АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ НЕГАУССОВЫХ УЗКОПОЛОСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
Алгоритм оптимального обнаружения негауссовых случайных сигналов
11
УДК 623.396.969.3
А. С. БАЧЕВСКИЙ, В. А. ШАТАЛОВА
АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ НЕГАУССОВЫХ УЗКОПОЛОСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
Рассматривается синтез алгоритма оптимального обнаружения негауссова узкополосного случайного сигнала, принимаемого на фоне помех, и анализ его статистических характеристик.
Ключевые слова: случайный процесс, плотность распределения вероятностей, сигналы, помехи.
Введение. Для осуществления оптимального статистического синтеза систем обнару-
жения негауссовых узкополосных случайных процессов при наличии помех необходимо оп-
ределить совместные условные плотности распределения вероятностей (ПРВ) выборок слу-
чайных величин по каждой из проверяемых гипотез [1].
Задача обнаружения сигналов при наличии помех, когда и те, и другие подчиняются га-
уссову распределению вероятностей, рассмотрена в работах [2, 3].
Натурные эксперименты, проведенные отечественными и зарубежными специалистами,
показали, что случайные амплитуды принимаемых сигналов и помех подчиняются рэлеев-
скому, вейбулловскому, логарифмически нормальному или т-распределению (Накагами), а
фазы являются равномерно распределенными случайными величинами [4]. Если случай рэлеев-
ского распределения хорошо известен [1—4], то три других в настоящее время значительно
менее изучены, так как и одномерные, и многомерные плотности распределения вероятно-
стей таких сигналов не были описаны вплоть до появления работы [5].
Цель настоящей статьи — синтез алгоритма оптимального обнаружения негауссова уз-
кополосного случайного сигнала, принимаемого на фоне помех, и анализ его статистических
характеристик.
Алгоритм обнаружения узкополосного сигнала с нерэлеевской амплитудой и рав-
номерно распределенной фазой. Постановка задачи обнаружения традиционная и формули-
руется как проверка двух гипотез
H0 : ξ(t) = n(t); H1 : ξ(t) = n(t) + s(t),
(1)
где n(t) — случайный процесс (помеха), представляющий собой белый гауссов шум (БГШ),
ПРВ и числовые характеристики которого равны соответственно
( )p ⎡⎣ξi H0 ⎤⎦ = p (ni ) =
2π ⋅ σ
−1
exp
⎛ ⎜⎝⎜
−
ni2 2σ2
⎞ ⎟⎟⎠
;
(2)
M [ni (t)] = 0 , M ⎣⎡ni2 (t)⎦⎤ = σ2 ,
где M [⋅] — означает операцию вычисления математического ожидания выражения, находя-
щегося в квадратных скобках; s(t) — полезный сигнал, представляющий собой случайный
процесс (СП); i — номер выборки помехи. Будем считать, что СП s(t) можно представить в виде
s(t) = νf (t − τ) sin (ω0t + ϕ) ,
(3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
12 А. С. Бачевский, В. А. Шаталова
где ν — амплитуда сигнала — случайная величина, распределенная по одному из указанных
выше законов; ω0 — несущая частота колебания; f (t) — огибающая сигнала; τ — задержка
сигнала; ϕ — фаза — случайная величина, ПРВ которой равна
⎧ 0, −∞ < ϕ < −π;
p(ϕ) = ⎪⎪⎨(2π)−1 , −π < ϕ < π,
⎪ ⎩⎪
0,
π < ϕ < ∞.
Последовательно рассмотрим решение задачи обнаружения для указанных выше зако-
нов, которые соответствуют случаю медленно флуктуирующих негауссовых узкополосных
сигналов, принимаемых на фоне БГШ, а затем обобщим результаты решения для случая, ко-
гда ν(t) — случайный процесс с дискретным временем.
Вариант 1. Случайная величина ν распределена по вейбулловскому закону. Используя правила нахождения ПРВ функционально преобразованных случайных величин, получаем для s(t) , определяемого формулой (3), следующее выражение:
∫p(ζ)
=
cαβζα−1
exp(−βζα
)
1 2π
1−ε −1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜
⎜⎝
−βζα
⎛1−
⎜ ⎝
y
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎟ dy, ⎟⎠
(4)
где α и β — параметры,
∫ ∫c
=
⎛ ⎜ ⎝⎜
αβ π
∞ 0
ζα−1
exp(−βζα
)
1 2
1−ε −1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜
⎝⎜
−βζα
⎛1−
⎜ ⎝
y
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎞−1 ⎟ dydζ ⎟ . ⎠⎟ ⎠⎟
Сомножитель αβζα−1 exp(−βζα ) является вейбулловской ПРВ, которая определена при
ζ ≥ 0 . При α = 1 она совпадает с показательным распределением, при α = 2 — с распределе-
нием Рэлея. Во избежание путаницы ПРВ (4) будем называть модифицированной вейбулловской ПРВ (МПРВ).
Поскольку прием сигнала, подчиняющегося МПРВ описанного выше типа, осуществляется на фоне белого гауссова шума, аддитивная модель сигнала и шума должна характеризоваться сверткой двух ПРВ, подчиняющихся гауссовой ПРВ (2) и вейбулловской МПРВ (4). Полученная ПРВ соответствует условной ПРВ случайного процесса ξ(t) = n(t) + s(t) в случае
истинной гипотезы H1. Для скалярных ni (t) и si (t) ПРВ определяется выражением [5]
∫p(ξi H1) = c
1 2π
⋅σ
αβ π
∞ −∞
z α−1
⎛ exp ⎜
⎜⎝
−
(ξi − z)2
2σ2
−
β
zα
⎞ ⎟× ⎟⎠
∫×
1 2
1−ε −1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜
⎜⎝
−β
zα
⎛1−
⎜ ⎝
y
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟⎠
dydz.
(5)
Данное выражение следует преобразовать к виду
∫p(ξi H1) =
c 2π
⋅σ
exp
⎛ ⎜
−
⎝
ξi2 2σ2
⎞ ⎟ ⎠
αβ π
∞ −∞
z α−1
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
−2ξi z + 2σ2
z2
−β
zα
⎞ ⎟⎠⎟ ×
∫×
1 2
1−ε −1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜ −β zα
⎝⎜
⎛1− y ⎞α
⎜ ⎝
y
⎟ ⎠
⎞ ⎟ dydz. ⎠⎟
Используя формулы (2) и (6), получаем выражение для отношения правдоподобия:
(6)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
Алгоритм оптимального обнаружения негауссовых случайных сигналов
13
∫Λ[ξi ] =
p(ξi p(ξi
H1 ) H0 )
=
c
1 2
αβ π
∞ −∞
zα−1
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
−2ξi z + 2σ2
z2
−
β
zα
⎞ ⎟⎠⎟
×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜ −β
⎝⎜
zα
⎛1− y
⎜ ⎝
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎟ dydz ⎠⎟
.
(7)
Если Λ[ξi ] ≥ γ , где γ — порог обнаружения сигнала, принимается решение о его нали-
чии на фоне БГШ, если Λ[ξi ] < γ , принимается решение об отсутствии сигнала.
Пользоваться на практике выражением (7) крайне неудобно. Поэтому следует его пре-
образовать, используя разложение экспоненты в степенной ряд:
exp
⎛ ⎜
−ξi
⎝
⎛z ⎝⎜ σ2
⎞⎞
⎠⎟
⎟ ⎠
=1−
ξi
⎛z ⎜⎝ σ2 1!
⎞ ⎟⎠
+
ξi2
⎛z ⎜⎝ σ2 2!
⎞2 ⎟⎠
−
ξ3i
⎛ ⎜⎝
z σ2
3!
⎞3 ⎟⎠
+
ξi4
⎛z ⎜⎝ σ2 4!
⎞4 ⎟⎠
− ...
