Например, Бобцов

ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО СИГНАЛОВ

ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА

УДК 621.396:681.323

С. И. ЗИАТДИНОВ
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО СИГНАЛОВ

Показано, что для однозначного восстановления непрерывного комплексного сигнала по его отсчетам необходимо, чтобы частота дискретизации была не меньше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала. Для однозначного восстановления непрерывного действительного сигнала необходимо, чтобы частота дискретизации была больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала.

Ключевые слова: комплексный и действительный сигналы, дискретизация, восстановление, ошибки.

Фундаментальная теорема отсчетов [1, 2] (теорема В. А. Котельникова) находит самое широкое применение в задачах дискретной и цифровой обработки непрерывных сигналов. Согласно этой теореме отсчеты низкочастотного сигнала u(t) с ограниченным спектром для

его точного восстановления следует брать с частотой дискретизации Fд , не меньшей, чем

двусторонняя (полная) ширина полосы частот, занимаемая этим сигналом: Fд ≥ 2Fmax , здесь

Fmax — наивысшая частота в спектре сигнала.
Рассмотрим справедливость теоремы отсчетов для комплексного и действительного сигналов.
Комплексный сигнал. Выражение для комплексного сигнала в общем виде можно представить следующим образом:

u(t) = U (t)e j[Ωt+ψ(t)],

(1)

где U (t), Ω, ψ(t) — огибающая, несущая частота и начальная фаза сигнала.

Флюктуирующий сигнал (1) при разложении в ряд Фурье представляется суммой бесконечного числа элементарных гармонических составляющих, каждая из которых имеет свою амплитуду, частоту и начальную фазу.
В дальнейшем будем рассматривать только наивысшую составляющую спектра сигнала (1), который в дискретном виде записывается следующим образом:

u(ti ) = Ue jΩti ; ti = iTд + ∆T ,

(2)

где Tд = 1/ Fд — период дискретизации; ∆T — смещение по времени при взятии текущего
отсчета; i=0, 1, 2 … — номер текущего отсчета; для простоты рассуждений начальная фаза сигнала (2) принята равной нулю.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1

54 С. И. Зиатдинов

Пусть интерполирующий сигнал является непрерывным комплексным гармоническим

колебанием с частотой Ω , равной частоте сигнала:

uи (t) = Uи (t)e j[Ωt+ϕ(t)],

(3)

где Uи, Ω, ϕ — огибающая, несущая частота и начальная фаза интерполирующего сигнала.

Определим, при каких значениях Uи, ϕ и ∆T интерполирующий сигнал (3) совпадает с исходным сигналом (2).

Пусть в точках отсчета u(ti ) = uи (ti ) или

Ue jΩti = Uиe j[Ωti +ϕ].

(4)

Комплексные сигналы (4) представим в тригонометрической форме:

U cos Ωti + jU sin Ωti = Uи cos(Ωti + ϕ) + jUи sin(Ωti + ϕ).

(5)

Равенство (5) будет справедливо, если его вещественные части и коэффициенты мни-

мых частей будут равны:

U cos U sin

Ωti Ωti

= =

Uи Uи

cos(Ωti sin(Ωti

+ ϕ),⎫

+

ϕ).

⎬ ⎭

(6)

После подстановки в уравнения (6) значения дискретного времени ti = iTд + ∆T получим

U cos[Ω(iTд + ∆T )] = Uи cos[Ω(iTд + ∆T ) + ϕ],⎫

U

sin[Ω(iTд

+

∆T

)]

=

U

и

sin[Ω(iTд

+

∆T

)

+

ϕ].

⎬ ⎭

(7)

Возведем в квадрат левые и правые части соотношений (7):

U

2

cos2[Ω(iTд

+

∆T

)]

=

U

2 и

cos2[Ω(iTд

+

∆T

)

+

ϕ],⎪⎫

U

2

sin2[Ω(iTд

+

∆T

)]

=

U и2

sin 2 [Ω(iTд

+

∆T

)

+

ϕ].

⎬ ⎭⎪

(8)

Складывая левые и правые части выражений (8), получаем U 2 = Uи2.

Отсюда следует, что отсчеты комплексного сигнала U cos Ωti и U sin Ωti однозначно определяют амплитуду непрерывного интерполирующего сигнала, равную амплитуде непре-

рывного входного сигнала, т.е. Uи = U.

