ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ГРУЗА МОСТОВЫМ КРАНОМ
56
УДК 62-505.3
С. A. КАБАНОВ, Е. Н. НИКУЛИН, Б. Э. ЯКУШЕВ, Д. Б. ЯКУШЕВА
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ГРУЗА МОСТОВЫМ КРАНОМ
Рассматривается задача управления перемещением груза мостовым краном с использованием различных методов оптимизации. Исследуется сходимость итерационной процедуры при решении краевой задачи. Представлены результаты численного моделирования. Ключевые слова: мостовой кран, принцип максимума, прогнозирующая модель.
Мостовой кран является неотъемлемой частью оборудования любого предприятия в сфере обрабатывающей промышленности, зачастую единственным устройством, позволяющим перемещать тяжелые предметы в ограниченном пространстве промышленного цеха. Однако из конструктивных особенностей мостового крана (невозможности жесткой фиксации тяжелого груза в процессе перемещения) вытекает существенный недостаток — трудность точного позиционирования груза вручную. Гибкая подвеска обусловливает возможность раскачивания груза как в процессе перемещения, так и в момент остановки в месте назначения. В связи с этим возникает проблема автоматизации управления тележкой мостового крана с целью обеспечения перевода захвата с грузом в заданное положение и его позиционной стабилизации. Учитывая актуальность проблемы, целесообразно оценить возможность реализации оптимальной динамики перемещения груза [1—3].
Разработку алгоритмов оптимального управления осложняет необходимость обеспечения сходимости итерационных процедур решения соответствующих краевых задач. Ввиду того что вычислительные трудности быстро возрастают при усложнении математической модели динамики крана, в настоящей статье рассматривается система дифференциальных уравнений, полученная при упрощающих предположениях: длина троса подвески груза постоянна
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном
57
во время движения (внутренняя связь системы стационарна), угловые отклонения подвеса от вертикали малы, масса груза не изменяется.
При этих допущениях уравнения Лагранжа 2-го рода для рассматриваемой системы приобретают вид [3]
(M + m)s − mlθ = F,
−s + lθ = −gθ,
где M, m — масса тележки и груза; s — горизонтальная координата крана; θ — угловое от-
клонение подвеса; l = const — длина подвеса; F — сила, управляющая положением тележки
крана.
Принимая в качестве переменных вектора состояния: x1 (текущий угол отклонения подвеса груза от вертикали), x2 = dx1/dt, x3 = s/l, x4 = dx3/dt при горизонтальных координатах, определяющих текущее и конечное положение груза соответственно s и sf, получаем систему уравнений модели объекта в виде [1—3]
x = Ax+Bu ,
(1)
где x = [x1 x2 x3 x4 ] , A = [aij] — (4×4)-матрица. Элементы матрицы А, кроме a12 = 1,
a21 = –а, a34 = 1, a41 = –с, равны нулю; BT = [0 b/umах 0 b/umах], a = bg/l, b = (m + M)/M, с = = mg/(lM), g — ускорение свободного падения, u = umахF/[l(m + M)] — безразмерное управле-
( )ние i = 1, 4; j = 1, 4 .
Требуется обеспечить перевод системы из начального состояния xT (t0 ) = [0 0 0 0] в
( )конечное xT t f = ⎡⎣0 0 s f 0⎦⎤ при ограничении на управление |umах|≤0,75.
Представляет интерес в рамках одного исследования сопоставить результаты численных экспериментов с данной моделью, выполненных на основе различных алгоритмов оптимизации.
В настоящей статье рассматриваются возможности определения оптимального воздействия на тележку мостового крана с использованием различных методов оптимизации:
— на основании решения краевой задачи, вытекающей из принципа максимума Л. С. Понтрягина;
— алгоритма управления с фиксированной программой прогноза движения; — алгоритма последовательной оптимизации по иерархии критериев качества. 1. Будем решать задачу перевода системы (1) из начального положения в конечное при
∫ограничениях на управление вида
u ≤ umax
и минимизации критерия
I
= Vf (x,t f ) +
t f dt
t0
(задача
максимального
быстродействия).
Здесь
V
f
(x,
t
f
)
=
1 2
∆xT
ρ∆x
,
∆x = x(t f ) − x f ,
ρ = diag( ρ1, ρ2 ,ρ3,ρ4 ) — матрица весовых коэффициентов, x f — заданный вектор. Канони-
ческие уравнения имеют вид [1—3]
xi
=
∂H ∂pi
,
pi
=
−
∂H ∂xi
,
(i = 1, 4) .
(2)
Здесь H =pT (Ax+Bu)+1 — гамильтониан системы, p — вектор сопряженных переменных.
На интервале t ∈[t0 ,t f ] интегрированием системы (1) с начальными условиями
xi (t0 ) = xi0 , pi (t0 ) = pi0 определяются xi(tf) при значении u, принятом, согласно принципу максимума (i=2,4)
u
=
⎧−umax , p2 + p4 > 0,
⎨ ⎩
umax ,
p2
+
p4
<
0.
(3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
58 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
Оптимизация движения механической системы основана на решении краевой задачи (2), (3).
Здесь, согласно теореме А. А. Фельдбаума об n интервалах для устойчивой системы [3], в соответствии с порядком модели предусматривается четыре интервала постоянства управления. Таким образом, воспроизводится реальная процедура ручного управления, особенно наглядно представляемая набором кусочно-постоянных функций.
Как известно, для большинства задач управления, представляющих практический интерес, затруднительно получить аналитическое решение в замкнутой форме. Но и их численное решение также сопряжено со значительными трудностями. Существует несколько методов численного решения, но их объединяет одна проблема: сходимость к приемлемому в рамках поставленной задачи результату напрямую связана с удачным выбором начального приближения.
В данном случае краевая задача (2), (3) решается методом Ньютона [4—7]. На первом шаге итерационного алгоритма задается вектор начальных условий, включающий компоненты вектора x(t0), а также вектора сопряженных переменных p(t0).
В соответствии с условиями трансверсальности вводится функция невязок выполнения граничных условий
ϕ( p0(0) ) = [( p(t f ) − ρ∆x)T H (t f )]T .
