МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В УСЛОВИЯХ ФАКТОРНОЙ НИШИ
47
УДК 621.396.6-001.4
А. А. КОВЕЛЬ, С. В. ПОКИДЬКО
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В УСЛОВИЯХ ФАКТОРНОЙ НИШИ
Рассмотрена специфика математического планирования эксперимента при разработке электронных устройств космической аппаратуры, функционирующих в одинаковых эксплуатационных условиях. Ключевые слова: планирование эксперимента, функциональный узел, факторная ниша.
Практика математического планирования эксперимента (МПЭ) широко применяется в технологии наземной экспериментальной отработки [1, 2] электронных устройств космического приборостроения. Использование МПЭ [3] в этой области позволило расширить спектр прикладных и интерпретационных возможностей метода посредством введения понятия групповых математических моделей, формирования испытательных тестов, „восстановления“ результатов нереализованных экспериментов, оценки запасов работоспособности функциональных узлов и их совместимости в единой структуре и др. [1]. Одной из таких возможностей МПЭ стало моделирование процесса совместного функционирования узлов аппаратуры, исследованных автономно (иногда на разных предприятиях), но предназначенных для работы в составе одного прибора или устройства бортовой аппаратуры космического аппарата (КА),
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 4
48 А. А. Ковель, С. В. Покидько
когда эксплуатационные воздействия являются общими для всех ее составляющих. Такими воздействиями (факторами) могут быть температура, напряжения питания, уровни помех, механические воздействия и др. Единство уровней факторов и их случайных изменений позволяет объединить их понятием факторная ниша.
Проиллюстрируем это на примере двух функциональных узлов (далее — узлов 1 и 2), работающих в составе одного устройства (рис. 1).
x x2
x1
Функциональный узел 1
Функциональный узел 2
Πо.и
Рис. 1
Исходным массивом являются результаты МПЭ при обработке первого узла. Для выявления влияния внутренних факторов (разброса параметров активных и пассивных элементов узла), МПЭ проводят на κ образцах [2], и результаты планирование формируют коридор откликов (рис. 2), которые являются отражением малой выборки [4] и не охватывают весь диапазон возможных разбросов параметров объекта исследования ( Πо.и ). Вследствие ограниченных ресурсов экспериментальной отработке, как правило, подвергаются не более 10 образцов (κ≤10), поэтому разбросы результатов опытов на других образцах могут быть спрогнозированы, например, путем использования аппарата толерантных пределов [5, 6]:
Πtо.и = Πср ± κt S (Π)N ,
где Πtо.и — возможные толерантные пределы ( Πt — нижний, Πt — верхний) для каждого опыта; Πср — среднее значение результатов Πо.и для κ образцов при каждом опыте; κt —
табулированный коэффициент; S(Π)N — оценка среднеквадратичного отклонения σ(Π) при каждом опыте.
Πо.и
–Πt(2)
Π– tmax
Π– t(2)
Πср
κ
–Πtmin
1234
N
Рис. 2
Пусть представленная факторограмма (см. рис. 2) отражает результаты МПЭ для узла 1 (по оси абсцисс — номера 1, 2, 3, …, N опытов согласно матрице планирования, по оси ординат — результаты, полученные в ходе каждого опыта). Тогда экстремальные отклонения ( Πtmin , Πtmax ) при традиционном планировании должны быть выбраны в качестве уровней
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 4
Математическое планирование эксперимента в условиях факторной ниши
49
варьирования (–1, +1) выходного параметра Πвых узла 1, являющегося входным фактором
для узла 2 (см. рис. 1). Однако анализ совместной работы двух узлов, функционирующих в
условиях общей факторной ниши, показывает, что при 1-м опыте фиксируются одни пара-
метры
Π min
и
Π max
[
Πt
(1),
t
Π
(1)
],
при
2-м
опыте
—
другие
параметры
Πt
(2),
t
Π
(2)
и
т.д.
