КОМПОЗИЦИОННЫЕ КОДОВЫЕ ШКАЛЫ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ПРОГРАММНО-АППАРАТНЫЕ СРЕДСТВА ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
УДК 621.3.085.42
А. А. ОЖИГАНОВ
КОМПОЗИЦИОННЫЕ КОДОВЫЕ ШКАЛЫ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Рассматривается метод построения линейных композиционных кодовых шкал с одной информационной кодовой дорожкой. Приведен пример построения шкалы на основе предложенного метода.
Ключевые слова: композиционная последовательность, кодовая шкала, линейная композиционная кодовая шкала, считывающие элементы.
Введение. Цифровые преобразователи линейного перемещения (ЦПЛП) используются для обеспечения информационной связи по положению между позиционируемым объектом и устройством числового программного управления или устройством цифровой индикации. Наиболее перспективны ЦПЛП с непосредственным преобразованием перемещения в код на основе пространственного кодирования, основным элементом которых является кодовая шкала. В настоящее время в ЦПЛП широко применяются шкалы, кодовая маска которых выполнена в обыкновенном двоичном коде или коде Грея. Такие кодовые шкалы сложны в изготовлении, так как число их информационных дорожек обычно равно разрядности преобразователей. Поэтому масса и габариты преобразователей с увеличением их разрядности также возрастают [1].
В работах [2—4] рассмотрены псевдослучайные кодовые шкалы, используемые в качестве кодированного элемента ЦПЛП и имеющие всего одну или несколько (2—4) информационных кодовых дорожек (КД). Рассмотрим теоретические основы и метод построения однодорожечных линейных композиционных кодовых шкал (ЛККШ), обладающих всеми достоинствами псевдослучайных, но с более широким спектром разрешающей способности.
Теоретические основы построения линейных композиционных кодовых шкал. В цифровых преобразователях угла (ЦПУ), построенных по методу считывания, в качестве кодированного элемента используются [5] однодорожечные композиционные кодовые шкалы (ККШ). Особенностью таких шкал является то, что кодовая маска дорожки выполняется в соответствии с символами композиционной двоичной последовательности p-го порядка (Kp-последовательности).
Для получения Kp-последовательности {Ai} используется полином
p
H (x) = ∏ hk (x) k =1 p
степени N = ∑ mk с коэффициентами поля Галуа GF(2), где k =1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 10
70 А. А. Ожиганов
∑hk (x) = mk hj (x j ) j=0
— примитивный полином степени mk с параметрами h0 = hmk = 1, hj={0,1} при 0 < j < mk [6].
Символы Kp-последовательности AN+i генерируются в соответствии с рекуррентным выражением:
N −1
AN +i
=
⊕
j=0
Ai+
j
H
j
,
i = 0, 1, 2, ..., R − N −1,
(1)
где знак ⊕ означает суммирование по модулю два. Начальные значения символов Kpпоследовательности А0А1…АN–1 выбираются с учетом того, что наибольший общий делитель (НОД) [ti(x),H(x)]=1,
∑ti (x) = N −1 Ai+ j x j , i = 0,1, 2,..., R −1. j=0
Период R Kp-последовательности зависит от степеней полиномов hk(x) и от полинома
начальных значений символов Kp-последовательности ti(x). Если все mk (справедливо для mk <
34 [7]) представляют собой взаимно простые числа, а НОД [ti(x),H(x)]=1, то
p
R = ∏ Lk ,
(2)
k =1
где Lk = 2mk −1.
При построении ККШ символы Kp-последовательности отображаются на КД по ходу часовой стрелки в последовательности А0А1…АR–1, что позволяет получить разрешающую способность ЦПУ на основе таких шкал δ = 360o/R.
Kp-последовательности относятся к классу циклических кодов, следовательно, можно через циклические сдвиги последовательности задать порядок размещения на шкале N счи-
тывающих элементов (СЭ). Иными словами, n-му СЭ (n = 1, 2, ..., N) ставится в соответствие
In-й циклический сдвиг Kp-последовательности. Тогда полином, определяющий порядок размещения N СЭ на ККШ, имеет вид
N
∑r(x) = xIn ,
(3)
n=1
где In ∈{0, 1, ..., R–1}. При I1=0, согласно (3), второй, третий,..., N-й СЭ будут смещены (по ходу часовой стрелки) относительно первого СЭ на I2, I3,...,IN квантов шкалы соответственно.