В алгоритме при исходных значениях констант pi(t0) = Сi (i = 1, 4) , tf = C5 интегрирова-
нием системы (2) вычисляются значения xi(tf) на правом конце интервала и выполняются переключения управления в соответствии с условиями (3). Затем последовательно задаются
приращения к каждой из взятых с 1-го приближения констант Ci(1) = Сi+∆i ( i = 1, 4 ), а также
приращение к начальному значению tf. Вычисляется функция невязки и численно определяется матрица частных производных
Якоби (р05 = tf):
ϕ p0(0)
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
∂ϕi ∂p0 j
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
(i, j = 1,5).
Здесь элементы i-й (i = 1, 4) строки матрицы ϕp0(0) получаются следующим образом:
∂ϕi ∂p01
=
ϕi[
p01
+
∆p01,
p02 ,
p03, p04 , t f ∆p01
] − ϕi ( p0,t
f
)
,
∂ϕi ∂p02
=
ϕi[ p01, p02
+ ∆p02 , p03, p04, t f ∆p02
] − ϕi ( p0 ,t f
),
∂ϕi ∂p03
=
ϕi[ p01,
p02 ,
p03
+ ∆p03, p04, t f ∆p03
] − ϕi ( p0, t f
) ,
∂φi ∂p04
=
ϕi[ p01, p02,
p03 ,
p04 + ∆p04, t f ∆р04
] − ϕi ( p0 ,t f
),
∂ϕi ∂p05
=
ϕi[ p01,
p02, p03, p04 , t f ∆t f
+ ∆t f
] − ϕi ( p0, t f
) .
Пятая строка будет иметь вид
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном
59
∂ϕ5 ∂p01
=
H[ p01
+ ∆p01,
p02 ,
p03 , p04 , t f ∆p01
]−
H ( p0 ,t f
) ,
∂ϕ5 ∂p02
=
H[ p01, p02
+ ∆p02 , p03 , p04 , t f ] − H ( p0 ,t f ∆p02
) ,
∂ϕ5 ∂p03
=
H[ p01, p02 , p03 + ∆p03 , p04 , t f ∆p03
] − H ( p0 , t f
) ,
∂ϕ5 ∂p04
=
H[ p01, p02 , p03 , p04 + ∆p04 , t f ] − H ( p0 ,t f ∆р04
) ,
∂ϕ5 ∂t f
=
H[ p01, p02 , p03 , p04 , t f ∆t f
+ ∆t f ] − H ( p0 , t f ) .
В соответствии с формулой Тейлора следующее приближение для вектора p0 определяется, согласно соотношению:
( )C0(1) = C0(0) − sϕC−10(0) ϕ C0(0) ,
где s ∈ (0,1] — скалярный множитель, используемый для улучшения сходимости метода
[4, 6, 7]. Таким образом, получается набор констант интегрирования на каждую следующую итерацию метода Ньютона:
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
C1(n) C2(n) C3(n) C4(n) С5(n)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎟
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜
C1(n−1) C2(n−1) C3(n−1) C4(n−1) С5(n−1)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
−
sϕC−10(n−1)
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
p1
(t
(n−1) f
)
−
ρ1[
x1(t
(n−1) f
)
−
x1 f
]
⎞ ⎟
p2
(t
(n−1) f
)
−
ρ2[
x2
(t
(n−1) f
)
−
x2
f
]
⎟ ⎟
p3
(t
(n−1) f
)
−
ρ3[
x3
(t
(n−1) f
)
−
x3
f
]
⎟ ⎟
p4
(t
(n−1) f
)
−
ρ4[
x4
(t
(n−1) f
)
−
x4
f
]
⎟ ⎟
H
(t
(n−1) f
)
−
0
⎠⎟⎟
.
На каждом шаге проверяется условие
ϕ(p0(n)
,
t
(n) f
)
< ε,
невыполнение
которого возвра-
щает к первому шагу алгоритма. Здесь ε>0 — заранее выбираемая любая малая положительная величина. В качестве нормы φ можно принять, например
∑ ϕ2 i
(p(0n)
)
.
i=1,5
Вычисления производились при следующих исходных данных: M = 20 т; m = 10 т; l = 3 м; a = 4,9 с–2; с = 1,635 с–2; umах = 0,75 с2; sf /l = 1,706; g = 9,81 м/с2.
Численная реализация приведенного алгоритма показала, что, не имея приемлемых
предварительных оценок компонента Сi (i = 1, 4) , а также tf, сложно рассчитывать на получе-
ние искомого результата. Рассматривая численные результаты решения краевой задачи, вытекающей из принципа
максимума, целесообразно оценить эффективность и чувствительность решения к точности задания начального приближения для искомых значений Сi. В работе [2] указывается, что в случае применения, например, метода стрельбы для получения решения требуется, чтобы начальное приближение отличалось от конечного результата на несколько процентов. Только в этом случае гарантируется сходимость итерационной процедуры решения краевой задачи. Полученные на основе использования описанного выше алгоритма результаты численных экспериментов подтверждают высокие требования к точности выбора начального приближения.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
60 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
2. Эффективным инструментом выбора начальных приближений для постоянных интегрирования может служить какой-либо альтернативный метод оптимизации, также использующий фиксированную программу параметрического управления. В частности, при решении краевой задачи можно воспользоваться значениями сопряженных переменных pi(t0), полученными при реализации алгоритма с прогнозирующей моделью, основанного на минимизации функционала А. А. Красовского [1, 8]. В результате применения этого алгоритма можно получить начальные условия для сопряженных переменных.
В рассматриваемом случае релейное управление с выбранным по теореме А. А. Фельдбаума фиксированным количеством интервалов постоянства предполагает возможность оптимизировать моменты переключения. Для этого в качестве управляющих параметров
дополнительно вводятся производные tk = wk (здесь tk — моменты переключения управления
и завершения движения, k = 1, 4 ; t4 = tf [1, 3]).
Введение управлений моментами переключений добавляет к системе (1) уравнения
y =w,
(4)
где yT = [t1 t2 t3 t4 ] , wT = [w1 w2 w3 w4 ] . Таким образом, вводится расширенный вектор фа-
зовых переменных xp = [xT yT ]T .
Критерий качества целесообразно принять в виде функционала Красовского
∫ ( )I
=Vf
(x,t f
)
+
1 2
tf t0
wT k −2w + wT0 k −2w0 d τ ,
где
Vf
(x, t f
)
=
1 2
∆xT
ρ∆x
,
∆x
=
x(t f
)
−
xf
,
ρ
=
diag( ρ1, ρ2 ,ρ3,ρ4 ),
k
=
diag( k1, k2 , k3 , k4 )
—
мат-
рицы весовых коэффициентов и коэффициентов усиления соответственно, которые первона-
чально определяются по принципу равных вкладов максимальных отклонений и уточняются
в процессе моделирования.
