КОМПЕНСАЦИЯ ЗАДЕРЖКИ СИГНАЛА В ЦИФРОВЫХ СГЛАЖИВАЮЩИХ ФИЛЬТРАХ
ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
КОМПЕНСАЦИЯ ЗАДЕРЖКИ СИГНАЛА В ЦИФРОВЫХ СГЛАЖИВАЮЩИХ ФИЛЬТРАХ
Показано, что подавление узкополосных помех сглаживающими фильтрами приводит к значительной задержке сигнала. Исследована возможность компенсации задержки сигнала экстраполяторами. Оценено влияние экстраполяторов на уровень шумов квантования.
Ключевые слова: дискретизация сигнала, подавление помехи, задержка сигнала, экстраполирование, шумы квантования.
В цифровых системах обработки сигналов помимо узкополосных и широкополосных
помех дополнительно действуют шумы квантования сигнала по уровню, вызванные работой
аналого-цифрового преобразователя.
Рассмотрим задачу выделения гармонического сигнала на фоне шумов квантования и
гармонической помехи с частотой ωп . Для снижения влияния помех используются сглаживающие фильтры с необходимой частотной характеристикой. Однако применение сглажи-
вающих фильтров неизбежно приводит к задержке сигнала, что в ряде практических случаев
недопустимо.
Пусть в качестве сглаживающих фильтров используются фильтры Баттерворта нижних
частот [см. лит.], имеющие наиболее крутой спад амплитудно-частотной характеристики
(АЧХ) в области высоких частот.
В непрерывном варианте частотные передаточные функции фильтров Баттерворта
имеют вид
∑Ws ( jω) = 1
⎡ ⎢1 + ⎢⎣
s i=1
ai
⎛ ⎜⎝
j
ω ω0
⎞i ⎟⎠
⎤ ⎥, ⎦⎥
(1)
где s — порядок фильтра, ω0 — частота среза, ai — весовые коэффициенты.
При этом для фильтра первого порядка (s=1) a1 = 1 ; второго (s=2) — a1 = 2, a2 = 1;
третьего (s=3) — a1 = 2, a2 = 2 a3 = 1 ; четвертого (s=4) — a1 = 2, 613;
a2 = 3, 414; a3 = 2, 613; a4 = 1. Сделав замену в формуле (1)
jω
=
2 T
z z
− +
1 1
,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
22 С. И. Зиатдинов
где z = e jωT , T — период дискретизации входного сигнала, получим частотную передаточную функцию дискретного фильтра Баттерворта в плоскости z
Здесь для s=1:
для s=2:
∑Ws (z) = a1(1 + z−1)s
⎢⎡1 +
s
bi
z
−i
⎤ ⎥
.
⎣⎢ i=1
⎥⎦
a1 = T / (T + 2ω0−1); b1 = (T − 2ω0−1) (T + 2ω0−1) ;
(2)
a1 = T 2 (4ω0−2 + 2 2Tω0−1 + T 2 ) ; b1 = 2(T 2 − 4ω0−2 ) (4ω0−2 + 2 2Tω0−1 + T 2 );
b2 = (4ω0−2 − 2 2Tω0−1 + T 2 ) (4ω0−2 + 2 2Tω0−1 + T 2 ) ; для s=3:
a1 = T 3 (8ω0−3 + 8Tω0−2 + 4T 2ω0−1 + T 3 ); b1 = −(24ω0−3 + 16Tω0−2 − 8T 2ω0−1 − 3T 3 ) (8ω0−3 + 8Tω0−2 + 4T 2ω0−1 + T 3 ); b2 = (24ω0−3 − 8Tω0−2 − 4T 2ω0−1 + 3T 3 ) (8ω0−3 + 8Tω0−2 + 4T 2ω0−1 + T 3 );
b3 = −(8ω0−3 − 8Tω0−2 + 4T 2ω0−1 − T 3 ) (8ω0−3 + 8Tω0−2 + 4T 2ω0−1 + T 3 );
для s=4:
a1 = T 4 (16ω0−4 + 20, 904Tω0−3 + 13, 656T 2ω0−2 + 5, 226T 3ω0−1 + T 4 );
b1
=
− 16ω0−4
64ω0−4 + 41,808Tω0−3 − 5, 226T 3ω0−1 − 4T 4 + 20,904Tω0−3 + 13, 656T 2ω0−2 + 5, 226T 3ω0−1
+T4
;
b2
=
16ω0−4
+
96ω0−4 − 27,312T 2ω0−2 + 64T 4 20, 904Tω0−3 + 13, 656T 2ω0−2 + 5, 226T 3ω0−1
+T4
;
b3
=
− 16ω0−4
64ω0−4 − 41,808Tω0−3 + 10,542T 3ω0−1 − 4T 4 + 20, 904Tω0−3 + 13, 656T 2ω0−2 + 5, 226T 3ω0−1
+T4
;
b4
=
16ω0−4 16ω0−4
− 20, 904Tω0−3 + 20, 904Tω0−3
+ 13, 656T 2ω0−2 + 13, 656T 2ω0−2
− 5, 226T 3ω0−1 + 5, 226T 3ω0−1
+T4 +T4
.