Согласно теореме отсчетов на нижней границе частота дискретизации Fд равна удвоен-

ной частоте сигнала Fc = Ω / 2π. Далее будем рассматривать именно этот случай, когда

Fд = 2Fc . Тогда соотношения (7) принимают вид

cos(iπ + Ω∆T ) = cos(iπ + Ω∆T + ϕ),⎫

sin(iπ +

Ω∆T )

=

sin(iπ + Ω∆T

+ ϕ).

⎬ ⎭

(9)

Данные равенства будут выполняться только при условии ϕ = 0, 2π, 4π, ... для любого

значения ∆T . Таким образом, однозначное восстановление непрерывного комплексного сигнала по

его отсчетам возможно, если частота дискретизации больше удвоенной наивысшей частоты в

спектре сигнала или равна ей. Этот результат полностью совпадает с теоремой отсчетов Ко-

тельникова.

Действительный сигнал. В данном случае можно воспользоваться одним из уравнений

системы (7):

U sin[Ω(iTд + ∆T )] = Uи sin[Ω(iTд + ∆T ) + ϕ].

(10)

Определим, при каких значениях Uи, ∆T и ϕ будет выполняться данное равенство. Рассмотрим крайнюю точку отсчета, когда частота дискретизации равняется удвоенной час-

тоте сигнала. Тогда соотношение (10) принимает вид

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1

Теорема отсчетов для комплексного и действительного сигналов

55

U sin(iπ + Ω∆T ) = Uи sin(iπ + Ω∆T + ϕ).

(11)

Пусть ∆T = 0. При этом отсчеты сигнала u(t) берутся в точках, в которых его значения равны нулю. В результате выражение (11) преобразуется к виду

Uи sin(iπ + ϕ) = 0.

Данное соотношение справедливо для любых значений Uи при ϕ = 0, π, 2π, ... Таким образом, при ∆T = 0; ϕ = 0, π, 2π, ... и Fд = 2Fc сигналу u(ti ) можно поставить в
соответствие бесчисленное количество интерполирующих сигналов uи (ti ) , имеющих любую амплитуду (рис. 1).

и, о.е.

2 ии(t)

1 и(t)

0 –1

–2

–3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t, о.е

Рис. 1
При ϕ ≠ 0, π, 2π, ... формула (11) записывается следующим образом:



=

U

0 sin(iπ

+

ϕ)

.

В данном случае отсутствует интерполирующий сигнал с отличной от нуля амплитудой.

Следовательно, при взятии отсчетов синусоидального сигнала в точках, в которых его значе-

ния равны нулю, интерполирующий синусоидальный сигнал также проходит через эти точки

и может иметь любую амплитуду. При этом восстановление исходного сигнала по его отсче-

там невозможно.

Далее положим ∆T ≠ 0 . При этом точки отсчета сигнала u(t) не совпадают с моментами

времени, в которых его значения равны нулю.

В качестве примера рассмотрим случай, когда Fд = 2Fc , ∆T = 0, 25Tc (Tc = 1/ Fc ). При

этом из выражения (10) находим



=

U

sin[Ω(iTд sin[Ω(iTд +

+ 0, 25Tc )] 0, 25Tc ) + ϕ]

=

U cos

. ϕ

Полученное соотношение позволяет найти амплитуду интерполирующего сигнала для

различных значений ϕ (рис. 2); см. ниже.

ϕ, …°

0

45 60 90

Uи U 2U 2 2U ∞

Следовательно, существует бесконечное множество интерполирующих сигналов. Равен-

ство uи (t) = u(t) будет выполняться при любом t только при Fд > 2Fc и ϕ = 0 . Данные

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1

56 С. И. Зиатдинов рассуждения можно распространить на более сложные сигналы с ограниченным наивысшей частотой спектром.
и, о.е. ии(t)
1
0,5 и(t), ии(t), ϕ=0
0

–0,5
–1 ϕ=45° ϕ=60°
–1,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t, о.е Рис. 2
Вывод. Однозначное восстановление непрерывного комплексного сигнала с ограниченным спектром по его отсчетам возможно в случае, когда частота дискретизации больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала или равна ей. В то же время для однозначного восстановления действительного сигнала частота дискретизации должна быть больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Котельников В. А. О пропускной способности „эфира“ и проволоки в электросвязи // Материалы к Первому Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. М.: Изд-во Управления связи РККА, 1933.

2. Худяков Г. И. Теорема отсчетов теории сигналов и ее создатели // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53, № 9. С. 1157—1168.

Сергей Ильич Зиатдинов

Сведения об авторе — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный универси-
тет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: Kaf53@GUAP.ru

Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий

Поступила в редакцию 17.11.10 г.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1