(8)
Подставляя выражение (8) в формулу (7), находим
∑ ∫Λ[ξi ]
=
∞ ξik c
k =0
1 2
αβ π
∞ −∞
zα−1
⎛ ⎝⎜
z σ2
⎞k ⎠⎟
(
k
!)−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
⎛ ⎝⎜⎜
z2 2σ2
+ β zα
⎞⎞ ⎠⎟⎟ ⎠⎟⎟ ×
Обозначив
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜ −β
⎜⎝
zα
⎛1− y
⎜ ⎝
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎟ dydz. ⎟⎠
(9)
∫ρk
=
c
1 2
αβ π
∞ −∞
z
α−1
⎛ ⎝⎜
z σ2
⎞k ⎠⎟
(
k
!)−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
⎛ ⎜⎝⎜
z2 2σ2
+ β zα
⎞⎞ ⎟⎠⎟ ⎟⎟⎠ ×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜ −β
⎜⎝
zα
⎛1−
⎜ ⎝
y
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎟ dydz ⎟⎠
,
получим следующий вариант записи отношения правдоподобия в виде полинома:
∑Λ[ξi ] =
∞
ρk ξik
≥ <
γ.
k =0
(10)
Вариант 2. Случайная величина ν распределена по логарифмически нормальному за-
кону. Используя правила нахождения ПРВ функционально преобразованных случайных ве-
личин, получаем для s(t)
∫p
(ζ
)
=
c
σζ
1 2π
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2σ
2
(ln
ζ
−
α)2
⎞ ⎟⎠
1−ε −1+ε
1 1−
y2
exp
⎛ ⎝⎜
−
1 σ2
ln
y (1− (ln ζ
−
α))
⎞ ⎠⎟
dy,
(11)
где
( ) ∫ ∫ ( )c = σζ
2π
⎛ ⎜ ⎝⎜
∞ 0
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2σ
2
(
ln
ζ
−
α
)2
⎞ 1−ε ⎟⎠−1+ε
1 1− y2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 σ2
ln
y
1− (ln ζ − α)
⎞ ⎠⎟
dydζ
⎞−1 ⎟ ⎟⎠
.
Определяющими параметрами являются −∞ < α < ∞ и σ. Во избежание путаницы ПРВ
(11) будем называть модифицированной ПРВ по логарифмически нормальному закону.
Свертка двух ПРВ, подчиняющихся логарифмически нормальной МПРВ (11) и гауссо-
вой ПРВ (2), определяется формулой
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
14 А. С. Бачевский, В. А. Шаталова
∫p(ξi
H1
)
=
c
1 2πσ2
∞ −∞
1 ν
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2σ
2
(
ln
ν
−
α
)2
⎞ ⎠⎟
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
(
ξi − ν 2σ2
)2
⎞ ⎟⎠⎟ ×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 σ2
ln
y (1− (ln ν
−
α
))
⎞ ⎟⎠
dyd
ν.
(12)
Представим выражение (12) в удобном для дальнейших преобразований виде:
p(ξi H1) =
∫1
2π
⋅
σ
⎛ exp ⎜⎝⎜
−
ξi2 2σ2
⎞ ⎠⎟⎟ c
1 2π
⋅σ
∞ −∞
1 ν
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2σ
2
(ln
ν
−
α)2
⎞ ⎟⎠
exp
⎛ ⎜⎝⎜
−
−2νξi + 2σ2
ν2
⎞ ⎟⎠⎟ ×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 σ2
ln
y (1− (ln ν
−
α
))
⎞ ⎠⎟
dyd
ν.
(13)
Используя формулы (2) и (13), получаем выражение для отношения правдоподобия:
∫Λ[ξi ] =
c 2π
⋅
σ
∞ −∞
1 ν
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2σ
2
(ln
ν
−
α)2
⎞ ⎠⎟
exp
⎛ ⎝⎜
νξi σ2
⎞ ⎠⎟
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
ν2 2σ2
⎞ ⎠⎟⎟ ×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
exp
⎛ ⎝⎜
−
1 σ2
ln
y (1− (ln ν
−
α
))
⎞ ⎠⎟
dyd
ν
,
(14)
которое с помощью разложения в степенной ряд можно записать в виде полинома:
∑ ∫Λ[ξi ] = ∞ ξik c k =0
1 2π
⋅
σ
∞ −∞
1 ν
⎛ ⎜⎝
ν σ2
⎞k ⎟⎠
(k
!)−1
exp
⎛ ⎜⎝⎜
−
1 2σ
2
(ln
ν
−
α)2
−
ν2 2σ2
⎞ ⎟⎟⎠
×
∫ ( ) ∑1−ε
×
−1+ε
1 1− y2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 σ2
ln y
1− (ln ν − α)
⎞ ⎠⎟
dyd ν
=
∞ k =0
υk
ξik
≥ <
γ,
где
∫υk = c
1 2π
⋅σ
∞ −∞
1 ν
⎛ ⎜⎝
ν σ2
⎞k ⎟⎠
(k !)−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
1 2σ
2
(ln
ν
−
α)2
−
ν2 2σ2
⎞ ⎟⎠⎟
×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
exp
⎛ ⎝⎜
−
1 σ2
ln
y (1− (ln ν
−
α
))
⎞ ⎟⎠
dyd ν
.
(15)
Если Λ[ξi ] ≥ γ , принимается решение о наличии сигнала на фоне БГШ, если Λ[ξi ] < γ — об
его отсутствии. Вариант 3. Случайная величина ν распределена по т-закону (Накагами). Используя
правила нахождения ПРВ функционально преобразованных случайных величин, получаем для s(t)
p(ζ)
=
c
2c Γ(m)
⎛ ⎜⎝
m σ2
⎞m ⎠⎟
ζ 2m−1
exp
⎛ ⎜⎝
−
m σ2
ζ2
⎞ ⎠⎟
×
∫1−ε
×
⎛ ⎜
−1+ε ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
m σ2
ζ2
⎛ ⎝⎜⎜
1 y2
−1⎞⎠⎟⎟
⎞ ⎠⎟⎟
⎛ ⎜ ⎝⎜
π
1
⎞ ⎟ dy,
1− y2 ⎠⎟
(16)
где
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
Алгоритм оптимального обнаружения негауссовых случайных сигналов
15
∫ ∫c
=
⎡ ⎢
2
⎢ Γ(m)
⎣
⎛ ⎝⎜
m σ2
⎞m ⎠⎟
∞
ζ 2m−1
−∞
exp
⎛ ⎝⎜
−
m σ2
ζ2
⎞ 1−ε ⎛
⎠⎟−1+ε
⎜ ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
m σ2
ζ2
⎛ ⎝⎜⎜
1 y2
−
1⎠⎟⎟⎞
⎞ ⎠⎟⎟
⎛ ⎜ ⎜⎝
π
1 1− y2
⎞ ⎤−1
⎟ dy⎥ ;
⎟⎠
⎥ ⎦
т и σ — определяющие параметры, m ≥ 0,5; Γ(m) — гамма-функция Эйлера, определяемая
∞
∫выражением Γ (m) = ym−1e− ydy . Во избежание путаницы ПРВ (16) будем называть модифи-
0
цированной ПРВ по т-закону (Накагами).
Свертка ПРВ (16) и (2) определяется формулой [5]
∫p(ξi H1) = c
1 2π
⋅σ
2 Γ(m)
⎛ ⎝⎜
m σ2
⎞m ⎠⎟
∞ −∞
z 2m−1
exp
⎛ ⎜⎝
−
m σ2
z2
⎞ ⎠⎟
exp
⎛ ⎜ ⎜⎝
−
(ξi − z)2
2σ2
⎞ ⎟× ⎠⎟
∫1−ε
×
⎛ ⎜
−1+ε ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
m σ2
z2
⎛ ⎜⎜⎝
1 y2
−
1⎟⎟⎠⎞
⎞ ⎟⎟⎠
⎛ ⎜ ⎜⎝
π
1
⎞ ⎟ dydz.
