливаться на другой половине апертуры ретрорефлек-
тора 3 (см. рис. 1).
При этом для уменьшения расходимости пучка эффективно использовать пару систем с
рассогласованным анаморфированием, при котором плоскости анаморфирования взаимно
перпендикулярны, а величины коэффициентов анаморфирования взаимно-обратны. В частности, для второй системы коэффициент анаморфирования равен A–1 (угол расходимости пучка
уменьшается в плоскости анаморфирования).
Такая система рассчитывается по выражению, аналогичному (4), с добавлением после
MА сомножителя M A−1 вида:
M A−1
=
⎡ ⎢
1
A
⎢⎣ 0
0⎤ ⎥
.
1⎦⎥
(10)
Полученные в результате расчетные выражения имеют тот же вид, что и выражения (6)
и (7) для одиночной анаморфотной системы с заменой соответственно величин α1 = arctg(k1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
60 И. А. Коняхин, А. Д. Мерсон, А. Н. Тимофеев
и α2 = arctg(k2) описания прямых контура исходной марки на величины α1A = arctg(k1A), α2 = arctg(k2A) для прямых контура изображения марки, определяемых действием первой системы.
Значение S45 определяется выражением вида (9), но с заменой величины A на A2. Графики статической характеристики и зависимости чувствительности измерения для параметров анаморфирования A = 1,2 (кривая 3) и 1,6 (4) приведены на рис. 3, 4. Из рассмотрения следует, что использование КЭ в виде композиции пар анаморфотов позволяет значительно повысить точность измерения.
По результатам исследования можно сделать следующие выводы: 1) найдены соотношения, определяющие статическую характеристику и чувствительность измерения скручивания по известным параметрам анаморфотного КЭ; 2) полученные выражения являются инвариантами, позволяющими проектировать системы с требуемой чувствительностью измерения и видом статической характеристики при использовании КЭ в виде композиции анаморфотных систем.
Статья подготовлена по материалам исследований, выполняемых при финансовой поддержке Федерального агентства по науке и инновациям РФ в рамках аналитической ведомственной целевой программы „Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 гг.)“ и федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Джабиев А. Н., Коняхин И. А., Панков Э. Д. Автоколлимационные углоизмерительные средства мониторинга деформаций. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2000.
2. Коняхин И. А., Мерсон А. Д. Оптико-электронная система измерения угла скручивания на основе анаморфирования // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51, № 9. С. 10—14.
3. Коняхин И. А., Мерсон А. Д. Исследование возможности построения трехкоординатной анаморфотной системы измерения параметров угловой пространственной ориентации // Оптич. журн. 2009. Т. 76, № 1. С. 28—30.
4. Бегунов Б. Н. Трансформирование оптических изображений. М.: Искусство, 1965.
Сведения об авторах
Игорь Алексеевич Коняхин
— д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра оптико-электронных приборов и систем;
E-mail: igor@grv.ifmo.ru
Алексей Дмитриевич Мерсон
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-
электронных приборов и систем; E-mail: mad777@grv.ifmo.ru
Александр Николаевич Тимофеев — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный университет
информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-
электронных приборов и систем; E-mail: timofeev@grv.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов и систем
Поступила в редакцию 26.04.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
УДК 536.8:621.384
И. А. КОНЯХИН, А. Д. МЕРСОН, А. Н. ТИМОФЕЕВ
АНАЛИЗ ПРОЕКТНЫХ ИНВАРИАНТОВ ДЛЯ АНАМОРФОТНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ СКРУЧИВАНИЯ
Рассматриваются инварианты, позволяющие упростить методику расчета параметров оптико-электронной системы с анаморфотным контрольным элементом. Исследована зависимость чувствительности системы измерения угла скручивания от параметров анаморфирования.
Ключевые слова: проектные инварианты, анаморфотные контрольные элементы, оптико-электронные системы, деформации скручивания.
Многие задачи в производственной и научной деятельности предусматривают измерение специфической угловой координаты объекта — деформации скручивания. При этом под углом скручивания подразумевается поворот контролируемого объекта (блока или элемента конструкции) относительно линии, соединяющей объект и некоторый базовый пункт (оси скручивания).
Примером задачи на измерение угла скручивания является контроль углового положения блоков систем навигации, передачи референтного направления, определения деформаций натурных образцов и моделей, скручивания осей, труб и цилиндрических опор.
