Например, Бобцов

АНАЛИЗ ТРЕУГОЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР

59
УДК 5:51(076)+62:51(076)

А. Б. БУШУЕВ, С. В. БЫСТРОВ, В. В. ГРИГОРЬЕВ
АНАЛИЗ ТРЕУГОЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Рассматривается проблема системного эффекта структуры из трех элементов, связанных динамическими отношениями.

Ключевые слова: триадная структура, веполь, гомеостат.

Введение. Треугольную структуру образует граф из трех элементов, характеризуемых

связями или отношениями. В различных областях естествознания и техники структура из

трех элементов, или триадная структура, является основой понятийного аппарата, простей-

шей моделью.

В динамической структуре связь между элементами зависит от времени, поэтому тре-

угольная динамическая структура (динамический треугольник) может быть задана системой

трех дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Например, математическая

модель сообщества „производители—продукт—управленцы“ на каче-

ственном уровне описывается системой уравнений [1]

xy

x = f1(x, y, z), y = f2 (x, y, z), z = f3 (x, y, z),

где x — число производителей, y — число управленцев, z — количество

продукта, fi, i=1, 2, 3, — в общем случае нелинейные функции. Граф-схема такой структуры приведена на рис. 1; каждая стрелка

z

на схеме соответствует воздействию переменной, от которой она направлена, на изменение той переменной, к которой она ведет.

Рис. 1

В теории решения изобретательских задач (ТРИЗ) [2] широко используется метод

структурного анализа и синтеза по статическим треугольным структурам. По первым буквам

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6

60 А. Б. Бушуев, С. В. Быстров, В. В. Григорьев

слов „вещество“ и „поле“, образующим вершины графа-треугольника, этот метод называется

вепольным анализом. Однако методы анализа и синтеза по динамическим треугольникам не-

достаточно исследованы. Рассмотрим эту проблему более подробно.

Проектирование треугольных структур. Единицей структурного анализа является

веполь — триада из двух веществ и поля или двух полей и вещества. В отличие от обычного

представления, в ТРИЗ под веществами понимаются любые элементы устройства или техни-

ческой системы, ее функциональные части, или даже целые системы. Поля отражают любое

взаимодействие между веществами. Решение изобретательской задачи представляется как

некоторое преобразование вепольной структуры. В ТРИЗ существуют два основных метода

синтеза треугольных структур: достройка неполной триады до полного треугольника (рис. 2, а)

и разрушение прежней треугольной структуры и постройка новой (рис. 2, б). Этот метод син-

теза может быть назван дискретным, так как осуществляется по шагам. Например, в задаче на

разрушение (см. рис. 2, б) первым шагом является разрушение связи между веществами В1 и

В2, вторым шагом — поиск нового вещества В3, третьим шагом — замыкание веполя до

полного треугольника. В некоторых задачах может быть еще один шаг между первым и вто-

рым — поиск нового поля П.

а) П

П

б) П

П

В1 В1 В2

В1 В2 В1 В3(В2)

Рис. 2
При дискретном синтезе треугольных структур вещества и поля появляются или исчезают, но их свойства не изменяются. Для учета инерционных свойств мышления при поиске веществ или полей, разрушении или достройке треугольника введем понятие динамического поля и динамического вещества.
Будем считать динамическим веществом или полем такое вещество или поле, свойство
u1(t) которого развивается во времени по так называемой S-кривой развития [3]. Кривую раз-
вития аппроксимируем логистической кривой Ферхюльста — Перла:

u1 = a1u12 + b1u1,

(1)

где a1 и b1 — коэффициенты генерации новых идей и забывания прежних.
Треугольная структура содержит три элемента, следовательно, для двух других элементов получаем аналогичные уравнения:

u2 = a2u22 + b2u2 , u3 = a3u32 + b3u3.

(2)

Таким образом, система уравнений (1), (2) задает эволюцию координат u1, u2 , u3 тре-
угольника во времени. При синтезе треугольника элементы структуры привносят в нее свои свойства. В общем
случае возникающее системное свойство не сводится к сумме свойств элементов. Рассмотрим механизм преобразования свойств элементов в свойство структуры, т.е. появление системного эффекта. Для этого необходимо уравнения (1) и (2) объединить.
Элементы в одной структуре могут действовать как согласованно друг с другом, так и антагонистично. Действительно, процесс разрушения веполя обусловлен вредными связями между веществами и полями, а процесс достройки структуры до полного веполя осуществляется полезными связями. Возникает вопрос, как эту ситуацию отразить математически. Ответ может подсказать дискретный вепольный анализ. Например, самое сильное изобретательское решение получается при достройке неполного веполя (см. рис. 2, а), когда в качестве второго

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6

Анализ треугольных динамических структур

61

вещества В2 выбирается уже имеющееся в структуре вещество В1, т.е. принимается решение

выбрать В2=В1. Это связано с тем, что для решения задачи не привлекаются внесистемные

ресурсы, решение получается близким к идеальному. Так как элементы выбираются одинако-

выми, следовательно, они будут иметь и одинаковые свойства. Поэтому при объединении

элементов в треугольник первоначально будем считать, что в уравнениях (1) и (2) можно

принять условие

u1 = u2 = u3.

(3)

Распад структуры происходит на максимальном обострении противоречий, когда свой-

ства элементов строго противоположны. Следовательно, для этой ситуации можно принять

условия, что

u1 = −u2 , u2 = −u3 , u3 = −u1.