Таким образом, только варьируя значение Πвх узла 2 на уровнях, соответствующих
Πt (N ), Πt (N ) , т.е. на нижнем и верхнем уровнях Πо.и при каждом (N-м) опыте, полученных
для узла 1, можно корректно воспроизвести совместную работу узлов 1 и 2 в условиях общей
факторной ниши.
Если МПЭ для узла 2 будет проведено при других уровнях входных воздействий, то по-
лученные результаты не будут корректно отражать предстоящую совместную работу функ-
циональных узлов.
Рассмотрим матрицу планирования (МП) (рис. 3), отражающую результаты, представ-
ленные на факторограмме (см. рис. 2). Так как на функциональные узлы воздействуют три
фактора ( х1, х2 , х3 ), в традиционной МП предусмотрены 8 опытов (в предположении линей-
ной модели), но, учитывая результаты опытов для κ образцов при одинаковой совокупности
факторов, следует каждый опыт связывать с двумя результатами: в первом опыте —
Πt (1), Πt (1) , во втором — Πt (2), Πt (2) и т.д.
Номер опыта
x1
x2 x3 Πо.и
1
+ Πt (1) + + Πt (1) +
+ +
2
– Πt (2) + – Πt (2) +
+ +
3
+ Πt (3) – + Πt (3) –
+ +
. .... . .... . ....
8
– Πt (8) – – Πt (8) –
– –
Рис. 3
Для исследования узла 2 в тех же условиях (одна факторная ниша) факторы взаимодействия ( Πвых узла 1 = Πвх узла 2) воспроизводятся на тех уровнях, которые могли быть зафиксированы при совместной работе узлов 1 и 2. Тогда в МП для узла 2, составленной с учетом этих соображений, будет отражено при трех факторах ( х1, х2 , х3 ) вдвое больше опытов, но
воспроизведены результаты для κ образцов обоих узлов (см. рис. 3). Полученные результаты при реализации МП позволяют построить математические модели для параметра Πср узлов 1 и 2 (ба-
зовая модель) и возможных нижних и верхних толерантных пределов ( Πt , Πt ) Πо.и . Такое моделирование совместной работы функциональных узлов продуктивно и при
другом их количестве (рис. 4). При этом чтобы моделировать совместную работу, например,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 4
50 А. А. Ковель, С. В. Покидько
трех узлов при возможных вариациях внутренних факторов каждого (κ-выборки), в МП
должно
быть
представлено
варьирование
уровней
Πt
(
N
),
t
Π
(
N
)
каждого
узла,
как
при
тра-
диционном планировании эксперимента [3].
x4 x3
x2
Функциональный узел 1
Функциональный узел 3
Πо.и
Функциональный x1 узел 2
Рис. 4
Исследования, результаты которых представлены в настоящей статье, выполнены в рамках Федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг., гос. контракт № 02.740.11.0621.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ковель А. А., Покидько С. В. Математическое планирование эксперимента при отработке электронных устройств // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51, № 8. С. 13—18.
2. Ковель А. А. Установление допусков на параметры электронных устройств по результатам многофакторного эксперимента // Там же. С. 18—22.
3. Барабащук В. И. и др. Планирование эксперимента в технике. Киев: Техника, 1984.
4. Гаскаров Д. В., Шаповалов В. И. Малая выборка. М.: Статистика, 1978.
5. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1969.
6. Мюллер П. и др. Таблицы по математической статистике. М.: Финансы и статистика, 1982.
