ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО СИГНАЛОВ
ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО СИГНАЛОВ
Показано, что для однозначного восстановления непрерывного комплексного сигнала по его отсчетам необходимо, чтобы частота дискретизации была не меньше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала. Для однозначного восстановления непрерывного действительного сигнала необходимо, чтобы частота дискретизации была больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала.
Ключевые слова: комплексный и действительный сигналы, дискретизация, восстановление, ошибки.
Фундаментальная теорема отсчетов [1, 2] (теорема В. А. Котельникова) находит самое широкое применение в задачах дискретной и цифровой обработки непрерывных сигналов. Согласно этой теореме отсчеты низкочастотного сигнала u(t) с ограниченным спектром для
его точного восстановления следует брать с частотой дискретизации Fд , не меньшей, чем
двусторонняя (полная) ширина полосы частот, занимаемая этим сигналом: Fд ≥ 2Fmax , здесь
Fmax — наивысшая частота в спектре сигнала.
Рассмотрим справедливость теоремы отсчетов для комплексного и действительного сигналов.
Комплексный сигнал. Выражение для комплексного сигнала в общем виде можно представить следующим образом:
u(t) = U (t)e j[Ωt+ψ(t)],
(1)
где U (t), Ω, ψ(t) — огибающая, несущая частота и начальная фаза сигнала.
Флюктуирующий сигнал (1) при разложении в ряд Фурье представляется суммой бесконечного числа элементарных гармонических составляющих, каждая из которых имеет свою амплитуду, частоту и начальную фазу.
В дальнейшем будем рассматривать только наивысшую составляющую спектра сигнала (1), который в дискретном виде записывается следующим образом:
u(ti ) = Ue jΩti ; ti = iTд + ∆T ,
(2)
где Tд = 1/ Fд — период дискретизации; ∆T — смещение по времени при взятии текущего
отсчета; i=0, 1, 2 … — номер текущего отсчета; для простоты рассуждений начальная фаза сигнала (2) принята равной нулю.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
54 С. И. Зиатдинов
Пусть интерполирующий сигнал является непрерывным комплексным гармоническим
колебанием с частотой Ω , равной частоте сигнала:
uи (t) = Uи (t)e j[Ωt+ϕ(t)],
(3)
где Uи, Ω, ϕ — огибающая, несущая частота и начальная фаза интерполирующего сигнала.
Определим, при каких значениях Uи, ϕ и ∆T интерполирующий сигнал (3) совпадает с исходным сигналом (2).
Пусть в точках отсчета u(ti ) = uи (ti ) или
Ue jΩti = Uиe j[Ωti +ϕ].
(4)
Комплексные сигналы (4) представим в тригонометрической форме:
U cos Ωti + jU sin Ωti = Uи cos(Ωti + ϕ) + jUи sin(Ωti + ϕ).
(5)
Равенство (5) будет справедливо, если его вещественные части и коэффициенты мни-
мых частей будут равны:
U cos U sin
Ωti Ωti
= =
Uи Uи
cos(Ωti sin(Ωti
+ ϕ),⎫
+
ϕ).
⎬ ⎭
(6)
После подстановки в уравнения (6) значения дискретного времени ti = iTд + ∆T получим
U cos[Ω(iTд + ∆T )] = Uи cos[Ω(iTд + ∆T ) + ϕ],⎫
U
sin[Ω(iTд
+
∆T
)]
=
U
и
sin[Ω(iTд
+
∆T
)
+
ϕ].
⎬ ⎭
(7)
Возведем в квадрат левые и правые части соотношений (7):
U
2
cos2[Ω(iTд
+
∆T
)]
=
U
2 и
cos2[Ω(iTд
+
∆T
)
+
ϕ],⎪⎫
U
2
sin2[Ω(iTд
+
∆T
)]
=
U и2
sin 2 [Ω(iTд
+
∆T
)
+
ϕ].
⎬ ⎭⎪
(8)
Складывая левые и правые части выражений (8), получаем U 2 = Uи2.
Отсюда следует, что отсчеты комплексного сигнала U cos Ωti и U sin Ωti однозначно определяют амплитуду непрерывного интерполирующего сигнала, равную амплитуде непре-
рывного входного сигнала, т.е. Uи = U.