(4)

Так как эти условия противоречат друг другу, то для их выполнения необходимо нарушить одно из условий, т.е. использовать уравнение (3): например, считать, что

или

u1 = −u2 , u1 = u2 ,

u2 = −u3 , u2 = −u3 ,

uu3 3==−uu11,, ⎫⎪⎬

или u1 = −u2 , u2 = u3 , u3 = −u1.⎭⎪

(5)

Чтобы выполнялись условия (3)—(5), для коэффициентов уравнений (1), (2) должны соблюдаться условия

a1 = a2 = a3 и b1 = b2 = b3 ,

и коэффициенты должны иметь соответствующие математические знаки. В зависимости от набора знаков элементам структуры могут быть присущи различные стереотипы поведения, например согласие, компромисс, конкуренция и т.п. [4].
Для структурного синтеза дифференциальных уравнений и получения инварианта ди-
намического треугольника будем считать, что знаки и величины коэффициентов ai , bi могут
любыми. При этом структура уравнений (1), (2) сохраняется, а структурный синтез заключа-
ется в обмене координатами u1, u2 , u3 в уравнениях (1) и (2). Обмен координатами можно
осуществлять по-разному. Так как динамический треугольник должен отражать соединение и распад, единство и борьбу элементов структуры, то для „склеивания“ элементов используем механизм компенсационного гомеостата [4].
В моделях изобретательских задач [3] компенсационный гомеостат образуется двумя противоположными свойствами x и y технического противоречия. В результате разрешения противоречия формируется новое решение задачи, определяемое координатой z. Гомеостат является двухуровневым: на первом уровне находятся две координаты x и y, на втором уровне — одна координата z. За единство координат x и y и передачу наследственной информации координате z отвечает произведение xy, так как в теории популяций это произведение пропорционально числу попарных встреч особей разного пола. Взаимодействие координат отра-
жают слагаемые типа b1x и b2 y, входящие в правую часть дифференциальных уравнений,
задающих эволюцию координат y и x соответственно, поскольку определяют вынужденное движение одной координаты от другой.
Используем этот же подход для динамического треугольника. Однако необходимо учитывать то, что в динамическом треугольнике все три координаты считаются равнозначными:
единство координат u1u2 производит координату u3 , единство координат u1u3 производит
координатуu2 , а единство координат u2u3 производит координату u1.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6

62 А. Б. Бушуев, С. В. Быстров, В. В. Григорьев

Для получения единства в правой части уравнений (1), (2) с учетом условий (3)—(5) произведем замену координат. Тогда получим

u1 u2

= =

a1u2u3 a2u1u3

+ +

bb12uu12;,⎫⎬⎪

u3 = a3u1u2 + b3u3. ⎭⎪

(6)

Для обеспечения взаимодействия между координатами треугольника введем вынужденное движение. Например, первое уравнение системы (6) можно записать в виде

u1

=

a1u2u3

+

b1 3

u1

+

b1 3

u1

+

b1 3

u1

.

(7)

Уравнение (7), с учетом произвольности коэффициентов и условий (3)—(5), может быть

преобразовано к следующему виду:

u1 = a1u2u3 + b1u1 + c1u2 + d1u3 ,

где b1 = c1 = d1 = b1 3 .

Аналогично можно записать уравнение для любой координаты треугольника или систе-

му уравнений треугольника в целом:

3
∑ui = qi, jui + ai Ni , i =1, 2, 3, j=1

(8)

где qi,j — элементы матрицы

⎡b1 c1 d1 ⎤

Q = ⎣⎡qi, j ⎤⎦ = ⎢⎢b2

c2

d2

⎥ ⎥

,

⎢⎣b3 c3 d3 ⎥⎦

(9)

а N1 = u2u3 , N2 = u1u3 , N3 = u1u2.

Анализ треугольных динамических структур. Рассмотрим примеры анализа динами-

ческого треугольника с точки зрения проявляемых им стереотипов поведения при включении

или исключении тех или иных связей. Такой подход характерен для гомеостатики [4].

Пример 1. Исследуем симметричный динамический треугольник, имеющий только соб-

ственные движения и нелинейные связи в виде произведения координат. В этом случае мат-

рица Q (9) будет равна

Q = ⎣⎡qi, j ⎤⎦ = ⎢⎢⎢⎣⎡⎢b00

0 b 0

b00⎥⎤⎥⎥⎦⎥ ,

а все коэффициенты ai = a . Структура треугольника для этой ситуации приведена на рис. 3, а.

Приравнивая нулю правые части уравнений (8) и решая полученную систему уравнений

относительно неизвестных координат, находим матрицу стационарных решений

⎡⎢0 ⎢ S = ⎢0 ⎢ ⎣⎢⎢0

−b a b a b a

b a b a −b a

b a −b a b a

−b⎤

a −b a −b

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

,

a ⎦⎥

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6

Анализ треугольных динамических структур

63

по столбцам которой определяются пять векторов координат стационарных точек. Для опре-

⎡ b au3 au2 ⎤

деления характера стационарных точек находим якобиан системы (8) J = ⎢⎢au3

b

au1

⎥ ⎥

,

⎣⎢au2 au1 b ⎥⎦

а также его собственные числа. Для первого, нулевого, вектора координат стационарных то-

чек имеем один корень третьей кратности, равный p1 = b . Выбирая b