РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН
42
УДК 621.865.8-781.2.001.63
А. В. АМВРОСЬЕВА
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН
На основании расчетов напряжений для пьезоэлектрических пластин без трещин были найдены коэффициенты интенсивности напряжений для трещин, возникающих в этих пластинах. При расчетах учитывался поправочный коэффициент для конечного тела.
Ключевые слова: пьезоэлектрическая пластина, коэффициент интенсивности напряжений, поправочный коэффициент.
В настоящее время пьезокерамика все чаще используется в технических устройствах,
например, в биморфах для пьезоэлектрических схватов, зондов для литографии и др. Функ-
циональные детали из пьезокерамики обычно выполняются в форме стержня или пластины.
Как показывают опыты, пьезопластины работают в условиях циклических и статических на-
грузок. Поэтому расчеты напряженно-деформированного состояния этих пластин, учет нали-
чия трещин и вычисление коэффициентов интенсивности напряжений являются основой про-
гнозирования работоспособности и надежности конструкции на их основе [1—6].
Расчет коэффициента интенсивности напряжений пластины с поверхностной тре-
щиной. Проанализируем три варианта нагружения пластины (длина L = 100 мм, длина под-
вижной части пластины L1=80 мм, высота b = 22 мм, ширина h = 2,5 мм) с поверхностной
трещиной, занимающей область 0 ≤ x1 ≤ L,
x3
<
h. 2
К поверхностям пластины приложены электроды с электрическим потенциалом V=±80 В
и сила P=5H [2]. Длина трещины в пластине l = 0,2 мм .
1. Пластина с электродированными поверхностями
x3
=
±
h 2
(поляризация по оси
x3 ) (рис.
1). Найдем коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва KI :
hh
KI =
∫1
πl
2
σx1 (x3 )
h 2
−l
∫l +
l−
x3 x3
dx3
=
M I πl
2
h 2
−l
x3 (l l2
+ −
xx332)dx3
=
⎡
=
M I πl
⎢ ⎣⎢⎢l
⎛ ⎜⎜⎝
h−
h2l2 4
−
l2
−
h2 4
⎞ ⎠⎟⎟
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
⎛ ⎜⎝
h 2
−
l
⎞ ⎠⎟
h− 2
h2l 4
−
h 4
⎞⎤
h2
−
l2 4
⎟ ⎟ ⎟⎠
+
πl 2 2
⎥ ⎥ ⎦⎥
=
M
πl
l 2I
,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
Расчет коэффициентов интенсивности напряжений для пьезоэлектрических пластин 43
где
Y
⎛ ⎜⎝
l L
⎞ ⎟⎠
≈
⎛ ⎝⎜
l 2I
⎞ ⎠⎟
—
поправочный
коэффициент
для
конечного
тела,
инерции.
Путем математических вычислений получаем:
I
=
bh3 12
— момент
KI = 1, 4 ⋅103 Н м3 2 .
Нормальные напряжения σx1 (x3) , возникающие в пластине при изгибе, могут быть найдены с использованием следующих уравнений:
σ x1 M
(x3) =
=
N
h 2
M I
x3 ,
= 199,38
⋅10−5
Н
⋅
м,
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
N = σ11S = 159, 5 ⋅10−2 Н;
⎪ ⎭⎪
σ11 = ε11E33 = 2,9 ⋅104 Н м2 ;
ε11 =
∂u1 ∂x1
=
d31
V0 h
= 0, 547 ⋅10−6 ,
где ε — линейная деформация.
x3
h
L1 L
Рис. 1
x1 b
Таким образом, механическое напряжение σ11 выражено через функцию электрическо-
го напряжения V и параметров; E — модуль Юнга, d31 — пьезомодуль: σ = σ(V ; d31, E ) [1].
В расчетах использован поправочный коэффициент для чистого изгиба в связи с тем,
что нагружение биморфа напряжениями σ11 (рис. 2) эквивалентно нагружению моментами M — парой сил (рис. 3) [3].
