СПЕКТРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД С НЕРЕЗОНАНСНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ И БЕЗЫНЕРЦИОННОЙ КУБИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
СПЕКТРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД …
2 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 535.135
СПЕКТРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД С НЕРЕЗОНАНСНОЙ
ДИСПЕРСИЕЙ И БЕЗЫНЕРЦИОННОЙ КУБИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Д.В. Иванов, С.А. Козлов
Из уравнений динамики электромагнитных полей Максвелла выведена система уравнений, описывающая эволюцию сверхшироких пространственно-временных спектров световых волн в однородных изотропных диэлектрических средах с произвольной спектральной зависимостью линейного показателя преломления и безынерционной кубичной нелинейностью. Приведено аналитическое итерационное решение полученной нелинейной системы уравнений. Решения линеаризированных уравнений иллюстрированы результатами численного моделирования распространения непараксиального фемтосекундного волнового пакета из малого числа оптических колебаний в кварцевом стекле. Ключевые слова: непараксиальность, фемтосекундный импульс, пространственно-временной спектр, кубичная нелинейность, сверхширокий спектр, итерационное решение, ближний ИК диапазон, оптическое стекло, дисперсионное уширение, дифракционное уширение.
Введение В последние полтора десятилетия стремительно развивалась техника фемтосекундных лазеров и лазерных систем [1]. На сегодняшний день уже во многих лабораториях имеются лазеры, генерирующие световые импульсы, которые состоят всего из нескольких колебаний электромагнитного поля [2, 3]. Временной спектр таких импульсов очень широк. Пространственный спектр этих предельно коротких волновых пакетов также может быть сверхшироким, например, при поперечном сжатии высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов видимого и ближнего ИК диапазона в процессе самофокусировки [4] или для широкополосных импульсов дальнего ИК диапазона из-за малых размеров источника излучения [5]. При теоретическом анализе распространения световых волн со сверхширокими временными и пространственными спектрами удобно использовать уравнения динамики не электромагнитных полей, а их спектров [1, 6]. Спектральные уравнения обычно получают, преобразуя волновые уравнения [7, 8]. В настоящей работе уравнения эволюции спектров выведены из исходных основных уравнений классической оптики – уравнений Максвелла. Решения этих уравнений проиллюстрированы дифракцией световой волны из малого числа колебаний и с исходными поперечными размерами, соизмеримыми с центральной длиной волны излучения в оптическом стекле.
Преобразование уравнений динамики электромагнитных полей Максвелла в уравнения эволюции их спектров
Лежащие в основе всей классической оптики уравнения Максвелла, записанные в
системе единиц СГСЭ, имеют вид [9]
∇ ∇
×
× r
r H r E
= =
4π c −1 c
r j
+
1
rc
∂B ,
∂t
r ∂D ∂t
,
(1)
∇D = 4πρ,
∇
r B
=
0,
20 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.В. Иванов, С.А. Козлов
r гмдаегнEит–нноагпорпяожлеян;нDоrст–ь
ээллееккттррииччеессккаоягоипнодлуякцсивяе,тоBвrог–омиазглнуичтеннаияя,инHrду−кцниаяп,ряrjже−ннполсотть-
ность электрического тока, ρ − плотность стороннего электрического заряда, t – вре-
мя; c – скорость света в вакууме. В настоящей работе ограничимся рассмотрением ча-
стного, ческих
снроедраахс,пврокосттроарныехнонтосгуотнставпуюратктситокреоснлнуичеаязарраясдпыро(сρт=ра0н)ениитяоксиве(тrаj
в =
диэлектри0 ).
Будем полагать, что в среде существует выделенное направление z , вдоль которого распространяется излучение (вдоль оси z ); направления x и y поперечны ему. Выде-
ленность направления распространения световых пучков формализуется условиями
Ex, y,z →0, H x,y,z →0, Dx, y →0, Bx, y →0,
(2)
x→±∞ y →±∞
x→±∞ y → ±∞
x → ±∞ y→±∞
x→±∞ y → ±∞
где E x,y,z − декартовы компоненты напряженности электрического поля излучения,
H x, y, z – напряженности его магнитного поля, Dx, y, z − декартовы компоненты элек-
трической индукции диэлектрика, Bx, y, z − компоненты магнитной индукции.
От уравнений для электромагнитных полей (1) перейдем к уравнениям для декартовых компонент пространственно-временного спектра светового излучения:
∫ ∫ ∫
g
x,
y
,
z
(ω
,
kx ,
ky,
+∞ +∞ +∞
z) = Ex, y,z (t,
x,
y,
z)ei(ω⋅t−kx x−ky y) dtdxdy,
−∞ −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
∫ ∫ ∫hx,y,z (ω,
∫ ∫ ∫δx,y,z (ω,
kx, kx ,
ky, ky,
z) = H x, y,z (t,
−∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞
z) = Dx, y,z (t,
x, x,
y, y,
z)ei(ω⋅t−kx x−ky y) dtdxdy, z)ei(ω⋅t −kxx−ky y )dtdxdy,
(3)
−∞ −∞ −∞
∫ ∫ ∫βx,y,z (ω,
kx,
ky,
+∞ +∞ +∞
z) = Bx, y,z (t,
x,
y,
z)ei(ω⋅t−kxx−ky y) dtdxdy,
−∞ −∞ −∞
где g x, y, z , hx, y, z , δ x, y, z , β x, y, z − компоненты пространственно-временного спектра
напряженности электрического и магнитного полей и электрической и магнитной ин-
дукции; ω, kx , k y − частоты временного и пространственного спектров.
x,
y
Домножив все уравнения и t от − ∞ до + ∞ с учетом
системы (1) на равенств ρ = 0 ,
eri(ωt j=
−
0
kx
и
x−k y y) и условий
проинтегрировав их по (2), несложно получить
спектральные аналоги уравнений системы (1):
∂gx
∂z ∂g y
∂z
− ikx g z − ik y g z
=
i
ω c
β
y
,
=
−i
ω c
βx
,
k
y
g
x
−
kx gy
=
−
ω c
β
z
,
∂hx
∂z ∂hy
∂z
− ikxhz − ik y hz
=
−i
ω c
δ
y
,
=
i
ω c
δ
x
,
k yhx
−
kxhy
=
ω c
δz ,
(4) (5)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
21
СПЕКТРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД …
∂δz ∂z
+ ikxδx
+ ikyδy
=
0,
(6)
∂β z ∂z
+ ikxβx
+ ik yβ y
=
0.
