РАСЧЕТ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИНТОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
24 В. М. Мусалимов, Г. Б. Заморуев, А. Д. Перечесова
УДК 51-72
В. М. МУСАЛИМОВ, Г. Б. ЗАМОРУЕВ, А. Д. ПЕРЕЧЕСОВА
РАСЧЕТ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИНТОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Представлен алгоритм расчета упругих констант винтовых элементов спирально-анизотропных стержней, основанный на методах оптимизации. Расчет производился путем минимизации функционала f (E1, G1) на заданных интервалах коэффициента Пуассона. В качестве примера спирально-анизотропного стержня рассматривался кабель.
Ключевые слова: спирально-анизотропный стержень, интегральные упругие постоянные, кабель, методы оптимизации.
Теория спирально-анизотропных стержней. Многослойные пружины, канаты, тросы,
нити представляют собой объекты механики деформируемого твердого тела, которые моде-
лируются как спирально-анизотропные стержни (САС) [1]. На рис. 1 приведена типичная
конструкция гибкого кабеля. Механические свойства винтовых составляющих этих конст-
рукций определяются их физико-механическими характеристиками E1,G1,ν1, соотнесенными
z
ξ
с геометрией подвижного репера ξ, η, r (рис. 1). Механические свойства самих конструкций традиционно соотнесены с геомет-
r рией стержня — осью z и радиусом r (рис. 1). При механических η испытаниях САС регистрируются линейные e и угловые θ де-
формации при различных граничных условиях, определяющих
деформированное состояние: свободное и стесненное растяже-
ние, свободное и стесненное кручение. В работах [1, 2] пред-
ставлены уравнения, связывающие внешние силы и моменты с
линейными и угловыми деформациями САС:
Рис. 1
P πR2 E1
M πR3 E1
=
A11e
+
A12
θˆ;
⎫ ⎪
⎪
⎬
=
A21e
+
A22
θˆ.⎪ ⎭⎪
(1)
Здесь при A11, A22, A12 = A21 — соответственно модули растяжения, кручения, растяжениякручения; E — модуль упругости САС, P — осевая нагрузка, M — скручивающий момент.
Перепишем уравнения системы (1) в виде:
P πR2
=
A11E1 e + A12 E1 θˆ;⎫⎪⎪
M πR3
=
A21E1 e +
⎬
A22
E1
θˆ
⎪ ⎭⎪
и введем следующие обозначения:
A11E1 = α11, A12 E1 = α12 , A21E1 = α21, A22 E1 = α22 .
В работах [1, 2] приведены также уравнения, связывающие экспериментально определенные модули с физико-механическими характеристиками винтовых составляющих САС:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
Расчет физико-механических характеристик винтовых элементов стержней
25
α11
=
G1(9φ1
+
18φ2
)
−
2
1 − ν1
9φ2 E1
+
E1
−
⎫ 3φ1E1;⎪
⎪
α12
=
−G1(3φ1
+12φ2 )
+
2
1 − ν1
6φ2 E1
+
φ1E1;
⎪⎪ ⎬ ⎪
α22
=
G1(
tg
2α0 2
+ 8φ2 ) −
1 2 − ν1
4φ2 E1,
⎪ ⎪ ⎭⎪
где
(2)
φ1 = 1− 2ctg2α0 ln sec α0;
φ2
=
1 2
sin 2
α0
− φ1.
Соотношения (2) являются нелинейной алгебраической системой уравнений относи-
тельно интегральных упругих постоянных E1 , G1 , v1 . Целью настоящей статьи является
разработка новых подходов к решению таких систем уравнений и определение физико-
механических характеристик E1 , G1 , v1 , что актуально для оценки свойств элементов с
микронными радиусами. Алгоритмы решения слабообусловленных нелинейных систем алгебраических
уравнений (оптимизаторы). Ранее для решения системы уравнений использовались вероятностные методы и методы минимизации специально построенного функционала [1, 2]. В настоящей работе для определения интегральных упругих постоянных САС использованы оригинальные оптимизаторы.
