МОДИФИКАЦИЯ МАТРИЦ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННЫХ КОДОВ В ЗАДАЧЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ СКРЫТНОСТИ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК [517.938 + 519.713 / .718]: 621.398
А. В. УШАКОВ, Е. С. ЯИЦКАЯ
МОДИФИКАЦИЯ МАТРИЦ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННЫХ КОДОВ В ЗАДАЧЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ СКРЫТНОСТИ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
С помощью невырожденных матричных мультипликативных компонентов формируются банки образующих и проверочных матриц систематических помехозащищенных кодов.
Ключевые слова: помехозащищенный код, образующая и проверочная матрицы, матричный мультипликативный компонент, скрытность.
Рассматривается задача обеспечения скрытности передачи информации с помощью
двоичных кодов, преобразование которых в функциональной среде „кодер—канал—
декодер—коррекция“ осуществляется [1] в соответствии с векторно-матричными соотноше-
ниями где a ,
y, ξ,
f,
E,
y ξ,
= aG ;
f
= y⊕ξ;
E=
fH;
ξ
=
EH+
;
y — вектор-строки соответственно
y
=
f
⊕ξ,
информационного
(k)
кода,
по-
мехозащищенного (n,k ) кода (ПЗК), кода помехи в канальной среде (КС), искаженного в КС
ПЗК, кода синдрома искажения, кода коррекции, откорректированного принятого из КС ко-
да; G — (k × n) -образующая и H — (n × m) -проверочная матрицы ПЗК; n − k = m — число
проверочных разрядов ПЗК.
Утверждение 1. Пара (G, H) порождает ПЗК при необходимом условии
GH =O .
□ (1)
Доказательство утверждения строится на использовании системы соотношений
y = aG; f = y ⊕ ξ; E = fH = ( y ⊕ ξ) H = (aG ⊕ ξ) H = aGH ⊕ ξH ξ=0 =
= aGH ∀a = O → GH = O.
■
Утверждение 2. Умножение матриц G слева и H справа соответственно на невырож-
денные произвольные (k × k) -матрицу Q и (m× m) -матрицу P порождают матрицы G = QG
и H = HP . При этом
G H = O .
□ (2)
Доказательство строится на использовании условия (1) в цепочке равенств
G H = QGHP = Q (GH) P = Q (O) P = O .
■
Невырожденность матриц Q и P обеспечивается выбором их в виде:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
Модификация матриц систематических помехозащищенных кодов
81
1) матриц перестановок, при этом мощности получаемых множеств матриц составят ве-
личины ⎡⎣{Q}⎤⎦ = k !, ⎣⎡{P}⎤⎦ = m!;
2) Q = NlQQ , lQ = 0, νQ −1, и P = NlPP , lP = 0, νP −1 , где (k × k) -матрица NQ и (m × m) -
матрица NP имеют соответственно характеристическими многочленами неприводимые, принад-
{ }лежащие максимальным показателям [2] νQ = max arg NQνQ = I = 2k −1 и
{ }νP = max arg NνPP = I = 2m −1, так что ⎡⎣{Q}⎦⎤ = 2k −1, ⎡⎣{P}⎦⎤ = 2m −1.
Процедура максимизации значений ⎡⎣{Q}⎦⎤ и ⎡⎣{P}⎤⎦ может быть осуществлена с помо-
щью данных приводимой ниже таблицы.
k (m) k !(m!)