(7)
Система уравнений (4)–(7) при выполнении условий (2) имеет те же решения, что
и система (1). В этом смысле они эквивалентны.
rr
Ограничимся далее случаем немагнитных сред, в которых B = H , и, следователь-
но, β x, y, z = hx, y, z . Продифференцировав первые два уравнения системы (4) по z , взяв
производные ∂βx , ∂βy (т.е. ∂hx , ∂hy ) из (5) и выразив в получившихся уравнениях
∂z ∂z
∂z ∂z
hz через gx и g y из третьего уравнения (4), а также в третьем уравнении системы (5)
выразив hx и hy (т.е. βx и βy ) из системы (4), получаем, что динамика декартовых ком-
понент пространственно-временного спектра напряженности электрического поля опи-
сывается системой уравнений
∂2gx ∂z 2
− ikx
∂g z ∂z
−
k
2 y
g
x
+
kxky gy
=
−
ω2 c2
δx,
∂2gy ∂z 2
− ik y
∂g z ∂z
−
k
2 x
g
y
+
kxky gx
=
−
ω2 c2
δy,
(8)
(
−
k
2 x
−
k
2 y
)
gz
− ikx
∂g x ∂z
− ik y
∂g y ∂z
=
−
ω2 c2
δz.
Важно, что решения системы (4)–(7) являются и решениями системы (8). Обрат-
ное, строго говоря, неверно. Система (8) из-за дифференцирования уравнений (4) по z
приобретает новые решения, которые имела бы система (4)–(7) при добавлении в (4)
слагаемых, не зависящих от z . Отметим, что полученные уравнения (8) при условии
(2)
являются ∇ × (∇×
сErп)е=кт−раc1л2 ь∂н∂2tыD2rм.и
аналогами
полевого
уравнения
(9)
Будем рассматривать ниже нерезонансное взаимодействие света с диэлектриче-
ской средой, когда спектр излучения попадает в ее диапазон прозрачности. В этом слу-
чае отклик среды, которую мы будем полагать однородной и изотропной, на силовое
воздействие со стороны светового поля, как правило, можно представить в виде [1]
rr r ∞
r
rr r
∫D = Dlin + Dnl = ε(t − t ')E(t ')dt ' + εnl (E ⋅ E ) ⋅ E ,
(10)
−∞
где первое слагаемое описывает линейную часть электрической индукции и ее диспер-
сию ( ε − диэлектрическая проницаемость среды), а второе – нелинейный отклик среды
( εnl − нелинейная диэлектрическая проницаемость среды), который в оптике интенсив-
ных фемтосекундных импульсов даже со сверхширокими пространственно-
временными спектрами в широкозонных диэлектриках в первом приближении можно
считать безынерционным [1].
При материальных уравнениях (10) выведенная система уравнений (8) примет вид
( )
∂2g ∂z 2
x
+
k2
−
k
2 y
gx
− ikx
∂g z ∂z
+ kxkygy
=
−
ω2 c2
ε nl Fx ,
( )
∂2g ∂z 2
y
+
k2
−
k
2 x
gy
− ik y
∂g z ∂z
+ kxky gx
=
−
ω2 c2
ε nl Fy ,
( )
k2
−
k
2 x
−
k
2 y
gz
− ikx
∂g x ∂z
− ik y
∂g y ∂z
=
−
ω2 c2
ε nl Fz
,
(11)
22 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.В. Иванов, С.А. Козлов
где k(ω) = ω n(ω) − волновое число, n(ω) − зависимость от частоты линейного показаc
+∞
теля преломления среды, причем n2 (ω) = ε(ω) , ε(ω) = ∫ ε(t)eiωt dt , функционалы
−∞
+∞ +∞ +∞
∫ ∫ ∫Fx,y,z (ω, kx , k y , z) =
(
E
2 x
+
E
2 y
+
E
2 z
)
E
x
,
y
,
z
e
i
(
ωt
−
k
x
x
−
k
y
y
)
dtdxdy
=
−∞ −∞ −∞
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∑=
1 (2π)6
+∞ −∞
+∞ −∞
+∞ −∞
+∞ −∞
+∞ −∞
+∞ −∞ i=x,y,z
gi (ω
−
ω ', kx
−
kx
', k y
−
ky
',
z)gi (ω'−
ω '', kx
'−
kx
'', k y
'−
ky
'',
z) ×
× g x,y,z (ω '', kx '', ky '', z)dω ' dkx ' dky ' d ω '' dkx '' dky ''
описывают нелинейный отклик среды. В предельном случае слабых электромагнитных полей система (11) линеаризуется и после подстановки gz из третьего уравнения в первые два может быть сведена к виду [1]
( )
∂2gx ∂z 2
+
k
2
−
k
2 x
−
k
2 y
gx = 0,
( )
∂2gy ∂z 2
+
k2
−
k
2 x
−
k
2 y
g y = 0,
gz
=
k2
ikx
−
k
2 x
−
k
2 y
∂g x ∂z
+
k2
ik y
−
k
2 x
−
k
2 y
∂g y ∂z
.