Оптимизируемая модель представляется вектором функций
y = f (x) ,
где yi (i = 1, m), m ≥ 1 — функции ряда независимых факторов влияния, x j ( j = 1, n), n ≥ 1. Все функции y объединяются в функционал
m
F(x) = ∑[ fi (x)gi ], i=1
где gi — вектор весовых коэффициентов для каждой из функций. Производные от F (x) по x формулы
∑dF (x)
dx
=
m
2
i=1
fi (x)gi
∂fi ∂x j
,
(3)
где
∂fi ∂x j
— ( m × n )-матрица (матрица Якоби), а
fi (x)
— вектор функций (3).
С геометрической точки зрения функционал F (x) является гиперповерхностью многих пе-
ременных x . Эта так называемая поверхность отклика не может существовать в области отрица-
тельных значений области F (x) и в пределе может касаться гиперплоскости x , в этом случае
функционал F (x) имеет точку с нулевым значением и, в свою очередь, y = f (x) является хорошо
обусловленной системой уравнений. Во всех других случаях F (x) имеет экстремум (в данной за-
даче — минимум) при том или ином численном (вещественном) значении F (x) .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
26 В. М. Мусалимов, Г. Б. Заморуев, А. Д. Перечесова
Производная
dF (x)
dx
геометрически является
вектором нормали к поверхности отклика
(направление вектора — наружу от поверхности), его длина
∑Dn =
n ⎛ ∂F (x) ⎞2
⎜ i=1 ⎝
∂xi
⎟ ⎠
,
(4)
Единичный вектор нормали (направляющие косинусы) определяет направление скорейшего спуска:
∂F (x)
Dn1i =
∂xi Dn
.
Если произвести сечение поверхности отклика гиперплоскостью, параллельной x , то
получим замкнутую линию при n=2, замкнутую поверхность при n=3 или замкнутую гипер-
поверхность при n>3. Эти геометрические образы принято называть линиями уровня функ-
ционала F (x) . Они хорошо отображаются на плоской поверхности при n=2. Вектор нормали
(перпендикулярный поверхности отклика) нормален и к линиям уровня в данной точке. По-
скольку нормаль направлена в сторону увеличения F (x) , направляющий вектор имеет знак
„минус“.
Общая стратегия поиска оптимального значения (минимума)
1. Задаются начальные значения переменных x .
2. Рассчитываются значения всех исходных функций и функционала F (x) .
3. Выбирается направление движения, т.е. задается некоторый вектор D(x) (лучше еди-
ничный) для движения в направлении этого вектора с шагом λ . На каждом шаге рассчитывает-
ся значение F1 (x) и сравнивается с предыдущим значением F0 (x) :
— если F1 (x) < F0 (x) , движение продолжается в выбранном направлении;
— если F1 (x) > F0 (x) , движение осуществляется в обратном направлении с уменьшен-
ным
шагом
(
λ
=
−
λ 2
).
Это условие используется до достижения оптимума на данном шаге с требуемой точно-
стью, таким образом xk+1 = xk + Dλ . После уточнения нового значения x шаг считается законченным, направление движе-
ния D изменяется и повторяются шаги с относительными оптимумами, пока не будет дос-
тигнуто удовлетворительное решение задачи.
Относительный оптимум на каждом шаге является точкой касания линии движения по
направлению D к некоторой линии уровня функционала F (x) .
Опишем широко используемые методы поиска оптимума.
Метод
перебора координат — простой, в нем не применяются производные
dF (x)
dx
.
Направление D(x) выбирается совпадающим на каждом шаге с одной из осей координат ги-
перплоскости x . Движение осуществляется с некоторым шагом вдоль произвольной коорди-
наты xi до определения промежуточного оптимума. Затем движение осуществляется вдоль
оси xi+1 и реализуется второй шаг, до тех пор пока не произойдет перебор всех координат x
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
Расчет физико-механических характеристик винтовых элементов стержней
27
задачи. Затем следует вернуться к координате xi и повторить все действия до достижения
удовлетворительного результата. К достоинствам метода относятся простота, отсутствие необходимости в расчете произ-
водных; к недостаткам: как правило, большое количество шагов и иногда фактическая невоз-
можность довести решение до конца в случае сложной, сильно искривленной конфигурации
линий уровня. Метод „деформируемого симплекса“. Реализация алгоритма начинается с задания n+1
точки (стартовый симплекс) для гиперплоскости x , что довольно трудно, с этой целью ис-
пользуется некоторая подпрограмма.