Для заданной разрешающей способности необходимо получить с N СЭ при полном обороте шкалы R различных N-разрядных кодовых комбинаций. Это обеспечивается путем решения задачи размещения на ККШ СЭ, которая сводится к нахождению подходящего линейно независимого множества из N циклических сдвигов Kp-последовательности [8].
Рассмотрим построение N-разрядной линейной ККШ с разрешающей способностью δл=D/R, где D — контролируемое перемещение.
Для синтеза ЛККШ получим последовательность {Ai*} , воспользовавшись рекуррент-
ным соотношением (1) и предположив, что размещение СЭ на ЛККШ корректно и задается полиномом (3).
Очевидно, что последовательность {Ai*} включает в себя последовательность {Ai}, а
также некоторые дополнительные символы, число которых зависит от особенностей размещения на ЛККШ СЭ.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 10
Композиционные кодовые шкалы для преобразователей линейных перемещений
71
Определим разность номеров циклических сдвигов Kp-последовательности, соответствующих случаю размещения на шкале двух соседних СЭ, как di = jm – jm–1 (i=1, 2, ..., N–1, m=2, 3, ..., N).
Тогда для получения последовательности {Ai*} рекуррентное соотношение (1), при за-
данных начальных значениях символов, необходимо применить q раз:
N −1
q = R − N + ∑ di . i=1
(4)
С учетом того, что
N −1
∑ di = d1 + " + di + " + dN −1 = ( j2 − j1 ) + " + ( jm − jm−1 ) + " + ( jN − jN −1 ) = jN ( j1 = 0) ,
i=1
соотношение (4) в итоге принимает вид
q = R − N + jN .
(5)
Общее число символов последовательности {Ai*} с учетом N задаваемых начальных
значений может быть найдено из соотношения
Q = R + jN .
(6)
Метод построения линейных композиционных кодовых шкал для преобразователей линейных перемещений включает следующие этапы.
1. В зависимости от требуемой разрядности N и разрешающей способности δл шкалы с использованием примитивных полиномов h(x) формируется полином H(x).
2. С учетом требований к размещению на шкале СЭ формируется полином размещения r(x).
3. С использованием рекуррентного соотношения (1), с учетом (5) и (6), получается по-
следовательность {Ai*} , i=0, 1, …, Q–1.
4. Элементарные участки (кванты) шкалы выполняются в соответствии с двоичной по-
следовательностью {Ai*} . Символы последовательности {Ai*} отображаются на информаци-
онной кодовой дорожке слева направо: A0 A1 … AQ–1. 5. Считывающие элементы размещаются вдоль КД линейной ККШ в соответствии с по-
линомом r(x). Пример линейной композиционной кодовой шкалы. На рисунке приведена
пятиразрядная ЛККШ, СЭ размещены в соответствии с полиномом r(x) = 1 + x + x3 + x6 + x10 .
δл
Информационная дорожка шкалы длиной Q=31 выполнена в соответствии с последовательностью {Ai*} =A0A1…A30=0000111110101001100010000111110. При построении использован полином H (x) = h1(x)h2 (x) = (x2 + x + 1)(x3 + x + 1) = x5 + x4 + 1, а символы A5+i последовательности {Ai*} при начальных значениях A0=A1=A2=A3=0, A4=1 удовлетворяют рекуррентному выражению A5+i = A4+i ⊕ Ai (i = 0, 1, ..., 25).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 10
72 А. А. Ожиганов
При перемещении шкалы на один элементарный участок, например справа налево, на
выходах считывающих элементов СЭ1, СЭ2, СЭ3, СЭ4 и СЭ5 формируются пятиразрядные кодовые комбинации, соответствующие двадцати одному варианту перемещений ЛККШ (см.
таблицу).