Гамильтониан задачи имеет вид
H
=
pT xp
+
1 2
wT
k
−2w
+
1 2
wT0
k
−2
w0
,
(5)
где p = ⎣⎡pTx pTy ⎤⎦T — вектор множителей Лагранжа; w, w0 — векторы текущих и оптимальных
( )управлений моментами переключения и завершения движения tk k = 1, 4 .
Система уравнений для сопряженных переменных примет вид
pTx
=
−
∂H ∂x
,
pTy
=
−
∂H ∂y
.
Применение критерия Красовского позволяет заменить решение двухточечной краевой
задачи решением задачи Коши для прогнозирующей модели (система (2), (4) с нулевым
управлением w = 0):
x1 = x2 , x2 = −ax1 + x5 [1 − 2θ(t − t1) + 2θ(t − t2 ) − 2θ(t − t3 )],
x3 = x4 , x4 = −cx1 + x5 [1 − 2θ(t − t1) + 2θ(t − t2 ) − 2θ(t − t3 )],
(6)
t1 = 0, t2 = 0, t3 = 0, t f = 0.
Здесь x5 = u, θ(t − ti ) — единичная функция (i = 1,3) .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном
61
Сначала в прямом времени интегрируется система (6), а затем совместно с (6) в обрат-
ном времени на интервале оптимизации производится интегрирование системы уравнений
для сопряженных переменных
p1 = ap2 + cp4 , p2 = − p1, p3 = 0, p4 = − p3 , pt1 = −2x5δ(t − t1)( p2 + p4 ), pt2 = 2x5δ(t − t2 )( p2 + p4 ), pt3 = −2x5δ(t − t3 )( p2 + p4 ),
(7)
где δ(t − ti ) — дельта-функция.
Интегрирование системы (7) в обратном времени по траектории свободного движения
выполняется при начальных условиях на правом конце pi(tf), которые определяются из усло-
вий трансверсальности
p(t f
)
=
⎛ ⎜ ⎝
∂V f ∂x
⎞T ⎟ ⎠
по невязкам конечного вектора состояния, вычис-
ленного посредством интегрирования прогнозирующей модели (6) на интервале оптимизации
[t,tf]. Здесь pi(tf) = ρi(xi(tf)– xif) (i = 1, 4) . При этом pti (t) = 2(−1)i umax [ p2 (ti ) + p4 (ti )] (i = 1,3) ,
pt4 (t) = H (t f ) [3]. Управления определяются, согласно соотношениям
wk = −kk2 ptk (k = 1, 4) ,
которые следуют из условия минимизации гамильтониана (5) по параметрам управления
∂H ∂wk
=0.
Длительность цикла ограничивается сверху величиной ∆tmax — допустимой дискретно-
стью управления процессом, а снизу — ∆tmin — производительностью ЭВМ, осуществляю-
щей вычисления в режиме реального времени.
Результаты расчетов по определению компонентов вектора состояния и управления при
ρ1 = 0,1; ρ2 = 0,7; ρ3 = 0,4; ρ4 = 0,4; ρ5 = 0,1; ρ6 = 0,001; k1 = 0,1; k2 = 0,1; k3 = 0,1; kt f = 2, 0 при-
ведены на рис. 1. Алгоритм позволяет эффективно удовлетворять всем краевым условиям,
наиболее точно — по координатам прихода х3 и углу отклонения подвеса х1.
x1, x2, x3, x4, u
x3
1 x4
0
12
x2 3 x1
4 t, с
u –1
Рис. 1
Более гибкий вариант алгоритма можно получить, предположив возможность управления интенсивностью силового воздействия umах. В этом случае к системе (1) кроме (2) следует добавить уравнение umax = v , где umax = (umax1 umax 2 umax3 umax 4 )T — вектор интенсивностей силовых воздействий (i = 1, 4) , v = (v1 v2 v3 v4 )T — вектор управления величинами umax i .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
62 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
Приведенное решение дает физически оправданное начальное приближение констант интегрирования для краевой задачи. В качестве начальных значений указанных констант для данной задачи можно принять следующие:
p1(0) = C1 = 0,346; p2(0) = C2 = –0,158; p3(0) = C3 = 0,146;
p4(0) = C4 = 0,138.
(8)
Полученное выше время доставки груза tf = 4,04 в назначенную точку используется как начальная оценка оптимального времени для принципа максимума. Решение краевой задачи
методом Ньютона [7], при выбранном таким образом начальном приближении, показывает
приемлемую и достаточно равномерную сходимость к искомому результату за 25 итераций с
нормой невязки ϕ(p(0n) ) = 0, 798 . В результате итерационного процесса получается следую-
щий набор констант интегрирования при tf = 3,879 с: С1 = –0,022 19; С2 = 0,064 49; С3 = –0,233 38; С4 = –0,453 85.
В точке прихода фазовые переменные имеют следующие значения x1 = –0,056; x2 = –0,1564; x3 = 1,780; x4 = 0,0966. Графики изменения управления и фазовых переменных приведены на рис. 2.
x1, x2, x3, x4, u
x3
1 x4
0
x2 x1 1 2 3 t, с
u –1
Рис. 2
Алгоритм с фиксированной программой прогноза движения может служить как основным инструментом для получения оптимального по критерию Красовского управ-
ления перемещением груза, так и вспомогательным — для определения начальных значений сопряженных переменных при решении краевой задачи принципа максимума методом Ньютона.
3. С учетом трудностей, возникающих при попытке удовлетворения всего набора краевых условий задачи с одинаковой точностью, необходимо разделять условия по уровню
значимости. В подобной ситуации эффективной является последовательная оптимизация движения механической системы по иерархии критериев оптимальности на основе использо-
вания прогнозирующей модели. Возможно введение приоритетов точности удовлетворения граничным условиям по разным компонентам вектора состояния и соответственно выработки управления. При решении рассматриваемой задачи применяется упрощенный двухуровневый вариант алгоритма, изложенного в работе [3].