2k − 1(2m − 1)
1234
5
7
11
15
26
1 2 6 24 120 5040 3,99+7 1,31E+12 4,03E+26
1 3 7 15 31
127
2047
3,28Е+4
6,71Е+7
Предложенные процедуры проиллюстрируем примером (n,k ) = (7, 4) — ПЗК с обра-
зующим многочленом g(x) = x3 + x +1. Код характеризуется [2] матрицами
⎡1
G
=
⎢⎢0 ⎢0
⎣⎢0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 0
0 1 1 1
1⎤
1⎥⎥ 0⎥
,
1⎥⎦
⎡1 H = ⎢⎢0
⎣⎢1
1 1 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0⎤T 0⎥⎥ . 1⎥⎦
Согласно данным таблицы матрицы Q и P строим соответственно в форме матрицы перестановок и процедуры:
⎡0
Q
=
⎢⎢0 ⎢0
⎣⎢1
1 0 0 0
0 1 0 0
0⎤
0⎥⎥ 1⎥
,
0⎥⎦
⎡0
P
=
NlPP
lP =4
=
⎢⎢1 ⎣⎢1
1 0 0
0⎤4 ⎡1 1⎥⎥ = ⎢⎢0 0⎦⎥ ⎣⎢1
1 1 1
1⎤ 1⎥⎥ , 0⎦⎥
так что образующая G и проверочная H матрицы получают представление
⎡0
G
=
QG
=
⎢⎢0 ⎢0
⎣⎢1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1⎤
0⎥⎥ 1⎥
,
1⎦⎥
⎡0 H = HP = ⎢⎢0
⎣⎢1
0 1 0
1 0 0
1 0 1
1 1 1
0 1 1
1⎤T 1⎥⎥ . 0⎥⎦
{ }При этом (см. таблицу) ⎡⎣ G , H ⎤⎦ = ⎣⎡{Q}⎤⎦ ⋅ ⎣⎡{P}⎦⎤ = 7 ⋅ 24 = 168. { } { }Основной результат. Полученные банки G и H модифицированных образующих
{ }G и проверочных H матриц порождают мощность ⎣⎡ G , H ⎦⎤ = ⎣⎡{Q}⎤⎦ ⋅ ⎡⎣{P}⎦⎤ возможных реа-
лизаций помехозащитных преобразований кодов, что позволяет обеспечить частичную скрытность процесса передачи информации.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
82 А. В. Ушаков, Е. С. Яицкая
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ушаков А. В., Яицкая Е. С. Рекуррентное систематическое помехозащитное преобразование кодов: возможности аппарата линейных двоичных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 3. С. 17—25.
2. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976. 600 с.
Анатолий Владимирович Ушаков Елена Сергеевна Яицкая
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: ushakov-AVG@yandex.ru — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: yaitskayaes@mail.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 07.10.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
УДК [517.938 + 519.713 / .718]: 621.398
А. В. УШАКОВ, Е. С. ЯИЦКАЯ
МОДИФИКАЦИЯ МАТРИЦ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННЫХ КОДОВ В ЗАДАЧЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ СКРЫТНОСТИ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
С помощью невырожденных матричных мультипликативных компонентов формируются банки образующих и проверочных матриц систематических помехозащищенных кодов.
Ключевые слова: помехозащищенный код, образующая и проверочная матрицы, матричный мультипликативный компонент, скрытность.
Рассматривается задача обеспечения скрытности передачи информации с помощью
двоичных кодов, преобразование которых в функциональной среде „кодер—канал—
декодер—коррекция“ осуществляется [1] в соответствии с векторно-матричными соотноше-
ниями где a ,
y, ξ,
f,
E,
y ξ,
= aG ;
f
= y⊕ξ;
E=
fH;
ξ
=
EH+
;
y — вектор-строки соответственно
y
=
f
⊕ξ,
информационного
(k)
кода,
по-
мехозащищенного (n,k ) кода (ПЗК), кода помехи в канальной среде (КС), искаженного в КС
ПЗК, кода синдрома искажения, кода коррекции, откорректированного принятого из КС ко-
да; G — (k × n) -образующая и H — (n × m) -проверочная матрицы ПЗК; n − k = m — число
проверочных разрядов ПЗК.
Утверждение 1. Пара (G, H) порождает ПЗК при необходимом условии
GH =O .
□ (1)
Доказательство утверждения строится на использовании системы соотношений
y = aG; f = y ⊕ ξ; E = fH = ( y ⊕ ξ) H = (aG ⊕ ξ) H = aGH ⊕ ξH ξ=0 =
= aGH ∀a = O → GH = O.
■
Утверждение 2. Умножение матриц G слева и H справа соответственно на невырож-
денные произвольные (k × k) -матрицу Q и (m× m) -матрицу P порождают матрицы G = QG
и H = HP . При этом
G H = O .