1 − y2 ⎟⎠
(17)
Представим выражение (17) в удобном для дальнейших преобразований виде:
∫p(ξi H1) = c
1 2π
⋅σ
⎛ exp ⎜⎜⎝ −
ξi2 2σ2
⎞ ⎟⎠⎟
2⎛ Γ(m) ⎜⎝
m σ2
⎞m ⎟⎠
∞ −∞
z 2m−1
exp
⎛ ⎝⎜
−
m σ2
z2
⎞ ⎟⎠
×
∫⎛
×exp ⎜⎜⎝ −
−2zξi + 2σ2
z2
⎞ 1−ε ⎛
⎟⎟⎠
−1+ε
⎜ ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜⎜⎝ −
m σ2
z2
⎛ ⎜⎜⎝
1 y2
−
1⎟⎟⎞⎠
⎞ ⎟⎟⎠
⎛ ⎜ ⎜⎝
π
1 1− y2
⎞ ⎟ dydz. ⎟⎠
(18)
Используя формулы (2) и (18), получаем выражение для отношения правдоподобия:
∫Λ[ξi ]
=
c
2 ⎛m Γ(m) ⎝⎜ σ2
⎞m ⎠⎟
∞ −∞
z
2m−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
m σ2
z2
−
z2 2σ2
⎞ ⎠⎟⎟
exp
⎛ ⎜ ⎝
ξi
⎛ ⎝⎜
z σ2
⎞ ⎠⎟
⎞ ⎟ ⎠
×
∫1−ε
×
⎛ ⎜
−1+ε ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
exp
⎛ ⎜⎝⎜
−
m σ2
z2
⎛ ⎜⎜⎝
1 y2
−
1⎟⎟⎞⎠
⎞ ⎟⎠⎟
⎛ ⎜ ⎝⎜
π
1 1− y2
⎞ ⎟ dydz, ⎠⎟
(19)
которое с помощью разложения в степенной ряд можно записать в виде
∑ ∫ ∫Λ[ξi ] =
∞ k =0
ξik
c
2 Γ(m)
⎛ ⎝⎜
m σ2
⎞m ⎠⎟
∞
z 2 m−1
−∞
z σ2
(
k
!)−1
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
m σ2
z2
−
z2 2σ2
⎞ ⎟⎟⎠
1−ε −1+ε
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
×
∑⎛
×exp ⎝⎜⎜ −
m σ2
z2
⎛ ⎝⎜⎜
1 y2
−
1⎞⎠⎟⎟
⎞ ⎠⎟⎟
⎛ ⎜ ⎝⎜
π
1 1−
y2
⎞ ⎟ dydz ⎠⎟
=
∞ µk ξik
k =0
≥ <
γ,
(20)
где
∫µk
=
c
2 Γ(m)
⎛ ⎝⎜
m σ2
⎞m ⎠⎟
∞ −∞
z
2m−1
⎛ ⎝⎜
z σ2
⎞ ⎠⎟
(
k
!)−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
m σ2
z2
−
z2 2σ2
⎞ ⎠⎟⎟ ×
∫1−ε
×
⎛ ⎜
−1+ε ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
m σ2
z2
⎛ ⎝⎜⎜
1 y2
−
1⎟⎟⎞⎠
⎞ ⎟⎟⎠
⎛ ⎜ ⎜⎝
π
1
⎞ ⎟ dydz.
1 − y2 ⎠⎟
Как и в предыдущих вариантах, если Λ[ξi ] ≥ γ , принимается решение о наличии сигна-
ла на фоне БГШ, если Λ[ξi ] < γ — об его отсутствии.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
16 А. С. Бачевский, В. А. Шаталова
Таким образом, во всех трех вариантах постановки задачи обнаружения случайных ве-
личин удалось представить отношение правдоподобия в виде полинома по степеням k, но с
разными коэффициентами, отражающими специфику каждой из модифицированных ПРВ.
Естественно, необходимо ограничить суммы в выражениях (10), (15) и (20) конечным числом p.
Важно отметить, что решение задачи обнаружения описанным способом оказывается спра-
ведливым и для случая приема негауссовых сигналов на фоне негауссовых белых шумов.
Обобщение результатов для многомерного случая. Полученные результаты распро-
страним на случай совокупности N некоррелированных выборок, каждая из которых рас-
пределена по закону (6):
∏ ∫p(ξ
H1) =
cN
( )2π
N 2
N
∏
i =1
σi
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
1 2
N
∑
ξi2
i=1
1 σi2
⎞ ⎠⎟⎟
⎛ ⎜⎝
αβ 2π
⎞N ⎟⎠
N i=1
∞ −∞
ziα−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
−2ξi zi + 2σi2
zi2
−
β
ziα
⎞ ⎟⎟⎠
×
1−ε
×
∫ ( )−1+ε
1 1 − yi2
⎛ ⎜ ⎝
1 yi
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜ −β
⎜⎝
ziα
⎛ ⎜ ⎝
1
− yi yi
⎞α ⎟ ⎠
⎞
⎟ ⎠⎟
dyi
dzi
=
N
(2π) 2
cN diag σi2
N 12 ×
i=1
( ) ∫ ( )×
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
1 2
ξT
⎣⎢⎡diag
σi2
N i=1
⎤ ⎦⎥
ξ
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜⎝
αβ 2π
⎞N ⎠⎟
∞ −∞
diag
zzT
α−1
2×
⎛ α⎞
( ) ( ) ( )×
exp
⎜ ⎜
−
⎜⎝
1 2
⎛ ⎜
2ξT
⎝
⎢⎡⎣diag
σi2
N i=1
⎤ ⎥⎦
z
+
zT
⎣⎢⎡diag
σi2
N⎤ i=1 ⎥⎦
z
⎞ ⎟
⎠
−
β
⎛ ⎜
zT
⎝
⎢⎣⎡diag
σi2
N⎤ i=1 ⎦⎥
z
⎞2 ⎟ ⎠
⎟ ⎟
×
⎠⎟
∫ ( )1−ε
×
⎛
diag
⎜ ⎜
−1+ε ⎝⎜
1 1 − yi2
⎛ ⎜ ⎝
1 yi
⎞α ⎟ ⎠
N i=1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
exp
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
−β
⎛ ⎜ ⎝
zT
⎡⎢⎣diag
σi2
N⎤ i=1 ⎦⎥
z
α
⎞2 ⎟ ⎠
⎛
tr
⎜ ⎝⎜⎜
diag
⎛ ⎜ ⎝
1
− yi yi
⎞α ⎟ ⎠
N i=1
⎞⎞
⎟ ⎟⎠⎟
⎟ ⎟ ⎟⎠
dzdy,
(21)
где ⋅ означает вычисление детерминанта матрицы, заключенной в скобках; diag (⋅) — диа-
гональная матрица; tr (⋅) означает след матрицы, заключенной в скобках; ξT = (ξ1, ..., ξN ), zT = ( z1, ..., zN ) , yT = ( y1, ..., yN ) .
Многомерная ПРВ белого гауссова шума определяется выражением
( )p(ξ
H0 )
=
1
( )2π
N 2
N
∏
i=1
σi
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
1 2
N
∑
ξi2
i=1
1 σi2
⎞ ⎠⎟⎟
=
N
(2π) 2
1 diag σi2
N 12 ×
i=1
( )×
exp
⎛ ⎜
−
⎝
1 ξT 2
⎢⎣⎡diag
σi2
N i=1
⎤ ⎦⎥
ξ
⎞ ⎟ ⎠
.