Подавление гармонической помехи. Соотношение (2) позволяет записать АЧХ дискретных фильтров Баттерворта в виде
Ws (ω) = a12s coss (ωT / 2)
∑ ∑⎜⎝⎛⎜1+
s
bi
i=1
cos iωT
⎞2 ⎟⎟⎠
+
⎛ ⎜⎜⎝
s
bi
i=1
sin iωT
⎞2 ⎟⎠⎟
.
(3)
Из данной формулы видно, что для частоты ω , равной половине частоты дискретизации ωд = 2π/T , коэффициент передачи фильтра равен нулю. Следовательно, с учетом периодич-
ности функции cosx при частоте помехи ωп = π(1 + 2k)/T для k=0,1,2… имеет место полное подавление сигнала помехи. На практике обеспечить данное соотношение не всегда удается. В табл. 1 приведены результаты расчетов АЧХ дискретных фильтров Баттерворта вблизи частоты f = 1/2T при T=0,01 c и ω0 = 25 c−1 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
Компенсация задержки сигнала в цифровых сглаживающих фильтрах
23
f, Гц
s=1
Ws ( f )
s=2 s=3
s=4
15
0,238
0,060 1,48⋅10–2 3,6⋅10–3
20
0,170
0,030 5,1⋅10–3 8,76⋅10–4
25
0,124
0,016 2,0⋅10–3 2,44⋅10–4
30
0,090
0,008 7,49⋅10–4 6,80⋅10–5
35
0,064
0,004 2,58⋅10–4 1,64⋅10–5
40
0,041 1,6⋅10–3 6,7⋅10–5 2,72⋅10–6
Таблица 1
45 50
0,020
0
3,9⋅10–4
0
7,76⋅10–5
0
1,53⋅10–7
0
Из представленных данных следует, что подавление помехи на уровне 40 дБ достигает-
ся для фильтра первого порядка при fп >45 Гц; второго — при fп >30 Гц; третьего — при fп >15 Гц, четвертого — при fп >10 Гц.
Время задержки τ сигнала фильтром равно τ1 = 1/ω0 для s=1; τ2 = 2 /ω0 — для s=2; τ3 = 2/ω0 — для s=3 и τ4 = 2,613/ω0 — для s=4. При ω0 = 25 с–1 задержка сигнала фильтра-
ми составит 40; 56,6; 80 и 104,5 мс соответственно. Определим значение ошибки, вносимой сглаживающим фильтром при передаче гармо-
нического сигнала α(t) = Asin(βt + ψ), где A — амплитуда, β — круговая частота и ψ — слу-
чайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале –π—π. Выходной сигнал фильтра можно записать как αф (t) = Aф sin[β(t − τ) + ψ], где Aф , τ —
амплитуда и время задержки сигнала. При этом дисперсия ошибки составит
D
= [α(t) − αф (t)]2
=
0, 5 A2
⎛ ⎜⎜⎝1 +
Aф2 A2
−
2
Aф2 A2
⎞ cosβτ ⎠⎟⎟.
(4)
Для примера положим ω0 = 25 с–1, β=1,884 с–1. Тогда отношение (A − Aф ) / A < 0, 2 %
для всех порядков фильтров. При этом в выражении (4) без заметной погрешности можно по-
ложить Aф = A .