Согласно теореме отсчетов на нижней границе частота дискретизации Fд равна удвоен-
ной частоте сигнала Fc = Ω / 2π. Далее будем рассматривать именно этот случай, когда
Fд = 2Fc . Тогда соотношения (7) принимают вид
cos(iπ + Ω∆T ) = cos(iπ + Ω∆T + ϕ),⎫
sin(iπ +
Ω∆T )
=
sin(iπ + Ω∆T
+ ϕ).
⎬ ⎭
(9)
Данные равенства будут выполняться только при условии ϕ = 0, 2π, 4π, ... для любого
значения ∆T . Таким образом, однозначное восстановление непрерывного комплексного сигнала по
его отсчетам возможно, если частота дискретизации больше удвоенной наивысшей частоты в
спектре сигнала или равна ей. Этот результат полностью совпадает с теоремой отсчетов Ко-
тельникова.
Действительный сигнал. В данном случае можно воспользоваться одним из уравнений
системы (7):
U sin[Ω(iTд + ∆T )] = Uи sin[Ω(iTд + ∆T ) + ϕ].
(10)
Определим, при каких значениях Uи, ∆T и ϕ будет выполняться данное равенство. Рассмотрим крайнюю точку отсчета, когда частота дискретизации равняется удвоенной час-
тоте сигнала. Тогда соотношение (10) принимает вид
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
Теорема отсчетов для комплексного и действительного сигналов
55
U sin(iπ + Ω∆T ) = Uи sin(iπ + Ω∆T + ϕ).
(11)
Пусть ∆T = 0. При этом отсчеты сигнала u(t) берутся в точках, в которых его значения равны нулю. В результате выражение (11) преобразуется к виду
Uи sin(iπ + ϕ) = 0.
Данное соотношение справедливо для любых значений Uи при ϕ = 0, π, 2π, ... Таким образом, при ∆T = 0; ϕ = 0, π, 2π, ... и Fд = 2Fc сигналу u(ti ) можно поставить в
соответствие бесчисленное количество интерполирующих сигналов uи (ti ) , имеющих любую амплитуду (рис. 1).
и, о.е.
2 ии(t)
1 и(t)
0 –1
–2
–3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t, о.е
Рис. 1
При ϕ ≠ 0, π, 2π, ... формула (11) записывается следующим образом:
Uи
=
U
0 sin(iπ
+
ϕ)
.
В данном случае отсутствует интерполирующий сигнал с отличной от нуля амплитудой.
Следовательно, при взятии отсчетов синусоидального сигнала в точках, в которых его значе-
ния равны нулю, интерполирующий синусоидальный сигнал также проходит через эти точки
и может иметь любую амплитуду. При этом восстановление исходного сигнала по его отсче-
там невозможно.
Далее положим ∆T ≠ 0 . При этом точки отсчета сигнала u(t) не совпадают с моментами
времени, в которых его значения равны нулю.
В качестве примера рассмотрим случай, когда Fд = 2Fc , ∆T = 0, 25Tc (Tc = 1/ Fc ). При
этом из выражения (10) находим
Uи
=
U
sin[Ω(iTд sin[Ω(iTд +
+ 0, 25Tc )] 0, 25Tc ) + ϕ]
=
U cos
. ϕ
Полученное соотношение позволяет найти амплитуду интерполирующего сигнала для
различных значений ϕ (рис. 2); см. ниже.
ϕ, …°
0
45 60 90
Uи U 2U 2 2U ∞
Следовательно, существует бесконечное множество интерполирующих сигналов. Равен-
ство uи (t) = u(t) будет выполняться при любом t только при Fд > 2Fc и ϕ = 0 . Данные
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
56 С. И. Зиатдинов рассуждения можно распространить на более сложные сигналы с ограниченным наивысшей частотой спектром.
и, о.е. ии(t)
1
0,5 и(t), ии(t), ϕ=0
0
–0,5
–1 ϕ=45° ϕ=60°
–1,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t, о.е Рис. 2
Вывод. Однозначное восстановление непрерывного комплексного сигнала с ограниченным спектром по его отсчетам возможно в случае, когда частота дискретизации больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала или равна ей. В то же время для однозначного восстановления действительного сигнала частота дискретизации должна быть больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Котельников В. А. О пропускной способности „эфира“ и проволоки в электросвязи // Материалы к Первому Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. М.: Изд-во Управления связи РККА, 1933.
2. Худяков Г. И. Теорема отсчетов теории сигналов и ее создатели // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53, № 9. С. 1157—1168.