Динамика управляемого процесса описывается системой уравнений для вектора состоя-
ния (1), дополненных уравнением
(x5 x6 )T = u ,
(9)
u = u1 + u2 ,
(10)
где x6 = t f , а управления u1 и u2 минимизируют соответственно следующие целевые функ-
ционалы I1, I2 :
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном
63
tf
∫Ii = V fi (x,t f ) + f0i (x,t)dt ,
t0
V f 1(x,t f
)
=
1 2
ρ3
(
x3
(t
f
)
−
x3 f
)2 ,
Vf
2 (x,t
f
)
=
1 2
ρ1(x1(t f
)
−
x1 f
)2
+
1 2
ρ2
(
x2
(t
f
)
−
x2
f
)2
+
1 2
ρ4 (x4 (t f
)
−
x4 f
)2
+
1 2
ρ5t
2 f
,
где f01(x,t) =0, f02 (x, t) = u2T k 2u2 + u2T0k −2u20 , k =diag(k5 , k6 ) , ρi ( i = 1, 5 ) и k5 , k6 — заданные коэффициенты.
На первом уровне оптимизации итеративным путем из условия минимума критерия I1
подбирается оптимальное начальное значение x5o управляющего фактора x5 , с которым выполняется интегрирование системы (1), (9) при u1 = 0, u2 = 0 на интервале времени [t,t f ] . За-
тем производится вычисление значений сопряженных переменных pi (t f ) по невязкам вы-
полнения краевых условий pi (t f ) = ρi (xi (t f ) − x3 f ) . При найденных граничных значениях
x(t f ) , p(t f ) осуществляется совместное интегрирование систем (1), (9) и сопряженной сис-
темы в обратном времени на интервале [t f ,t] с последующим получением значений p(t) .
Управление 1-го уровня может быть вычислено различными способами. В данном слу-
чае используется упрощенный алгоритм коррекции его начального значения на ближайший
интервал управляемого движения длительностью ∆t
u1
=
(
x5o − ∆t
x5t
0)T,
где x5t = x5 (t) . Вычисление x5 производится любым численным методом итерационным путем
из условия х3 = х3f при некотором начальном оценочном значении времени прихода tf , x5t на
первом шаге решения принимается равным начальному значению x5, а на последующих — получается из решения задачи Коши для уравнения x5 = u , в которой за начальное значение
принимается х5 с предыдущего шага. Импульс, обеспечивающий механической системе быстродействие, получается согласно
соотношению
pt = Hм + ρ6tf,
где ρ6 — весовой коэффициент, Hм = p1x2+p2(–ax1+x5)+p3x4+p4(–cx1+x5) — гамильтониан, соответствующий неуправляемому движению модели.
Управление 2-го уровня имеет вид
u2 = (–k5p5 –k6pt)T.
Таким образом, искомое управление получается как сумма управлений, определяемых
на 1-м и 2-м уровнях.
С управлением, вычисленным согласно (10), производится интегрирование системы (1),
(9) на один шаг ∆t вперед. После этого все описанные процедуры повторяются при уточненном
значении момента конца интервала. Получаемое управление представляет собой кусочно-
постоянную функцию на каждом промежутке времени ∆t. Для сглаживания кривых изменения
скоростей (х2, х4) применяется специальный способ вычисления управляющего фактора х5. Он определяется как среднее арифметическое значений х5, вычисленных для движения на два последовательных шага вперед (при этом первый шаг по траектории проходится виртуально
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
64 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
с управлением, вычисленным согласно описанному выше алгоритму, а для второго управле-
ние только вычисляется, но последующее управляемое перемещение не осуществляется).
С этим значением х5 осуществляется один шаг по траектории управляемого движения. Затем вся процедура повторяется.
Результаты вычислений по указанному алгоритму при ρ1 = 0,1; ρ2 = 0,0; ρ3 = 10; ρ4 = –30; ρ5 = 0,1; ρ6 = 0,001; k5 = 1,0; k6 = 0,001 представлены на рис. 3. Шаг вычислений ∆t = 0,05 c. В точке прихода при tf = 3,85 c зафиксированы следующие значения фазовых переменных: x1 = 0,1097; x2 = –0,0579; x3 = 1,6208; x4 = 0,6907.
x1, x2, x3, x4, u
x3
1 x4
0
x2 x1 1 2 3 4 t, с
u
–1 Рис. 3
В статье исследованы возможности построения оптимального управления тележкой мостового крана с использованием различных методов оптимизации. Показано, что алгоритм управления с заданной программой прогноза движения может служить как основным инструментом для получения оптимального по критерию Красовского управления перемещением груза, так и вспомогательным — для нахождения начальных значений сопряженных переменных при решении краевой задачи принципа максимума для максимального быстродействия методом Ньютона.
Исследования, описанные в настоящей статье, выполнены по гранту Российского фонда фундаментальных исследований № 09-08-008-29.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.
2. Troch I. Parametrisierung – Ein Werkzeug zur Berechnung optimaler Steuerungen // Automatisierungstechnik AT. 1990. Bd 38. N 6. S. 230—236.
3. Кабанов С. А. Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб. Изд-во СПбГУ, 1997. 200 с.
4. Кабанов С. А. Оптимизация динамики систем при действии возмущений. М.: Физматлит, 2008. 200 с.
5. Кабанов Д. С. Оптимальное управление ядерным реактором с учетом случайных возмущений // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 5. С. 27—30.
6. Якушева Д. Б. Решение навигационой задачи Цермело при линейно-вихревой структуре течения // Процессы управления и устойчивость: Тр. 40-й Междунар. науч. конфер. СПб: Издат. дом СПбГУ, 2009. С. 91—96.
7. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.
8. Кабанов С. А., Якушев Б. Э. Использование неклассического критерия оптимальности в задаче управления работой подъемно-транспортного оборудования // Докл. 55-й конф. СПбГАСУ. Ч. I. СПб: Изд-во СПбГАСУ, 1998. С. 63—65.
Сергей Александрович Кабанов
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический
университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, кафедра систем обработки информации и управления; E-mail: kaba-sa@mail.ru
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном
65
Евгений Николаевич Никулин Борис Эдуардович Якушев Дарья Борисовна Якушева
— д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, кафедра средств поражения и боеприпасов; E-mail: enikulin@onixmail.ru
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, кафедра теоретической механики; E-mail: yakushev.spb@mail.ru
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет, кафедра информационных систем; E-mail: dariayakusheva@gmail.com
Рекомендована кафедрой систем обработки информации и управления
Поступила в редакцию 14.12.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
УДК 62-505.3
С. A. КАБАНОВ, Е. Н. НИКУЛИН, Б. Э. ЯКУШЕВ, Д. Б. ЯКУШЕВА
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ГРУЗА МОСТОВЫМ КРАНОМ
Рассматривается задача управления перемещением груза мостовым краном с использованием различных методов оптимизации. Исследуется сходимость итерационной процедуры при решении краевой задачи. Представлены результаты численного моделирования. Ключевые слова: мостовой кран, принцип максимума, прогнозирующая модель.