В результате получим D = 2 A2 sin2 (βτ / 2). Относительное среднеквадратическое от-
клонение составит ∆ = 2 sin(βτ / 2).
Результаты расчетов ∆ при ω0 = 25 с–1, β=1,884 с–1 для фильтров различных порядков
приведены в табл. 2.
Таблица 2
s1 2
3
4
τ, мc
40
56,6
80
104,5
∆, % 7,5 10,7 15,1
19,7
Рассмотрим возможность применения экстраполятора для снижения ошибок, связанных с задержкой сигнала сглаживающими фильтрами. В дискретном виде передаточная функция экстраполятора может быть представлена следующим образом:
m
∑Wэ ( jω) = bэi e−i( jωT ) , i=0
где bэi — коэффициенты экстраполирования; m — степень экстраполирования; T — период
следования отсчетов входного сигнала экстраполятора.
В случае линейной экстраполяции алгоритм работы экстраполятора имеет вид
αэ (t) = αф (t) + α ф (t)Tэ ,
(5)
где α ф — производная сигнала на выходе фильтра Баттерворта; Tэ — интервал экстраполи-
рования.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
24 С. И. Зиатдинов С учетом затухания сигнала в фильтре αф (t) = Ws (ω)α(t − τ),
где Ws (ω) — коэффициент передачи фильтра; τ — время задержки сигнала в фильтре.
Согласно [1]
Ws2 (ω) = 1
⎡ ⎢1 ⎢⎣
+
⎛ ⎜ ⎝
ω ω0
⎞2s ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
.
При использовании для вычисления производной α ф (t) первой обратной разности выражение (5) в дискретной форме принимает вид
αэ[k]
= Ws (ω) ⎧⎨α[k ⎩
− Tэ
/
T]+
T Tэ
{α[k
− Tэ
/
T]−
α[k
− 1 − Tэ
/
T ]}⎫⎬
⎭
,
где k — дискретное время. Тогда дисперсия ошибки, вносимой задержкой сигнала фильтром, запишется в виде
D = {α[k] − αэ[k]}2 = σα2 [1 + 2Ws2 (ω)TэT −1 + 2Ws2 (ω)Tэ2T −2 − 2Ws (ω)(1 + TэT −1)ρ(Tэ ) +
+2Ws (ω)TэT −1ρ(Tэ + T ) − 2Ws2 (ω)TэT −1(1 + TэT −1)ρ(T )],
где σα , ρ(τ) — среднеквадратичное отклонение (СКО) и коэффициент корреляции сигнала на входе фильтра.
Для ранее принятой гармонической модели входного сигнала α(t) = Asin(βt + ψ) ρ(τ) = cosβτ.
Результаты расчетов ∆ = D / σα2 при ω0 = 25 с–1, β=1,884 с–1, T=0,01 c для фильтров
различных порядков приведены в табл. 3.
Таблица 3
s
1 23
4
τ, мc
40 56,6 80 104,5
∆, % 0,07 0,7 1,3
2,1
Полученные данные показывают, что применение экстраполятора позволяет резко сни-
зить влияние задержки сигнала в сглаживающем фильтре.
Влияние шумов квантования. Квантование по уровню входного сигнала приводит к
появлению дополнительных шумов на входе фильтра. Шумы квантования принято считать
белым дискретным шумом с дисперсией Dк = δ2 / 12 и спектральной плотностью
Nк = Tδ2 / 12 , где δ — цена младшего разряда аналого-цифрового преобразователя; T — период дискретизации.
Тогда дисперсия шумов квантования на выходе фильтра может быть найдена из соот-
ношения
∫Dф
=
1 2π
∞
Ws2 (ω)Nк dω =
Nк ∆Ws ,
−∞
∫где
∆Ws
=
1 2π
∞
Ws2 (ω)dω
—
эквивалентная
полоса
пропускания
фильтра.
−∞
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
Компенсация задержки сигнала в цифровых сглаживающих фильтрах
25
Результаты расчетов ∆Ws и отношения среднеквадратических значений шумов квантования на входе и выходе фильтра при ω0 = 25 с–1, T=0,01 c приведены в табл. 4.