Анатолий Архипович Ковель Сергей Владимирович Покидько
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Сибирский государственный аэрокосмиче-
ский университет им. акад. М.Ф. Решетнёва, кафедра космических информационных систем, Красноярск; E-mail: kovel.bogdan@mail.ru — канд. техн. наук; Сибирский федеральный университет, Железногорский филиал; E-mail: elin@krasmail.ru
Рекомендована СибГАУ
Поступила в редакцию 19.11.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 4
УДК 621.396.6-001.4
А. А. КОВЕЛЬ, С. В. ПОКИДЬКО
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В УСЛОВИЯХ ФАКТОРНОЙ НИШИ
Рассмотрена специфика математического планирования эксперимента при разработке электронных устройств космической аппаратуры, функционирующих в одинаковых эксплуатационных условиях. Ключевые слова: планирование эксперимента, функциональный узел, факторная ниша.
Практика математического планирования эксперимента (МПЭ) широко применяется в технологии наземной экспериментальной отработки [1, 2] электронных устройств космического приборостроения. Использование МПЭ [3] в этой области позволило расширить спектр прикладных и интерпретационных возможностей метода посредством введения понятия групповых математических моделей, формирования испытательных тестов, „восстановления“ результатов нереализованных экспериментов, оценки запасов работоспособности функциональных узлов и их совместимости в единой структуре и др. [1]. Одной из таких возможностей МПЭ стало моделирование процесса совместного функционирования узлов аппаратуры, исследованных автономно (иногда на разных предприятиях), но предназначенных для работы в составе одного прибора или устройства бортовой аппаратуры космического аппарата (КА),
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 4
48 А. А. Ковель, С. В. Покидько
когда эксплуатационные воздействия являются общими для всех ее составляющих. Такими воздействиями (факторами) могут быть температура, напряжения питания, уровни помех, механические воздействия и др. Единство уровней факторов и их случайных изменений позволяет объединить их понятием факторная ниша.
Проиллюстрируем это на примере двух функциональных узлов (далее — узлов 1 и 2), работающих в составе одного устройства (рис. 1).
x x2
x1
Функциональный узел 1
Функциональный узел 2
Πо.и
Рис. 1
Исходным массивом являются результаты МПЭ при обработке первого узла. Для выявления влияния внутренних факторов (разброса параметров активных и пассивных элементов узла), МПЭ проводят на κ образцах [2], и результаты планирование формируют коридор откликов (рис. 2), которые являются отражением малой выборки [4] и не охватывают весь диапазон возможных разбросов параметров объекта исследования ( Πо.и ). Вследствие ограниченных ресурсов экспериментальной отработке, как правило, подвергаются не более 10 образцов (κ≤10), поэтому разбросы результатов опытов на других образцах могут быть спрогнозированы, например, путем использования аппарата толерантных пределов [5, 6]:
Πtо.и = Πср ± κt S (Π)N ,
где Πtо.и — возможные толерантные пределы ( Πt — нижний, Πt — верхний) для каждого опыта; Πср — среднее значение результатов Πо.и для κ образцов при каждом опыте; κt —
табулированный коэффициент; S(Π)N — оценка среднеквадратичного отклонения σ(Π) при каждом опыте.
Πо.и
–Πt(2)
Π– tmax
Π– t(2)
Πср
κ
–Πtmin
1234
N
Рис. 2
Пусть представленная факторограмма (см. рис. 2) отражает результаты МПЭ для узла 1 (по оси абсцисс — номера 1, 2, 3, …, N опытов согласно матрице планирования, по оси ординат — результаты, полученные в ходе каждого опыта). Тогда экстремальные отклонения ( Πtmin , Πtmax ) при традиционном планировании должны быть выбраны в качестве уровней
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 4
Математическое планирование эксперимента в условиях факторной ниши
49
варьирования (–1, +1) выходного параметра Πвых узла 1, являющегося входным фактором
для узла 2 (см. рис. 1). Однако анализ совместной работы двух узлов, функционирующих в
условиях общей факторной ниши, показывает, что при 1-м опыте фиксируются одни пара-
метры
Π min
и
Π max
[
Πt
(1),
t
Π
(1)
],
при
2-м
опыте
—
другие
параметры
Πt
(2),
t
Π
(2)
и
т.д.
