РОБАСТНЫЙ СТАТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
26
УДК 519.7
И. Б. ФУРТАТ
РОБАСТНЫЙ СТАТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Предложен робастный статический алгоритм управления динамическими объектами в условиях неопределенности и запаздывания, обеспечивающий достаточную близость выходного сигнала объекта к эталонному. Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие работоспособность алгоритма. Ключевые слова: робастное управление, наблюдатель производных, сингулярно возмущенный объект.
Введение. Проектирование схем управления объектом в условиях неопределенности и возможности измерения только его выходного сигнала является актуальной задачей современной теории и практики автоматического регулирования. В настоящее время предложено достаточно много решений для построения регуляторов на основе способов робастного управления.
Если относительная степень объекта (γ) больше единицы, то для реализации робастных систем управления необходимо получить оценки производных соответствующих сигналов с использованием динамических наблюдателей. Так, в работе [1] рассматривается закон управления, позволяющий реализовать оценку производных выходного сигнала объекта с помощью динамического наблюдателя с переменной структурой (sliding mode observer), порядок которого равен размерности вектора состояния модели объекта. В работе [2] для синтеза сис-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Робастный статический алгоритм управления линейными объектами с запаздыванием 27
темы стабилизации нелинейных динамических объектов используется закон управления, за-
висящий от оценок производных выходного сигнала объекта, которые получены с помощью
динамического наблюдателя с большим коэффициентом усиления (high-gain observer), при
этом порядок наблюдателя равен размерности вектора состояния модели. Робастный закон
управления по ошибке слежения синтезируется в работе [3], где для оценки производных сиг-
нала ошибки слежения используется наблюдатель с динамическим порядком, равным γ – 1.
В работе [4] синтезированы робастные системы управления с компенсацией внутренних и
внешних возмущений с применением вспомогательного контура. Здесь для оценки производ-
ных сигнала, содержащего информацию о возмущениях объекта, используется предложен-
ный в работе [2] наблюдатель с динамическим порядком γ – 1. Анализ данных публикаций
показал, что разработчики стремятся получить как простые в расчете регуляторы, так и регу-
ляторы с невысоким динамическим порядком. Решению задачи построения регулятора, не
содержащего динамического наблюдателя, посвящена настоящая статья.
В статье рассматривается задача построения робастной системы управления по выходу
линейными динамическими объектами в условиях параметрической, сигнальной неопреде-
ленности и запаздывания. Для оценки производных в системе управления используется на-
блюдатель, основанный на левых разностях. Такой подход исключает применение интегри-
рующих звеньев в наблюдателе, что делает его статическим.
Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором
описываются уравнением
Q( p) y(t) + D( p) y (t − τ(t)) = kR( p)u(t) + f (t),
(1)
где y(t) ∈ R — регулируемая переменная, доступная измерению; u(t) ∈ R — сигнал управления; f(t) — внешнее неконтролируемое ограниченное возмущение; Q(p), R(p), D(p) — линей-
ные дифференциальные операторы, deg Q(p) = n, deg D(p) < n, deg R(p) = m; k > 0; τ(t) > 0 — неизвестное время запаздывания; p = d / dt — оператор дифференцирования.
Требуется спроектировать непрерывную систему управления, обеспечивающую выпол-
нение целевого условия
y(t) − yэт (t) < δ при t > T,
(2)
где yэт (t) — гладкий эталонный сигнал; δ > 0 — достаточно малая величина; T > 0 — время, по истечении которого с момента начала работы системы должно выполняться неравенство (2).
Решим сформулированную задачу при следующих ограничениях (предположениях).
П р е д п о л о ж е н и е 1 . Неизвестные коэффициенты операторов Q(p), D(p), R(p) и чис-
ло k > 0 зависят от некоторого вектора неизвестных параметров объекта — χ ∈ Ξ, Ξ — известное множество.
П р е д п о л о ж е н и е 2 . Известны порядки операторов Q(p) и R(p), причем относитель-
ная степень γ = n – m > 1. П р е д п о л о ж е н и е 3 . Объект управления (1) минимально фазовый.
П р е д п о л о ж е н и е 4 . В объекте управления доступен измерению только сигнал y(t).
Метод решения. Сформируем уравнение, характеризующее точность слежения выход-
ного сигнала объекта за эталонным сигналом, в виде e(t) = y(t) – yэт(t), где e(t) — ошибка слежения. В соответствии с выражениями (1) и (2) преобразуем уравнение ошибки слежении к
форме
Q( p)e(t) = R( p)u(t) + f (t) − Qyэт (t) − D( p) y (t − τ(t)) .
