Например, Бобцов

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН

42
УДК 621.865.8-781.2.001.63

А. В. АМВРОСЬЕВА
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН

На основании расчетов напряжений для пьезоэлектрических пластин без трещин были найдены коэффициенты интенсивности напряжений для трещин, возникающих в этих пластинах. При расчетах учитывался поправочный коэффициент для конечного тела.

Ключевые слова: пьезоэлектрическая пластина, коэффициент интенсивности напряжений, поправочный коэффициент.

В настоящее время пьезокерамика все чаще используется в технических устройствах,

например, в биморфах для пьезоэлектрических схватов, зондов для литографии и др. Функ-

циональные детали из пьезокерамики обычно выполняются в форме стержня или пластины.

Как показывают опыты, пьезопластины работают в условиях циклических и статических на-

грузок. Поэтому расчеты напряженно-деформированного состояния этих пластин, учет нали-

чия трещин и вычисление коэффициентов интенсивности напряжений являются основой про-

гнозирования работоспособности и надежности конструкции на их основе [1—6].

Расчет коэффициента интенсивности напряжений пластины с поверхностной тре-

щиной. Проанализируем три варианта нагружения пластины (длина L = 100 мм, длина под-

вижной части пластины L1=80 мм, высота b = 22 мм, ширина h = 2,5 мм) с поверхностной

трещиной, занимающей область 0 ≤ x1 ≤ L,

x3

<

h. 2

К поверхностям пластины приложены электроды с электрическим потенциалом V=±80 В

и сила P=5H [2]. Длина трещины в пластине l = 0,2 мм .

1. Пластина с электродированными поверхностями

x3

=

±

h 2

(поляризация по оси

x3 ) (рис.

1). Найдем коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва KI :

hh

KI =

∫1
πl

2

σx1 (x3 )

h 2

−l

∫l +
l−

x3 x3

dx3

=

M I πl

2

h 2

−l

x3 (l l2

+ −

xx332)dx3

=



=

M I πl

⎢ ⎣⎢⎢l

⎛ ⎜⎜⎝

h−

h2l2 4



l2



h2 4

⎞ ⎠⎟⎟

+

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

⎛ ⎜⎝

h 2



l

⎞ ⎠⎟

h− 2

h2l 4



h 4

⎞⎤

h2



l2 4

⎟ ⎟ ⎟⎠

+

πl 2 2

⎥ ⎥ ⎦⎥

=

M

πl

l 2I

,

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6

Расчет коэффициентов интенсивности напряжений для пьезоэлектрических пластин 43

где

Y

⎛ ⎜⎝

l L

⎞ ⎟⎠



⎛ ⎝⎜

l 2I

⎞ ⎠⎟



поправочный

коэффициент

для

конечного

тела,

инерции.

Путем математических вычислений получаем:

I

=

bh3 12

— момент

KI = 1, 4 ⋅103 Н м3 2 .

Нормальные напряжения σx1 (x3) , возникающие в пластине при изгибе, могут быть найдены с использованием следующих уравнений:

σ x1 M

(x3) =

=

N

h 2

M I

x3 ,

= 199,38

⋅10−5

Н



м,

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪

N = σ11S = 159, 5 ⋅10−2 Н;

⎪ ⎭⎪

σ11 = ε11E33 = 2,9 ⋅104 Н м2 ;

ε11 =

∂u1 ∂x1

=

d31

V0 h

= 0, 547 ⋅10−6 ,

где ε — линейная деформация.

x3

h

L1 L

Рис. 1

x1 b

Таким образом, механическое напряжение σ11 выражено через функцию электрическо-

го напряжения V и параметров; E — модуль Юнга, d31 — пьезомодуль: σ = σ(V ; d31, E ) [1].

В расчетах использован поправочный коэффициент для чистого изгиба в связи с тем,

что нагружение биморфа напряжениями σ11 (рис. 2) эквивалентно нагружению моментами M — парой сил (рис. 3) [3].