(12)
Итерационные решения нелинейных уравнений динамики спектров
Для выведенной системы нелинейных спектральных уравнений (11) удобно строить итерационные решения, так как ее предельный случай – линеаризированная систе-
ма (12) – в отличие от полевого аналога, легко решается в квадратурах [1]. Эти решения естественно выбирать начальными итерационными решениями системы (11). Рассмот-
рим метод получения таких решений и сами решения подробнее. Итерационный метод позволяет свести систему нелинейных интегро-
дифференциальных уравнений (11) к системе линейных однородных и неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Будем искать итерационное решение (11) в виде ряда:
gx,y,z (ω, kx , k y , z) = glinx,y,z (ω, kx , k y , z) + µg1x,y,z (ω, kx , k y , z) + µ2 g2x,y,z (ω, kx , k y , z) + ... ,
(13)
где µ : εnl E02 ( E0 − максимальная амплитуда поля излучения на входе в среду) − пара-
метр малости, glinx,y,z – соответствующий компонент решения системы (12), g1x,y,z и
g2x,y,z − добавки к нему, обусловленные нелинейностью отклика среды в поле излуче-
ния высокой интенсивности. Частное решение системы (12), соответствующее линейной дифракции однона-
правленной волны (излучения, распространяющегося в положительном направлении оси z ), которое мы будем рассматривать в качестве первой итерации, имеет вид
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
23
СПЕКТРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД …
g
lin
x
=
С x
(ω,
kx,
k )e ,−ik
1−
kx k
2
−
ky k
2
z
y
g
lin
y
=
Сy (ω,
kx ,
k )e ,−ik
1−
kx k
2
−
ky k
2 z
y
g
lin
z
=
kxCx (ω,
kx , k y ) + k yC y (ω,
k2
−
k
2 x
−
k
2 y
kx ,
k ) ey
− ik
1−
kx k
2
−
ky k
2 z
,
(14)
+∞ +∞ +∞
∫ ∫ ∫где Cx,y (ω, kx , ky ) =
Ex,y (t, x, y)ei(ωt−kxx−ky y)dtdxdy , E x, y (t, x, y) – поперечные ком-
−∞ −∞ −∞
поненты электрического поля излучения на входе в среду ( z = 0 ).
Решая систему уравнений (11), где в правой их части Fx,y,z является функциона-
лом от выражений (14), которые выведены как первая итерация, получаем добавку к
решению (14) в следующей – второй – итерации вида
∫g1x (ω, kx , ky , z) =
e−iUz 2k 2U
z 0
iU
2
Fx
−
(k
2 x
+
k
2 y
)
kx
∂Fz ∂z
+i ky kx
U
2
Fy
eiUz dz
+
∫ (eiUz L
2k 2U z
−iU 2 Fx
+
(kx2
+
k
2 y
)
kx
∂Fz ∂z
−i
ky kx
U 2 Fy
e−iUz
dz
−
ie−iUz
∫ ∫ )2k2
z
⋅ e2iUz
0
L z
ik
2 y
Fx
+
k
2 y
kx
∂Fz ∂z
−i
ky kx
(k 2
−
k
2 y
)
Fy
e−
iUz
dz
dz +
(15)
ieiUz
∫ ∫ )2k2
L
⋅ e−2iUz
z
z 0
−ik
2 y
Fx
−
k
2 y
kx
∂Fz ∂z
+i
ky kx
(k 2
−
k
2 y
)
Fy
eiUz
dz
dz,
∫g1y (ω, kx , ky , z) =
e−iUz 2k 2U
z 0
−ikx
k
y
Fx
− ky
∂Fz ∂z
+ i(k 2
−
k
2 y
)Fy
eiUz
dz
+
∫eiUz
2k 2U
L z
ikx
k
y
Fx
+
ky
∂Fz ∂z
−
i(k 2
−
k
2 y
)
Fy
e−iUz dz
,
∫g1z (ω, kx , ky , z) =
kxe−iUz 2k 2U 2
z 0 iU 2Fx
−
(kx2
+
k
2 y
)
kx
∂Fz ∂z
+i
ky kx
U
2
Fy
eiUzdz
−
(16)
∫ (kxeiUz L
2k 2U 2 z
−iU 2Fx
+
(kx2
+
k
2 y
)
kx
∂Fz ∂z
−i
ky kx
U 2Fy
e
−iUz
dz
−
∫ ∫ikxe−iUz
2k 2U
⋅
z 0
e2iUz
L z
ik
2 y
Fx
+
k
2 y
kx
∂Fz ∂z
−i
ky kx
(k 2
−
k
2 y
)
Fy
e−iUz
dz
dz
−
(17)
ikxeiUz
∫ ∫ )2k 2U
L
e−2iUz
z
z
0
−ik
2 y
Fx
−
k
2 y
kx
∂Fz ∂z
+i
ky kx
(k 2
−
k
2 y
)
Fy
eiUz
dz
dz
+
Fz U2
,
где U = k
1
−
kx k
2
−
ky k
2
,
L
– граница нелинейной
среды.
24 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.В. Иванов, С.А. Козлов
Таким образом, в настоящем параграфе статьи получено аналитическое решение
задачи об эволюции пространственно-временного спектра световой волны, который может быть сверхшироким, в изотропной диэлектрической нелинейной среде в виде
(13), где решение в первой итерации имеет вид (14), а нелинейная добавка к нему в следующей итерации – вид (15)–(17). Нелинейная часть решения (15)–(17) описывает как
уменьшение дифракционной расходимости пучка из-за самофокусировки, так и явление самоотражения излучения.
