ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРВОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ УРОВНЕЙ ГАУССОВЫМИ МАРКОВСКИМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ
Оценка вероятности первого пересечения уровней
15
УДК 519.2
Н. В. ГИРИНА
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРВОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ УРОВНЕЙ ГАУССОВЫМИ МАРКОВСКИМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ
Оцениваются вероятности времени первого пересечения постоянного и переменного уровней гауссовыми марковскими последовательностями конечного порядка с использованием геометрического и обобщенного геометрического распределений.
Ключевые слова: вероятность времени первого пересечения, постоянный и переменный уровни, гауссова марковская последовательность.
Одно из приложений задачи о пересечении случайным процессом неслучайного уровня — измерение интервалов между импульсными сигналами, оцениваемых разностью моментов пересечения заданных уровней фронтами сигналов. Решение этой задачи
базируется на плотности распределения времени tu первого пересечения уровня u (t )
(фронта сигнала) случайным процессом x (t ) , описывающим шумовую составляющую.
Пересечениям посвящено множество отечественных публикаций (см., например, [1—3]). Общее решение на базе теории рядов Райса [4] трудно реализовать в инженерной
практике. При условии дифференцируемости процесса x (t ) удается определить матема-
тическое ожидание и дисперсию времени tu [1, 2, 5], дифференцируемость уровня u (t )
позволяет рассчитать плотность f (tu ) для x (t ) -гауссова марковского процесса первого
порядка [6].
Оценить плотность f (tu ) более простыми методами можно в пространстве дискретно-
го времени посредством перехода к последовательностям X, U . Некоторые вопросы приме-
нения марковских моделей гауссовых последовательностей [7] к пересечению постоянных уровней рассмотрены в работе [8]. Цель настоящей статьи — распространить методику оцен-
ки плотности f (tu ) на переменные уровни с использованием марковских моделей и геомет-
рического распределения.
Пусть последовательности X, U формируются на временном отрезке [0,T ] путем дис-
кретизации процессов x (t ) , u (t ) с интервалом ∆ . Если начальные значения x0 < U0 , первое
пересечение возможно снизу вверх. Первое пересечение может произойти на k-м интервале дискретизации с вероятностью
f
(tk
)
=
p ⎪⎧⎨( xk
>
uk
k −1
)∩ ∩ (xi
< ui )⎪⎫⎬ ,
k
= 1,
2, ...
⎩⎪ i=0 ⎪⎭
(1)
Если принять ∆ = 1, а время tu первого пересечения фиксировать как номер k первого
выполнения неравенства xi > ui , i = 0, 1, ..., k −1 , то совокупность значений f (tk ) задает
плотность распределения дискретного времени первого пересечения. Если последовательность X не коррелирована (дискретный белый шум), вероятности
(1) рассчитываются как произведения:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
16 Н. В. Гирина
k −1
f (tk ) = pk ∏(1− pi ) , pi = p ( xi > ui ) . i=0
(2)
В случае коррелированой последовательности непосредственный расчет вероятностей (1) проблематичен даже для гауссовых последовательностей.
Пересечение постоянного уровня. Время первого пересечения постоянного уровня U = u дискретным белым шумом распределено по геометрическому закону [9]
f (tk ) = (1 − p0 )k p0 , p0 = p{x > u} = 1 − Φ (u / σ) ,
(3)
соответствующему произведению (2) при pi = p0 , здесь Φ (λ) — интеграл вероятности.
Выражение для плотности (3) можно обобщить на слабокоррелированные марковские последовательности конечного порядка n [8], задаваемые условием τ0 u} = 1 − Φ (u / σ) ,
u u∞
pk = ∫ ... ∫ ∫ f ( x0 ,..., xk )dx0...dxk , k = 1, ..., n −1. −∞ −∞ u
(4)
При k ≥ n нормированные значения геометрической плотности [8]
fˆ
(tk
)
≈
pk
(1 −
P)
=
(1 −
P)
pn
(1 −
pn )k−n
,
P
=
n−1
∑ pi
,
i=0
(5)
описывают время первого пересечения уровня u .
Пример 1. Процесс x (t ) ∈ N (0, R (τ)) на временном отрезке [0,30] дискретизируется с
интервалом ∆ = 0,5 ; функция корреляции (рис. 1, а, кривая 1) определяется как
R(τ)
=
exp (−ατ) ⎣⎢⎡cos (βτ) +
α β
sin (βτ)⎥⎦⎤
,
α
=
1/
4,
β
=
π/2.