(3)
Зададим закон управления
u(t) = −αМ ( p)e (t) ,
(4)
где α > 0; М(p) — линейный дифференциальный оператор порядка γ, причем М(λ) — гурвицев, λ — комплексная переменная; e (t) — оценка сигнала e(t).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
28 И. Б. Фуртат
Следует отметить, что закон управления вида (4) использовался, например, в работах [2, 3], где последующий синтез системы управления осуществлялся с помощью динамических наблюдателей производных. В данной статье для дальнейшего синтеза системы управления используется статический наблюдатель производных.
Перепишем уравнение (3), подставив в него выражение (4):
F ( p)e(t) = ψ(t) ,
(5)
где
F(p) = Q(p) + αR(p)М(p), ψ(t) = f(t) – Q(p)yэт(t) – D(p)y (t – τ(t)) + αR(p)М(p)(e(t) – e (t)).
Очевидно, что всегда существует α и М(λ), такие что F(λ) будет гурвицевым. Причем
выбор значений коэффициента α и полинома М(λ) обеспечивает требуемое распределение корней характеристического многочлена F(λ) замкнутой системы.
Для реализации закона управления (4) рассмотрим наблюдатель
ξ(t) = Gξ(t − h) + H (e(t) − e(t − h)), e (t) = Lξ(t),
(6)
⎡0
где
ξ(t) = [ξ1(t),
ξ2(t),
…, ξγ(t)]T, G
=
−
⎢ ⎢ ⎢
1
h
⎣⎢⎢1 hγ
0 0
1 hγ−1
…0 …0
… 1h
0⎤ ⎡ 1 ⎤
0⎥⎥ ⎥
,
H
=
⎢ ⎢ ⎢
1
h
⎥ ⎥ ⎥
,
h>0
—
малая
0⎦⎥⎥
⎣⎢⎢1
hγ
⎥ ⎦⎥
величина, L = [1, 0, …, 0].
Отметим, что наблюдатель (6) представляет собой оценку производных с использовани-
ем левых разностей:
e(t) = e(t);
ξ1(t) =
e(t)
−
e(t h
−
h)
,
ξ2 (t) =
ξ1
(t)
−
ξ1 h
(t
−
h)
,
…,
ξγ
(t
)
=
ξγ−1(t) − ξγ−1(t − h) . h
Структурная схема такого наблюдателя приведена на рис. 1.
y(t) h–1 ξ1 (t)
h–1 ξ2 (t)
ξγ−1 (t)
h–1 ξγ (t)
y(t–h)
ξ1 (t − h)
ξγ−1 (t − h)
Рис. 1
Сформулируем утверждение, при выполнении условий которого система управления будет работоспособной.
Утверждение. Пусть выполнены предположения 1—4. Тогда существуют числа α > 0 и h0 > 0, такие что при h ≤ h0 система управления, характеризуемая уравнениями (4) и (6), обеспечивает выполнение целевого условия (2) и ограниченность всех сигналов в замкнутой системе.
Доказательство утверждения приведено в Приложении. Проиллюстрируем полученные результаты на следующем примере.
Пример. Пусть математическая модель объекта управления описывается уравнением
( ) ( )p3 + q2 p2 + q1 p + q0 y(t) + d2 p2 + d1 p + d0 y (t − τ(t)) = r0u(t) + f (t) .
(7)
Класс неопределенности Ξ модели (7) задан неравенствами: |qi| ≤ 5; |di| ≤ 5; i = 0, 1, 2; 1 ≤ r0 ≤ 5; |f(t)| ≤3. Зададим h = 0,01, М(p) = p и сформируем систему управления, реализуемую
( )наблюдателем ξ1(t) = 100(e(t) − e(t − 0, 01)) , ξ2 (t) = 100 ξ1(t) − ξ1(t − 0, 01) и законом управ-
( )ления u(t) = −α ξ2 (t) + 10ξ1(t) + 25e(t) .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Робастный статический алгоритм управления линейными объектами с запаздыванием 29
Положим yэт(t) = 1+sint+cos2t. Пусть параметры модели объекта (7) определены сле-
дующим образом: q2 = –5, q1 = –5, q0 = –5, d2 = 5, d1 = 5, d0 = 5, τ(t) = 2 + exp(–0,5t), r0 = 2, f(t) =
а) e(t)
=10(2 + sin 1,2t).
1
На рис. 2, а—в представлены результаты моделирования переходного процесса по ошибке e(t):
0,5
а — при α = 10 и y(0) = y (0) = y (0) = 1; б — при
0
α = 20 и y(0) = y (0) = y (0) = 0; в — при α = 30 и
y(0) = y (0) = y (0) = 0.