Проиллюстрируем полученное решение, ограничившись в настоящей статье эволюцией непараксиальных световых волн с малым числом колебаний в приближении
первой итерации (14), акцентируя внимание в этом линейном режиме распространения на динамике продольной компоненты спектра и поля излучения.
Численное моделирование распространения фемтосекундного импульса титан-сапфирового лазера в кварцевом стекле
На рис. 1 и 2 проиллюстрированы решения (14), демонстрирующие непараксиальную эволюцию двумерного спектра излучения и щелевую динамику его поля, при гра-
ничных условиях
E(z, x,t)
z=0 =
E0
exp
−2
x2 ∆x2
exp
−2
t2 ∆t 2
cos(ω0t)
,
(18)
где центральная длина волны λ0 = 2πс / ω0 = 780 нм соответствует излучению титансапфирового лазера, пространственно-временные параметры волнового пакета на входе
в среду ∆t = 7,5фс и ∆x = 10λ0 . В качестве среды, в которой распространяется излучение, рассматривается кварцевое стекло с зависимостью линейного показателя прелом-
ления от частоты вида
n(ω)
=
N0
+
acω2
−
bc ω2
,
(19)
где N0 = 1, 4508 , a = 2, 7401⋅10−44 c3см-1 , b = 3,9437 ⋅1017 c-1см-1 [4]. На рис. 1, а, б, представлены плоскостные изображения зависимостей модулей
пространственно-временных спектров поперечной и продольной компонент поля им-
пульса от пространственной частоты kx , нормированной на центральную длину волны
λ0 ,
и
от
циклической
частоты
ω,
нормированной
на
центральную
частоту
ω0
=
2π
.
λ0
Из
(14) ясно, что эти зависимости с расстоянием z не изменяются. Как видно из рисунка, в
спектре продольных компонент поля излучения на всех временных частотах отсутст-
вуют низкие пространственные частоты волнового пакета.
На рис. 2 представлены плоскостные изображения зависимости поля E , нормиро-
ванного на максимальное входное значение E0 , от поперечной координаты x , норми-
рованной на входную центральную длину волны λ0 , и от времени t с увеличением пройденного импульсом расстояния z в оптической среде. Темно-серым частям изо-
бражения соответствуют максимальные положительные значения поля, светло-серым −
максимальные отрицательные значения. На рис. 2, а–г, демонстрируется временная ди-
намика и изменение пространственного распределения поперечной компоненты элек-
трического поля импульса, на рис. 2, а′–г′, приведены аналогичные изображения для продольной компоненты. Как видно из рис. 2, продольная компонента поля импульса
на поперечной оси обнуляется. Эта область разделяет две части импульса, имеющие
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
25
СПЕКТРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД …
фазовое смещение друг относительно друга на π . Амплитуда продольной компоненты импульса составляет по модулю не более 1% от амплитуды поперечной компоненты.
ω′, отн. ед.
ω′, отн. ед.
Рис. 1. Нормированные пространственно-временные спектры поперечной и продольной компонент поля импульса с параметрами на входе в среду
λ0 = 780 нм , ∆t = 7,5 фс , ∆x = 10λ0
Рис. 2. Пространственно-временная эволюция компонент электрического поля светового импульса (поперечная слева, продольная справа) с входными параметрами λ0 = 780 нм , ∆t = 7,5фс , ∆x = 10λ0 . В кварцевом стекле: а–а’) z = 0 , б–б’) z = 0,15мм ,
в–в’) z = 0,3мм , г–г’) z = 0, 45 мм
26 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.В. Иванов, С.А. Козлов
Заключение
Из уравнений динамики электромагнитных полей Максвелла выведена система уравнений, описывающих непараксиальную эволюцию декартовых компонент пространственно-временного спектра световой волны в однородной изотропной диэлектрической среде с произвольной зависимостью линейного показателя преломления и характерной для диэлектриков безынерционной кубичной по полю нелинейностью электрической индукции среды. Получены итерационные решения этих уравнений. Решения в первой итерации (приближение линейной среды) иллюстрированы на примере дифракционно-дисперсионного расплывания двумерного волнового пакета. Показано, что на оси пучка продольная компонента поля равна нулю, и в этой области реализуется скачок фазы волны на π .
Работа поддержана грантом РФФИ 08-02-00902-а и программой «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1/4923.
Литература
1. Козлов С.А., Самарцев В.В. Оптика фемтосекундных лазеров. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2007. – 218 с.
2. Baltuska A., Wei Z., Pshenichnikov M.S., Wiersma D.A. Optical pulse compression to 5 fs at a 1 MHz repetition rate // Opt. Lett. – 1997. – V. 22. – № 2. – P. 102–104.
3. Nisovi M. et al. Compression of high-energy laser pulses below 5 fs // Opt. Lett. – 1997. – V. 22. – № 8. – P. 522–524.
4. Berkovskiy A.N., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Y.A.. Self-focusing of few-cycle light pulses in dielectric media // Phys. Review A. – 2005. – V. 72. – 043821.
5. Крюков П.Г. Фемтосекундные импульсы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 208 с. 6. Козлов С.А. Спектральные уравнения в фемтосекундной нелинейной оптике // В
кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2002. – С. 143–160. 7. Изъюров С.А., Козлов С.А. Динамика пространственного спектра световой волны при ее самофокусировке в нелинейной среде // Письма в ЖЭТФ. – 2000. – Т. 71. – В. 11. – С. 666–670. 8. Козлов С.А., Петрошенко П.А. Самоделение импульсов из нескольких колебаний светового поля в нелинейной среде с дисперсией // Письма в ЖЭТФ. – 2000. – Т. 76. – № 4. – С. 241–245. 9. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука, 1973. – 720 с.