(22)
Используя формулы (21) и (22), получаем выражение для отношения правдоподобия:
( ) ∫ ( )Λ[ξ] =
p(ξ H1) p(ξ H0 )
=
c
Np
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
1 2
ξT
⎡⎢⎣diag
σi2
N i=1
⎤ ⎥⎦
ξ
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜⎝
αβ 2π
⎞N ⎟⎠
∞ −∞
diag
zzT
α−1
2×
⎛ α⎞
( ) ( ) ( )×
exp
⎜ ⎜
−
⎜⎝
1 2
⎛ ⎜ ⎝
2ξT
⎢⎣⎡diag
σi2
N i=1
⎤ ⎥⎦
z
+
zT
⎣⎢⎡diag
σi2
N i=1
⎤ ⎥⎦
z
⎞ ⎟ ⎠
−
β
⎛ ⎜
zT
⎝
⎢⎣⎡diag
σi2
N⎤ i=1 ⎦⎥
z
⎞ ⎟
2
⎠
⎟ ⎟
×
⎠⎟
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
Алгоритм оптимального обнаружения негауссовых случайных сигналов
17
∫1−ε
×
⎛
diag
⎜ ⎜
−1+ε ⎜⎝
1 1−
yi2
⎛ ⎜ ⎝
1 yi
⎞α ⎟ ⎠
N⎞ ⎟ ⎟
i=1 ⎟⎠
×
( )⎛
×
exp
⎜ ⎜
−β
⎛ ⎜
zT
⎝⎜ ⎝
⎣⎢⎡diag
σi2
N⎤ i=1 ⎥⎦
z
α
⎞2 ⎟ ⎠
tr
⎛ ⎜ ⎜ ⎝⎜
diag
⎛ ⎜ ⎝
1
− yi yi
⎞α ⎟ ⎠
N i=1
⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎟ ⎠⎟
dzdy.
(23)
По аналогии с рассмотренными выше скалярными вариантами отношение правдоподо-
бия можно представить в виде произведения:
∏ ∏ ∑Λ[ξ]
=
N i=1
Λ[ξi ]
=
N i=1
⎛ ⎜⎜⎝
∞ k =0
µ
k
ξik
⎞ ⎟⎟⎠
> <
γ.
(24)
Для N коррелированных выборок η = Uξ можно записать выражение для условной
модифицированной ПРВ в виде
p(η H1) =
N
(2π) 2
cN
1
diag
⎛ ⎝⎜
σi2
N i=1
⎞ ⎟⎠
2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2
ηT
Qη ⎟⎠⎞
⎛ ⎜⎝
αβ 2π
⎞N ⎟⎠
×
( ) ( ) ( )∫∞
× diag z1z1T
−∞
α−1 2
exp
⎛ ⎜ ⎝⎜
−
1 2
2ηT Qz1 + z1T Qz1
−β
z1T Qz1
α⎞ 2 ⎟×
⎠⎟
∫ ( )1−ε
×
⎛
diag
⎜ ⎜
−1+ε ⎜⎝
1 1 − yi2
⎛ ⎜ ⎝
1 yi
⎞α ⎟ ⎠
N i=1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
⎛
exp
⎜ ⎜
⎝⎜
−β
z1T Qz1
α 2
tr
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
diag
⎛ ⎜ ⎝
1
− yi yi
⎞α ⎟ ⎠
N i=1
⎞⎞
⎟⎟
⎟⎟⎠
⎟ ⎟⎠
dz1dy1,
(25)
где U — ортогональная матрица, для которой справедливы условия UT U = UUT = UU−1 = I ,
z1
=
Uz ,
Q
=
UT
diag
⎛ ⎝⎜
σi2
N i=1
⎞−1 ⎟⎠
U
.
Многомерная гауссова ПРВ определяется как
( )p η H0
=
N
(2π) 2
1
diag
⎛ ⎜⎝
σi2
N⎞ i=1 ⎠⎟
1 2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2
ηT
Qη
⎞ ⎟⎠
.
(26)
Используя формулы (25) и (26), получаем выражение для отношения правдоподобия:
( ) ( ) ( )∫Λ
[η]
=
c
N
⎛ ⎜⎝
αβ 2π
⎞N ⎠⎟
∞
diag
−∞
z1z1T
α−1 2
exp
⎛ ⎜ ⎝⎜
−
1 2
2ηT Qz1 + z1T Qz1
−β
z1T Qz1
α⎞ 2 ⎟×
⎟⎠
∫ ( )1−ε
×
⎛
diag
⎜ ⎜
−1+ε ⎜⎝
1 1 − yi2
⎛1
⎜ ⎝
yi
⎞α N ⎟
⎞⎛
⎟ ⎟
exp
⎜ ⎜
−β
⎠ i=1 ⎠⎟ ⎜⎝
z1T Qz1
α 2
tr
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
diag
⎛ ⎜ ⎝
1
− yi yi
⎞α ⎟ ⎠
N ⎞⎞
⎟ ⎟
⎟ ⎟
dz1dy1.
i=1 ⎟⎠ ⎠⎟
(27)
Формулу (27) можно записать в виде (24), используя разложение в степенной ряд, по крайней мере, тремя способами: первый основан на представлении η = Uξ и z1 = Uz ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
18 А. С. Бачевский, В. А. Шаталова
второй — на введении вектора χ = Qη , третий — на записи z2 = Qz1 . Все три варианта осно-
ваны
на
представлении
Q
=
UT
diag
⎛ ⎝⎜
σi2
N ⎞−1 i=1 ⎟⎠
U.
Аналогично рассмотренному во втором варианте случаю обнаружения сигнала с ампли-
тудой, распределенной по закону Вейбулла, и равномерно распределенной фазой можно по-
лучить выражения для обнаружения сигналов с логарифмически нормальным и m -распре-
делением (Накагами) амплитуды и равномерно распределенной фазой.
Заключение. Предложенный алгоритм оптимального обнаружения основан на выводе,
что совместную условную МПРВ совокупности негауссова сигнала и помехи можно предста-
вить в виде произведения условной ПРВ помехи на условную МПРВ негауссова сигнала при
условии, что помеха обязательно имеет место в принятом колебании. Это представление
справедливо не только для устойчивых случайных величин и процессов, но и для неустойчи-
вых распределений вероятностей. Для технической реализации устройств обнаружения нега-
уссовых сигналов на фоне помех целесообразно использовать разложение в степенной ряд
отношения правдоподобия.
Статья подготовлена по результатам исследований, выполненных в рамках реализации
мероприятия 1.2.1 федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кад-
ры инновационной России“ на 2009—2013 гг.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лоэв М. Теория вероятностей / Пер. с англ.; Под ред. Ю. В. Прохорова. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 719 с.
2. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 430 с.
3. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценки и модуляции. Т.1. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции / Пер. c англ.; Под ред. В. И. Тихонова. М.: Сов. радио, 1972. 744 с.
4. Бакулев П. А., Степин В. М. Методы и устройства селекции движущихся целей. М.: Радио и связь, 1986. 288 с.
5. Бачевский А. С., Бачевский С. В., Шаталов А. А., Шаталова В. А. Математические модели сигналов, помех и шумов, принимаемых антенными системами в условиях многолучевого распространения электромагнитных волн // Тр. Междунар. науч.-техн. конф., посвященной 80-летию вуза, „Системы и процессы управления и обработки информации“. СПб: Сев.-Зап. техн. ун-т, 2010. Ч. 1. С. 83—91.
Бачевский Антон Сергеевич Шаталова Валентина Александровна
Сведения об авторах — Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмиче-
ского приборостроения, кафедра антенн и эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры; ассистент; E-mail: antbachev@gmail.com — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра антенн и эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры; E-mail: sh_alan@mail.ru
Рекомендована кафедрой радиолокации Санкт-Петербургского военного училища радиоэлектроники
Поступила в редакцию 23.08.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
11
УДК 623.396.969.3
А. С. БАЧЕВСКИЙ, В. А. ШАТАЛОВА
АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ НЕГАУССОВЫХ УЗКОПОЛОСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
Рассматривается синтез алгоритма оптимального обнаружения негауссова узкополосного случайного сигнала, принимаемого на фоне помех, и анализ его статистических характеристик.