Мостовой кран является неотъемлемой частью оборудования любого предприятия в сфере обрабатывающей промышленности, зачастую единственным устройством, позволяющим перемещать тяжелые предметы в ограниченном пространстве промышленного цеха. Однако из конструктивных особенностей мостового крана (невозможности жесткой фиксации тяжелого груза в процессе перемещения) вытекает существенный недостаток — трудность точного позиционирования груза вручную. Гибкая подвеска обусловливает возможность раскачивания груза как в процессе перемещения, так и в момент остановки в месте назначения. В связи с этим возникает проблема автоматизации управления тележкой мостового крана с целью обеспечения перевода захвата с грузом в заданное положение и его позиционной стабилизации. Учитывая актуальность проблемы, целесообразно оценить возможность реализации оптимальной динамики перемещения груза [1—3].
Разработку алгоритмов оптимального управления осложняет необходимость обеспечения сходимости итерационных процедур решения соответствующих краевых задач. Ввиду того что вычислительные трудности быстро возрастают при усложнении математической модели динамики крана, в настоящей статье рассматривается система дифференциальных уравнений, полученная при упрощающих предположениях: длина троса подвески груза постоянна
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном
57
во время движения (внутренняя связь системы стационарна), угловые отклонения подвеса от вертикали малы, масса груза не изменяется.
При этих допущениях уравнения Лагранжа 2-го рода для рассматриваемой системы приобретают вид [3]
(M + m)s − mlθ = F,
−s + lθ = −gθ,
где M, m — масса тележки и груза; s — горизонтальная координата крана; θ — угловое от-
клонение подвеса; l = const — длина подвеса; F — сила, управляющая положением тележки
крана.
Принимая в качестве переменных вектора состояния: x1 (текущий угол отклонения подвеса груза от вертикали), x2 = dx1/dt, x3 = s/l, x4 = dx3/dt при горизонтальных координатах, определяющих текущее и конечное положение груза соответственно s и sf, получаем систему уравнений модели объекта в виде [1—3]
x = Ax+Bu ,
(1)
где x = [x1 x2 x3 x4 ] , A = [aij] — (4×4)-матрица. Элементы матрицы А, кроме a12 = 1,
a21 = –а, a34 = 1, a41 = –с, равны нулю; BT = [0 b/umах 0 b/umах], a = bg/l, b = (m + M)/M, с = = mg/(lM), g — ускорение свободного падения, u = umахF/[l(m + M)] — безразмерное управле-
( )ние i = 1, 4; j = 1, 4 .
Требуется обеспечить перевод системы из начального состояния xT (t0 ) = [0 0 0 0] в
( )конечное xT t f = ⎡⎣0 0 s f 0⎦⎤ при ограничении на управление |umах|≤0,75.
Представляет интерес в рамках одного исследования сопоставить результаты численных экспериментов с данной моделью, выполненных на основе различных алгоритмов оптимизации.
В настоящей статье рассматриваются возможности определения оптимального воздействия на тележку мостового крана с использованием различных методов оптимизации:
— на основании решения краевой задачи, вытекающей из принципа максимума Л. С. Понтрягина;
— алгоритма управления с фиксированной программой прогноза движения; — алгоритма последовательной оптимизации по иерархии критериев качества. 1. Будем решать задачу перевода системы (1) из начального положения в конечное при
∫ограничениях на управление вида
u ≤ umax
и минимизации критерия
I
= Vf (x,t f ) +
t f dt
t0
(задача
максимального
быстродействия).
Здесь
V
f
(x,
t
f
)
=
1 2
∆xT
ρ∆x
,
∆x = x(t f ) − x f ,
ρ = diag( ρ1, ρ2 ,ρ3,ρ4 ) — матрица весовых коэффициентов, x f — заданный вектор. Канони-
ческие уравнения имеют вид [1—3]
xi
=
∂H ∂pi
,
pi
=
−
∂H ∂xi
,
(i = 1, 4) .
(2)
Здесь H =pT (Ax+Bu)+1 — гамильтониан системы, p — вектор сопряженных переменных.
На интервале t ∈[t0 ,t f ] интегрированием системы (1) с начальными условиями
xi (t0 ) = xi0 , pi (t0 ) = pi0 определяются xi(tf) при значении u, принятом, согласно принципу максимума (i=2,4)
u
=
⎧−umax , p2 + p4 > 0,
⎨ ⎩
umax ,
p2
+
p4
<
0.
(3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
58 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
Оптимизация движения механической системы основана на решении краевой задачи (2), (3).
Здесь, согласно теореме А. А. Фельдбаума об n интервалах для устойчивой системы [3], в соответствии с порядком модели предусматривается четыре интервала постоянства управления. Таким образом, воспроизводится реальная процедура ручного управления, особенно наглядно представляемая набором кусочно-постоянных функций.
Как известно, для большинства задач управления, представляющих практический интерес, затруднительно получить аналитическое решение в замкнутой форме. Но и их численное решение также сопряжено со значительными трудностями. Существует несколько методов численного решения, но их объединяет одна проблема: сходимость к приемлемому в рамках поставленной задачи результату напрямую связана с удачным выбором начального приближения.
В данном случае краевая задача (2), (3) решается методом Ньютона [4—7]. На первом шаге итерационного алгоритма задается вектор начальных условий, включающий компоненты вектора x(t0), а также вектора сопряженных переменных p(t0).
В соответствии с условиями трансверсальности вводится функция невязок выполнения граничных условий
ϕ( p0(0) ) = [( p(t f ) − ρ∆x)T H (t f )]T .