2. Пластина, нагруженная силой Р, на расстоянии от заделки L1 с неэлектродирован-
ными поверхностями
x3
=
±
h 2
(рис. 4). Найдем коэффициент интенсивности напряжений для
трещины поперечного сдвига KII :
KII =
h
∫1
πl
2
l
h 2
−l
τx3x1 (x3 )
h
∫l
l
+ −
x3 x3
dx3
=
3P 2bh πl
2
h 2
−l
⎛⎝⎜1
−
4 h2
x32
⎞ ⎟⎠
(l + x3 ) dx = l2 − x32
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
44 А. В. Амвросьева
=
3P 2bh πl
⎡⎛ ⎣⎢⎢⎜⎜⎝
πl
+
h−
h2l2 4
−
h2
−
l2 4
⎞ ⎟⎠⎟ −
−
4 h2
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
hl 2
−
l2
h
−
h2l2 4
2
−
hl 4
h2
−
l2 4
+
l
3π 2
+
3l
2
+
h 4
−
hl
3
h−
h2l2 4
−
2l
h2 +4 3
⎞⎤
h2
−
l2 4
⎟⎥ ⎟⎠⎟⎦⎥⎥ ,
где
τx3x1 (x3 ) =
3P 2bh
⎛⎜⎝1
−
4 h2
x32
⎞ ⎟⎠
—
касательные напряжения.
В результате получим:
KII = 6,9 ⋅103 Н м3 2 .
В данном случае использован поправочный коэффициент для поперечного изгиба (рис. 5).
3. Пластина, нагруженная силой P, на расстоянии от заделки L1 с электродированными
поверхностями
x3
=
±
h 2
(рис.
6). Найдем
эффективный коэффициент интенсивности
напряжений [3]:
K
2 эф
=
K
2 I
+
KI2I ,
Kэф = 7,1⋅103 Н м3 2 .
Расчет коэффициента интенсивности напряжений пластины с внутренней трещи-
ной. Была рассмотрена та же пластина с аналогичными нагрузками.
1. Пластина с электродированными
поверхностями
x3
=
±
h 2
(поляризация по оси
x3 ).
Найдем коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва KI :
∫ ∫KI =
1 πl
l
σx1 (x3 )
−l
l l
+ −
x3 x3
dx3
=
I
M πl
l −l
x3 (l l2
+ −
xx332)dx3
=
M
πl
l 2I
,
путем математических вычислений получим:
KI = 1,8 ⋅102 Н м3 2 .
2. Пластина, нагруженная силой Р, на расстоянии от заделки L1 с неэлектродированны-
ми поверхностями
x3
=
±
h 2
.
Найдем
коэффициент
интенсивности
напряжений
для
трещины
поперечного сдвига KII :
∫ ∫KII =
1 πl
l
τx3x1 (x3 )
−l
l l
+ −
x3 x3
dx3
=
3P 2bh πl
l −l
⎜⎝⎛1
−
4 h2
x32
⎞ ⎠⎟
(l + x3 ) l2 − x32
dx3
=
3P πl 2bh
⎢⎡1 − ⎣⎢
l2 h2
⎤ ⎥ ⎦⎥
.
В результате получим:
KII = 3, 4 ⋅103 Н м3 2 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
Расчет коэффициентов интенсивности напряжений для пьезоэлектрических пластин
σраст
σраст
45
σсж Nраст
Nсж
σсж Nраст
Nсж
ММ
σmax
М
σmin
L1
Рис. 2 x3
l
Рис. 3
L Рис. 4
x3 l
σmax x1
М σmin
P x3
h b
x1
P x1
τ
Рис. 5
V P x3
L1 L
h b
x1
Рис. 6
Заключение. Установлено, что в заданных условиях нагружения пьезоэлектрических пластин значения коэффициентов интенсивности напряжений для поверхностных трещин нормального отрыва и поперечного сдвига сравнимы по порядку. В работе представлен пример редуцирования задачи о линейных деформациях в задачу об изгибе. Из приведенных
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
46 В. В. Биндюк
уравнений видно, что напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрической пластины при изгибе определяется внешним полем для системы трещин.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бардзокас Д. И., Зобнин А. И., Сеник Н. А., Фильштинский М. Л. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Введение в теорию термопьезоэлектричества. М., 2010. Т. 1. 312 с.
2. Смирнов А. Б. Системы микроперемещений с пьезоэлектрическими приводами: Мехатроника и Робототехника. СПб: Изд-во СПБГПУ, 2003. 160 с.
3. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.
4. Амвросьева А. В. Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрических пластин с трещиной: Автореф. дис. … канд. техн. наук. СПб, 2011. 19 с.
5. Амвросьева А. В., Мусалимов В. М. Связанные поля перемещений в нагруженной пьезокерамической консоли с трещиной // Вестн. НГУ им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (4). С. 1347—1348.
6. Amvrosieva A., Musalimov V. Fatigue fracture of miniature piezoelectric grabs // Proc. XV Intern. Colloquium Mechanical Fatigue of Metals. Opole, 2010. Р. 2—3.