Ключевые слова: случайный процесс, плотность распределения вероятностей, сигналы, помехи.
Введение. Для осуществления оптимального статистического синтеза систем обнару-
жения негауссовых узкополосных случайных процессов при наличии помех необходимо оп-
ределить совместные условные плотности распределения вероятностей (ПРВ) выборок слу-
чайных величин по каждой из проверяемых гипотез [1].
Задача обнаружения сигналов при наличии помех, когда и те, и другие подчиняются га-
уссову распределению вероятностей, рассмотрена в работах [2, 3].
Натурные эксперименты, проведенные отечественными и зарубежными специалистами,
показали, что случайные амплитуды принимаемых сигналов и помех подчиняются рэлеев-
скому, вейбулловскому, логарифмически нормальному или т-распределению (Накагами), а
фазы являются равномерно распределенными случайными величинами [4]. Если случай рэлеев-
ского распределения хорошо известен [1—4], то три других в настоящее время значительно
менее изучены, так как и одномерные, и многомерные плотности распределения вероятно-
стей таких сигналов не были описаны вплоть до появления работы [5].
Цель настоящей статьи — синтез алгоритма оптимального обнаружения негауссова уз-
кополосного случайного сигнала, принимаемого на фоне помех, и анализ его статистических
характеристик.
Алгоритм обнаружения узкополосного сигнала с нерэлеевской амплитудой и рав-
номерно распределенной фазой. Постановка задачи обнаружения традиционная и формули-
руется как проверка двух гипотез
H0 : ξ(t) = n(t); H1 : ξ(t) = n(t) + s(t),
(1)
где n(t) — случайный процесс (помеха), представляющий собой белый гауссов шум (БГШ),
ПРВ и числовые характеристики которого равны соответственно
( )p ⎡⎣ξi H0 ⎤⎦ = p (ni ) =
2π ⋅ σ
−1
exp
⎛ ⎜⎝⎜
−
ni2 2σ2
⎞ ⎟⎟⎠
;
(2)
M [ni (t)] = 0 , M ⎣⎡ni2 (t)⎦⎤ = σ2 ,
где M [⋅] — означает операцию вычисления математического ожидания выражения, находя-
щегося в квадратных скобках; s(t) — полезный сигнал, представляющий собой случайный
процесс (СП); i — номер выборки помехи. Будем считать, что СП s(t) можно представить в виде
s(t) = νf (t − τ) sin (ω0t + ϕ) ,
(3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
12 А. С. Бачевский, В. А. Шаталова
где ν — амплитуда сигнала — случайная величина, распределенная по одному из указанных
выше законов; ω0 — несущая частота колебания; f (t) — огибающая сигнала; τ — задержка
сигнала; ϕ — фаза — случайная величина, ПРВ которой равна
⎧ 0, −∞ < ϕ < −π;
p(ϕ) = ⎪⎪⎨(2π)−1 , −π < ϕ < π,
⎪ ⎩⎪
0,
π < ϕ < ∞.
Последовательно рассмотрим решение задачи обнаружения для указанных выше зако-
нов, которые соответствуют случаю медленно флуктуирующих негауссовых узкополосных
сигналов, принимаемых на фоне БГШ, а затем обобщим результаты решения для случая, ко-
гда ν(t) — случайный процесс с дискретным временем.
Вариант 1. Случайная величина ν распределена по вейбулловскому закону. Используя правила нахождения ПРВ функционально преобразованных случайных величин, получаем для s(t) , определяемого формулой (3), следующее выражение:
∫p(ζ)
=
cαβζα−1
exp(−βζα
)
1 2π
1−ε −1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜
⎜⎝
−βζα
⎛1−
⎜ ⎝
y
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎟ dy, ⎟⎠
(4)
где α и β — параметры,
∫ ∫c
=
⎛ ⎜ ⎝⎜
αβ π
∞ 0
ζα−1
exp(−βζα
)
1 2
1−ε −1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜
⎝⎜
−βζα
⎛1−
⎜ ⎝
y
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎞−1 ⎟ dydζ ⎟ . ⎠⎟ ⎠⎟
Сомножитель αβζα−1 exp(−βζα ) является вейбулловской ПРВ, которая определена при
ζ ≥ 0 . При α = 1 она совпадает с показательным распределением, при α = 2 — с распределе-
нием Рэлея. Во избежание путаницы ПРВ (4) будем называть модифицированной вейбулловской ПРВ (МПРВ).
Поскольку прием сигнала, подчиняющегося МПРВ описанного выше типа, осуществляется на фоне белого гауссова шума, аддитивная модель сигнала и шума должна характеризоваться сверткой двух ПРВ, подчиняющихся гауссовой ПРВ (2) и вейбулловской МПРВ (4). Полученная ПРВ соответствует условной ПРВ случайного процесса ξ(t) = n(t) + s(t) в случае
истинной гипотезы H1. Для скалярных ni (t) и si (t) ПРВ определяется выражением [5]
∫p(ξi H1) = c
1 2π
⋅σ
αβ π
∞ −∞
z α−1
⎛ exp ⎜
⎜⎝
−
(ξi − z)2
2σ2
−
β
zα
⎞ ⎟× ⎟⎠
∫×
1 2
1−ε −1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜
⎜⎝
−β
zα
⎛1−
⎜ ⎝
y
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟⎠
dydz.
(5)
Данное выражение следует преобразовать к виду
∫p(ξi H1) =
c 2π
⋅σ
exp
⎛ ⎜
−
⎝
ξi2 2σ2
⎞ ⎟ ⎠
αβ π
∞ −∞
z α−1
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
−2ξi z + 2σ2
z2
−β
zα
⎞ ⎟⎠⎟ ×
∫×
1 2
1−ε −1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜ −β zα
⎝⎜
⎛1− y ⎞α
⎜ ⎝
y
⎟ ⎠
⎞ ⎟ dydz. ⎠⎟
Используя формулы (2) и (6), получаем выражение для отношения правдоподобия:
(6)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
Алгоритм оптимального обнаружения негауссовых случайных сигналов
13
∫Λ[ξi ] =
p(ξi p(ξi
H1 ) H0 )
=
c
1 2
αβ π
∞ −∞
zα−1
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
−2ξi z + 2σ2
z2
−
β
zα
⎞ ⎟⎠⎟
×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜ −β
⎝⎜
zα
⎛1− y
⎜ ⎝
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎟ dydz ⎠⎟
.
(7)
Если Λ[ξi ] ≥ γ , где γ — порог обнаружения сигнала, принимается решение о его нали-
чии на фоне БГШ, если Λ[ξi ] < γ , принимается решение об отсутствии сигнала.
Пользоваться на практике выражением (7) крайне неудобно. Поэтому следует его пре-
образовать, используя разложение экспоненты в степенной ряд:
exp
⎛ ⎜
−ξi
⎝
⎛z ⎝⎜ σ2
⎞⎞
⎠⎟
⎟ ⎠
=1−
ξi
⎛z ⎜⎝ σ2 1!
⎞ ⎟⎠
+
ξi2
⎛z ⎜⎝ σ2 2!
⎞2 ⎟⎠
−
ξ3i
⎛ ⎜⎝
z σ2
3!
⎞3 ⎟⎠
+
ξi4
⎛z ⎜⎝ σ2 4!
⎞4 ⎟⎠
− ...