В алгоритме при исходных значениях констант pi(t0) = Сi (i = 1, 4) , tf = C5 интегрирова-
нием системы (2) вычисляются значения xi(tf) на правом конце интервала и выполняются переключения управления в соответствии с условиями (3). Затем последовательно задаются
приращения к каждой из взятых с 1-го приближения констант Ci(1) = Сi+∆i ( i = 1, 4 ), а также
приращение к начальному значению tf. Вычисляется функция невязки и численно определяется матрица частных производных
Якоби (р05 = tf):
ϕ p0(0)
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
∂ϕi ∂p0 j
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
(i, j = 1,5).
Здесь элементы i-й (i = 1, 4) строки матрицы ϕp0(0) получаются следующим образом:
∂ϕi ∂p01
=
ϕi[
p01
+
∆p01,
p02 ,
p03, p04 , t f ∆p01
] − ϕi ( p0,t
f
)
,
∂ϕi ∂p02
=
ϕi[ p01, p02
+ ∆p02 , p03, p04, t f ∆p02
] − ϕi ( p0 ,t f
),
∂ϕi ∂p03
=
ϕi[ p01,
p02 ,
p03
+ ∆p03, p04, t f ∆p03
] − ϕi ( p0, t f
) ,
∂φi ∂p04
=
ϕi[ p01, p02,
p03 ,
p04 + ∆p04, t f ∆р04
] − ϕi ( p0 ,t f
),
∂ϕi ∂p05
=
ϕi[ p01,
p02, p03, p04 , t f ∆t f
+ ∆t f
] − ϕi ( p0, t f
) .
Пятая строка будет иметь вид
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном
59
∂ϕ5 ∂p01
=
H[ p01
+ ∆p01,
p02 ,
p03 , p04 , t f ∆p01
]−
H ( p0 ,t f
) ,
∂ϕ5 ∂p02
=
H[ p01, p02
+ ∆p02 , p03 , p04 , t f ] − H ( p0 ,t f ∆p02
) ,
∂ϕ5 ∂p03
=
H[ p01, p02 , p03 + ∆p03 , p04 , t f ∆p03
] − H ( p0 , t f
) ,
∂ϕ5 ∂p04
=
H[ p01, p02 , p03 , p04 + ∆p04 , t f ] − H ( p0 ,t f ∆р04
) ,
∂ϕ5 ∂t f
=
H[ p01, p02 , p03 , p04 , t f ∆t f
+ ∆t f ] − H ( p0 , t f ) .
В соответствии с формулой Тейлора следующее приближение для вектора p0 определяется, согласно соотношению:
( )C0(1) = C0(0) − sϕC−10(0) ϕ C0(0) ,
где s ∈ (0,1] — скалярный множитель, используемый для улучшения сходимости метода
[4, 6, 7]. Таким образом, получается набор констант интегрирования на каждую следующую итерацию метода Ньютона:
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
C1(n) C2(n) C3(n) C4(n) С5(n)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎟
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜
C1(n−1) C2(n−1) C3(n−1) C4(n−1) С5(n−1)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
−
sϕC−10(n−1)
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
p1
(t
(n−1) f
)
−
ρ1[
x1(t
(n−1) f
)
−
x1 f
]
⎞ ⎟
p2
(t
(n−1) f
)
−
ρ2[
x2
(t
(n−1) f
)
−
x2
f
]
⎟ ⎟
p3
(t
(n−1) f
)
−
ρ3[
x3
(t
(n−1) f
)
−
x3
f
]
⎟ ⎟
p4
(t
(n−1) f
)
−
ρ4[
x4
(t
(n−1) f
)
−
x4
f
]
⎟ ⎟
H
(t
(n−1) f
)
−
0
⎠⎟⎟
.
На каждом шаге проверяется условие
ϕ(p0(n)
,
t
(n) f
)
< ε,
невыполнение
которого возвра-
щает к первому шагу алгоритма. Здесь ε>0 — заранее выбираемая любая малая положительная величина. В качестве нормы φ можно принять, например
∑ ϕ2 i
(p(0n)
)
.
i=1,5
Вычисления производились при следующих исходных данных: M = 20 т; m = 10 т; l = 3 м; a = 4,9 с–2; с = 1,635 с–2; umах = 0,75 с2; sf /l = 1,706; g = 9,81 м/с2.
Численная реализация приведенного алгоритма показала, что, не имея приемлемых
предварительных оценок компонента Сi (i = 1, 4) , а также tf, сложно рассчитывать на получе-
ние искомого результата. Рассматривая численные результаты решения краевой задачи, вытекающей из принципа
максимума, целесообразно оценить эффективность и чувствительность решения к точности задания начального приближения для искомых значений Сi. В работе [2] указывается, что в случае применения, например, метода стрельбы для получения решения требуется, чтобы начальное приближение отличалось от конечного результата на несколько процентов. Только в этом случае гарантируется сходимость итерационной процедуры решения краевой задачи. Полученные на основе использования описанного выше алгоритма результаты численных экспериментов подтверждают высокие требования к точности выбора начального приближения.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
60 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
2. Эффективным инструментом выбора начальных приближений для постоянных интегрирования может служить какой-либо альтернативный метод оптимизации, также использующий фиксированную программу параметрического управления. В частности, при решении краевой задачи можно воспользоваться значениями сопряженных переменных pi(t0), полученными при реализации алгоритма с прогнозирующей моделью, основанного на минимизации функционала А. А. Красовского [1, 8]. В результате применения этого алгоритма можно получить начальные условия для сопряженных переменных.
В рассматриваемом случае релейное управление с выбранным по теореме А. А. Фельдбаума фиксированным количеством интервалов постоянства предполагает возможность оптимизировать моменты переключения. Для этого в качестве управляющих параметров
дополнительно вводятся производные tk = wk (здесь tk — моменты переключения управления
и завершения движения, k = 1, 4 ; t4 = tf [1, 3]).
Введение управлений моментами переключений добавляет к системе (1) уравнения
y =w,
(4)
где yT = [t1 t2 t3 t4 ] , wT = [w1 w2 w3 w4 ] . Таким образом, вводится расширенный вектор фа-
зовых переменных xp = [xT yT ]T .
Критерий качества целесообразно принять в виде функционала Красовского
∫ ( )I
=Vf
(x,t f
)
+
1 2
tf t0
wT k −2w + wT0 k −2w0 d τ ,
где
Vf
(x, t f
)
=
1 2
∆xT
ρ∆x
,
∆x
=
x(t f
)
−
xf
,
ρ
=
diag( ρ1, ρ2 ,ρ3,ρ4 ),
k
=
diag( k1, k2 , k3 , k4 )
—
мат-
рицы весовых коэффициентов и коэффициентов усиления соответственно, которые первона-
чально определяются по принципу равных вкладов максимальных отклонений и уточняются
в процессе моделирования.