Затем для всех n+1 точек определяются значения всех функций и функционалов F (x) ,
далее производится оценка всех n+1 точек по величине F (x) , в результате определяются
„худшая точка“, в которой F (x) имеет наибольшее значение (ей присваивается номер 1), и
„лучшая“ — где наименьшее (номер n+1).
Далее определяется вектор D(x) (направление движения).
Метод аппроксимации параболой сечения поверхности отклика плоскостью, содержа-
щей нормаль поверхности в рассматриваемой точке и перпендикулярной гиперплоскости па-
раметров x . Такое коническое сечение является параболой, и если найти константы параболы, можно одним вычислительным шагом спуститься к ее критическому значению, т.е. с той или иной точностью совершить шаг промежуточной оптимизации.
Достоинством метода является очень высокая скорость расчета, так как отсутствует не-
обходимость „осторожного“ передвижения малыми шагами с расчетом функционала и часто
производных. Надежно и быстро может быть получено решение с требуемой точностью при умеренном количестве шагов.
Чрезвычайно эффективным методом оптимизации является метод, условно назы-
ваемый „Гребень“, позволяющий максимально придерживаться линии „гребня“ поверх-
ности отклика, т.е. линии наиболее глубокой и наиболее пологой части „дна долины“ поверхности отклика. Метод использует два типа шагов и основан на геометрических свойствах поверхностей (гиперповерхностей). Производная от F (x) по x , как уже гово-
рилось, геометрически является нормалью к поверхности (и линии уровня) и имеет определенную величину (4). Если двигаться в некотором направлении и последовательно
оценивать производную
dF (x)
dx
,
можно
получить
множество критических значений
на
„гребне“ (первый тип шагов). Далее при движении по гребню оценивается величина F(x)
(второй тип шагов). Достоинством метода является возможность решить при малом числе шагов практи-
чески любую задачу с произвольной топологией линий уровня F (x) . К недостаткам отно-
сится большое число арифметических операций при определении производных и нормали на каждом малом шаге и, следовательно, относительно большое время работы процес-
сора, зависящее от изначальной математической модели задачи f (x), ..., fm (x) .
Примеры расчета. В работе в качестве модулей растяжения α11, кручения α22, растяжения-кручения α12 использованы данные систематических исследований по механике кабеля. В табл. 1 приведены характеристики двух типов кабеля КГ 3×4+1×2. В табл. 2 приведены расчетные данные для кабеля, полученные вероятностным методом [1, 2], численные значения
интегральных упругих постоянных, полученные на основе детерминированного подхода [1],
а также методом приведенного оригинального функционала.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
28 В. М. Мусалимов, Г. Б. Заморуев, А. Д. Перечесова
Таблица 1 № α11, Па α12, Па α22, Па 1 2,42·109 1,80·106 5,55·105 2 2,20·109 1,94·106 4,23·105
Метод
Вероятностный На основе детерминированного подхода Приведенного функционала для различных ν1
E1, Па
12
2,38⋅109
2,16⋅109
2,42⋅109
2,21⋅109
2,4465⋅109 2,4462⋅109
2,2250⋅109 2,2260⋅109
G1, Па
12
1,66⋅109
1,50⋅109
3,53⋅108
2,37⋅108
7,2913⋅108 6,5977⋅108 7,3056⋅108 6,5450⋅108
1 0,300
Таблица 2
ν1 2
0,304
0,266 0,428
0,300 0,266
0,304 0,428
На рис. 2—5 для ν1=0,3 приведены оценки, полученные с помощью алгоритмов описанных методов. В качестве исходных данных использованы параметры, указанные в строке 1
табл. 1, угол наклона к оси анизотропии упруго-эквивалентных спиралей α0 = 15°. Рис. 2 —
программа „Парабола“; 3 — „Гребень“; 4 — „Координатная“; 5 — „Симплекс“ (а — графиче-
ское отображение работы программы оптимизации; б — увеличенное графическое отображе-
ние работы программы оптимизации). Результат: E1=2,4465⋅109 Па, G1=7,2913⋅108 Па.