Аппроксимация процесса x (t ) марковской последовательностью n -го порядка базируется
на приведении матрицы точности к 2n + 1-диагональному виду [7]. Функция корреляции аппроксимирующей последовательности X порядка n = 5 показана на рис. 1, а, кривая 2 (марковский процесс менее инерционен); на рис. 1, б приведена гистограмма времени первого пересечения уровня u = 1 исходным процессом ( N = 5000 траекторий) и марковской последовательностью X (пунктир).
Вероятности (4) получены статистическим моделированием пересечений последовательностью X ; для уровня u = 1 в одном из экспериментов они приняли следующие значе-
ния: p0 = 0,1618 , p1 = 0, 0702 , p2 = 0, 0786 , p3 = 0, 0730 , p4 = 0, 0700 , p5 = 0, 0588 , из чего
следует, что в результате расчета вероятностей (5) pn = 0, 0588 , 1 − P = 0, 5464 . На рис. 1, в, г приведены гистограммы времени первого пересечения уровней u = 1
и u = 2 исходным процессом и оценки вероятностей (5), показанные пунктирными линиями.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
а) R 1
0,5
0
–0,5 0
в) h, p 0,4
Оценка вероятности первого пересечения уровней
1
2 10 20 u=1
б) h 0,4
0,2 τ
Х
u=1
30 0 г) h, p
0,1
10 20 u=2
30 t
0,2 0,05
17
0 10 20 30 t 0 10 20 30 t Рис. 1
Пересечение переменного уровня. Формула (1) по сути обобщает геометрическое распределение: если вероятности pi наступления события в независимых экспериментах различны, вероятность первого его наступления в k -м эксперименте равна
k −1
Pk = pk ∏(1 − pi ) , k = 1, 2,... i=1
Вероятность пересечения уровня U сверху вниз гауссовой последовательностью X с
нулевым средним на i -м интервале определяется как
∫pi =
1 2π
ui −∞
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
x2 2σ2
⎟⎟⎞⎠dx
=
Φ
⎛ ⎜⎝
ui σ
⎞ ⎟⎠
,
где σ — среднее квадратическое отклонение.
Если пересекающий процесс аппроксимировать марковской последовательностью n -го
порядка, обобщенное геометрическое распределение можно упростить: первые n + 1 вероят-
ностей Pk описываются интегралом (4), а вероятности первого пересечения в последующих
интервалах — выражением
k −1
Pk ≈ pk ∏ (1 − pi ) , k ≥ n + 2 . i=k−n
(6)
При этом расчет вероятностей по формуле (6) позволяет обеспечить сохранение произведения n сомножителей, что сокращает объем вычислений.
Пример 2. На рис. 2, а показан график (уровень) u (t ) = 8Φ (t −1,5) − 4 , имитирующий
передний фронт импульсного сигнала, пересекаемый сверху вниз траекториями процесса
x (t ) ∈ N (0, R (τ)) при R (τ) = exp (−α τ ) ⎡⎣cos (βτ) + α / β sin (β τ )⎤⎦ , α = 3 / 2 , β = π . Процесс
x (t ) дискретизируется с интервалом ∆ = 0, 2 и аппроксимируется марковской последова-
тельностью шестого порядка.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
18
а) U, X 3 2 1 0
–1 –2 –3
Н. В. Гирина
б) h, p 1,2
1
0,8 t
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3t
0 1 2 3t
Рис. 2
Первые семь вероятностей Pk пересечения траекторий и заданного уровня получены
статистическим моделированием по выборке N = 10 000 траекторий. Следующие вероятно-
сти рассчитаны по формуле (6). По этой же выборке рассчитана гистограмма времени первого
пересечения, показанная на рис. 2, б.
Метод аппроксимации стационарного гауссова процесса марковской последователь-
ностью конечного порядка, предложенный в настоящей статье, может быть использован в
инженерной практике оценивания времени прихода импульсных сигналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Свешников А. А. Прикладные методы случайных функций. Л.: Судпромгиз, 1961. 252 с.
2. Тихонов В. И., Хименко В. И. Проблема пересечений уровней случайными процессами. Радиофизические приложения // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43, № 5. С. 501—523.
3. Семаков С. Л. Выбросы случайных процессов: приложения в авиации. М.: Наука, 2005. 200 с.
4. Мирошин Р. Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 212 с.
5. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. 296 с.
6. Воробьев С. Н. Пересечение гауссовым марковским процессом детерминированного уровня // Информационноуправляющие системы. 2004. № 2. С. 16—20.
7. Воробьев С. Н., Гирина Н. В., Осипов Л. А. Гауссовы марковские последовательности // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 1. С. 23—31.
8. Воробьев С. Н., Гирина Н. В. Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями // Информационно-управляющие системы. 2009. № 3. С. 7—12.
9. Королюк В. С. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. 640 с.