Гамильтониан задачи имеет вид
H
=
pT xp
+
1 2
wT
k
−2w
+
1 2
wT0
k
−2
w0
,
(5)
где p = ⎣⎡pTx pTy ⎤⎦T — вектор множителей Лагранжа; w, w0 — векторы текущих и оптимальных
( )управлений моментами переключения и завершения движения tk k = 1, 4 .
Система уравнений для сопряженных переменных примет вид
pTx
=
−
∂H ∂x
,
pTy
=
−
∂H ∂y
.
Применение критерия Красовского позволяет заменить решение двухточечной краевой
задачи решением задачи Коши для прогнозирующей модели (система (2), (4) с нулевым
управлением w = 0):
x1 = x2 , x2 = −ax1 + x5 [1 − 2θ(t − t1) + 2θ(t − t2 ) − 2θ(t − t3 )],
x3 = x4 , x4 = −cx1 + x5 [1 − 2θ(t − t1) + 2θ(t − t2 ) − 2θ(t − t3 )],
(6)
t1 = 0, t2 = 0, t3 = 0, t f = 0.
Здесь x5 = u, θ(t − ti ) — единичная функция (i = 1,3) .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном
61
Сначала в прямом времени интегрируется система (6), а затем совместно с (6) в обрат-
ном времени на интервале оптимизации производится интегрирование системы уравнений
для сопряженных переменных
p1 = ap2 + cp4 , p2 = − p1, p3 = 0, p4 = − p3 , pt1 = −2x5δ(t − t1)( p2 + p4 ), pt2 = 2x5δ(t − t2 )( p2 + p4 ), pt3 = −2x5δ(t − t3 )( p2 + p4 ),
(7)
где δ(t − ti ) — дельта-функция.
Интегрирование системы (7) в обратном времени по траектории свободного движения
выполняется при начальных условиях на правом конце pi(tf), которые определяются из усло-
вий трансверсальности
p(t f
)
=
⎛ ⎜ ⎝
∂V f ∂x
⎞T ⎟ ⎠
по невязкам конечного вектора состояния, вычис-
ленного посредством интегрирования прогнозирующей модели (6) на интервале оптимизации
[t,tf]. Здесь pi(tf) = ρi(xi(tf)– xif) (i = 1, 4) . При этом pti (t) = 2(−1)i umax [ p2 (ti ) + p4 (ti )] (i = 1,3) ,
pt4 (t) = H (t f ) [3]. Управления определяются, согласно соотношениям
wk = −kk2 ptk (k = 1, 4) ,
которые следуют из условия минимизации гамильтониана (5) по параметрам управления
∂H ∂wk
=0.
Длительность цикла ограничивается сверху величиной ∆tmax — допустимой дискретно-
стью управления процессом, а снизу — ∆tmin — производительностью ЭВМ, осуществляю-
щей вычисления в режиме реального времени.
Результаты расчетов по определению компонентов вектора состояния и управления при
ρ1 = 0,1; ρ2 = 0,7; ρ3 = 0,4; ρ4 = 0,4; ρ5 = 0,1; ρ6 = 0,001; k1 = 0,1; k2 = 0,1; k3 = 0,1; kt f = 2, 0 при-
ведены на рис. 1. Алгоритм позволяет эффективно удовлетворять всем краевым условиям,
наиболее точно — по координатам прихода х3 и углу отклонения подвеса х1.
x1, x2, x3, x4, u
x3
1 x4
0
12
x2 3 x1
4 t, с
u –1
Рис. 1
Более гибкий вариант алгоритма можно получить, предположив возможность управления интенсивностью силового воздействия umах. В этом случае к системе (1) кроме (2) следует добавить уравнение umax = v , где umax = (umax1 umax 2 umax3 umax 4 )T — вектор интенсивностей силовых воздействий (i = 1, 4) , v = (v1 v2 v3 v4 )T — вектор управления величинами umax i .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
62 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
Приведенное решение дает физически оправданное начальное приближение констант интегрирования для краевой задачи. В качестве начальных значений указанных констант для данной задачи можно принять следующие:
p1(0) = C1 = 0,346; p2(0) = C2 = –0,158; p3(0) = C3 = 0,146;
p4(0) = C4 = 0,138.
(8)
Полученное выше время доставки груза tf = 4,04 в назначенную точку используется как начальная оценка оптимального времени для принципа максимума. Решение краевой задачи
методом Ньютона [7], при выбранном таким образом начальном приближении, показывает
приемлемую и достаточно равномерную сходимость к искомому результату за 25 итераций с
нормой невязки ϕ(p(0n) ) = 0, 798 . В результате итерационного процесса получается следую-
щий набор констант интегрирования при tf = 3,879 с: С1 = –0,022 19; С2 = 0,064 49; С3 = –0,233 38; С4 = –0,453 85.
В точке прихода фазовые переменные имеют следующие значения x1 = –0,056; x2 = –0,1564; x3 = 1,780; x4 = 0,0966. Графики изменения управления и фазовых переменных приведены на рис. 2.
x1, x2, x3, x4, u
x3
1 x4
0
x2 x1 1 2 3 t, с
u –1
Рис. 2
Алгоритм с фиксированной программой прогноза движения может служить как основным инструментом для получения оптимального по критерию Красовского управ-
ления перемещением груза, так и вспомогательным — для определения начальных значений сопряженных переменных при решении краевой задачи принципа максимума методом Ньютона.
3. С учетом трудностей, возникающих при попытке удовлетворения всего набора краевых условий задачи с одинаковой точностью, необходимо разделять условия по уровню
значимости. В подобной ситуации эффективной является последовательная оптимизация движения механической системы по иерархии критериев оптимальности на основе использо-
вания прогнозирующей модели. Возможно введение приоритетов точности удовлетворения граничным условиям по разным компонентам вектора состояния и соответственно выработки управления. При решении рассматриваемой задачи применяется упрощенный двухуровневый вариант алгоритма, изложенного в работе [3].