а) б)
G1, 1010 Па 3
G1, 108 Па 12
2 10
18
0 6
–1 –2 4
–3 2
–3 –2 –1 0 1 2 Е1, 1010 Па
1,8 2 2,2 2,4 2,6 Е1, 109 Па
Рис. 2
а) G1, 1010 Па
3
2
б) G1, 108 Па
7,4
1 7,3
0
–1 7,2
–2
–3 –3 –2 –1 0 1 2 Е1, 1010 Па Рис. 3
2,43 2,44 2,45 2,46 Е1, 109 Па
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
Расчет физико-механических характеристик винтовых элементов стержней
29
а) G1, 1010 Па
б) G1, 109 Па
38
26
14
2 00
–1 –2
–2
–3 –3 –2 –1
а) G1, 1010 Па
3 2
1
01
–4 –6
2 Е1, 1010 Па
–8
Рис. 4
б) G1, 109 Па
8
6
4 2
–4
–2
0
2 Е1, 109 Па
00
–2 –1
–4 –2 –6
–3
–3 –2 –1 0 1 2 Е1, 1010 Па
–8 –4 –2
0 2 Е1, 109 Па
Рис. 5
Следует отметить, что с помощью оптимизаторов вычисляются все значения физико-
механических характеристик E1, G1 для 0≤ν1≤5, в то время как для первых двух методов приведены значения наиболее вероятных их значений. На рис. 6 показан характер изменения от-
ношения E1/G1 в зависимости от функции ν1.
Е1/G1
3,42
3,4
3,38
3,36
3,34
3,32
3,3 0
0,1 0,2 0,3 0,4 Рис. 6
ν1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
30 С. В. Сычев, Ю. А. Фадин
Заключение. В настоящей работе развиты новые подходы к оценке физико-механических характеристик винтовых элементов САС. Показано, что предложенные методы оптимизации позволяют эффективно решать слабообусловленные нелинейные системы алгебраических уравнений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мусалимов В. М. Механика деформируемого кабеля. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. 203 с.
2. Мусалимов В. М., Мокряк С. Я., Соханев Б. В., Шиянов В. Д. Определение упругих характеристик гибких кабелей на основе модели спирально-анизотропного тела // Механика композитных материалов. 1984. № 1. С. 136—141.
3. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. 241 с.
Виктор Михайлович Мусалимов Георгий Борисович Заморуев Анна Дмитриевна Перечесова
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: musvm@yandex.ru — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: georgyz09@gmail.com — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: perechesova@gmail.com
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 29.02.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
УДК 51-72
В. М. МУСАЛИМОВ, Г. Б. ЗАМОРУЕВ, А. Д. ПЕРЕЧЕСОВА
РАСЧЕТ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИНТОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Представлен алгоритм расчета упругих констант винтовых элементов спирально-анизотропных стержней, основанный на методах оптимизации. Расчет производился путем минимизации функционала f (E1, G1) на заданных интервалах коэффициента Пуассона. В качестве примера спирально-анизотропного стержня рассматривался кабель.
Ключевые слова: спирально-анизотропный стержень, интегральные упругие постоянные, кабель, методы оптимизации.
Теория спирально-анизотропных стержней. Многослойные пружины, канаты, тросы,
нити представляют собой объекты механики деформируемого твердого тела, которые моде-
лируются как спирально-анизотропные стержни (САС) [1]. На рис. 1 приведена типичная
конструкция гибкого кабеля. Механические свойства винтовых составляющих этих конст-
рукций определяются их физико-механическими характеристиками E1,G1,ν1, соотнесенными
z
ξ
с геометрией подвижного репера ξ, η, r (рис. 1). Механические свойства самих конструкций традиционно соотнесены с геомет-
r рией стержня — осью z и радиусом r (рис. 1). При механических η испытаниях САС регистрируются линейные e и угловые θ де-
формации при различных граничных условиях, определяющих
деформированное состояние: свободное и стесненное растяже-
ние, свободное и стесненное кручение. В работах [1, 2] пред-
ставлены уравнения, связывающие внешние силы и моменты с
линейными и угловыми деформациями САС:
Рис. 1
P πR2 E1
M πR3 E1
=
A11e
+
A12
θˆ;
⎫ ⎪
⎪
⎬
=
A21e
+
A22
θˆ.⎪ ⎭⎪
(1)
Здесь при A11, A22, A12 = A21 — соответственно модули растяжения, кручения, растяжениякручения; E — модуль упругости САС, P — осевая нагрузка, M — скручивающий момент.