Известные автоколлимационные системы для измерения угла скручивания с контрольными элементами в виде тетраэдрических призм формируют специальный световой пучок, распространяющийся под определенным углом к оси, что не позволяет их использовать в условиях малого (десятки миллиметров) светового диаметра трассы между контролируемым объектом и базовым пунктом, например, при размещении системы непосредственно внутри деформируемой цилиндрической опоры или вала [1]. Для измерения угла скручивания автоколлимационным методом в условиях узкой трассы были предложены анаморфотные контрольные элементы (КЭ) [1, 2]. При повороте контролируемого объекта вместе с анаморфотным КЭ изменяется форма изображения марки в плоскости анализа автоколлиматора. Параметры формы изображения определяются в результате микропроцессорной обработки видеокадра, сформированного матричным анализатором автоколлиматора, что позволяет найти величину угла скручивания.
Проблема проектирования таких измерительных систем обусловлена сложностью аналитического описания анаморфирования, в частности, неявным и нелинейным характером зависимости характеристик формы изображения от параметров КЭ и величины измеряемого угла скручивания. Для создания инженерной методики проектирования анаморфотных КЭ
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
56 И. А. Коняхин, А. Д. Мерсон, А. Н. Тимофеев необходимо разработать и исследовать проектные инварианты, под которыми понимаются расчетные выражения, аналитическая форма которых не изменяется при варьировании структуры КЭ и параметров анаморфирования.
Определим выражение для статической характеристики системы измерения скручивания с анаморфотным КЭ (рис. 1).
Θ 3
4
7
1
5 Ya Xa
Y
2 X
Z f(x)
Za fa(x)
6
Рис. 1
Система включает автоколлиматор, установленный на базовом пункте, и отражатель, расположенный на контролируемом объекте. Объектив 1 автоколлиматора формирует излучение марки 2, расположенной в его фокальной плоскости, в параллельный пучок лучей, падающий на отражатель.
Отражатель включает ретрорефлектор 3, например, призму БКР-180° и КЭ, в наиболее простом варианте являющийся одиночной анаморфотной системой 4, выполненной в виде двух оптических клиньев [2—4] и расположенной на половине апертуры ретрорефлектора (компонент 7 полагаем отсутствующим). Пучок автоколлиматора после трансформации анаморфотным КЭ 4 и отражения от ретрорефлектора 3 формирует в фокальной плоскости приемного канала, образованного светоделителем 5, изображение марки 6, которое анализируется видеосистемой в составе матричного фотоприемника и обрабатывающего микропроцессора (на рисунке не показаны).
Под действием анаморфотной системы 4 изменяется расходимость (увеличивается или уменьшается) пучка в сечениях, параллельных некоторой плоскости, проходящей через ось пучка (так называемая плоскость анаморфирования, на рис. 1 заштрихована). Коэффициент
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
Анализ проектных инвариантов для анаморфотных контрольных элементов
57
анаморфирования А численно равен отношению углов расходимости пучка после и до ана-
морфотной системы. Примем для рассматриваемой системы A >1 (угол расходимости пучка
увеличивается).
Пусть координаты y и x точек линии контура излучающей марки 1 связаны некоторой
функцией y = f(x) в системе координат XYZ, ось OZ которой совпадает с оптической осью
объектива 1 (осью скручивания).
Координаты xa, ya точек контура изображения 6 марки в системе координат XaYaZa, оси которой при условном совмещении фокальных плоскостей были бы сонаправлены осям сис-
темы XYZ, связаны функцией fa, зависящей от исходной функции f(x), коэффициента анамор-
фирования А и величины Θ поворота КЭ на угол скручивания:
ya = fa(xa,Θ) = fa(f(x),A, Θ).
(1)
После обработки видеокадра и определения координат xa, ya контура изображения мар-
ки в результате решения уравнения (1) находится угол Θ.
Для построения проектных инвариантов используем наиболее простую характеристику
формы изображения марки, соответствующую линейному виду функции f(x), описывающей
какую-либо часть контура марки (марка может быть треугольной, четырехугольной, много-
угольной формы). Тогда контур марки определяется отрезками прямой, заданной уравнением
вида y = kx + b (рис. 2).