Таблица 4
s 1234
∆Ws , Гц 11,87 8,84 8,34 8,17
σф /σк
0,345 0,297 0,289 0,286
Дисперсия шумов квантования на выходе экстраполятора находится по формуле
Dэ = αэ2 (t) = αф (t) + (Tэ / T )[αф (t) − αф (t − T )]2 ,
где αф (t) — выходной сигнал сглаживающего фильтра.
Нетрудно показать, что
Dэ = σф2 ⎣⎡1 + 2(Tэ / T ) + 2(Tэ / T )2 − 2(Tэ / T )(1 + (Tэ / T ))ρф (T )⎤⎦ ,
где σф , ρф (τ) — СКО и коэффициент корреляции выходного сигнала сглаживающего фильтра:
∫ρф (τ) =
1 2π
∞
Ws2 (ω)Nк
cos(ωτ)dω/σф2 .
−∞
Результаты расчетов интервала корреляции ρф (T ) и отношения среднеквадратических
значений шумов квантования на выходе и входе экстраполятора при ω0 = 25 с–1, T=0,01 c
приведены в табл. 5.
Таблица 5
s 1234
∆Ws , Гц 11,87 8,84 8,34 8,17
ρф (T )
0,826 0,973 0,985 0,987
σф /σк
2,82 1,75 1,79 2,02
Из приведенных данных видно, что экстраполятор увеличивает уровень шумов квантования практически в два раза.
Таким образом, по результатам работы можно сделать следующие выводы: 1) применение цифровых сглаживающих фильтров позволяет эффективно подавлять узкополосные помехи; 2) для устранения задержки сигнала в сглаживающем фильтре необходимо использовать экстраполяторы; 3) экстраполяторы увеличивают уровень шумов квантования.
ЛИТЕРАТУРА
Бесекерский В. А., Зиатдинов С. И. Цифровое дифференцирование сигналов пространственного положения управляемого объекта // Гироскопия и навигация. 1999. № 1(24). С. 66—77.
Сергей Ильич Зиатдинов
Сведения об авторе — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: Kaf53@GUAP.ru
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 29.09.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
КОМПЕНСАЦИЯ ЗАДЕРЖКИ СИГНАЛА В ЦИФРОВЫХ СГЛАЖИВАЮЩИХ ФИЛЬТРАХ
Показано, что подавление узкополосных помех сглаживающими фильтрами приводит к значительной задержке сигнала. Исследована возможность компенсации задержки сигнала экстраполяторами. Оценено влияние экстраполяторов на уровень шумов квантования.
Ключевые слова: дискретизация сигнала, подавление помехи, задержка сигнала, экстраполирование, шумы квантования.
В цифровых системах обработки сигналов помимо узкополосных и широкополосных
помех дополнительно действуют шумы квантования сигнала по уровню, вызванные работой
аналого-цифрового преобразователя.
Рассмотрим задачу выделения гармонического сигнала на фоне шумов квантования и
гармонической помехи с частотой ωп . Для снижения влияния помех используются сглаживающие фильтры с необходимой частотной характеристикой. Однако применение сглажи-
вающих фильтров неизбежно приводит к задержке сигнала, что в ряде практических случаев
недопустимо.
Пусть в качестве сглаживающих фильтров используются фильтры Баттерворта нижних
частот [см. лит.], имеющие наиболее крутой спад амплитудно-частотной характеристики
(АЧХ) в области высоких частот.
В непрерывном варианте частотные передаточные функции фильтров Баттерворта
имеют вид
∑Ws ( jω) = 1
⎡ ⎢1 + ⎢⎣
s i=1
ai
⎛ ⎜⎝
j
ω ω0
⎞i ⎟⎠
⎤ ⎥, ⎦⎥
(1)
где s — порядок фильтра, ω0 — частота среза, ai — весовые коэффициенты.