Перепишем уравнения системы (1) в виде:
P πR2
=
A11E1 e + A12 E1 θˆ;⎫⎪⎪
M πR3
=
A21E1 e +
⎬
A22
E1
θˆ
⎪ ⎭⎪
и введем следующие обозначения:
A11E1 = α11, A12 E1 = α12 , A21E1 = α21, A22 E1 = α22 .
В работах [1, 2] приведены также уравнения, связывающие экспериментально определенные модули с физико-механическими характеристиками винтовых составляющих САС:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
Расчет физико-механических характеристик винтовых элементов стержней
25
α11
=
G1(9φ1
+
18φ2
)
−
2
1 − ν1
9φ2 E1
+
E1
−
⎫ 3φ1E1;⎪
⎪
α12
=
−G1(3φ1
+12φ2 )
+
2
1 − ν1
6φ2 E1
+
φ1E1;
⎪⎪ ⎬ ⎪
α22
=
G1(
tg
2α0 2
+ 8φ2 ) −
1 2 − ν1
4φ2 E1,
⎪ ⎪ ⎭⎪
где
(2)
φ1 = 1− 2ctg2α0 ln sec α0;
φ2
=
1 2
sin 2
α0
− φ1.
Соотношения (2) являются нелинейной алгебраической системой уравнений относи-
тельно интегральных упругих постоянных E1 , G1 , v1 . Целью настоящей статьи является
разработка новых подходов к решению таких систем уравнений и определение физико-
механических характеристик E1 , G1 , v1 , что актуально для оценки свойств элементов с
микронными радиусами. Алгоритмы решения слабообусловленных нелинейных систем алгебраических
уравнений (оптимизаторы). Ранее для решения системы уравнений использовались вероятностные методы и методы минимизации специально построенного функционала [1, 2]. В настоящей работе для определения интегральных упругих постоянных САС использованы оригинальные оптимизаторы.
Оптимизируемая модель представляется вектором функций
y = f (x) ,
где yi (i = 1, m), m ≥ 1 — функции ряда независимых факторов влияния, x j ( j = 1, n), n ≥ 1. Все функции y объединяются в функционал
m
F(x) = ∑[ fi (x)gi ], i=1
где gi — вектор весовых коэффициентов для каждой из функций. Производные от F (x) по x формулы
∑dF (x)
dx
=
m
2
i=1
fi (x)gi
∂fi ∂x j
,
(3)
где
∂fi ∂x j
— ( m × n )-матрица (матрица Якоби), а
fi (x)
— вектор функций (3).
С геометрической точки зрения функционал F (x) является гиперповерхностью многих пе-
ременных x . Эта так называемая поверхность отклика не может существовать в области отрица-
тельных значений области F (x) и в пределе может касаться гиперплоскости x , в этом случае
функционал F (x) имеет точку с нулевым значением и, в свою очередь, y = f (x) является хорошо
обусловленной системой уравнений. Во всех других случаях F (x) имеет экстремум (в данной за-
даче — минимум) при том или ином численном (вещественном) значении F (x) .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
26 В. М. Мусалимов, Г. Б. Заморуев, А. Д. Перечесова
Производная
dF (x)
dx
геометрически является
вектором нормали к поверхности отклика
(направление вектора — наружу от поверхности), его длина
∑Dn =
n ⎛ ∂F (x) ⎞2
⎜ i=1 ⎝
∂xi
⎟ ⎠
,
(4)
Единичный вектор нормали (направляющие косинусы) определяет направление скорейшего спуска:
∂F (x)
Dn1i =
∂xi Dn
.
Если произвести сечение поверхности отклика гиперплоскостью, параллельной x , то
получим замкнутую линию при n=2, замкнутую поверхность при n=3 или замкнутую гипер-
поверхность при n>3. Эти геометрические образы принято называть линиями уровня функ-
ционала F (x) . Они хорошо отображаются на плоской поверхности при n=2. Вектор нормали
(перпендикулярный поверхности отклика) нормален и к линиям уровня в данной точке. По-
скольку нормаль направлена в сторону увеличения F (x) , направляющий вектор имеет знак
„минус“.
Общая стратегия поиска оптимального значения (минимума)
1. Задаются начальные значения переменных x .
2. Рассчитываются значения всех исходных функций и функционала F (x) .