Как показали результаты моделирования, переходные процессы в системе управления не зависят существенно от параметров модели объекта, а зависят в основном от выбора полинома М(λ) и коэффициента α. Так, при α = 10 ошибка слежения
–0,5 –1 0
б) e(t) 1 0
5 10 t, c
e(t) не превышает значения δ = 0,15 через 2,5 с по-
–1
сле начала работы системы; при α = 20 значение
|e(t)| < 0,08 при t ≥ 0,2 с; при α = 30 ошибка
|e(t)| < 0,05 при t ≥ 0,2 с (см. рис. 2, а—в соответственно).
Заключение. Решена задача робастного управления линейными динамическими объектами в условиях их параметрической и сигнальной неопределенности и при доступности измерению только скалярного выходного сигнала объекта. В отличие от работ [1—4] для оценки производных использовался статический наблюдатель. Полученный алгоритм компенсирует внутренние и внешние возмущения с заданной точностью. Мо-
–2
–3 в) e(t) 0
0,5 0
–0,5 –1
–1,5 –2 –2,5
0
1 2 3 t, c
12 Рис. 2
3 t, c
делирование показало хорошие качества переходных процессов и подтвердило теоретиче-
ские результаты.
ПРИЛОЖЕНИЕ Доказательство утверждения. Перепишем уравнения (5) и (6):
ε(t) = Aε(t) + Bψ(t), e(t) = Lε(t);
⎪⎫
h γ ξ(t) = Gξ(t − h) + H (e(t) − e(t − h)), e (t) = Lξ(t),⎬⎭⎪
(8)
здесь A, B и L — матрицы, полученные при переходе от выражения (5) к первому уравнению
системы (8), G = hγG, H = hγH.
Воспользуемся теоремой, приведенной в работе [5, теорема 11.1]. Рассмотрим систему (8) при h = 0. Это равносильно тому, что решение второго уравнения системы позволит обеспе-
чить точную оценку γ-производных сигнала e(t). Значит, при h = 0 получим, что
αR(p)М(p)(e(t) – e (t)) = 0. Тогда, в силу ограниченности сигналов f(t) и yэт(t), функция ψ(t) будет ограниченной. В результате при h = 0 система уравнений (8) асимптотически устойчива и все сигналы в ней ограниченны.
Так как условия используемой теоремы [5] выполняются, то существует число h0, такое что при h ≤ h0 все переменные в замкнутой системе ограниченны. Однако асимптотическая устойчивость редуцированной системы (8) при h = 0 не гарантирует асимптотической устойчивости системы (8) при h > 0. Найдем значение h0, при котором для h ≤ h0 система (8) будет устойчивой.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
30 И. Б. Фуртат
Пусть в системе (8) h = h0. Выберем функционал Ляпунова — Красовского в виде
tt
∫ ∫V = εT (t)P1ε(t) + εT (s)P2ε(s)ds + ξT (s)P3ξ(s)ds ,
(9)
t−h0 t−h0
где P1, P2, P3 — положительно-определенные симметричные матрицы, матрица P1 является решением уравнения ATP1+P1A=–W1, W1=W1T>0.
Возьмем от функционала (9) производную по времени вдоль траекторий системы (8):
V = −εT (t)Q1ε(t) + 2εT (t)P1Bψ(t) + εT (t)P2ε(t) − εT (t − h0 )P2ε(t − h0 ) +
+ξT (t)P3ξ(t) − ξT (t − h0 )P3ξ(t − h0 ).
(10)
Подставим в выражение (10) второе уравнение системы (8):
V = −εT (t)W1ε(t) + 2εT (t)P1Bψ(t) + εT (t)P2ε(t) − εT (t − h0 )P2ε(t − h0 ) +
+h0−2γξT (t − h0 )GT P3Gξ(t − h0 ) + 2h0−γGT ξT (t − h0 )P3HLε(t) +
−2h0−γξT (t − h0 )GT P3HLε(t − h0 ) + h0−2γ εT (t)LT H T P3HLε(t) +
+h0−2γεT (t)LT H T P3HLε(t − h0 ) + h0−2γεT (t − h0 )LT H T P3HLε(t − h0 ) − ξT (t − h0 )P3ξ(t − h0 ). (11)
Рассмотрим оценки
2εT (t)P1Bψ(t) ≤ 2h0−1εT (t)P1BBT P1ε(t) + 2h0 ψ(t) 2 , ψ = sup ψ(t) 2 ;
t
( )2h0−γξT (t − h0 )GT P3HLε(t) ≤ 2h0−γξT (t − h0 )GT P3HL GT P3HL T ξ(t − h0 ) + 2h0−γεT (t)ε(t);
( )2h0−γξT (t − h0 )GT P3HLε(t − h0 ) ≤ 2h0−γξT (t − h0 )GT P3HL
GT P3HL
T
ξ(t − h0 ) +
+2h0−γεT (t − h0 )ε(t − h0 ),
( )h0−2γεT (t)LT H T P3HLε(t − h0 ) ≤ h0−2γεT (t)LT H T P3HL LT H T P3HL T ε(t) +
+h0−2γ εT (t − h0 )ε(t − h0 ) и введем следующие обозначения:
( )W2 = W1 − 2h0−1P1BBT P1 − P2 − h0−2γ LT H T P3HL − 2h0−γ I − h0−2γ LT H T P3HL LT H T P3HL T ;
W3 = P2 − h0−2γ LT H T P3HL − 2h0−γ I − h0−2γ I ;
( ) ( )W4
= P3 − h0−2γGT P3G − 2h0−γGT P3HL
GT P3HL
T
− 2h0−γGT P3HL
GT P3HL
T
,
где I — единичная матрица.