Анна Владимировна Амвросьева
Сведения об авторе — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследователь-
ский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: destyni@mail.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 29.02.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
УДК 621.865.8-781.2.001.63
А. В. АМВРОСЬЕВА
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН
На основании расчетов напряжений для пьезоэлектрических пластин без трещин были найдены коэффициенты интенсивности напряжений для трещин, возникающих в этих пластинах. При расчетах учитывался поправочный коэффициент для конечного тела.
Ключевые слова: пьезоэлектрическая пластина, коэффициент интенсивности напряжений, поправочный коэффициент.
В настоящее время пьезокерамика все чаще используется в технических устройствах,
например, в биморфах для пьезоэлектрических схватов, зондов для литографии и др. Функ-
циональные детали из пьезокерамики обычно выполняются в форме стержня или пластины.
Как показывают опыты, пьезопластины работают в условиях циклических и статических на-
грузок. Поэтому расчеты напряженно-деформированного состояния этих пластин, учет нали-
чия трещин и вычисление коэффициентов интенсивности напряжений являются основой про-
гнозирования работоспособности и надежности конструкции на их основе [1—6].
Расчет коэффициента интенсивности напряжений пластины с поверхностной тре-
щиной. Проанализируем три варианта нагружения пластины (длина L = 100 мм, длина под-
вижной части пластины L1=80 мм, высота b = 22 мм, ширина h = 2,5 мм) с поверхностной
трещиной, занимающей область 0 ≤ x1 ≤ L,
x3
<
h. 2
К поверхностям пластины приложены электроды с электрическим потенциалом V=±80 В
и сила P=5H [2]. Длина трещины в пластине l = 0,2 мм .
1. Пластина с электродированными поверхностями
x3
=
±
h 2
(поляризация по оси
x3 ) (рис.
1). Найдем коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва KI :
hh
KI =
∫1
πl
2
σx1 (x3 )
h 2
−l
∫l +
l−
x3 x3
dx3
=
M I πl
2
h 2
−l
x3 (l l2
+ −
xx332)dx3
=
⎡
=
M I πl
⎢ ⎣⎢⎢l
⎛ ⎜⎜⎝
h−
h2l2 4
−
l2
−
h2 4
⎞ ⎠⎟⎟
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
⎛ ⎜⎝
h 2
−
l
⎞ ⎠⎟
h− 2
h2l 4
−
h 4
⎞⎤
h2
−
l2 4
⎟ ⎟ ⎟⎠
+
πl 2 2
⎥ ⎥ ⎦⎥
=
M
πl
l 2I
,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
Расчет коэффициентов интенсивности напряжений для пьезоэлектрических пластин 43
где
Y
⎛ ⎜⎝
l L
⎞ ⎟⎠
≈
⎛ ⎝⎜
l 2I
⎞ ⎠⎟
—
поправочный
коэффициент
для
конечного
тела,
инерции.
Путем математических вычислений получаем:
I
=
bh3 12
— момент
KI = 1, 4 ⋅103 Н м3 2 .
Нормальные напряжения σx1 (x3) , возникающие в пластине при изгибе, могут быть найдены с использованием следующих уравнений:
σ x1 M
(x3) =
=
N
h 2
M I
x3 ,
= 199,38
⋅10−5
Н
⋅
м,
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
N = σ11S = 159, 5 ⋅10−2 Н;
⎪ ⎭⎪
σ11 = ε11E33 = 2,9 ⋅104 Н м2 ;
ε11 =
∂u1 ∂x1
=
d31
V0 h
= 0, 547 ⋅10−6 ,
где ε — линейная деформация.
x3
h
L1 L
Рис. 1
x1 b
Таким образом, механическое напряжение σ11 выражено через функцию электрическо-
го напряжения V и параметров; E — модуль Юнга, d31 — пьезомодуль: σ = σ(V ; d31, E ) [1].
В расчетах использован поправочный коэффициент для чистого изгиба в связи с тем,
что нагружение биморфа напряжениями σ11 (рис. 2) эквивалентно нагружению моментами M — парой сил (рис. 3) [3].