3. Выбирается направление движения, т.е. задается некоторый вектор D(x) (лучше еди-
ничный) для движения в направлении этого вектора с шагом λ . На каждом шаге рассчитывает-
ся значение F1 (x) и сравнивается с предыдущим значением F0 (x) :
— если F1 (x) < F0 (x) , движение продолжается в выбранном направлении;
— если F1 (x) > F0 (x) , движение осуществляется в обратном направлении с уменьшен-
ным
шагом
(
λ
=
−
λ 2
).
Это условие используется до достижения оптимума на данном шаге с требуемой точно-
стью, таким образом xk+1 = xk + Dλ . После уточнения нового значения x шаг считается законченным, направление движе-
ния D изменяется и повторяются шаги с относительными оптимумами, пока не будет дос-
тигнуто удовлетворительное решение задачи.
Относительный оптимум на каждом шаге является точкой касания линии движения по
направлению D к некоторой линии уровня функционала F (x) .
Опишем широко используемые методы поиска оптимума.
Метод
перебора координат — простой, в нем не применяются производные
dF (x)
dx
.
Направление D(x) выбирается совпадающим на каждом шаге с одной из осей координат ги-
перплоскости x . Движение осуществляется с некоторым шагом вдоль произвольной коорди-
наты xi до определения промежуточного оптимума. Затем движение осуществляется вдоль
оси xi+1 и реализуется второй шаг, до тех пор пока не произойдет перебор всех координат x
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
Расчет физико-механических характеристик винтовых элементов стержней
27
задачи. Затем следует вернуться к координате xi и повторить все действия до достижения
удовлетворительного результата. К достоинствам метода относятся простота, отсутствие необходимости в расчете произ-
водных; к недостаткам: как правило, большое количество шагов и иногда фактическая невоз-
можность довести решение до конца в случае сложной, сильно искривленной конфигурации
линий уровня. Метод „деформируемого симплекса“. Реализация алгоритма начинается с задания n+1
точки (стартовый симплекс) для гиперплоскости x , что довольно трудно, с этой целью ис-
пользуется некоторая подпрограмма.
Затем для всех n+1 точек определяются значения всех функций и функционалов F (x) ,
далее производится оценка всех n+1 точек по величине F (x) , в результате определяются
„худшая точка“, в которой F (x) имеет наибольшее значение (ей присваивается номер 1), и
„лучшая“ — где наименьшее (номер n+1).
Далее определяется вектор D(x) (направление движения).
Метод аппроксимации параболой сечения поверхности отклика плоскостью, содержа-
щей нормаль поверхности в рассматриваемой точке и перпендикулярной гиперплоскости па-
раметров x . Такое коническое сечение является параболой, и если найти константы параболы, можно одним вычислительным шагом спуститься к ее критическому значению, т.е. с той или иной точностью совершить шаг промежуточной оптимизации.
Достоинством метода является очень высокая скорость расчета, так как отсутствует не-
обходимость „осторожного“ передвижения малыми шагами с расчетом функционала и часто
производных. Надежно и быстро может быть получено решение с требуемой точностью при умеренном количестве шагов.
Чрезвычайно эффективным методом оптимизации является метод, условно назы-
ваемый „Гребень“, позволяющий максимально придерживаться линии „гребня“ поверх-
ности отклика, т.е. линии наиболее глубокой и наиболее пологой части „дна долины“ поверхности отклика. Метод использует два типа шагов и основан на геометрических свойствах поверхностей (гиперповерхностей). Производная от F (x) по x , как уже гово-
рилось, геометрически является нормалью к поверхности (и линии уровня) и имеет определенную величину (4). Если двигаться в некотором направлении и последовательно
оценивать производную
dF (x)
dx
,
можно
получить
множество критических значений
на
„гребне“ (первый тип шагов). Далее при движении по гребню оценивается величина F(x)
(второй тип шагов). Достоинством метода является возможность решить при малом числе шагов практи-
чески любую задачу с произвольной топологией линий уровня F (x) . К недостаткам отно-
сится большое число арифметических операций при определении производных и нормали на каждом малом шаге и, следовательно, относительно большое время работы процес-
сора, зависящее от изначальной математической модели задачи f (x), ..., fm (x) .