Y Yκ
κ1
2
β
α1 –α2
X
О
α −α
Xκ
Рис. 2
Характеристикой формы марки является угол β между прямыми контура:
β
=
arctg
⎛ ⎜⎜⎝
k1 − k2 1+ k1k2
⎞ ⎟⎠⎟
(2)
или, при определенных условиях, разность ∆k угловых коэффициентов прямых
∆k = k1 – k2, где k1 = tgα1, k2 = tgα2 (см. рис. 2).
Выразим характеристики формы β и ∆k через параметры анаморфотного КЭ.
(3)
Координаты точек xa, ya прямых контура изображения марки при повороте КЭ на угол скручивания Θ определяются выражением (действие ретрорефлектора, не влияющего на рас-
ходимость пучка, не учитывается):
⎡ xa
⎢ ⎣
ya
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ xa
⎢ ⎣
xa
ka
+
ba
⎤ ⎥ ⎦
=
MM AMT
⎡x ⎣⎢kx +
⎤ b⎦⎥
,
(4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
58 И. А. Коняхин, А. Д. Мерсон, А. Н. Тимофеев
где матричный сомножитель MА определяет анаморфирование, M и MT — прямая и транспонированная матрицы поворота на угол Θ относительно оси OZ. Эти матрицы задаются выра-
жениями:
M
=
⎡cos Θ ⎣⎢sin Θ
− sin Θ⎤ cos Θ ⎥⎦
;
MA
=
⎡1 ⎣⎢0
0⎤ A⎥⎦
.
(5)
Решив уравнение (4) относительно ka углового коэффициента прямой контура анаморфированного изображения, получим для изображения первого прямолинейного края марки
(рис. 2, 1):
k1A
=
Asin α1 + ( A −1) cos(α1 + Θ) sin Θ cos α1 + (A −1) sin(α1 + Θ)sin Θ
,
(6)
где α1 = arctgk1 — угол между первой прямой контура исходной марки и осью OX. Выражение для углового коэффициента контура изображения второго края марки
(рис. 2, 2) аналогично (6) при подстановке вместо α1 угла α2 между второй прямой контура исходной марки и осью OX.
Статическая характеристика измерительной системы при использовании ∆k как регист-
рируемого параметра формы изображения определяется при подстановке полученных выра-
жений в соотношение (3), при использовании угла β — в соотношение (2):
∆k (Θ)
=
cosp(2Θ)2
−
4 A(k1 − k2 ) k1k2sinp(2Θ)2 + (k1
+
k2
)cosp2Θsinp2Θ
,
(7)
где вспомогательные функции: cosp2Θ = 2 + ( A −1)(1 − cos 2Θ) , sinp2Θ = ( A −1) sin 2Θ .
При следующем соотношении между угловыми коэффициентами:
k1 = tgα =k; k2 = tg(–α) = –k
(8)
выражение для статической характеристики упрощается, в частности, мультипликативное
слагаемое в знаменателе будет равно нулю. Условие (8) может быть реализовано поворотом
исходной системы координат относительно оси OZ на некоторый угол κ (см. рис. 2).
В соответствии с выражением (7) статическая характеристика является гармонической
функцией аргумента Θ с периодом T = 180°, что определяет диапазон однозначного измере-
ния угла скручивания, равный интервалу [0, 90°].
∆k(Θ) β( Θ+90°),
рад 5
4
4
На рис. 3 приведены графики статической характеристики для величины параметра контура k = 1 и двух значений коэффициента анаморфирования A = 1,2 (кривая 1) и 1,6 (2). Для A = 1,6 также построен график (5) статической харак-
2 3
1 2
5
1
3
теристики β(Θ+90°) вида (2), его аналитическое выражение не приведено по причине сложности. Вид статических характеристик при использовании двух рассмотренных параметров формы аналогичен, при этом статическая характе-
ристика ∆k(Θ) описывается более про-
0 20 40 60 80 Θ, …° стым аналитическим выражением.
Рис. 3
Статическая характеристика нели-
нейна, ее крутизна S, определяющая
чувствительность измерения, зависит от величины Θ0 исходного разворота КЭ на угол скручивания. Графики зависимости S(Θ), полученные дифференцированием функции ∆k(Θ) с
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
Анализ проектных инвариантов для анаморфотных контрольных элементов
59
последующим взятием абсолютной величины, приведены на рис. 4 (параметры анаморфотного КЭ и обозначения те же, что и на рис. 3).