2. Пластина, нагруженная силой Р, на расстоянии от заделки L1 с неэлектродирован-

ными поверхностями

x3

=

±

h 2

(рис. 4). Найдем коэффициент интенсивности напряжений для

трещины поперечного сдвига KII :

KII =

h

∫1
πl

2
l

h 2

−l

τx3x1 (x3 )

h

∫l
l

+ −

x3 x3

dx3

=

3P 2bh πl

2

h 2

−l

⎛⎝⎜1



4 h2

x32

⎞ ⎟⎠

(l + x3 ) dx = l2 − x32

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6

44 А. В. Амвросьева

=

3P 2bh πl

⎡⎛ ⎣⎢⎢⎜⎜⎝

πl

+

h−

h2l2 4



h2



l2 4

⎞ ⎟⎠⎟ −



4 h2

⎛ ⎜ ⎜⎜⎝

hl 2



l2

h



h2l2 4

2



hl 4

h2



l2 4

+

l

3π 2

+

3l

2

+

h 4



hl

3

h−

h2l2 4



2l

h2 +4 3

⎞⎤

h2



l2 4

⎟⎥ ⎟⎠⎟⎦⎥⎥ ,

где

τx3x1 (x3 ) =

3P 2bh

⎛⎜⎝1



4 h2

x32

⎞ ⎟⎠



касательные напряжения.

В результате получим:

KII = 6,9 ⋅103 Н м3 2 .

В данном случае использован поправочный коэффициент для поперечного изгиба (рис. 5).

3. Пластина, нагруженная силой P, на расстоянии от заделки L1 с электродированными

поверхностями

x3

=

±

h 2

(рис.

6). Найдем

эффективный коэффициент интенсивности

напряжений [3]:

K

2 эф

=

K

2 I

+

KI2I ,

Kэф = 7,1⋅103 Н м3 2 .

Расчет коэффициента интенсивности напряжений пластины с внутренней трещи-

ной. Была рассмотрена та же пластина с аналогичными нагрузками.

1. Пластина с электродированными

поверхностями

x3

=

±

h 2

(поляризация по оси

x3 ).

Найдем коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва KI :

∫ ∫KI =

1 πl

l
σx1 (x3 )
−l

l l

+ −

x3 x3

dx3

=

I

M πl

l −l

x3 (l l2

+ −

xx332)dx3

=

M

πl

l 2I

,

путем математических вычислений получим:

KI = 1,8 ⋅102 Н м3 2 .

2. Пластина, нагруженная силой Р, на расстоянии от заделки L1 с неэлектродированны-

ми поверхностями

x3

=

±

h 2

.

Найдем

коэффициент

интенсивности

напряжений

для

трещины

поперечного сдвига KII :

∫ ∫KII =

1 πl

l
τx3x1 (x3 )
−l

l l

+ −

x3 x3

dx3

=

3P 2bh πl

l −l

⎜⎝⎛1



4 h2

x32

⎞ ⎠⎟

(l + x3 ) l2 − x32

dx3

=

3P πl 2bh

⎢⎡1 − ⎣⎢

l2 h2

⎤ ⎥ ⎦⎥

.

В результате получим:

KII = 3, 4 ⋅103 Н м3 2 .

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6

Расчет коэффициентов интенсивности напряжений для пьезоэлектрических пластин

σраст

σраст

45

σсж Nраст
Nсж

σсж Nраст
Nсж

ММ

σmax

М

σmin

L1

Рис. 2 x3
l
Рис. 3
L Рис. 4
x3 l

σmax x1
М σmin

P x3

h b

x1

P x1

τ

Рис. 5

V P x3

L1 L

h b

x1

Рис. 6
Заключение. Установлено, что в заданных условиях нагружения пьезоэлектрических пластин значения коэффициентов интенсивности напряжений для поверхностных трещин нормального отрыва и поперечного сдвига сравнимы по порядку. В работе представлен пример редуцирования задачи о линейных деформациях в задачу об изгибе. Из приведенных

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6

46 В. В. Биндюк
уравнений видно, что напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрической пластины при изгибе определяется внешним полем для системы трещин.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бардзокас Д. И., Зобнин А. И., Сеник Н. А., Фильштинский М. Л. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Введение в теорию термопьезоэлектричества. М., 2010. Т. 1. 312 с.

2. Смирнов А. Б. Системы микроперемещений с пьезоэлектрическими приводами: Мехатроника и Робототехника. СПб: Изд-во СПБГПУ, 2003. 160 с.

3. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.

4. Амвросьева А. В. Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрических пластин с трещиной: Автореф. дис. … канд. техн. наук. СПб, 2011. 19 с.

5. Амвросьева А. В., Мусалимов В. М. Связанные поля перемещений в нагруженной пьезокерамической консоли с трещиной // Вестн. НГУ им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (4). С. 1347—1348.

6. Amvrosieva A., Musalimov V. Fatigue fracture of miniature piezoelectric grabs // Proc. XV Intern. Colloquium Mechanical Fatigue of Metals. Opole, 2010. Р. 2—3.

Анна Владимировна Амвросьева

Сведения об авторе — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследователь-
ский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: destyni@mail.ru

Рекомендована кафедрой мехатроники

Поступила в редакцию 29.02.12 г.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6