Сергей Ильич Зиатдинов
Сведения об авторе — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный универси-
тет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: Kaf53@GUAP.ru
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 17.11.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО СИГНАЛОВ
Показано, что для однозначного восстановления непрерывного комплексного сигнала по его отсчетам необходимо, чтобы частота дискретизации была не меньше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала. Для однозначного восстановления непрерывного действительного сигнала необходимо, чтобы частота дискретизации была больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала.
Ключевые слова: комплексный и действительный сигналы, дискретизация, восстановление, ошибки.
Фундаментальная теорема отсчетов [1, 2] (теорема В. А. Котельникова) находит самое широкое применение в задачах дискретной и цифровой обработки непрерывных сигналов. Согласно этой теореме отсчеты низкочастотного сигнала u(t) с ограниченным спектром для
его точного восстановления следует брать с частотой дискретизации Fд , не меньшей, чем
двусторонняя (полная) ширина полосы частот, занимаемая этим сигналом: Fд ≥ 2Fmax , здесь
Fmax — наивысшая частота в спектре сигнала.
Рассмотрим справедливость теоремы отсчетов для комплексного и действительного сигналов.
Комплексный сигнал. Выражение для комплексного сигнала в общем виде можно представить следующим образом:
u(t) = U (t)e j[Ωt+ψ(t)],
(1)
где U (t), Ω, ψ(t) — огибающая, несущая частота и начальная фаза сигнала.
Флюктуирующий сигнал (1) при разложении в ряд Фурье представляется суммой бесконечного числа элементарных гармонических составляющих, каждая из которых имеет свою амплитуду, частоту и начальную фазу.
В дальнейшем будем рассматривать только наивысшую составляющую спектра сигнала (1), который в дискретном виде записывается следующим образом:
u(ti ) = Ue jΩti ; ti = iTд + ∆T ,
(2)
где Tд = 1/ Fд — период дискретизации; ∆T — смещение по времени при взятии текущего
отсчета; i=0, 1, 2 … — номер текущего отсчета; для простоты рассуждений начальная фаза сигнала (2) принята равной нулю.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
54 С. И. Зиатдинов
Пусть интерполирующий сигнал является непрерывным комплексным гармоническим
колебанием с частотой Ω , равной частоте сигнала:
uи (t) = Uи (t)e j[Ωt+ϕ(t)],
(3)
где Uи, Ω, ϕ — огибающая, несущая частота и начальная фаза интерполирующего сигнала.
Определим, при каких значениях Uи, ϕ и ∆T интерполирующий сигнал (3) совпадает с исходным сигналом (2).
Пусть в точках отсчета u(ti ) = uи (ti ) или
Ue jΩti = Uиe j[Ωti +ϕ].
(4)
Комплексные сигналы (4) представим в тригонометрической форме:
U cos Ωti + jU sin Ωti = Uи cos(Ωti + ϕ) + jUи sin(Ωti + ϕ).
(5)
Равенство (5) будет справедливо, если его вещественные части и коэффициенты мни-
мых частей будут равны:
U cos U sin
Ωti Ωti
= =
Uи Uи
cos(Ωti sin(Ωti
+ ϕ),⎫
+
ϕ).
⎬ ⎭
(6)
После подстановки в уравнения (6) значения дискретного времени ti = iTд + ∆T получим
U cos[Ω(iTд + ∆T )] = Uи cos[Ω(iTд + ∆T ) + ϕ],⎫
U
sin[Ω(iTд
+
∆T
)]
=
U
и
sin[Ω(iTд
+
∆T
)
+
ϕ].
⎬ ⎭
(7)
Возведем в квадрат левые и правые части соотношений (7):
U
2
cos2[Ω(iTд
+
∆T
)]
=
U
2 и
cos2[Ω(iTд
+
∆T
)
+
ϕ],⎪⎫
U
2
sin2[Ω(iTд
+
∆T
)]
=
U и2
sin 2 [Ω(iTд
+
∆T
)
+
ϕ].
⎬ ⎭⎪
(8)
Складывая левые и правые части выражений (8), получаем U 2 = Uи2.
Отсюда следует, что отсчеты комплексного сигнала U cos Ωti и U sin Ωti однозначно определяют амплитуду непрерывного интерполирующего сигнала, равную амплитуде непре-
рывного входного сигнала, т.е. Uи = U.