S(Θ), 1/…° 6,4
45 4
4,8
3,2 2
1,6 3 1
0 20 40 60 80 Θ, …°
Рис. 4
Из графиков следует, что наибольшей чувствительности измерения Sm соответствует угол, величина Θ0 которого в зависимости от величин параметров k, A находится в интервале [30°—40°].
Величина Sm на 20—25 % превышает значение S45 чувствительности, соответствующей углу Θ0 = 45°. Значение S45 определяется выражением
S45
=
⎣⎡(
A
+
32kA( A −1) 1)2 − k 2 ( A −1)2
⎤2 ⎦
.
(9)
Полученные соотношения соответствуют КЭ с анаморфотной системой в виде пары
клиньев. Для этого типа анаморфотов практически трудно получить величину коэффициента
анаморфирования, большую А = 1,5 [4], что определяет невысокую чувствительность измере-
ния скручивания.
Для увеличения чувствительности возможно использовать КЭ, включающий две (и бо-
лее) последовательно установленные по ходу луча анаморфотные системы. Например, вторая
анаморфотная система 7 может устанавливаться на другой половине апертуры ретрорефлек-
тора 3 (см. рис. 1).
При этом для уменьшения расходимости пучка эффективно использовать пару систем с
рассогласованным анаморфированием, при котором плоскости анаморфирования взаимно
перпендикулярны, а величины коэффициентов анаморфирования взаимно-обратны. В частности, для второй системы коэффициент анаморфирования равен A–1 (угол расходимости пучка
уменьшается в плоскости анаморфирования).
Такая система рассчитывается по выражению, аналогичному (4), с добавлением после
MА сомножителя M A−1 вида:
M A−1
=
⎡ ⎢
1
A
⎢⎣ 0
0⎤ ⎥
.
1⎦⎥
(10)
Полученные в результате расчетные выражения имеют тот же вид, что и выражения (6)
и (7) для одиночной анаморфотной системы с заменой соответственно величин α1 = arctg(k1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
60 И. А. Коняхин, А. Д. Мерсон, А. Н. Тимофеев
и α2 = arctg(k2) описания прямых контура исходной марки на величины α1A = arctg(k1A), α2 = arctg(k2A) для прямых контура изображения марки, определяемых действием первой системы.
Значение S45 определяется выражением вида (9), но с заменой величины A на A2. Графики статической характеристики и зависимости чувствительности измерения для параметров анаморфирования A = 1,2 (кривая 3) и 1,6 (4) приведены на рис. 3, 4. Из рассмотрения следует, что использование КЭ в виде композиции пар анаморфотов позволяет значительно повысить точность измерения.
По результатам исследования можно сделать следующие выводы: 1) найдены соотношения, определяющие статическую характеристику и чувствительность измерения скручивания по известным параметрам анаморфотного КЭ; 2) полученные выражения являются инвариантами, позволяющими проектировать системы с требуемой чувствительностью измерения и видом статической характеристики при использовании КЭ в виде композиции анаморфотных систем.
Статья подготовлена по материалам исследований, выполняемых при финансовой поддержке Федерального агентства по науке и инновациям РФ в рамках аналитической ведомственной целевой программы „Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 гг.)“ и федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Джабиев А. Н., Коняхин И. А., Панков Э. Д. Автоколлимационные углоизмерительные средства мониторинга деформаций. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2000.
2. Коняхин И. А., Мерсон А. Д. Оптико-электронная система измерения угла скручивания на основе анаморфирования // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51, № 9. С. 10—14.
3. Коняхин И. А., Мерсон А. Д. Исследование возможности построения трехкоординатной анаморфотной системы измерения параметров угловой пространственной ориентации // Оптич. журн. 2009. Т. 76, № 1. С. 28—30.
4. Бегунов Б. Н. Трансформирование оптических изображений. М.: Искусство, 1965.
Сведения об авторах
Игорь Алексеевич Коняхин
— д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра оптико-электронных приборов и систем;
E-mail: igor@grv.ifmo.ru
Алексей Дмитриевич Мерсон
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-
электронных приборов и систем; E-mail: mad777@grv.ifmo.ru
Александр Николаевич Тимофеев — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный университет
информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-
электронных приборов и систем; E-mail: timofeev@grv.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов и систем
Поступила в редакцию 26.04.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3