При этом для фильтра первого порядка (s=1) a1 = 1 ; второго (s=2) — a1 = 2, a2 = 1;
третьего (s=3) — a1 = 2, a2 = 2 a3 = 1 ; четвертого (s=4) — a1 = 2, 613;
a2 = 3, 414; a3 = 2, 613; a4 = 1. Сделав замену в формуле (1)
jω
=
2 T
z z
− +
1 1
,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
22 С. И. Зиатдинов
где z = e jωT , T — период дискретизации входного сигнала, получим частотную передаточную функцию дискретного фильтра Баттерворта в плоскости z
Здесь для s=1:
для s=2:
∑Ws (z) = a1(1 + z−1)s
⎢⎡1 +
s
bi
z
−i
⎤ ⎥
.
⎣⎢ i=1
⎥⎦
a1 = T / (T + 2ω0−1); b1 = (T − 2ω0−1) (T + 2ω0−1) ;
(2)
a1 = T 2 (4ω0−2 + 2 2Tω0−1 + T 2 ) ; b1 = 2(T 2 − 4ω0−2 ) (4ω0−2 + 2 2Tω0−1 + T 2 );
b2 = (4ω0−2 − 2 2Tω0−1 + T 2 ) (4ω0−2 + 2 2Tω0−1 + T 2 ) ; для s=3:
a1 = T 3 (8ω0−3 + 8Tω0−2 + 4T 2ω0−1 + T 3 ); b1 = −(24ω0−3 + 16Tω0−2 − 8T 2ω0−1 − 3T 3 ) (8ω0−3 + 8Tω0−2 + 4T 2ω0−1 + T 3 ); b2 = (24ω0−3 − 8Tω0−2 − 4T 2ω0−1 + 3T 3 ) (8ω0−3 + 8Tω0−2 + 4T 2ω0−1 + T 3 );
b3 = −(8ω0−3 − 8Tω0−2 + 4T 2ω0−1 − T 3 ) (8ω0−3 + 8Tω0−2 + 4T 2ω0−1 + T 3 );
для s=4:
a1 = T 4 (16ω0−4 + 20, 904Tω0−3 + 13, 656T 2ω0−2 + 5, 226T 3ω0−1 + T 4 );
b1
=
− 16ω0−4
64ω0−4 + 41,808Tω0−3 − 5, 226T 3ω0−1 − 4T 4 + 20,904Tω0−3 + 13, 656T 2ω0−2 + 5, 226T 3ω0−1
+T4
;
b2
=
16ω0−4
+
96ω0−4 − 27,312T 2ω0−2 + 64T 4 20, 904Tω0−3 + 13, 656T 2ω0−2 + 5, 226T 3ω0−1
+T4
;
b3
=
− 16ω0−4
64ω0−4 − 41,808Tω0−3 + 10,542T 3ω0−1 − 4T 4 + 20, 904Tω0−3 + 13, 656T 2ω0−2 + 5, 226T 3ω0−1
+T4
;
b4
=
16ω0−4 16ω0−4
− 20, 904Tω0−3 + 20, 904Tω0−3
+ 13, 656T 2ω0−2 + 13, 656T 2ω0−2
− 5, 226T 3ω0−1 + 5, 226T 3ω0−1
+T4 +T4
.
Подавление гармонической помехи. Соотношение (2) позволяет записать АЧХ дискретных фильтров Баттерворта в виде
Ws (ω) = a12s coss (ωT / 2)
∑ ∑⎜⎝⎛⎜1+
s
bi
i=1
cos iωT
⎞2 ⎟⎟⎠
+
⎛ ⎜⎜⎝
s
bi
i=1
sin iωT
⎞2 ⎟⎠⎟
.