Динамика управляемого процесса описывается системой уравнений для вектора состоя-
ния (1), дополненных уравнением
(x5 x6 )T = u ,
(9)
u = u1 + u2 ,
(10)
где x6 = t f , а управления u1 и u2 минимизируют соответственно следующие целевые функ-
ционалы I1, I2 :
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном
63
tf
∫Ii = V fi (x,t f ) + f0i (x,t)dt ,
t0
V f 1(x,t f
)
=
1 2
ρ3
(
x3
(t
f
)
−
x3 f
)2 ,
Vf
2 (x,t
f
)
=
1 2
ρ1(x1(t f
)
−
x1 f
)2
+
1 2
ρ2
(
x2
(t
f
)
−
x2
f
)2
+
1 2
ρ4 (x4 (t f
)
−
x4 f
)2
+
1 2
ρ5t
2 f
,
где f01(x,t) =0, f02 (x, t) = u2T k 2u2 + u2T0k −2u20 , k =diag(k5 , k6 ) , ρi ( i = 1, 5 ) и k5 , k6 — заданные коэффициенты.
На первом уровне оптимизации итеративным путем из условия минимума критерия I1
подбирается оптимальное начальное значение x5o управляющего фактора x5 , с которым выполняется интегрирование системы (1), (9) при u1 = 0, u2 = 0 на интервале времени [t,t f ] . За-
тем производится вычисление значений сопряженных переменных pi (t f ) по невязкам вы-
полнения краевых условий pi (t f ) = ρi (xi (t f ) − x3 f ) . При найденных граничных значениях
x(t f ) , p(t f ) осуществляется совместное интегрирование систем (1), (9) и сопряженной сис-
темы в обратном времени на интервале [t f ,t] с последующим получением значений p(t) .
Управление 1-го уровня может быть вычислено различными способами. В данном слу-
чае используется упрощенный алгоритм коррекции его начального значения на ближайший
интервал управляемого движения длительностью ∆t
u1
=
(
x5o − ∆t
x5t
0)T,
где x5t = x5 (t) . Вычисление x5 производится любым численным методом итерационным путем
из условия х3 = х3f при некотором начальном оценочном значении времени прихода tf , x5t на
первом шаге решения принимается равным начальному значению x5, а на последующих — получается из решения задачи Коши для уравнения x5 = u , в которой за начальное значение
принимается х5 с предыдущего шага. Импульс, обеспечивающий механической системе быстродействие, получается согласно
соотношению
pt = Hм + ρ6tf,
где ρ6 — весовой коэффициент, Hм = p1x2+p2(–ax1+x5)+p3x4+p4(–cx1+x5) — гамильтониан, соответствующий неуправляемому движению модели.
Управление 2-го уровня имеет вид
u2 = (–k5p5 –k6pt)T.
Таким образом, искомое управление получается как сумма управлений, определяемых
на 1-м и 2-м уровнях.
С управлением, вычисленным согласно (10), производится интегрирование системы (1),
(9) на один шаг ∆t вперед. После этого все описанные процедуры повторяются при уточненном
значении момента конца интервала. Получаемое управление представляет собой кусочно-
постоянную функцию на каждом промежутке времени ∆t. Для сглаживания кривых изменения
скоростей (х2, х4) применяется специальный способ вычисления управляющего фактора х5. Он определяется как среднее арифметическое значений х5, вычисленных для движения на два последовательных шага вперед (при этом первый шаг по траектории проходится виртуально
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
64 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
с управлением, вычисленным согласно описанному выше алгоритму, а для второго управле-
ние только вычисляется, но последующее управляемое перемещение не осуществляется).
С этим значением х5 осуществляется один шаг по траектории управляемого движения. Затем вся процедура повторяется.
Результаты вычислений по указанному алгоритму при ρ1 = 0,1; ρ2 = 0,0; ρ3 = 10; ρ4 = –30; ρ5 = 0,1; ρ6 = 0,001; k5 = 1,0; k6 = 0,001 представлены на рис. 3. Шаг вычислений ∆t = 0,05 c. В точке прихода при tf = 3,85 c зафиксированы следующие значения фазовых переменных: x1 = 0,1097; x2 = –0,0579; x3 = 1,6208; x4 = 0,6907.
x1, x2, x3, x4, u
x3
1 x4
0
x2 x1 1 2 3 4 t, с
u
–1 Рис. 3
В статье исследованы возможности построения оптимального управления тележкой мостового крана с использованием различных методов оптимизации. Показано, что алгоритм управления с заданной программой прогноза движения может служить как основным инструментом для получения оптимального по критерию Красовского управления перемещением груза, так и вспомогательным — для нахождения начальных значений сопряженных переменных при решении краевой задачи принципа максимума для максимального быстродействия методом Ньютона.
Исследования, описанные в настоящей статье, выполнены по гранту Российского фонда фундаментальных исследований № 09-08-008-29.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.
2. Troch I. Parametrisierung – Ein Werkzeug zur Berechnung optimaler Steuerungen // Automatisierungstechnik AT. 1990. Bd 38. N 6. S. 230—236.
3. Кабанов С. А. Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб. Изд-во СПбГУ, 1997. 200 с.
4. Кабанов С. А. Оптимизация динамики систем при действии возмущений. М.: Физматлит, 2008. 200 с.
5. Кабанов Д. С. Оптимальное управление ядерным реактором с учетом случайных возмущений // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 5. С. 27—30.
6. Якушева Д. Б. Решение навигационой задачи Цермело при линейно-вихревой структуре течения // Процессы управления и устойчивость: Тр. 40-й Междунар. науч. конфер. СПб: Издат. дом СПбГУ, 2009. С. 91—96.
7. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.
8. Кабанов С. А., Якушев Б. Э. Использование неклассического критерия оптимальности в задаче управления работой подъемно-транспортного оборудования // Докл. 55-й конф. СПбГАСУ. Ч. I. СПб: Изд-во СПбГАСУ, 1998. С. 63—65.
Сергей Александрович Кабанов
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический
университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, кафедра систем обработки информации и управления; E-mail: kaba-sa@mail.ru
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном
65
Евгений Николаевич Никулин Борис Эдуардович Якушев Дарья Борисовна Якушева
— д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, кафедра средств поражения и боеприпасов; E-mail: enikulin@onixmail.ru
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, кафедра теоретической механики; E-mail: yakushev.spb@mail.ru
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет, кафедра информационных систем; E-mail: dariayakusheva@gmail.com
Рекомендована кафедрой систем обработки информации и управления
Поступила в редакцию 14.12.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5