Примеры расчета. В работе в качестве модулей растяжения α11, кручения α22, растяжения-кручения α12 использованы данные систематических исследований по механике кабеля. В табл. 1 приведены характеристики двух типов кабеля КГ 3×4+1×2. В табл. 2 приведены расчетные данные для кабеля, полученные вероятностным методом [1, 2], численные значения
интегральных упругих постоянных, полученные на основе детерминированного подхода [1],
а также методом приведенного оригинального функционала.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
28 В. М. Мусалимов, Г. Б. Заморуев, А. Д. Перечесова
Таблица 1 № α11, Па α12, Па α22, Па 1 2,42·109 1,80·106 5,55·105 2 2,20·109 1,94·106 4,23·105
Метод
Вероятностный На основе детерминированного подхода Приведенного функционала для различных ν1
E1, Па
12
2,38⋅109
2,16⋅109
2,42⋅109
2,21⋅109
2,4465⋅109 2,4462⋅109
2,2250⋅109 2,2260⋅109
G1, Па
12
1,66⋅109
1,50⋅109
3,53⋅108
2,37⋅108
7,2913⋅108 6,5977⋅108 7,3056⋅108 6,5450⋅108
1 0,300
Таблица 2
ν1 2
0,304
0,266 0,428
0,300 0,266
0,304 0,428
На рис. 2—5 для ν1=0,3 приведены оценки, полученные с помощью алгоритмов описанных методов. В качестве исходных данных использованы параметры, указанные в строке 1
табл. 1, угол наклона к оси анизотропии упруго-эквивалентных спиралей α0 = 15°. Рис. 2 —
программа „Парабола“; 3 — „Гребень“; 4 — „Координатная“; 5 — „Симплекс“ (а — графиче-
ское отображение работы программы оптимизации; б — увеличенное графическое отображе-
ние работы программы оптимизации). Результат: E1=2,4465⋅109 Па, G1=7,2913⋅108 Па.
а) б)
G1, 1010 Па 3
G1, 108 Па 12
2 10
18
0 6
–1 –2 4
–3 2
–3 –2 –1 0 1 2 Е1, 1010 Па
1,8 2 2,2 2,4 2,6 Е1, 109 Па
Рис. 2
а) G1, 1010 Па
3
2
б) G1, 108 Па
7,4
1 7,3
0
–1 7,2
–2
–3 –3 –2 –1 0 1 2 Е1, 1010 Па Рис. 3
2,43 2,44 2,45 2,46 Е1, 109 Па
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
Расчет физико-механических характеристик винтовых элементов стержней
29
а) G1, 1010 Па
б) G1, 109 Па
38
26
14
2 00
–1 –2
–2
–3 –3 –2 –1
а) G1, 1010 Па
3 2
1
01
–4 –6
2 Е1, 1010 Па
–8
Рис. 4
б) G1, 109 Па
8
6
4 2
–4
–2
0
2 Е1, 109 Па
00
–2 –1
–4 –2 –6
–3
–3 –2 –1 0 1 2 Е1, 1010 Па
–8 –4 –2
0 2 Е1, 109 Па
Рис. 5
Следует отметить, что с помощью оптимизаторов вычисляются все значения физико-
механических характеристик E1, G1 для 0≤ν1≤5, в то время как для первых двух методов приведены значения наиболее вероятных их значений. На рис. 6 показан характер изменения от-
ношения E1/G1 в зависимости от функции ν1.
Е1/G1
3,42
3,4
3,38
3,36
3,34
3,32
3,3 0
0,1 0,2 0,3 0,4 Рис. 6
ν1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
30 С. В. Сычев, Ю. А. Фадин
Заключение. В настоящей работе развиты новые подходы к оценке физико-механических характеристик винтовых элементов САС. Показано, что предложенные методы оптимизации позволяют эффективно решать слабообусловленные нелинейные системы алгебраических уравнений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мусалимов В. М. Механика деформируемого кабеля. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. 203 с.
2. Мусалимов В. М., Мокряк С. Я., Соханев Б. В., Шиянов В. Д. Определение упругих характеристик гибких кабелей на основе модели спирально-анизотропного тела // Механика композитных материалов. 1984. № 1. С. 136—141.
3. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. 241 с.
Виктор Михайлович Мусалимов Георгий Борисович Заморуев Анна Дмитриевна Перечесова
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: musvm@yandex.ru — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: georgyz09@gmail.com — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: perechesova@gmail.com
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 29.02.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6