Наталья Владимировна Гирина
Сведения об авторе — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэро-
космического приборостроения; кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: natalia.girina@gmail.com
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 07.09.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
15
УДК 519.2
Н. В. ГИРИНА
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРВОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ УРОВНЕЙ ГАУССОВЫМИ МАРКОВСКИМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ
Оцениваются вероятности времени первого пересечения постоянного и переменного уровней гауссовыми марковскими последовательностями конечного порядка с использованием геометрического и обобщенного геометрического распределений.
Ключевые слова: вероятность времени первого пересечения, постоянный и переменный уровни, гауссова марковская последовательность.
Одно из приложений задачи о пересечении случайным процессом неслучайного уровня — измерение интервалов между импульсными сигналами, оцениваемых разностью моментов пересечения заданных уровней фронтами сигналов. Решение этой задачи
базируется на плотности распределения времени tu первого пересечения уровня u (t )
(фронта сигнала) случайным процессом x (t ) , описывающим шумовую составляющую.
Пересечениям посвящено множество отечественных публикаций (см., например, [1—3]). Общее решение на базе теории рядов Райса [4] трудно реализовать в инженерной
практике. При условии дифференцируемости процесса x (t ) удается определить матема-
тическое ожидание и дисперсию времени tu [1, 2, 5], дифференцируемость уровня u (t )
позволяет рассчитать плотность f (tu ) для x (t ) -гауссова марковского процесса первого
порядка [6].
Оценить плотность f (tu ) более простыми методами можно в пространстве дискретно-
го времени посредством перехода к последовательностям X, U . Некоторые вопросы приме-
нения марковских моделей гауссовых последовательностей [7] к пересечению постоянных уровней рассмотрены в работе [8]. Цель настоящей статьи — распространить методику оцен-
ки плотности f (tu ) на переменные уровни с использованием марковских моделей и геомет-
рического распределения.
Пусть последовательности X, U формируются на временном отрезке [0,T ] путем дис-
кретизации процессов x (t ) , u (t ) с интервалом ∆ . Если начальные значения x0 < U0 , первое
пересечение возможно снизу вверх. Первое пересечение может произойти на k-м интервале дискретизации с вероятностью
f
(tk
)
=
p ⎪⎧⎨( xk
>
uk
k −1
)∩ ∩ (xi
< ui )⎪⎫⎬ ,
k
= 1,
2, ...
⎩⎪ i=0 ⎪⎭
(1)
Если принять ∆ = 1, а время tu первого пересечения фиксировать как номер k первого
выполнения неравенства xi > ui , i = 0, 1, ..., k −1 , то совокупность значений f (tk ) задает
плотность распределения дискретного времени первого пересечения. Если последовательность X не коррелирована (дискретный белый шум), вероятности
(1) рассчитываются как произведения:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
16 Н. В. Гирина
k −1
f (tk ) = pk ∏(1− pi ) , pi = p ( xi > ui ) . i=0
(2)
В случае коррелированой последовательности непосредственный расчет вероятностей (1) проблематичен даже для гауссовых последовательностей.
Пересечение постоянного уровня. Время первого пересечения постоянного уровня U = u дискретным белым шумом распределено по геометрическому закону [9]
f (tk ) = (1 − p0 )k p0 , p0 = p{x > u} = 1 − Φ (u / σ) ,
(3)
соответствующему произведению (2) при pi = p0 , здесь Φ (λ) — интеграл вероятности.
Выражение для плотности (3) можно обобщить на слабокоррелированные марковские последовательности конечного порядка n [8], задаваемые условием τ0 u} = 1 − Φ (u / σ) ,
u u∞
pk = ∫ ... ∫ ∫ f ( x0 ,..., xk )dx0...dxk , k = 1, ..., n −1. −∞ −∞ u
(4)
При k ≥ n нормированные значения геометрической плотности [8]
fˆ
(tk
)
≈
pk
(1 −
P)
=
(1 −
P)
pn
(1 −
pn )k−n
,
P
=
n−1
∑ pi
,
i=0
(5)
описывают время первого пересечения уровня u .
Пример 1. Процесс x (t ) ∈ N (0, R (τ)) на временном отрезке [0,30] дискретизируется с
интервалом ∆ = 0,5 ; функция корреляции (рис. 1, а, кривая 1) определяется как
R(τ)
=
exp (−ατ) ⎣⎢⎡cos (βτ) +
α β
sin (βτ)⎥⎦⎤
,
α
=
1/
4,
β
=
π/2.
Аппроксимация процесса x (t ) марковской последовательностью n -го порядка базируется
на приведении матрицы точности к 2n + 1-диагональному виду [7]. Функция корреляции аппроксимирующей последовательности X порядка n = 5 показана на рис. 1, а, кривая 2 (марковский процесс менее инерционен); на рис. 1, б приведена гистограмма времени первого пересечения уровня u = 1 исходным процессом ( N = 5000 траекторий) и марковской последовательностью X (пунктир).