Согласно теореме отсчетов на нижней границе частота дискретизации Fд равна удвоен-
ной частоте сигнала Fc = Ω / 2π. Далее будем рассматривать именно этот случай, когда
Fд = 2Fc . Тогда соотношения (7) принимают вид
cos(iπ + Ω∆T ) = cos(iπ + Ω∆T + ϕ),⎫
sin(iπ +
Ω∆T )
=
sin(iπ + Ω∆T
+ ϕ).
⎬ ⎭
(9)
Данные равенства будут выполняться только при условии ϕ = 0, 2π, 4π, ... для любого
значения ∆T . Таким образом, однозначное восстановление непрерывного комплексного сигнала по
его отсчетам возможно, если частота дискретизации больше удвоенной наивысшей частоты в
спектре сигнала или равна ей. Этот результат полностью совпадает с теоремой отсчетов Ко-
тельникова.
Действительный сигнал. В данном случае можно воспользоваться одним из уравнений
системы (7):
U sin[Ω(iTд + ∆T )] = Uи sin[Ω(iTд + ∆T ) + ϕ].
(10)
Определим, при каких значениях Uи, ∆T и ϕ будет выполняться данное равенство. Рассмотрим крайнюю точку отсчета, когда частота дискретизации равняется удвоенной час-
тоте сигнала. Тогда соотношение (10) принимает вид
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
Теорема отсчетов для комплексного и действительного сигналов
55
U sin(iπ + Ω∆T ) = Uи sin(iπ + Ω∆T + ϕ).
(11)
Пусть ∆T = 0. При этом отсчеты сигнала u(t) берутся в точках, в которых его значения равны нулю. В результате выражение (11) преобразуется к виду
Uи sin(iπ + ϕ) = 0.
Данное соотношение справедливо для любых значений Uи при ϕ = 0, π, 2π, ... Таким образом, при ∆T = 0; ϕ = 0, π, 2π, ... и Fд = 2Fc сигналу u(ti ) можно поставить в
соответствие бесчисленное количество интерполирующих сигналов uи (ti ) , имеющих любую амплитуду (рис. 1).
и, о.е.
2 ии(t)
1 и(t)
0 –1
–2
–3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t, о.е
Рис. 1
При ϕ ≠ 0, π, 2π, ... формула (11) записывается следующим образом:
Uи
=
U
0 sin(iπ
+
ϕ)
.
В данном случае отсутствует интерполирующий сигнал с отличной от нуля амплитудой.
Следовательно, при взятии отсчетов синусоидального сигнала в точках, в которых его значе-
ния равны нулю, интерполирующий синусоидальный сигнал также проходит через эти точки
и может иметь любую амплитуду. При этом восстановление исходного сигнала по его отсче-
там невозможно.
Далее положим ∆T ≠ 0 . При этом точки отсчета сигнала u(t) не совпадают с моментами
времени, в которых его значения равны нулю.
В качестве примера рассмотрим случай, когда Fд = 2Fc , ∆T = 0, 25Tc (Tc = 1/ Fc ). При
этом из выражения (10) находим
Uи
=
U
sin[Ω(iTд sin[Ω(iTд +
+ 0, 25Tc )] 0, 25Tc ) + ϕ]
=
U cos
. ϕ
Полученное соотношение позволяет найти амплитуду интерполирующего сигнала для
различных значений ϕ (рис. 2); см. ниже.
ϕ, …°
0
45 60 90
Uи U 2U 2 2U ∞
Следовательно, существует бесконечное множество интерполирующих сигналов. Равен-
ство uи (t) = u(t) будет выполняться при любом t только при Fд > 2Fc и ϕ = 0 . Данные
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
56 С. И. Зиатдинов рассуждения можно распространить на более сложные сигналы с ограниченным наивысшей частотой спектром.
и, о.е. ии(t)
1
0,5 и(t), ии(t), ϕ=0
0
–0,5
–1 ϕ=45° ϕ=60°
–1,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t, о.е Рис. 2
Вывод. Однозначное восстановление непрерывного комплексного сигнала с ограниченным спектром по его отсчетам возможно в случае, когда частота дискретизации больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала или равна ей. В то же время для однозначного восстановления действительного сигнала частота дискретизации должна быть больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Котельников В. А. О пропускной способности „эфира“ и проволоки в электросвязи // Материалы к Первому Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. М.: Изд-во Управления связи РККА, 1933.
2. Худяков Г. И. Теорема отсчетов теории сигналов и ее создатели // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53, № 9. С. 1157—1168.
Сергей Ильич Зиатдинов
Сведения об авторе — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный универси-
тет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: Kaf53@GUAP.ru
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 17.11.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1