Последовательность кодовых комбинаций ЛККШ
№ положения ЛККШ
СЭ1
СЭ2
СЭ3
СЭ4
СЭ5
Десятичный эквивалент кода
0 00011
3
1 00110
6
2 00111
7
3 01100
12
4 11110
30
5 11101
29
6 11011
27
7 11100
28
8 10000
16
9 01110
14
10 1 0 0 1 1
19
11 0 1 0 0 0
8
12 1 0 1 0 0
20
13 0 0 1 0 0
4
14 0 1 0 1 0
10
15 1 1 0 0 1
25
16 1 0 0 0 1
17
17 0 0 1 0 1
5
18 0 0 0 0 1
1
19 0 1 0 1 1
11
20 1 0 0 1 0
18
Заключение. Рассмотренные однодорожечные ЛККШ могут использоваться в качестве кодированного элемента в преобразователях линейного перемещения, построенных по методу считывания. При одинаковой разрядности разрешающая способность ЛККШ ниже разрешающей способности псевдослучайных и классических кодовых шкал, маска которых выполнена в обыкновенном двоичном коде или в коде Грея. Однако Kp-последовательности, используемые при получении кодовой маски шкалы, позволяют в пределах одной разрядности реализовать ЛККШ с более широким диапазоном разрешающей способности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Преснухин Л. Н., Майоров С. А., Меськин И. В., Шаньгин В. Ф. Фотоэлектрические преобразователи информации. М.: Машиностроение, 1974. 375 с.
2. Ожиганов А. А. Псевдослучайные кодовые шкалы для преобразователей линейных перемещений // Изв. вузов. Приборостроение. 1995. Т. 38, № 11—12. С. 37—39.
3. Ожиганов А. А., Жуань Чжипэн. Использование псевдослучайных последовательностей при построении кодовых шкал для преобразователей линейных перемещений // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51, № 7. С. 28—33.
4. Ожиганов А. А., Жуань Чжипэн. Критерий выбора длины линейной псевдослучайной кодовой шкалы // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 5. С. 30—35.
5. Ожиганов А. А., Тарасюк М. В. Композиционные кодовые шкалы // Изв. вузов. Приборостроение. 1994. Т. 37, № 5—6. С. 26—29.
6. Макуильямс Ф. Д., Слоан Н. Д. Псевдослучайные последовательности и таблицы // ТИИЭР. 1976. Т. 64, № 12. С. 80—95.
7. Яковлев В. В., Федоров Р. Ф. Стохастические вычислительные машины. Л.: Машиностроение, 1974. 344 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 10
Проектирование приборных контроллеров
73
8. Ожиганов А. А., Тарасюк М. В. Размещение считывающих элементов на композиционной кодовой шкале // Изв. вузов. Приборостроение. 1997. Т. 40, № 1. С. 42—47.
Сведения об авторе Александр Аркадьевич Ожиганов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра вычислительной техники; E-mail: ojiganov@mail.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой вычислительной техники
Поступила в редакцию 08.02.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 10
УДК 621.3.085.42
А. А. ОЖИГАНОВ
КОМПОЗИЦИОННЫЕ КОДОВЫЕ ШКАЛЫ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Рассматривается метод построения линейных композиционных кодовых шкал с одной информационной кодовой дорожкой. Приведен пример построения шкалы на основе предложенного метода.
Ключевые слова: композиционная последовательность, кодовая шкала, линейная композиционная кодовая шкала, считывающие элементы.
Введение. Цифровые преобразователи линейного перемещения (ЦПЛП) используются для обеспечения информационной связи по положению между позиционируемым объектом и устройством числового программного управления или устройством цифровой индикации. Наиболее перспективны ЦПЛП с непосредственным преобразованием перемещения в код на основе пространственного кодирования, основным элементом которых является кодовая шкала. В настоящее время в ЦПЛП широко применяются шкалы, кодовая маска которых выполнена в обыкновенном двоичном коде или коде Грея. Такие кодовые шкалы сложны в изготовлении, так как число их информационных дорожек обычно равно разрядности преобразователей. Поэтому масса и габариты преобразователей с увеличением их разрядности также возрастают [1].
В работах [2—4] рассмотрены псевдослучайные кодовые шкалы, используемые в качестве кодированного элемента ЦПЛП и имеющие всего одну или несколько (2—4) информационных кодовых дорожек (КД). Рассмотрим теоретические основы и метод построения однодорожечных линейных композиционных кодовых шкал (ЛККШ), обладающих всеми достоинствами псевдослучайных, но с более широким спектром разрешающей способности.
Теоретические основы построения линейных композиционных кодовых шкал. В цифровых преобразователях угла (ЦПУ), построенных по методу считывания, в качестве кодированного элемента используются [5] однодорожечные композиционные кодовые шкалы (ККШ). Особенностью таких шкал является то, что кодовая маска дорожки выполняется в соответствии с символами композиционной двоичной последовательности p-го порядка (Kp-последовательности).