Иванов Дмитрий Владимирович Козлов Сергей Аркадьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент,
haxpeha@list.ru – Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан, kozlov@mail.ifmo.ru
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
27
2 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 535.135
СПЕКТРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД С НЕРЕЗОНАНСНОЙ
ДИСПЕРСИЕЙ И БЕЗЫНЕРЦИОННОЙ КУБИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Д.В. Иванов, С.А. Козлов
Из уравнений динамики электромагнитных полей Максвелла выведена система уравнений, описывающая эволюцию сверхшироких пространственно-временных спектров световых волн в однородных изотропных диэлектрических средах с произвольной спектральной зависимостью линейного показателя преломления и безынерционной кубичной нелинейностью. Приведено аналитическое итерационное решение полученной нелинейной системы уравнений. Решения линеаризированных уравнений иллюстрированы результатами численного моделирования распространения непараксиального фемтосекундного волнового пакета из малого числа оптических колебаний в кварцевом стекле. Ключевые слова: непараксиальность, фемтосекундный импульс, пространственно-временной спектр, кубичная нелинейность, сверхширокий спектр, итерационное решение, ближний ИК диапазон, оптическое стекло, дисперсионное уширение, дифракционное уширение.
Введение В последние полтора десятилетия стремительно развивалась техника фемтосекундных лазеров и лазерных систем [1]. На сегодняшний день уже во многих лабораториях имеются лазеры, генерирующие световые импульсы, которые состоят всего из нескольких колебаний электромагнитного поля [2, 3]. Временной спектр таких импульсов очень широк. Пространственный спектр этих предельно коротких волновых пакетов также может быть сверхшироким, например, при поперечном сжатии высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов видимого и ближнего ИК диапазона в процессе самофокусировки [4] или для широкополосных импульсов дальнего ИК диапазона из-за малых размеров источника излучения [5]. При теоретическом анализе распространения световых волн со сверхширокими временными и пространственными спектрами удобно использовать уравнения динамики не электромагнитных полей, а их спектров [1, 6]. Спектральные уравнения обычно получают, преобразуя волновые уравнения [7, 8]. В настоящей работе уравнения эволюции спектров выведены из исходных основных уравнений классической оптики – уравнений Максвелла. Решения этих уравнений проиллюстрированы дифракцией световой волны из малого числа колебаний и с исходными поперечными размерами, соизмеримыми с центральной длиной волны излучения в оптическом стекле.
Преобразование уравнений динамики электромагнитных полей Максвелла в уравнения эволюции их спектров
Лежащие в основе всей классической оптики уравнения Максвелла, записанные в
системе единиц СГСЭ, имеют вид [9]
∇ ∇
×
× r
r H r E
= =
4π c −1 c
r j
+
1
rc
∂B ,
∂t
r ∂D ∂t
,
(1)
∇D = 4πρ,
∇
r B
=
0,
20 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.В. Иванов, С.А. Козлов
r гмдаегнEит–нноагпорпяожлеян;нDоrст–ь
ээллееккттррииччеессккаоягоипнодлуякцсивяе,тоBвrог–омиазглнуичтеннаияя,инHrду−кцниаяп,ряrjже−ннполсотть-
ность электрического тока, ρ − плотность стороннего электрического заряда, t – вре-
мя; c – скорость света в вакууме. В настоящей работе ограничимся рассмотрением ча-
стного, ческих
снроедраахс,пврокосттроарныехнонтосгуотнставпуюратктситокреоснлнуичеаязарраясдпыро(сρт=ра0н)ениитяоксиве(тrаj
в =
диэлектри0 ).
Будем полагать, что в среде существует выделенное направление z , вдоль которого распространяется излучение (вдоль оси z ); направления x и y поперечны ему. Выде-
ленность направления распространения световых пучков формализуется условиями
Ex, y,z →0, H x,y,z →0, Dx, y →0, Bx, y →0,
(2)
x→±∞ y →±∞
x→±∞ y → ±∞
x → ±∞ y→±∞
x→±∞ y → ±∞
где E x,y,z − декартовы компоненты напряженности электрического поля излучения,
H x, y, z – напряженности его магнитного поля, Dx, y, z − декартовы компоненты элек-
трической индукции диэлектрика, Bx, y, z − компоненты магнитной индукции.
От уравнений для электромагнитных полей (1) перейдем к уравнениям для декартовых компонент пространственно-временного спектра светового излучения:
∫ ∫ ∫
g
x,
y
,
z
(ω
,
kx ,
ky,
+∞ +∞ +∞
z) = Ex, y,z (t,
x,
y,
z)ei(ω⋅t−kx x−ky y) dtdxdy,
−∞ −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
∫ ∫ ∫hx,y,z (ω,
∫ ∫ ∫δx,y,z (ω,
kx, kx ,
ky, ky,
z) = H x, y,z (t,
−∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞
z) = Dx, y,z (t,
x, x,
y, y,
z)ei(ω⋅t−kx x−ky y) dtdxdy, z)ei(ω⋅t −kxx−ky y )dtdxdy,
(3)
−∞ −∞ −∞
∫ ∫ ∫βx,y,z (ω,
kx,
ky,
+∞ +∞ +∞
z) = Bx, y,z (t,
x,
y,
z)ei(ω⋅t−kxx−ky y) dtdxdy,
−∞ −∞ −∞
где g x, y, z , hx, y, z , δ x, y, z , β x, y, z − компоненты пространственно-временного спектра
напряженности электрического и магнитного полей и электрической и магнитной ин-
дукции; ω, kx , k y − частоты временного и пространственного спектров.
x,
y
Домножив все уравнения и t от − ∞ до + ∞ с учетом
системы (1) на равенств ρ = 0 ,
eri(ωt j=
−
0
kx
и
x−k y y) и условий
проинтегрировав их по (2), несложно получить
спектральные аналоги уравнений системы (1):
∂gx
∂z ∂g y
∂z
− ikx g z − ik y g z
=
i
ω c
β
y
,
=
−i
ω c
βx
,
k
y
g
x
−
kx gy
=
−
ω c
β
z
,
∂hx
∂z ∂hy
∂z
− ikxhz − ik y hz
=
−i
ω c
δ
y
,
=
i
ω c
δ
x
,
k yhx
−
kxhy
=
ω c
δz ,
(4) (5)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
21
СПЕКТРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД …
∂δz ∂z
+ ikxδx
+ ikyδy
=
0,
(6)
∂β z ∂z
+ ikxβx
+ ik yβ y
=
0.