(8)
Подставляя выражение (8) в формулу (7), находим
∑ ∫Λ[ξi ]
=
∞ ξik c
k =0
1 2
αβ π
∞ −∞
zα−1
⎛ ⎝⎜
z σ2
⎞k ⎠⎟
(
k
!)−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
⎛ ⎝⎜⎜
z2 2σ2
+ β zα
⎞⎞ ⎠⎟⎟ ⎠⎟⎟ ×
Обозначив
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜ −β
⎜⎝
zα
⎛1− y
⎜ ⎝
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎟ dydz. ⎟⎠
(9)
∫ρk
=
c
1 2
αβ π
∞ −∞
z
α−1
⎛ ⎝⎜
z σ2
⎞k ⎠⎟
(
k
!)−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
⎛ ⎜⎝⎜
z2 2σ2
+ β zα
⎞⎞ ⎟⎠⎟ ⎟⎟⎠ ×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜ −β
⎜⎝
zα
⎛1−
⎜ ⎝
y
y
⎞α ⎟ ⎠
⎞ ⎟ dydz ⎟⎠
,
получим следующий вариант записи отношения правдоподобия в виде полинома:
∑Λ[ξi ] =
∞
ρk ξik
≥ <
γ.
k =0
(10)
Вариант 2. Случайная величина ν распределена по логарифмически нормальному за-
кону. Используя правила нахождения ПРВ функционально преобразованных случайных ве-
личин, получаем для s(t)
∫p
(ζ
)
=
c
σζ
1 2π
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2σ
2
(ln
ζ
−
α)2
⎞ ⎟⎠
1−ε −1+ε
1 1−
y2
exp
⎛ ⎝⎜
−
1 σ2
ln
y (1− (ln ζ
−
α))
⎞ ⎠⎟
dy,
(11)
где
( ) ∫ ∫ ( )c = σζ
2π
⎛ ⎜ ⎝⎜
∞ 0
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2σ
2
(
ln
ζ
−
α
)2
⎞ 1−ε ⎟⎠−1+ε
1 1− y2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 σ2
ln
y
1− (ln ζ − α)
⎞ ⎠⎟
dydζ
⎞−1 ⎟ ⎟⎠
.
Определяющими параметрами являются −∞ < α < ∞ и σ. Во избежание путаницы ПРВ
(11) будем называть модифицированной ПРВ по логарифмически нормальному закону.
Свертка двух ПРВ, подчиняющихся логарифмически нормальной МПРВ (11) и гауссо-
вой ПРВ (2), определяется формулой
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
14 А. С. Бачевский, В. А. Шаталова
∫p(ξi
H1
)
=
c
1 2πσ2
∞ −∞
1 ν
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2σ
2
(
ln
ν
−
α
)2
⎞ ⎠⎟
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
(
ξi − ν 2σ2
)2
⎞ ⎟⎠⎟ ×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 σ2
ln
y (1− (ln ν
−
α
))
⎞ ⎟⎠
dyd
ν.
(12)
Представим выражение (12) в удобном для дальнейших преобразований виде:
p(ξi H1) =
∫1
2π
⋅
σ
⎛ exp ⎜⎝⎜
−
ξi2 2σ2
⎞ ⎠⎟⎟ c
1 2π
⋅σ
∞ −∞
1 ν
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2σ
2
(ln
ν
−
α)2
⎞ ⎟⎠
exp
⎛ ⎜⎝⎜
−
−2νξi + 2σ2
ν2
⎞ ⎟⎠⎟ ×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 σ2
ln
y (1− (ln ν
−
α
))
⎞ ⎠⎟
dyd
ν.
(13)
Используя формулы (2) и (13), получаем выражение для отношения правдоподобия:
∫Λ[ξi ] =
c 2π
⋅
σ
∞ −∞
1 ν
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2σ
2
(ln
ν
−
α)2
⎞ ⎠⎟
exp
⎛ ⎝⎜
νξi σ2
⎞ ⎠⎟
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
ν2 2σ2
⎞ ⎠⎟⎟ ×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
exp
⎛ ⎝⎜
−
1 σ2
ln
y (1− (ln ν
−
α
))
⎞ ⎠⎟
dyd
ν
,
(14)
которое с помощью разложения в степенной ряд можно записать в виде полинома:
∑ ∫Λ[ξi ] = ∞ ξik c k =0
1 2π
⋅
σ
∞ −∞
1 ν
⎛ ⎜⎝
ν σ2
⎞k ⎟⎠
(k
!)−1
exp
⎛ ⎜⎝⎜
−
1 2σ
2
(ln
ν
−
α)2
−
ν2 2σ2
⎞ ⎟⎟⎠
×
∫ ( ) ∑1−ε
×
−1+ε
1 1− y2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 σ2
ln y
1− (ln ν − α)
⎞ ⎠⎟
dyd ν
=
∞ k =0
υk
ξik
≥ <
γ,
где
∫υk = c
1 2π
⋅σ
∞ −∞
1 ν
⎛ ⎜⎝
ν σ2
⎞k ⎟⎠
(k !)−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
1 2σ
2
(ln
ν
−
α)2
−
ν2 2σ2
⎞ ⎟⎠⎟
×
∫1−ε
×
−1+ε
1 1−
y2
exp
⎛ ⎝⎜
−
1 σ2
ln
y (1− (ln ν
−
α
))
⎞ ⎟⎠
dyd ν
.
(15)
Если Λ[ξi ] ≥ γ , принимается решение о наличии сигнала на фоне БГШ, если Λ[ξi ] < γ — об
его отсутствии. Вариант 3. Случайная величина ν распределена по т-закону (Накагами). Используя
правила нахождения ПРВ функционально преобразованных случайных величин, получаем для s(t)
p(ζ)
=
c
2c Γ(m)
⎛ ⎜⎝
m σ2
⎞m ⎠⎟
ζ 2m−1
exp
⎛ ⎜⎝
−
m σ2
ζ2
⎞ ⎠⎟
×
∫1−ε
×
⎛ ⎜
−1+ε ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
m σ2
ζ2
⎛ ⎝⎜⎜
1 y2
−1⎞⎠⎟⎟
⎞ ⎠⎟⎟
⎛ ⎜ ⎝⎜
π
1
⎞ ⎟ dy,
1− y2 ⎠⎟
(16)
где
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
Алгоритм оптимального обнаружения негауссовых случайных сигналов
15
∫ ∫c
=
⎡ ⎢
2
⎢ Γ(m)
⎣
⎛ ⎝⎜
m σ2
⎞m ⎠⎟
∞
ζ 2m−1
−∞
exp
⎛ ⎝⎜
−
m σ2
ζ2
⎞ 1−ε ⎛
⎠⎟−1+ε
⎜ ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
m σ2
ζ2
⎛ ⎝⎜⎜
1 y2
−
1⎠⎟⎟⎞
⎞ ⎠⎟⎟
⎛ ⎜ ⎜⎝
π
1 1− y2
⎞ ⎤−1
⎟ dy⎥ ;
⎟⎠
⎥ ⎦
т и σ — определяющие параметры, m ≥ 0,5; Γ(m) — гамма-функция Эйлера, определяемая
∞
∫выражением Γ (m) = ym−1e− ydy . Во избежание путаницы ПРВ (16) будем называть модифи-
0
цированной ПРВ по т-закону (Накагами).
Свертка ПРВ (16) и (2) определяется формулой [5]
∫p(ξi H1) = c
1 2π
⋅σ
2 Γ(m)
⎛ ⎝⎜
m σ2
⎞m ⎠⎟
∞ −∞
z 2m−1
exp
⎛ ⎜⎝
−
m σ2
z2
⎞ ⎠⎟
exp
⎛ ⎜ ⎜⎝
−
(ξi − z)2
2σ2
⎞ ⎟× ⎠⎟
∫1−ε
×
⎛ ⎜
−1+ε ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
m σ2
z2
⎛ ⎜⎜⎝
1 y2
−
1⎟⎟⎠⎞
⎞ ⎟⎟⎠
⎛ ⎜ ⎜⎝
π
1
⎞ ⎟ dydz.