(3)
Из данной формулы видно, что для частоты ω , равной половине частоты дискретизации ωд = 2π/T , коэффициент передачи фильтра равен нулю. Следовательно, с учетом периодич-
ности функции cosx при частоте помехи ωп = π(1 + 2k)/T для k=0,1,2… имеет место полное подавление сигнала помехи. На практике обеспечить данное соотношение не всегда удается. В табл. 1 приведены результаты расчетов АЧХ дискретных фильтров Баттерворта вблизи частоты f = 1/2T при T=0,01 c и ω0 = 25 c−1 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
Компенсация задержки сигнала в цифровых сглаживающих фильтрах
23
f, Гц
s=1
Ws ( f )
s=2 s=3
s=4
15
0,238
0,060 1,48⋅10–2 3,6⋅10–3
20
0,170
0,030 5,1⋅10–3 8,76⋅10–4
25
0,124
0,016 2,0⋅10–3 2,44⋅10–4
30
0,090
0,008 7,49⋅10–4 6,80⋅10–5
35
0,064
0,004 2,58⋅10–4 1,64⋅10–5
40
0,041 1,6⋅10–3 6,7⋅10–5 2,72⋅10–6
Таблица 1
45 50
0,020
0
3,9⋅10–4
0
7,76⋅10–5
0
1,53⋅10–7
0
Из представленных данных следует, что подавление помехи на уровне 40 дБ достигает-
ся для фильтра первого порядка при fп >45 Гц; второго — при fп >30 Гц; третьего — при fп >15 Гц, четвертого — при fп >10 Гц.
Время задержки τ сигнала фильтром равно τ1 = 1/ω0 для s=1; τ2 = 2 /ω0 — для s=2; τ3 = 2/ω0 — для s=3 и τ4 = 2,613/ω0 — для s=4. При ω0 = 25 с–1 задержка сигнала фильтра-
ми составит 40; 56,6; 80 и 104,5 мс соответственно. Определим значение ошибки, вносимой сглаживающим фильтром при передаче гармо-
нического сигнала α(t) = Asin(βt + ψ), где A — амплитуда, β — круговая частота и ψ — слу-
чайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале –π—π. Выходной сигнал фильтра можно записать как αф (t) = Aф sin[β(t − τ) + ψ], где Aф , τ —
амплитуда и время задержки сигнала. При этом дисперсия ошибки составит
D
= [α(t) − αф (t)]2
=
0, 5 A2
⎛ ⎜⎜⎝1 +
Aф2 A2
−
2
Aф2 A2
⎞ cosβτ ⎠⎟⎟.
(4)
Для примера положим ω0 = 25 с–1, β=1,884 с–1. Тогда отношение (A − Aф ) / A < 0, 2 %
для всех порядков фильтров. При этом в выражении (4) без заметной погрешности можно по-
ложить Aф = A .
В результате получим D = 2 A2 sin2 (βτ / 2). Относительное среднеквадратическое от-
клонение составит ∆ = 2 sin(βτ / 2).
Результаты расчетов ∆ при ω0 = 25 с–1, β=1,884 с–1 для фильтров различных порядков
приведены в табл. 2.
Таблица 2
s1 2
3
4
τ, мc
40
56,6
80
104,5
∆, % 7,5 10,7 15,1
19,7
Рассмотрим возможность применения экстраполятора для снижения ошибок, связанных с задержкой сигнала сглаживающими фильтрами. В дискретном виде передаточная функция экстраполятора может быть представлена следующим образом:
m
∑Wэ ( jω) = bэi e−i( jωT ) , i=0
где bэi — коэффициенты экстраполирования; m — степень экстраполирования; T — период
следования отсчетов входного сигнала экстраполятора.
В случае линейной экстраполяции алгоритм работы экстраполятора имеет вид
αэ (t) = αф (t) + α ф (t)Tэ ,
(5)
где α ф — производная сигнала на выходе фильтра Баттерворта; Tэ — интервал экстраполи-
рования.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
24 С. И. Зиатдинов С учетом затухания сигнала в фильтре αф (t) = Ws (ω)α(t − τ),
где Ws (ω) — коэффициент передачи фильтра; τ — время задержки сигнала в фильтре.
Согласно [1]
Ws2 (ω) = 1
⎡ ⎢1 ⎢⎣
+
⎛ ⎜ ⎝
ω ω0
⎞2s ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
.
При использовании для вычисления производной α ф (t) первой обратной разности выражение (5) в дискретной форме принимает вид
αэ[k]
= Ws (ω) ⎧⎨α[k ⎩
− Tэ
/
T]+
T Tэ
{α[k
− Tэ
/
T]−
α[k
− 1 − Tэ
/
T ]}⎫⎬
⎭
,
где k — дискретное время. Тогда дисперсия ошибки, вносимой задержкой сигнала фильтром, запишется в виде
D = {α[k] − αэ[k]}2 = σα2 [1 + 2Ws2 (ω)TэT −1 + 2Ws2 (ω)Tэ2T −2 − 2Ws (ω)(1 + TэT −1)ρ(Tэ ) +
+2Ws (ω)TэT −1ρ(Tэ + T ) − 2Ws2 (ω)TэT −1(1 + TэT −1)ρ(T )],
где σα , ρ(τ) — среднеквадратичное отклонение (СКО) и коэффициент корреляции сигнала на входе фильтра.