(7)
Система уравнений (4)–(7) при выполнении условий (2) имеет те же решения, что
и система (1). В этом смысле они эквивалентны.
rr
Ограничимся далее случаем немагнитных сред, в которых B = H , и, следователь-
но, β x, y, z = hx, y, z . Продифференцировав первые два уравнения системы (4) по z , взяв
производные ∂βx , ∂βy (т.е. ∂hx , ∂hy ) из (5) и выразив в получившихся уравнениях
∂z ∂z
∂z ∂z
hz через gx и g y из третьего уравнения (4), а также в третьем уравнении системы (5)
выразив hx и hy (т.е. βx и βy ) из системы (4), получаем, что динамика декартовых ком-
понент пространственно-временного спектра напряженности электрического поля опи-
сывается системой уравнений
∂2gx ∂z 2
− ikx
∂g z ∂z
−
k
2 y
g
x
+
kxky gy
=
−
ω2 c2
δx,
∂2gy ∂z 2
− ik y
∂g z ∂z
−
k
2 x
g
y
+
kxky gx
=
−
ω2 c2
δy,
(8)
(
−
k
2 x
−
k
2 y
)
gz
− ikx
∂g x ∂z
− ik y
∂g y ∂z
=
−
ω2 c2
δz.
Важно, что решения системы (4)–(7) являются и решениями системы (8). Обрат-
ное, строго говоря, неверно. Система (8) из-за дифференцирования уравнений (4) по z
приобретает новые решения, которые имела бы система (4)–(7) при добавлении в (4)
слагаемых, не зависящих от z . Отметим, что полученные уравнения (8) при условии
(2)
являются ∇ × (∇×
сErп)е=кт−раc1л2 ь∂н∂2tыD2rм.и
аналогами
полевого
уравнения
(9)
Будем рассматривать ниже нерезонансное взаимодействие света с диэлектриче-
ской средой, когда спектр излучения попадает в ее диапазон прозрачности. В этом слу-
чае отклик среды, которую мы будем полагать однородной и изотропной, на силовое
воздействие со стороны светового поля, как правило, можно представить в виде [1]
rr r ∞
r
rr r
∫D = Dlin + Dnl = ε(t − t ')E(t ')dt ' + εnl (E ⋅ E ) ⋅ E ,
(10)
−∞
где первое слагаемое описывает линейную часть электрической индукции и ее диспер-
сию ( ε − диэлектрическая проницаемость среды), а второе – нелинейный отклик среды
( εnl − нелинейная диэлектрическая проницаемость среды), который в оптике интенсив-
ных фемтосекундных импульсов даже со сверхширокими пространственно-
временными спектрами в широкозонных диэлектриках в первом приближении можно
считать безынерционным [1].
При материальных уравнениях (10) выведенная система уравнений (8) примет вид
( )
∂2g ∂z 2
x
+
k2
−
k
2 y
gx
− ikx
∂g z ∂z
+ kxkygy
=
−
ω2 c2
ε nl Fx ,
( )
∂2g ∂z 2
y
+
k2
−
k
2 x
gy
− ik y
∂g z ∂z
+ kxky gx
=
−
ω2 c2
ε nl Fy ,
( )
k2
−
k
2 x
−
k
2 y
gz
− ikx
∂g x ∂z
− ik y
∂g y ∂z
=
−
ω2 c2
ε nl Fz
,
(11)
22 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.В. Иванов, С.А. Козлов
где k(ω) = ω n(ω) − волновое число, n(ω) − зависимость от частоты линейного показаc
+∞
теля преломления среды, причем n2 (ω) = ε(ω) , ε(ω) = ∫ ε(t)eiωt dt , функционалы
−∞
+∞ +∞ +∞
∫ ∫ ∫Fx,y,z (ω, kx , k y , z) =
(
E
2 x
+
E
2 y
+
E
2 z
)
E
x
,
y
,
z
e
i
(
ωt
−
k
x
x
−
k
y
y
)
dtdxdy
=
−∞ −∞ −∞
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∑=
1 (2π)6
+∞ −∞
+∞ −∞
+∞ −∞
+∞ −∞
+∞ −∞
+∞ −∞ i=x,y,z
gi (ω
−
ω ', kx
−
kx
', k y
−
ky
',
z)gi (ω'−
ω '', kx
'−
kx
'', k y
'−
ky
'',
z) ×
× g x,y,z (ω '', kx '', ky '', z)dω ' dkx ' dky ' d ω '' dkx '' dky ''
описывают нелинейный отклик среды. В предельном случае слабых электромагнитных полей система (11) линеаризуется и после подстановки gz из третьего уравнения в первые два может быть сведена к виду [1]
( )
∂2gx ∂z 2
+
k
2
−
k
2 x
−
k
2 y
gx = 0,
( )
∂2gy ∂z 2
+
k2
−
k
2 x
−
k
2 y
g y = 0,
gz
=
k2
ikx
−
k
2 x
−
k
2 y
∂g x ∂z
+
k2
ik y
−
k
2 x
−
k
2 y
∂g y ∂z
.