1 − y2 ⎟⎠
(17)
Представим выражение (17) в удобном для дальнейших преобразований виде:
∫p(ξi H1) = c
1 2π
⋅σ
⎛ exp ⎜⎜⎝ −
ξi2 2σ2
⎞ ⎟⎠⎟
2⎛ Γ(m) ⎜⎝
m σ2
⎞m ⎟⎠
∞ −∞
z 2m−1
exp
⎛ ⎝⎜
−
m σ2
z2
⎞ ⎟⎠
×
∫⎛
×exp ⎜⎜⎝ −
−2zξi + 2σ2
z2
⎞ 1−ε ⎛
⎟⎟⎠
−1+ε
⎜ ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜⎜⎝ −
m σ2
z2
⎛ ⎜⎜⎝
1 y2
−
1⎟⎟⎞⎠
⎞ ⎟⎟⎠
⎛ ⎜ ⎜⎝
π
1 1− y2
⎞ ⎟ dydz. ⎟⎠
(18)
Используя формулы (2) и (18), получаем выражение для отношения правдоподобия:
∫Λ[ξi ]
=
c
2 ⎛m Γ(m) ⎝⎜ σ2
⎞m ⎠⎟
∞ −∞
z
2m−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
m σ2
z2
−
z2 2σ2
⎞ ⎠⎟⎟
exp
⎛ ⎜ ⎝
ξi
⎛ ⎝⎜
z σ2
⎞ ⎠⎟
⎞ ⎟ ⎠
×
∫1−ε
×
⎛ ⎜
−1+ε ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
exp
⎛ ⎜⎝⎜
−
m σ2
z2
⎛ ⎜⎜⎝
1 y2
−
1⎟⎟⎞⎠
⎞ ⎟⎠⎟
⎛ ⎜ ⎝⎜
π
1 1− y2
⎞ ⎟ dydz, ⎠⎟
(19)
которое с помощью разложения в степенной ряд можно записать в виде
∑ ∫ ∫Λ[ξi ] =
∞ k =0
ξik
c
2 Γ(m)
⎛ ⎝⎜
m σ2
⎞m ⎠⎟
∞
z 2 m−1
−∞
z σ2
(
k
!)−1
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
m σ2
z2
−
z2 2σ2
⎞ ⎟⎟⎠
1−ε −1+ε
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
×
∑⎛
×exp ⎝⎜⎜ −
m σ2
z2
⎛ ⎝⎜⎜
1 y2
−
1⎞⎠⎟⎟
⎞ ⎠⎟⎟
⎛ ⎜ ⎝⎜
π
1 1−
y2
⎞ ⎟ dydz ⎠⎟
=
∞ µk ξik
k =0
≥ <
γ,
(20)
где
∫µk
=
c
2 Γ(m)
⎛ ⎝⎜
m σ2
⎞m ⎠⎟
∞ −∞
z
2m−1
⎛ ⎝⎜
z σ2
⎞ ⎠⎟
(
k
!)−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
m σ2
z2
−
z2 2σ2
⎞ ⎠⎟⎟ ×
∫1−ε
×
⎛ ⎜
−1+ε ⎝
1 y
⎞2m−1 ⎟ ⎠
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
m σ2
z2
⎛ ⎝⎜⎜
1 y2
−
1⎟⎟⎞⎠
⎞ ⎟⎟⎠
⎛ ⎜ ⎜⎝
π
1
⎞ ⎟ dydz.
1 − y2 ⎠⎟
Как и в предыдущих вариантах, если Λ[ξi ] ≥ γ , принимается решение о наличии сигна-
ла на фоне БГШ, если Λ[ξi ] < γ — об его отсутствии.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
16 А. С. Бачевский, В. А. Шаталова
Таким образом, во всех трех вариантах постановки задачи обнаружения случайных ве-
личин удалось представить отношение правдоподобия в виде полинома по степеням k, но с
разными коэффициентами, отражающими специфику каждой из модифицированных ПРВ.
Естественно, необходимо ограничить суммы в выражениях (10), (15) и (20) конечным числом p.
Важно отметить, что решение задачи обнаружения описанным способом оказывается спра-
ведливым и для случая приема негауссовых сигналов на фоне негауссовых белых шумов.
Обобщение результатов для многомерного случая. Полученные результаты распро-
страним на случай совокупности N некоррелированных выборок, каждая из которых рас-
пределена по закону (6):
∏ ∫p(ξ
H1) =
cN
( )2π
N 2
N
∏
i =1
σi
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
1 2
N
∑
ξi2
i=1
1 σi2
⎞ ⎠⎟⎟
⎛ ⎜⎝
αβ 2π
⎞N ⎟⎠
N i=1
∞ −∞
ziα−1
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−
−2ξi zi + 2σi2
zi2
−
β
ziα
⎞ ⎟⎟⎠
×
1−ε
×
∫ ( )−1+ε
1 1 − yi2
⎛ ⎜ ⎝
1 yi
⎞α ⎟ ⎠
⎛ exp ⎜ −β
⎜⎝
ziα
⎛ ⎜ ⎝
1
− yi yi
⎞α ⎟ ⎠
⎞
⎟ ⎠⎟
dyi
dzi
=
N
(2π) 2
cN diag σi2
N 12 ×
i=1
( ) ∫ ( )×
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
1 2
ξT
⎣⎢⎡diag
σi2
N i=1
⎤ ⎦⎥
ξ
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜⎝
αβ 2π
⎞N ⎠⎟
∞ −∞
diag
zzT
α−1
2×
⎛ α⎞
( ) ( ) ( )×
exp
⎜ ⎜
−
⎜⎝
1 2
⎛ ⎜
2ξT
⎝
⎢⎡⎣diag
σi2
N i=1
⎤ ⎥⎦
z
+
zT
⎣⎢⎡diag
σi2
N⎤ i=1 ⎥⎦
z
⎞ ⎟
⎠
−
β
⎛ ⎜
zT
⎝
⎢⎣⎡diag
σi2
N⎤ i=1 ⎦⎥
z
⎞2 ⎟ ⎠
⎟ ⎟
×
⎠⎟
∫ ( )1−ε
×
⎛
diag
⎜ ⎜
−1+ε ⎝⎜
1 1 − yi2
⎛ ⎜ ⎝
1 yi
⎞α ⎟ ⎠
N i=1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
exp
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
−β
⎛ ⎜ ⎝
zT
⎡⎢⎣diag
σi2
N⎤ i=1 ⎦⎥
z
α
⎞2 ⎟ ⎠
⎛
tr
⎜ ⎝⎜⎜
diag
⎛ ⎜ ⎝
1
− yi yi
⎞α ⎟ ⎠
N i=1
⎞⎞
⎟ ⎟⎠⎟
⎟ ⎟ ⎟⎠
dzdy,
(21)
где ⋅ означает вычисление детерминанта матрицы, заключенной в скобках; diag (⋅) — диа-
гональная матрица; tr (⋅) означает след матрицы, заключенной в скобках; ξT = (ξ1, ..., ξN ), zT = ( z1, ..., zN ) , yT = ( y1, ..., yN ) .
Многомерная ПРВ белого гауссова шума определяется выражением
( )p(ξ
H0 )
=
1
( )2π
N 2
N
∏
i=1
σi
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
1 2
N
∑
ξi2
i=1
1 σi2
⎞ ⎠⎟⎟
=
N
(2π) 2
1 diag σi2
N 12 ×
i=1
( )×
exp
⎛ ⎜
−
⎝
1 ξT 2
⎢⎣⎡diag
σi2
N i=1
⎤ ⎦⎥
ξ
⎞ ⎟ ⎠
.