Вероятности (4) получены статистическим моделированием пересечений последовательностью X ; для уровня u = 1 в одном из экспериментов они приняли следующие значе-
ния: p0 = 0,1618 , p1 = 0, 0702 , p2 = 0, 0786 , p3 = 0, 0730 , p4 = 0, 0700 , p5 = 0, 0588 , из чего
следует, что в результате расчета вероятностей (5) pn = 0, 0588 , 1 − P = 0, 5464 . На рис. 1, в, г приведены гистограммы времени первого пересечения уровней u = 1
и u = 2 исходным процессом и оценки вероятностей (5), показанные пунктирными линиями.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
а) R 1
0,5
0
–0,5 0
в) h, p 0,4
Оценка вероятности первого пересечения уровней
1
2 10 20 u=1
б) h 0,4
0,2 τ
Х
u=1
30 0 г) h, p
0,1
10 20 u=2
30 t
0,2 0,05
17
0 10 20 30 t 0 10 20 30 t Рис. 1
Пересечение переменного уровня. Формула (1) по сути обобщает геометрическое распределение: если вероятности pi наступления события в независимых экспериментах различны, вероятность первого его наступления в k -м эксперименте равна
k −1
Pk = pk ∏(1 − pi ) , k = 1, 2,... i=1
Вероятность пересечения уровня U сверху вниз гауссовой последовательностью X с
нулевым средним на i -м интервале определяется как
∫pi =
1 2π
ui −∞
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
x2 2σ2
⎟⎟⎞⎠dx
=
Φ
⎛ ⎜⎝
ui σ
⎞ ⎟⎠
,
где σ — среднее квадратическое отклонение.
Если пересекающий процесс аппроксимировать марковской последовательностью n -го
порядка, обобщенное геометрическое распределение можно упростить: первые n + 1 вероят-
ностей Pk описываются интегралом (4), а вероятности первого пересечения в последующих
интервалах — выражением
k −1
Pk ≈ pk ∏ (1 − pi ) , k ≥ n + 2 . i=k−n
(6)
При этом расчет вероятностей по формуле (6) позволяет обеспечить сохранение произведения n сомножителей, что сокращает объем вычислений.
Пример 2. На рис. 2, а показан график (уровень) u (t ) = 8Φ (t −1,5) − 4 , имитирующий
передний фронт импульсного сигнала, пересекаемый сверху вниз траекториями процесса
x (t ) ∈ N (0, R (τ)) при R (τ) = exp (−α τ ) ⎡⎣cos (βτ) + α / β sin (β τ )⎤⎦ , α = 3 / 2 , β = π . Процесс
x (t ) дискретизируется с интервалом ∆ = 0, 2 и аппроксимируется марковской последова-
тельностью шестого порядка.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
18
а) U, X 3 2 1 0
–1 –2 –3
Н. В. Гирина
б) h, p 1,2
1
0,8 t
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3t
0 1 2 3t
Рис. 2
Первые семь вероятностей Pk пересечения траекторий и заданного уровня получены
статистическим моделированием по выборке N = 10 000 траекторий. Следующие вероятно-
сти рассчитаны по формуле (6). По этой же выборке рассчитана гистограмма времени первого
пересечения, показанная на рис. 2, б.
Метод аппроксимации стационарного гауссова процесса марковской последователь-
ностью конечного порядка, предложенный в настоящей статье, может быть использован в
инженерной практике оценивания времени прихода импульсных сигналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Свешников А. А. Прикладные методы случайных функций. Л.: Судпромгиз, 1961. 252 с.
2. Тихонов В. И., Хименко В. И. Проблема пересечений уровней случайными процессами. Радиофизические приложения // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43, № 5. С. 501—523.
3. Семаков С. Л. Выбросы случайных процессов: приложения в авиации. М.: Наука, 2005. 200 с.
4. Мирошин Р. Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 212 с.
5. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. 296 с.
6. Воробьев С. Н. Пересечение гауссовым марковским процессом детерминированного уровня // Информационноуправляющие системы. 2004. № 2. С. 16—20.
7. Воробьев С. Н., Гирина Н. В., Осипов Л. А. Гауссовы марковские последовательности // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 1. С. 23—31.
8. Воробьев С. Н., Гирина Н. В. Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями // Информационно-управляющие системы. 2009. № 3. С. 7—12.
9. Королюк В. С. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. 640 с.
Наталья Владимировна Гирина
Сведения об авторе — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэро-
космического приборостроения; кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: natalia.girina@gmail.com
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 07.09.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1