Таким образом, только варьируя значение Πвх узла 2 на уровнях, соответствующих
Πt (N ), Πt (N ) , т.е. на нижнем и верхнем уровнях Πо.и при каждом (N-м) опыте, полученных
для узла 1, можно корректно воспроизвести совместную работу узлов 1 и 2 в условиях общей
факторной ниши.
Если МПЭ для узла 2 будет проведено при других уровнях входных воздействий, то по-
лученные результаты не будут корректно отражать предстоящую совместную работу функ-
циональных узлов.
Рассмотрим матрицу планирования (МП) (рис. 3), отражающую результаты, представ-
ленные на факторограмме (см. рис. 2). Так как на функциональные узлы воздействуют три
фактора ( х1, х2 , х3 ), в традиционной МП предусмотрены 8 опытов (в предположении линей-
ной модели), но, учитывая результаты опытов для κ образцов при одинаковой совокупности
факторов, следует каждый опыт связывать с двумя результатами: в первом опыте —
Πt (1), Πt (1) , во втором — Πt (2), Πt (2) и т.д.
Номер опыта
x1
x2 x3 Πо.и
1
+ Πt (1) + + Πt (1) +
+ +
2
– Πt (2) + – Πt (2) +
+ +
3
+ Πt (3) – + Πt (3) –
+ +
. .... . .... . ....
8
– Πt (8) – – Πt (8) –
– –
Рис. 3
Для исследования узла 2 в тех же условиях (одна факторная ниша) факторы взаимодействия ( Πвых узла 1 = Πвх узла 2) воспроизводятся на тех уровнях, которые могли быть зафиксированы при совместной работе узлов 1 и 2. Тогда в МП для узла 2, составленной с учетом этих соображений, будет отражено при трех факторах ( х1, х2 , х3 ) вдвое больше опытов, но
воспроизведены результаты для κ образцов обоих узлов (см. рис. 3). Полученные результаты при реализации МП позволяют построить математические модели для параметра Πср узлов 1 и 2 (ба-
зовая модель) и возможных нижних и верхних толерантных пределов ( Πt , Πt ) Πо.и . Такое моделирование совместной работы функциональных узлов продуктивно и при
другом их количестве (рис. 4). При этом чтобы моделировать совместную работу, например,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 4
50 А. А. Ковель, С. В. Покидько
трех узлов при возможных вариациях внутренних факторов каждого (κ-выборки), в МП
должно
быть
представлено
варьирование
уровней
Πt
(
N
),
t
Π
(
N
)
каждого
узла,
как
при
тра-
диционном планировании эксперимента [3].
x4 x3
x2
Функциональный узел 1
Функциональный узел 3
Πо.и
Функциональный x1 узел 2
Рис. 4
Исследования, результаты которых представлены в настоящей статье, выполнены в рамках Федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг., гос. контракт № 02.740.11.0621.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ковель А. А., Покидько С. В. Математическое планирование эксперимента при отработке электронных устройств // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51, № 8. С. 13—18.
2. Ковель А. А. Установление допусков на параметры электронных устройств по результатам многофакторного эксперимента // Там же. С. 18—22.
3. Барабащук В. И. и др. Планирование эксперимента в технике. Киев: Техника, 1984.
4. Гаскаров Д. В., Шаповалов В. И. Малая выборка. М.: Статистика, 1978.
5. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1969.
6. Мюллер П. и др. Таблицы по математической статистике. М.: Финансы и статистика, 1982.
Анатолий Архипович Ковель Сергей Владимирович Покидько
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Сибирский государственный аэрокосмиче-
ский университет им. акад. М.Ф. Решетнёва, кафедра космических информационных систем, Красноярск; E-mail: kovel.bogdan@mail.ru — канд. техн. наук; Сибирский федеральный университет, Железногорский филиал; E-mail: elin@krasmail.ru
Рекомендована СибГАУ
Поступила в редакцию 19.11.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 4