Для ранее принятой гармонической модели входного сигнала α(t) = Asin(βt + ψ) ρ(τ) = cosβτ.
Результаты расчетов ∆ = D / σα2 при ω0 = 25 с–1, β=1,884 с–1, T=0,01 c для фильтров
различных порядков приведены в табл. 3.
Таблица 3
s
1 23
4
τ, мc
40 56,6 80 104,5
∆, % 0,07 0,7 1,3
2,1
Полученные данные показывают, что применение экстраполятора позволяет резко сни-
зить влияние задержки сигнала в сглаживающем фильтре.
Влияние шумов квантования. Квантование по уровню входного сигнала приводит к
появлению дополнительных шумов на входе фильтра. Шумы квантования принято считать
белым дискретным шумом с дисперсией Dк = δ2 / 12 и спектральной плотностью
Nк = Tδ2 / 12 , где δ — цена младшего разряда аналого-цифрового преобразователя; T — период дискретизации.
Тогда дисперсия шумов квантования на выходе фильтра может быть найдена из соот-
ношения
∫Dф
=
1 2π
∞
Ws2 (ω)Nк dω =
Nк ∆Ws ,
−∞
∫где
∆Ws
=
1 2π
∞
Ws2 (ω)dω
—
эквивалентная
полоса
пропускания
фильтра.
−∞
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
Компенсация задержки сигнала в цифровых сглаживающих фильтрах
25
Результаты расчетов ∆Ws и отношения среднеквадратических значений шумов квантования на входе и выходе фильтра при ω0 = 25 с–1, T=0,01 c приведены в табл. 4.
Таблица 4
s 1234
∆Ws , Гц 11,87 8,84 8,34 8,17
σф /σк
0,345 0,297 0,289 0,286
Дисперсия шумов квантования на выходе экстраполятора находится по формуле
Dэ = αэ2 (t) = αф (t) + (Tэ / T )[αф (t) − αф (t − T )]2 ,
где αф (t) — выходной сигнал сглаживающего фильтра.
Нетрудно показать, что
Dэ = σф2 ⎣⎡1 + 2(Tэ / T ) + 2(Tэ / T )2 − 2(Tэ / T )(1 + (Tэ / T ))ρф (T )⎤⎦ ,
где σф , ρф (τ) — СКО и коэффициент корреляции выходного сигнала сглаживающего фильтра:
∫ρф (τ) =
1 2π
∞
Ws2 (ω)Nк
cos(ωτ)dω/σф2 .
−∞
Результаты расчетов интервала корреляции ρф (T ) и отношения среднеквадратических
значений шумов квантования на выходе и входе экстраполятора при ω0 = 25 с–1, T=0,01 c
приведены в табл. 5.
Таблица 5
s 1234
∆Ws , Гц 11,87 8,84 8,34 8,17
ρф (T )
0,826 0,973 0,985 0,987
σф /σк
2,82 1,75 1,79 2,02
Из приведенных данных видно, что экстраполятор увеличивает уровень шумов квантования практически в два раза.
Таким образом, по результатам работы можно сделать следующие выводы: 1) применение цифровых сглаживающих фильтров позволяет эффективно подавлять узкополосные помехи; 2) для устранения задержки сигнала в сглаживающем фильтре необходимо использовать экстраполяторы; 3) экстраполяторы увеличивают уровень шумов квантования.
ЛИТЕРАТУРА
Бесекерский В. А., Зиатдинов С. И. Цифровое дифференцирование сигналов пространственного положения управляемого объекта // Гироскопия и навигация. 1999. № 1(24). С. 66—77.
Сергей Ильич Зиатдинов
Сведения об авторе — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: Kaf53@GUAP.ru
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 29.09.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12