(12)
Итерационные решения нелинейных уравнений динамики спектров
Для выведенной системы нелинейных спектральных уравнений (11) удобно строить итерационные решения, так как ее предельный случай – линеаризированная систе-
ма (12) – в отличие от полевого аналога, легко решается в квадратурах [1]. Эти решения естественно выбирать начальными итерационными решениями системы (11). Рассмот-
рим метод получения таких решений и сами решения подробнее. Итерационный метод позволяет свести систему нелинейных интегро-
дифференциальных уравнений (11) к системе линейных однородных и неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Будем искать итерационное решение (11) в виде ряда:
gx,y,z (ω, kx , k y , z) = glinx,y,z (ω, kx , k y , z) + µg1x,y,z (ω, kx , k y , z) + µ2 g2x,y,z (ω, kx , k y , z) + ... ,
(13)
где µ : εnl E02 ( E0 − максимальная амплитуда поля излучения на входе в среду) − пара-
метр малости, glinx,y,z – соответствующий компонент решения системы (12), g1x,y,z и
g2x,y,z − добавки к нему, обусловленные нелинейностью отклика среды в поле излуче-
ния высокой интенсивности. Частное решение системы (12), соответствующее линейной дифракции однона-
правленной волны (излучения, распространяющегося в положительном направлении оси z ), которое мы будем рассматривать в качестве первой итерации, имеет вид
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
23
СПЕКТРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД …
g
lin
x
=
С x
(ω,
kx,
k )e ,−ik
1−
kx k
2
−
ky k
2
z
y
g
lin
y
=
Сy (ω,
kx ,
k )e ,−ik
1−
kx k
2
−
ky k
2 z
y
g
lin
z
=
kxCx (ω,
kx , k y ) + k yC y (ω,
k2
−
k
2 x
−
k
2 y
kx ,
k ) ey
− ik
1−
kx k
2
−
ky k
2 z
,
(14)
+∞ +∞ +∞
∫ ∫ ∫где Cx,y (ω, kx , ky ) =
Ex,y (t, x, y)ei(ωt−kxx−ky y)dtdxdy , E x, y (t, x, y) – поперечные ком-
−∞ −∞ −∞
поненты электрического поля излучения на входе в среду ( z = 0 ).
Решая систему уравнений (11), где в правой их части Fx,y,z является функциона-
лом от выражений (14), которые выведены как первая итерация, получаем добавку к
решению (14) в следующей – второй – итерации вида
∫g1x (ω, kx , ky , z) =
e−iUz 2k 2U
z 0
iU
2
Fx
−
(k
2 x
+
k
2 y
)
kx
∂Fz ∂z
+i ky kx
U
2
Fy
eiUz dz
+
∫ (eiUz L
2k 2U z
−iU 2 Fx
+
(kx2
+
k
2 y
)
kx
∂Fz ∂z
−i
ky kx
U 2 Fy
e−iUz
dz
−
ie−iUz
∫ ∫ )2k2
z
⋅ e2iUz
0
L z
ik
2 y
Fx
+
k
2 y
kx
∂Fz ∂z
−i
ky kx
(k 2
−
k
2 y
)
Fy
e−
iUz
dz
dz +
(15)
ieiUz
∫ ∫ )2k2
L
⋅ e−2iUz
z
z 0
−ik
2 y
Fx
−
k
2 y
kx
∂Fz ∂z
+i
ky kx
(k 2
−
k
2 y
)
Fy
eiUz
dz
dz,
∫g1y (ω, kx , ky , z) =
e−iUz 2k 2U
z 0
−ikx
k
y
Fx
− ky
∂Fz ∂z
+ i(k 2
−
k
2 y
)Fy
eiUz
dz
+
∫eiUz
2k 2U
L z
ikx
k
y
Fx
+
ky
∂Fz ∂z
−
i(k 2
−
k
2 y
)
Fy
e−iUz dz
,
∫g1z (ω, kx , ky , z) =
kxe−iUz 2k 2U 2
z 0 iU 2Fx
−
(kx2
+
k
2 y
)
kx
∂Fz ∂z
+i
ky kx
U
2
Fy
eiUzdz
−
(16)
∫ (kxeiUz L
2k 2U 2 z
−iU 2Fx
+
(kx2
+
k
2 y
)
kx
∂Fz ∂z
−i
ky kx
U 2Fy
e
−iUz
dz
−
∫ ∫ikxe−iUz
2k 2U
⋅
z 0
e2iUz
L z
ik
2 y
Fx
+
k
2 y
kx
∂Fz ∂z
−i
ky kx
(k 2
−
k
2 y
)
Fy
e−iUz
dz
dz
−
(17)
ikxeiUz
∫ ∫ )2k 2U
L
e−2iUz
z
z
0
−ik
2 y
Fx
−
k
2 y
kx
∂Fz ∂z
+i
ky kx
(k 2
−
k
2 y
)
Fy
eiUz
dz
dz
+
Fz U2
,
где U = k
1
−
kx k
2
−
ky k
2
,
L
– граница нелинейной
среды.
24 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.В. Иванов, С.А. Козлов
Таким образом, в настоящем параграфе статьи получено аналитическое решение
задачи об эволюции пространственно-временного спектра световой волны, который может быть сверхшироким, в изотропной диэлектрической нелинейной среде в виде
(13), где решение в первой итерации имеет вид (14), а нелинейная добавка к нему в следующей итерации – вид (15)–(17). Нелинейная часть решения (15)–(17) описывает как
уменьшение дифракционной расходимости пучка из-за самофокусировки, так и явление самоотражения излучения.
Проиллюстрируем полученное решение, ограничившись в настоящей статье эволюцией непараксиальных световых волн с малым числом колебаний в приближении
первой итерации (14), акцентируя внимание в этом линейном режиме распространения на динамике продольной компоненты спектра и поля излучения.