Для получения Kp-последовательности {Ai} используется полином
p
H (x) = ∏ hk (x) k =1 p
степени N = ∑ mk с коэффициентами поля Галуа GF(2), где k =1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 10
70 А. А. Ожиганов
∑hk (x) = mk hj (x j ) j=0
— примитивный полином степени mk с параметрами h0 = hmk = 1, hj={0,1} при 0 < j < mk [6].
Символы Kp-последовательности AN+i генерируются в соответствии с рекуррентным выражением:
N −1
AN +i
=
⊕
j=0
Ai+
j
H
j
,
i = 0, 1, 2, ..., R − N −1,
(1)
где знак ⊕ означает суммирование по модулю два. Начальные значения символов Kpпоследовательности А0А1…АN–1 выбираются с учетом того, что наибольший общий делитель (НОД) [ti(x),H(x)]=1,
∑ti (x) = N −1 Ai+ j x j , i = 0,1, 2,..., R −1. j=0
Период R Kp-последовательности зависит от степеней полиномов hk(x) и от полинома
начальных значений символов Kp-последовательности ti(x). Если все mk (справедливо для mk <
34 [7]) представляют собой взаимно простые числа, а НОД [ti(x),H(x)]=1, то
p
R = ∏ Lk ,
(2)
k =1
где Lk = 2mk −1.
При построении ККШ символы Kp-последовательности отображаются на КД по ходу часовой стрелки в последовательности А0А1…АR–1, что позволяет получить разрешающую способность ЦПУ на основе таких шкал δ = 360o/R.
Kp-последовательности относятся к классу циклических кодов, следовательно, можно через циклические сдвиги последовательности задать порядок размещения на шкале N счи-
тывающих элементов (СЭ). Иными словами, n-му СЭ (n = 1, 2, ..., N) ставится в соответствие
In-й циклический сдвиг Kp-последовательности. Тогда полином, определяющий порядок размещения N СЭ на ККШ, имеет вид
N
∑r(x) = xIn ,
(3)
n=1
где In ∈{0, 1, ..., R–1}. При I1=0, согласно (3), второй, третий,..., N-й СЭ будут смещены (по ходу часовой стрелки) относительно первого СЭ на I2, I3,...,IN квантов шкалы соответственно.
Для заданной разрешающей способности необходимо получить с N СЭ при полном обороте шкалы R различных N-разрядных кодовых комбинаций. Это обеспечивается путем решения задачи размещения на ККШ СЭ, которая сводится к нахождению подходящего линейно независимого множества из N циклических сдвигов Kp-последовательности [8].
Рассмотрим построение N-разрядной линейной ККШ с разрешающей способностью δл=D/R, где D — контролируемое перемещение.
Для синтеза ЛККШ получим последовательность {Ai*} , воспользовавшись рекуррент-
ным соотношением (1) и предположив, что размещение СЭ на ЛККШ корректно и задается полиномом (3).
Очевидно, что последовательность {Ai*} включает в себя последовательность {Ai}, а
также некоторые дополнительные символы, число которых зависит от особенностей размещения на ЛККШ СЭ.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 10
Композиционные кодовые шкалы для преобразователей линейных перемещений
71
Определим разность номеров циклических сдвигов Kp-последовательности, соответствующих случаю размещения на шкале двух соседних СЭ, как di = jm – jm–1 (i=1, 2, ..., N–1, m=2, 3, ..., N).
Тогда для получения последовательности {Ai*} рекуррентное соотношение (1), при за-
данных начальных значениях символов, необходимо применить q раз:
N −1
q = R − N + ∑ di . i=1
(4)
С учетом того, что
N −1
∑ di = d1 + " + di + " + dN −1 = ( j2 − j1 ) + " + ( jm − jm−1 ) + " + ( jN − jN −1 ) = jN ( j1 = 0) ,
i=1
соотношение (4) в итоге принимает вид
q = R − N + jN .
(5)
Общее число символов последовательности {Ai*} с учетом N задаваемых начальных
значений может быть найдено из соотношения
Q = R + jN .
(6)
Метод построения линейных композиционных кодовых шкал для преобразователей линейных перемещений включает следующие этапы.
1. В зависимости от требуемой разрядности N и разрешающей способности δл шкалы с использованием примитивных полиномов h(x) формируется полином H(x).
2. С учетом требований к размещению на шкале СЭ формируется полином размещения r(x).
3. С использованием рекуррентного соотношения (1), с учетом (5) и (6), получается по-
следовательность {Ai*} , i=0, 1, …, Q–1.