□ (2)
Доказательство строится на использовании условия (1) в цепочке равенств
G H = QGHP = Q (GH) P = Q (O) P = O .
■
Невырожденность матриц Q и P обеспечивается выбором их в виде:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
Модификация матриц систематических помехозащищенных кодов
81
1) матриц перестановок, при этом мощности получаемых множеств матриц составят ве-
личины ⎡⎣{Q}⎤⎦ = k !, ⎣⎡{P}⎤⎦ = m!;
2) Q = NlQQ , lQ = 0, νQ −1, и P = NlPP , lP = 0, νP −1 , где (k × k) -матрица NQ и (m × m) -
матрица NP имеют соответственно характеристическими многочленами неприводимые, принад-
{ }лежащие максимальным показателям [2] νQ = max arg NQνQ = I = 2k −1 и
{ }νP = max arg NνPP = I = 2m −1, так что ⎡⎣{Q}⎦⎤ = 2k −1, ⎡⎣{P}⎦⎤ = 2m −1.
Процедура максимизации значений ⎡⎣{Q}⎦⎤ и ⎡⎣{P}⎤⎦ может быть осуществлена с помо-
щью данных приводимой ниже таблицы.
k (m) k !(m!)
2k − 1(2m − 1)
1234
5
7
11
15
26
1 2 6 24 120 5040 3,99+7 1,31E+12 4,03E+26
1 3 7 15 31
127
2047
3,28Е+4
6,71Е+7
Предложенные процедуры проиллюстрируем примером (n,k ) = (7, 4) — ПЗК с обра-
зующим многочленом g(x) = x3 + x +1. Код характеризуется [2] матрицами
⎡1
G
=
⎢⎢0 ⎢0
⎣⎢0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 0
0 1 1 1
1⎤
1⎥⎥ 0⎥
,
1⎥⎦
⎡1 H = ⎢⎢0
⎣⎢1
1 1 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0⎤T 0⎥⎥ . 1⎥⎦
Согласно данным таблицы матрицы Q и P строим соответственно в форме матрицы перестановок и процедуры:
⎡0
Q
=
⎢⎢0 ⎢0
⎣⎢1
1 0 0 0
0 1 0 0
0⎤
0⎥⎥ 1⎥
,
0⎥⎦
⎡0
P
=
NlPP
lP =4
=
⎢⎢1 ⎣⎢1
1 0 0
0⎤4 ⎡1 1⎥⎥ = ⎢⎢0 0⎦⎥ ⎣⎢1
1 1 1
1⎤ 1⎥⎥ , 0⎦⎥
так что образующая G и проверочная H матрицы получают представление
⎡0
G
=
QG
=
⎢⎢0 ⎢0
⎣⎢1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1⎤
0⎥⎥ 1⎥
,
1⎦⎥
⎡0 H = HP = ⎢⎢0
⎣⎢1
0 1 0
1 0 0
1 0 1
1 1 1
0 1 1
1⎤T 1⎥⎥ . 0⎥⎦
{ }При этом (см. таблицу) ⎡⎣ G , H ⎤⎦ = ⎣⎡{Q}⎤⎦ ⋅ ⎣⎡{P}⎦⎤ = 7 ⋅ 24 = 168. { } { }Основной результат. Полученные банки G и H модифицированных образующих
{ }G и проверочных H матриц порождают мощность ⎣⎡ G , H ⎦⎤ = ⎣⎡{Q}⎤⎦ ⋅ ⎡⎣{P}⎦⎤ возможных реа-
лизаций помехозащитных преобразований кодов, что позволяет обеспечить частичную скрытность процесса передачи информации.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
82 А. В. Ушаков, Е. С. Яицкая
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ушаков А. В., Яицкая Е. С. Рекуррентное систематическое помехозащитное преобразование кодов: возможности аппарата линейных двоичных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 3. С. 17—25.
2. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976. 600 с.
Анатолий Владимирович Ушаков Елена Сергеевна Яицкая
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: ushakov-AVG@yandex.ru — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: yaitskayaes@mail.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 07.10.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3