Численное моделирование распространения фемтосекундного импульса титан-сапфирового лазера в кварцевом стекле
На рис. 1 и 2 проиллюстрированы решения (14), демонстрирующие непараксиальную эволюцию двумерного спектра излучения и щелевую динамику его поля, при гра-
ничных условиях
E(z, x,t)
z=0 =
E0
exp
−2
x2 ∆x2
exp
−2
t2 ∆t 2
cos(ω0t)
,
(18)
где центральная длина волны λ0 = 2πс / ω0 = 780 нм соответствует излучению титансапфирового лазера, пространственно-временные параметры волнового пакета на входе
в среду ∆t = 7,5фс и ∆x = 10λ0 . В качестве среды, в которой распространяется излучение, рассматривается кварцевое стекло с зависимостью линейного показателя прелом-
ления от частоты вида
n(ω)
=
N0
+
acω2
−
bc ω2
,
(19)
где N0 = 1, 4508 , a = 2, 7401⋅10−44 c3см-1 , b = 3,9437 ⋅1017 c-1см-1 [4]. На рис. 1, а, б, представлены плоскостные изображения зависимостей модулей
пространственно-временных спектров поперечной и продольной компонент поля им-
пульса от пространственной частоты kx , нормированной на центральную длину волны
λ0 ,
и
от
циклической
частоты
ω,
нормированной
на
центральную
частоту
ω0
=
2π
.
λ0
Из
(14) ясно, что эти зависимости с расстоянием z не изменяются. Как видно из рисунка, в
спектре продольных компонент поля излучения на всех временных частотах отсутст-
вуют низкие пространственные частоты волнового пакета.
На рис. 2 представлены плоскостные изображения зависимости поля E , нормиро-
ванного на максимальное входное значение E0 , от поперечной координаты x , норми-
рованной на входную центральную длину волны λ0 , и от времени t с увеличением пройденного импульсом расстояния z в оптической среде. Темно-серым частям изо-
бражения соответствуют максимальные положительные значения поля, светло-серым −
максимальные отрицательные значения. На рис. 2, а–г, демонстрируется временная ди-
намика и изменение пространственного распределения поперечной компоненты элек-
трического поля импульса, на рис. 2, а′–г′, приведены аналогичные изображения для продольной компоненты. Как видно из рис. 2, продольная компонента поля импульса
на поперечной оси обнуляется. Эта область разделяет две части импульса, имеющие
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
25
СПЕКТРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД …
фазовое смещение друг относительно друга на π . Амплитуда продольной компоненты импульса составляет по модулю не более 1% от амплитуды поперечной компоненты.
ω′, отн. ед.
ω′, отн. ед.
Рис. 1. Нормированные пространственно-временные спектры поперечной и продольной компонент поля импульса с параметрами на входе в среду
λ0 = 780 нм , ∆t = 7,5 фс , ∆x = 10λ0
Рис. 2. Пространственно-временная эволюция компонент электрического поля светового импульса (поперечная слева, продольная справа) с входными параметрами λ0 = 780 нм , ∆t = 7,5фс , ∆x = 10λ0 . В кварцевом стекле: а–а’) z = 0 , б–б’) z = 0,15мм ,
в–в’) z = 0,3мм , г–г’) z = 0, 45 мм
26 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.В. Иванов, С.А. Козлов
Заключение
Из уравнений динамики электромагнитных полей Максвелла выведена система уравнений, описывающих непараксиальную эволюцию декартовых компонент пространственно-временного спектра световой волны в однородной изотропной диэлектрической среде с произвольной зависимостью линейного показателя преломления и характерной для диэлектриков безынерционной кубичной по полю нелинейностью электрической индукции среды. Получены итерационные решения этих уравнений. Решения в первой итерации (приближение линейной среды) иллюстрированы на примере дифракционно-дисперсионного расплывания двумерного волнового пакета. Показано, что на оси пучка продольная компонента поля равна нулю, и в этой области реализуется скачок фазы волны на π .
Работа поддержана грантом РФФИ 08-02-00902-а и программой «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1/4923.
Литература
1. Козлов С.А., Самарцев В.В. Оптика фемтосекундных лазеров. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2007. – 218 с.
2. Baltuska A., Wei Z., Pshenichnikov M.S., Wiersma D.A. Optical pulse compression to 5 fs at a 1 MHz repetition rate // Opt. Lett. – 1997. – V. 22. – № 2. – P. 102–104.
3. Nisovi M. et al. Compression of high-energy laser pulses below 5 fs // Opt. Lett. – 1997. – V. 22. – № 8. – P. 522–524.
4. Berkovskiy A.N., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Y.A.. Self-focusing of few-cycle light pulses in dielectric media // Phys. Review A. – 2005. – V. 72. – 043821.
5. Крюков П.Г. Фемтосекундные импульсы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 208 с. 6. Козлов С.А. Спектральные уравнения в фемтосекундной нелинейной оптике // В
кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2002. – С. 143–160. 7. Изъюров С.А., Козлов С.А. Динамика пространственного спектра световой волны при ее самофокусировке в нелинейной среде // Письма в ЖЭТФ. – 2000. – Т. 71. – В. 11. – С. 666–670. 8. Козлов С.А., Петрошенко П.А. Самоделение импульсов из нескольких колебаний светового поля в нелинейной среде с дисперсией // Письма в ЖЭТФ. – 2000. – Т. 76. – № 4. – С. 241–245. 9. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука, 1973. – 720 с.
Иванов Дмитрий Владимирович Козлов Сергей Аркадьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент,
haxpeha@list.ru – Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан, kozlov@mail.ifmo.ru
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
27