4. Элементарные участки (кванты) шкалы выполняются в соответствии с двоичной по-
следовательностью {Ai*} . Символы последовательности {Ai*} отображаются на информаци-
онной кодовой дорожке слева направо: A0 A1 … AQ–1. 5. Считывающие элементы размещаются вдоль КД линейной ККШ в соответствии с по-
линомом r(x). Пример линейной композиционной кодовой шкалы. На рисунке приведена
пятиразрядная ЛККШ, СЭ размещены в соответствии с полиномом r(x) = 1 + x + x3 + x6 + x10 .
δл
Информационная дорожка шкалы длиной Q=31 выполнена в соответствии с последовательностью {Ai*} =A0A1…A30=0000111110101001100010000111110. При построении использован полином H (x) = h1(x)h2 (x) = (x2 + x + 1)(x3 + x + 1) = x5 + x4 + 1, а символы A5+i последовательности {Ai*} при начальных значениях A0=A1=A2=A3=0, A4=1 удовлетворяют рекуррентному выражению A5+i = A4+i ⊕ Ai (i = 0, 1, ..., 25).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 10
72 А. А. Ожиганов
При перемещении шкалы на один элементарный участок, например справа налево, на
выходах считывающих элементов СЭ1, СЭ2, СЭ3, СЭ4 и СЭ5 формируются пятиразрядные кодовые комбинации, соответствующие двадцати одному варианту перемещений ЛККШ (см.
таблицу).
Последовательность кодовых комбинаций ЛККШ
№ положения ЛККШ
СЭ1
СЭ2
СЭ3
СЭ4
СЭ5
Десятичный эквивалент кода
0 00011
3
1 00110
6
2 00111
7
3 01100
12
4 11110
30
5 11101
29
6 11011
27
7 11100
28
8 10000
16
9 01110
14
10 1 0 0 1 1
19
11 0 1 0 0 0
8
12 1 0 1 0 0
20
13 0 0 1 0 0
4
14 0 1 0 1 0
10
15 1 1 0 0 1
25
16 1 0 0 0 1
17
17 0 0 1 0 1
5
18 0 0 0 0 1
1
19 0 1 0 1 1
11
20 1 0 0 1 0
18
Заключение. Рассмотренные однодорожечные ЛККШ могут использоваться в качестве кодированного элемента в преобразователях линейного перемещения, построенных по методу считывания. При одинаковой разрядности разрешающая способность ЛККШ ниже разрешающей способности псевдослучайных и классических кодовых шкал, маска которых выполнена в обыкновенном двоичном коде или в коде Грея. Однако Kp-последовательности, используемые при получении кодовой маски шкалы, позволяют в пределах одной разрядности реализовать ЛККШ с более широким диапазоном разрешающей способности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Преснухин Л. Н., Майоров С. А., Меськин И. В., Шаньгин В. Ф. Фотоэлектрические преобразователи информации. М.: Машиностроение, 1974. 375 с.
2. Ожиганов А. А. Псевдослучайные кодовые шкалы для преобразователей линейных перемещений // Изв. вузов. Приборостроение. 1995. Т. 38, № 11—12. С. 37—39.
3. Ожиганов А. А., Жуань Чжипэн. Использование псевдослучайных последовательностей при построении кодовых шкал для преобразователей линейных перемещений // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51, № 7. С. 28—33.
4. Ожиганов А. А., Жуань Чжипэн. Критерий выбора длины линейной псевдослучайной кодовой шкалы // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 5. С. 30—35.
5. Ожиганов А. А., Тарасюк М. В. Композиционные кодовые шкалы // Изв. вузов. Приборостроение. 1994. Т. 37, № 5—6. С. 26—29.
6. Макуильямс Ф. Д., Слоан Н. Д. Псевдослучайные последовательности и таблицы // ТИИЭР. 1976. Т. 64, № 12. С. 80—95.
7. Яковлев В. В., Федоров Р. Ф. Стохастические вычислительные машины. Л.: Машиностроение, 1974. 344 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 10
Проектирование приборных контроллеров
73
8. Ожиганов А. А., Тарасюк М. В. Размещение считывающих элементов на композиционной кодовой шкале // Изв. вузов. Приборостроение. 1997. Т. 40, № 1. С. 42—47.
Сведения об авторе Александр Аркадьевич Ожиганов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра вычислительной техники; E-mail: ojiganov@mail.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой вычислительной техники
Поступила в редакцию 08.02.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 10