(22)
Используя формулы (21) и (22), получаем выражение для отношения правдоподобия:
( ) ∫ ( )Λ[ξ] =
p(ξ H1) p(ξ H0 )
=
c
Np
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
1 2
ξT
⎡⎢⎣diag
σi2
N i=1
⎤ ⎥⎦
ξ
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜⎝
αβ 2π
⎞N ⎟⎠
∞ −∞
diag
zzT
α−1
2×
⎛ α⎞
( ) ( ) ( )×
exp
⎜ ⎜
−
⎜⎝
1 2
⎛ ⎜ ⎝
2ξT
⎢⎣⎡diag
σi2
N i=1
⎤ ⎥⎦
z
+
zT
⎣⎢⎡diag
σi2
N i=1
⎤ ⎥⎦
z
⎞ ⎟ ⎠
−
β
⎛ ⎜
zT
⎝
⎢⎣⎡diag
σi2
N⎤ i=1 ⎦⎥
z
⎞ ⎟
2
⎠
⎟ ⎟
×
⎠⎟
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
Алгоритм оптимального обнаружения негауссовых случайных сигналов
17
∫1−ε
×
⎛
diag
⎜ ⎜
−1+ε ⎜⎝
1 1−
yi2
⎛ ⎜ ⎝
1 yi
⎞α ⎟ ⎠
N⎞ ⎟ ⎟
i=1 ⎟⎠
×
( )⎛
×
exp
⎜ ⎜
−β
⎛ ⎜
zT
⎝⎜ ⎝
⎣⎢⎡diag
σi2
N⎤ i=1 ⎥⎦
z
α
⎞2 ⎟ ⎠
tr
⎛ ⎜ ⎜ ⎝⎜
diag
⎛ ⎜ ⎝
1
− yi yi
⎞α ⎟ ⎠
N i=1
⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎟ ⎠⎟
dzdy.
(23)
По аналогии с рассмотренными выше скалярными вариантами отношение правдоподо-
бия можно представить в виде произведения:
∏ ∏ ∑Λ[ξ]
=
N i=1
Λ[ξi ]
=
N i=1
⎛ ⎜⎜⎝
∞ k =0
µ
k
ξik
⎞ ⎟⎟⎠
> <
γ.
(24)
Для N коррелированных выборок η = Uξ можно записать выражение для условной
модифицированной ПРВ в виде
p(η H1) =
N
(2π) 2
cN
1
diag
⎛ ⎝⎜
σi2
N i=1
⎞ ⎟⎠
2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2
ηT
Qη ⎟⎠⎞
⎛ ⎜⎝
αβ 2π
⎞N ⎟⎠
×
( ) ( ) ( )∫∞
× diag z1z1T
−∞
α−1 2
exp
⎛ ⎜ ⎝⎜
−
1 2
2ηT Qz1 + z1T Qz1
−β
z1T Qz1
α⎞ 2 ⎟×
⎠⎟
∫ ( )1−ε
×
⎛
diag
⎜ ⎜
−1+ε ⎜⎝
1 1 − yi2
⎛ ⎜ ⎝
1 yi
⎞α ⎟ ⎠
N i=1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
⎛
exp
⎜ ⎜
⎝⎜
−β
z1T Qz1
α 2
tr
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
diag
⎛ ⎜ ⎝
1
− yi yi
⎞α ⎟ ⎠
N i=1
⎞⎞
⎟⎟
⎟⎟⎠
⎟ ⎟⎠
dz1dy1,
(25)
где U — ортогональная матрица, для которой справедливы условия UT U = UUT = UU−1 = I ,
z1
=
Uz ,
Q
=
UT
diag
⎛ ⎝⎜
σi2
N i=1
⎞−1 ⎟⎠
U
.
Многомерная гауссова ПРВ определяется как
( )p η H0
=
N
(2π) 2
1
diag
⎛ ⎜⎝
σi2
N⎞ i=1 ⎠⎟
1 2
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2
ηT
Qη
⎞ ⎟⎠
.
(26)
Используя формулы (25) и (26), получаем выражение для отношения правдоподобия:
( ) ( ) ( )∫Λ
[η]
=
c
N
⎛ ⎜⎝
αβ 2π
⎞N ⎠⎟
∞
diag
−∞
z1z1T
α−1 2
exp
⎛ ⎜ ⎝⎜
−
1 2
2ηT Qz1 + z1T Qz1
−β
z1T Qz1
α⎞ 2 ⎟×
⎟⎠
∫ ( )1−ε
×
⎛
diag
⎜ ⎜
−1+ε ⎜⎝
1 1 − yi2
⎛1
⎜ ⎝
yi
⎞α N ⎟
⎞⎛
⎟ ⎟
exp
⎜ ⎜
−β
⎠ i=1 ⎠⎟ ⎜⎝
z1T Qz1
α 2
tr
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
diag
⎛ ⎜ ⎝
1
− yi yi
⎞α ⎟ ⎠
N ⎞⎞
⎟ ⎟
⎟ ⎟
dz1dy1.
i=1 ⎟⎠ ⎠⎟
(27)
Формулу (27) можно записать в виде (24), используя разложение в степенной ряд, по крайней мере, тремя способами: первый основан на представлении η = Uξ и z1 = Uz ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
18 А. С. Бачевский, В. А. Шаталова
второй — на введении вектора χ = Qη , третий — на записи z2 = Qz1 . Все три варианта осно-
ваны
на
представлении
Q
=
UT
diag
⎛ ⎝⎜
σi2
N ⎞−1 i=1 ⎟⎠
U.
Аналогично рассмотренному во втором варианте случаю обнаружения сигнала с ампли-
тудой, распределенной по закону Вейбулла, и равномерно распределенной фазой можно по-
лучить выражения для обнаружения сигналов с логарифмически нормальным и m -распре-
делением (Накагами) амплитуды и равномерно распределенной фазой.
Заключение. Предложенный алгоритм оптимального обнаружения основан на выводе,
что совместную условную МПРВ совокупности негауссова сигнала и помехи можно предста-
вить в виде произведения условной ПРВ помехи на условную МПРВ негауссова сигнала при
условии, что помеха обязательно имеет место в принятом колебании. Это представление
справедливо не только для устойчивых случайных величин и процессов, но и для неустойчи-
вых распределений вероятностей. Для технической реализации устройств обнаружения нега-
уссовых сигналов на фоне помех целесообразно использовать разложение в степенной ряд
отношения правдоподобия.
Статья подготовлена по результатам исследований, выполненных в рамках реализации
мероприятия 1.2.1 федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кад-
ры инновационной России“ на 2009—2013 гг.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лоэв М. Теория вероятностей / Пер. с англ.; Под ред. Ю. В. Прохорова. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 719 с.
2. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 430 с.
3. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценки и модуляции. Т.1. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции / Пер. c англ.; Под ред. В. И. Тихонова. М.: Сов. радио, 1972. 744 с.
4. Бакулев П. А., Степин В. М. Методы и устройства селекции движущихся целей. М.: Радио и связь, 1986. 288 с.
5. Бачевский А. С., Бачевский С. В., Шаталов А. А., Шаталова В. А. Математические модели сигналов, помех и шумов, принимаемых антенными системами в условиях многолучевого распространения электромагнитных волн // Тр. Междунар. науч.-техн. конф., посвященной 80-летию вуза, „Системы и процессы управления и обработки информации“. СПб: Сев.-Зап. техн. ун-т, 2010. Ч. 1. С. 83—91.
Бачевский Антон Сергеевич Шаталова Валентина Александровна
Сведения об авторах — Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмиче-
ского приборостроения, кафедра антенн и эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры; ассистент; E-mail: antbachev@gmail.com — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра антенн и эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры; E-mail: sh_alan@mail.ru
Рекомендована кафедрой радиолокации Санкт-Петербургского военного училища радиоэлектроники
Поступила в редакцию 23.08.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9