2. Пластина, нагруженная силой Р, на расстоянии от заделки L1 с неэлектродирован-
ными поверхностями
x3
=
±
h 2
(рис. 4). Найдем коэффициент интенсивности напряжений для
трещины поперечного сдвига KII :
KII =
h
∫1
πl
2
l
h 2
−l
τx3x1 (x3 )
h
∫l
l
+ −
x3 x3
dx3
=
3P 2bh πl
2
h 2
−l
⎛⎝⎜1
−
4 h2
x32
⎞ ⎟⎠
(l + x3 ) dx = l2 − x32
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
44 А. В. Амвросьева
=
3P 2bh πl
⎡⎛ ⎣⎢⎢⎜⎜⎝
πl
+
h−
h2l2 4
−
h2
−
l2 4
⎞ ⎟⎠⎟ −
−
4 h2
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
hl 2
−
l2
h
−
h2l2 4
2
−
hl 4
h2
−
l2 4
+
l
3π 2
+
3l
2
+
h 4
−
hl
3
h−
h2l2 4
−
2l
h2 +4 3
⎞⎤
h2
−
l2 4
⎟⎥ ⎟⎠⎟⎦⎥⎥ ,
где
τx3x1 (x3 ) =
3P 2bh
⎛⎜⎝1
−
4 h2
x32
⎞ ⎟⎠
—
касательные напряжения.
В результате получим:
KII = 6,9 ⋅103 Н м3 2 .
В данном случае использован поправочный коэффициент для поперечного изгиба (рис. 5).
3. Пластина, нагруженная силой P, на расстоянии от заделки L1 с электродированными
поверхностями
x3
=
±
h 2
(рис.
6). Найдем
эффективный коэффициент интенсивности
напряжений [3]:
K
2 эф
=
K
2 I
+
KI2I ,
Kэф = 7,1⋅103 Н м3 2 .
Расчет коэффициента интенсивности напряжений пластины с внутренней трещи-
ной. Была рассмотрена та же пластина с аналогичными нагрузками.
1. Пластина с электродированными
поверхностями
x3
=
±
h 2
(поляризация по оси
x3 ).
Найдем коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва KI :
∫ ∫KI =
1 πl
l
σx1 (x3 )
−l
l l
+ −
x3 x3
dx3
=
I
M πl
l −l
x3 (l l2
+ −
xx332)dx3
=
M
πl
l 2I
,
путем математических вычислений получим:
KI = 1,8 ⋅102 Н м3 2 .
2. Пластина, нагруженная силой Р, на расстоянии от заделки L1 с неэлектродированны-
ми поверхностями
x3
=
±
h 2
.
Найдем
коэффициент
интенсивности
напряжений
для
трещины
поперечного сдвига KII :
∫ ∫KII =
1 πl
l
τx3x1 (x3 )
−l
l l
+ −
x3 x3
dx3
=
3P 2bh πl
l −l
⎜⎝⎛1
−
4 h2
x32
⎞ ⎠⎟
(l + x3 ) l2 − x32
dx3
=
3P πl 2bh
⎢⎡1 − ⎣⎢
l2 h2
⎤ ⎥ ⎦⎥
.
В результате получим:
KII = 3, 4 ⋅103 Н м3 2 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
Расчет коэффициентов интенсивности напряжений для пьезоэлектрических пластин
σраст
σраст
45
σсж Nраст
Nсж
σсж Nраст
Nсж
ММ
σmax
М
σmin
L1
Рис. 2 x3
l
Рис. 3
L Рис. 4
x3 l
σmax x1
М σmin
P x3
h b
x1
P x1
τ
Рис. 5
V P x3
L1 L
h b
x1
Рис. 6
Заключение. Установлено, что в заданных условиях нагружения пьезоэлектрических пластин значения коэффициентов интенсивности напряжений для поверхностных трещин нормального отрыва и поперечного сдвига сравнимы по порядку. В работе представлен пример редуцирования задачи о линейных деформациях в задачу об изгибе. Из приведенных
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6
46 В. В. Биндюк
уравнений видно, что напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрической пластины при изгибе определяется внешним полем для системы трещин.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бардзокас Д. И., Зобнин А. И., Сеник Н. А., Фильштинский М. Л. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Введение в теорию термопьезоэлектричества. М., 2010. Т. 1. 312 с.
2. Смирнов А. Б. Системы микроперемещений с пьезоэлектрическими приводами: Мехатроника и Робототехника. СПб: Изд-во СПБГПУ, 2003. 160 с.
3. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.
4. Амвросьева А. В. Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрических пластин с трещиной: Автореф. дис. … канд. техн. наук. СПб, 2011. 19 с.
5. Амвросьева А. В., Мусалимов В. М. Связанные поля перемещений в нагруженной пьезокерамической консоли с трещиной // Вестн. НГУ им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (4). С. 1347—1348.
6. Amvrosieva A., Musalimov V. Fatigue fracture of miniature piezoelectric grabs // Proc. XV Intern. Colloquium Mechanical Fatigue of Metals. Opole, 2010. Р. 2—3.
Анна Владимировна Амвросьева
Сведения об авторе — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследователь-
ский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: destyni@mail.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 29.02.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 6