Например, Бобцов

АЛГОРИТМ КОМПЕНСАЦИИ НЕИЗВЕСТНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В УПРАВЛЕНИИ

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 681.5.015

А. А. БОБЦОВ, А. А. ПЫРКИН
АЛГОРИТМ КОМПЕНСАЦИИ НЕИЗВЕСТНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В УПРАВЛЕНИИ

Рассматривается задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения в условиях запаздывания в управлении для нелинейной системы.

Ключевые слова: управление в условиях запаздывания, нелинейные системы, компенсация возмущающих воздействий.

Проблема управления в условиях запаздывания является актуальной и сложной для современной теории управления. Использование цифровых регуляторов, управление удаленными объектами, например, через Интернет, а также другие факторы вызывают нежелательные запаздывания. Несмотря на то что проблема эта хорошо известна и ей посвящено большое

количество публикаций, следует отметить, что универсальных методов управления до сих не получено, и для решения практических задач приходится использовать тот или иной теоретический подход, связанный с конкретной математической постановкой. В рамках настоящей работы авторы планируют не проводить детальный анализ методов управления в условиях запаздывания, а представить новый алгоритм компенсации возмущений, базируясь на резуль-

татах монографии [1] и статьи [2]. В [1] была рассмотрена классическая задача стабилизации линейного стационарного

объекта управления с постоянным запаздыванием x(t) = Ax(t) + Bu(t − τ) , y(t) = Cx(t) ,

(1)

где x(t) ∈ Rn — измеряемый вектор переменных состояния, u(t) — скалярная входная пере-

менная, y(t) — скалярная выходная переменная, τ ≥ 0 — постоянное запаздывание; A , B ,

C — матрицы соответствующей размерности, содержащие известные параметры объекта управления.
Необходимо найти такой закон управления u(t) , чтобы положение равновесия x = 0

было асимптотически устойчивым. Хорошо известно, что для системы вида (1) при τ = 0

можно синтезировать закон управления вида:

u = Kx(t) ,

(2)

где вектор-строка K выбирается из условия гурвицевости матрицы состояния замкнутой сис-

темы A + BK . Для случая τ > 0 закон управления (2) можно переписать в виде: u(t) = Kx(t + τ) ,

(3)

где x(t + τ) — значение вектора x(t) через интервал времени τ . Очевидно, что закон управ-

ления (3) нереализуем, поскольку содержит неизвестную величину x(t + τ) . Однако вектор

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12

Алгоритм компенсации неизвестного синусоидального возмущения

61

x(t + τ) можно рассчитать на основе имеющейся информации об объекте. Базируясь на поло-

жениях работы [1], значение x(t + τ) будем искать в виде

t
∫x(t + τ) = eAτ x(t) + eA(t−s) Bu(s)ds .

(4)

t−τ

Из выражения (4) легко получить реализуемый закон управления вида (3).

Однако в современной практике решения задач управления в условиях запаздывания

рассмотрение систем вида (1) не представляет интереса. Сегодня сложно представить ситуацию, когда на систему управления не действует возмущающее воздействие. Случай компен-

сации неизвестного синусоидального возмущающего воздействия для объекта вида (1) рассмотрен в работе [2]:

x(t) = Ax(t) + B[u(t − τ) + δ(t)] , y(t) = Cx(t) ,

(5)

где δ(t) = δ0 + δ1 sin(ωt + ϕ) — неизмеряемый сигнал, а δ0 , δ1, ω, ϕ — неизвестные постоян-
ные параметры. В работе [2] с использованием закона управления (3), (4) была решена комплексная за-

дача компенсации возмущающего воздействия δ(t) = δ0 + δ1 sin(ωt + ϕ) и стабилизации неус-
тойчивого положения равновесия x = 0 . Также в работе [2] последовательно были выстроены компенсатор возмущения и предсказатель. Методика синтеза компенсатора возмущения предполагает знание параметров объекта управления, а также наличие косвенной информа-

ции, которую можно получить по измерениям состояний системы. Были идентифицированы

неизвестные параметры δ0 , δ1, ω, ϕ и с учетом величины запаздывания τ синтезирован ком-
пенсатор. В настоящей статье рассмотрим более сложную (в сравнении с [1, 2]) задачу компенса-
ции неизвестного синусоидального возмущения для нелинейной системы с запаздыванием в управлении. Пусть объект управления имеет вид

x1(t) = x2 (t) + ψ1( y(t − τ1)) + θ1 y(t),



... ⎪⎪ xn (t) = u(t − τ) + δ(t) + ψn ( y(t − τn )) + θn y(t),⎬⎪

y(t) = x1(t),

⎭⎪

(6)

где θi и ψi ( y(t − τi )) — соответственно известные постоянные параметры и нелинейные

функции, τi — известные константы, причем τi ≥ τ для всех i = 1, n . Ставится задача синтеза такого управляющего воздействия u(t) , чтобы положение рав-

новесия y = 0 было асимптотически устойчивым.

Аналогично [3] продифференцируем переменную y(t) = x1(t) n раз, последовательно проводя замены переменных

y(t) = ξ1(t) = ξ2 (t), ξ2 (t) = ξ3 (t),

⎫ ⎪ ⎪

... ⎪⎪

ξn

(t)

=

u(t



τ)

+

δ(t)

+

∂n−1ψ1( y(t − τ1)) ∂y(t − τ1)n−1

y(n−1)

(t



τ1 )



+

…⎪ ⎪



... + ψn ( y(t − τn )) + θ1 y(n−1) (t) + ... + θn y(t).

⎭⎪

Выберем закон управления следующим образом:

(7)

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12

62 А. А. Бобцов, А. А. Пыркин

u(t)

=

u1 (t )



∂n−1ψ1( y(t + τ − τ1)) ∂y(t + τ − τ1)n−1

y(n−1)

(t

+

τ



τ1 )

+

...

+

ψn

(

y(t

+

τ



τn

)).

Подставив (8) в уравнение (7), получим

(8)

ξ1(t) = ξ2 (t), ξ2 (t) = ξ3 (t), ...





⎪ ⎬

(9)



ξn (t) = u1(t − τ) + δ(t) + θ1 y(n−1) (t) + ... + θn y(t).⎭⎪

Легко видеть, что система (9) аналогична (5), следовательно, к ней может быть приме-

нен алгоритм управления [2], который обеспечит асимптотическую устойчивость положения

равновесия y = 0 .

Итак, положения метода компенсации неизвестного синусоидального возмущающего воздействия в условиях запаздывания [2] развиты на нелинейные системы. Остается нере-

шенной задача стабилизации модели (6) в условиях неизвестных параметров θi .

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0406).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Krstic M. Delay compensation for nonlinear, adaptive and PDE systems. Birkhauser, 2009.

2. Pyrkin A., Smyshlyaev A., Bekiaris-Liberis N., Krstic M. Rejection of Sinusoidal Disturbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conf. Baltimore, 2010. P. 5688—5693.

3. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.

Алексей Алексеевич Бобцов Антон Александрович Пыркин

Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; декан факультета КТиУ, заведующий кафедрой; E-mail: bobtsov@mail.ifmo.ru — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: a.pyrkin@gmail.com

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики

Поступила в редакцию 10.09.12 г.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12