Очевидно, что существует такое h0, для которого Wi ≥ 0, i = 2, 3, 4. Воспользовавшись оценками, перепишем уравнение (11) в виде
V ≤ −εT (t)W2ε(t) − εT (t − h0 )W3ε(t − h0 ) − ξT (t − h0 )W4ξ(t − h0 ) +
+2h0ψ ≤ −ωmin (W2 )e2 (t) + 2h0ψ,
(12)
где ωmin (W2 ) — наименьшее собственное число матрицы W2.
Из выражения (12) следует, что при h ≤ h0 выполняется неравенство
e(t) ≤ 2h0ψ ωmin (W2 ) . Следовательно, при h ≤ h0, изменяя α и h, можно получить требуе-
мые величины δ и T в целевом условии (2). Следует отметить, что оценка ошибки e(t) доста-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Робастный статический алгоритм управления линейными объектами с запаздыванием 31
точно груба, так как получена при исключении составляющих εT (t − h0 )W3ε(t − h0 ) и ξT (t − h0 )W4ξ(t − h0 ) , участвующих в компенсации величины 2h0ψ .
Статья подготовлена по результатам работ, выполненных при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 12-08-01183 и № 12-01-31354) и федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение 14.В37.21.0871, соглашение 14.В37.21.1480).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Veluvolu K. C., Kim M. Y., Lee D. Nonlinear sliding mode high-gain observers for fault estimation // Intern. J. of Systems Science. 2011. Vol. 42, N 7. P. 1065—1074.
2. Atassi A. N., Khalil H. K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. 1999. Vol. 44, N 9. P. 1672—1687.
3. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления в задаче слежения за эталонным сигналом // Автоматика и телемеханика. 2003. № 6. С. 104—113.
4. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Там же. 2007. № 7. С. 103—115.
5. Халил Х. К. Нелинейные системы. М. — Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика“, Ин-т компьютерных исследований, 2009.
Игорь Борисович Фуртат
Сведения об авторе — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследова-
тельский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: cainenash@mail.ru
Рекомендована Институтом проблем машиноведения РАН
Поступила в редакцию 25.07.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
УДК 519.7
И. Б. ФУРТАТ
РОБАСТНЫЙ СТАТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Предложен робастный статический алгоритм управления динамическими объектами в условиях неопределенности и запаздывания, обеспечивающий достаточную близость выходного сигнала объекта к эталонному. Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие работоспособность алгоритма. Ключевые слова: робастное управление, наблюдатель производных, сингулярно возмущенный объект.
Введение. Проектирование схем управления объектом в условиях неопределенности и возможности измерения только его выходного сигнала является актуальной задачей современной теории и практики автоматического регулирования. В настоящее время предложено достаточно много решений для построения регуляторов на основе способов робастного управления.
Если относительная степень объекта (γ) больше единицы, то для реализации робастных систем управления необходимо получить оценки производных соответствующих сигналов с использованием динамических наблюдателей. Так, в работе [1] рассматривается закон управления, позволяющий реализовать оценку производных выходного сигнала объекта с помощью динамического наблюдателя с переменной структурой (sliding mode observer), порядок которого равен размерности вектора состояния модели объекта. В работе [2] для синтеза сис-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Робастный статический алгоритм управления линейными объектами с запаздыванием 27
темы стабилизации нелинейных динамических объектов используется закон управления, за-
висящий от оценок производных выходного сигнала объекта, которые получены с помощью
динамического наблюдателя с большим коэффициентом усиления (high-gain observer), при
этом порядок наблюдателя равен размерности вектора состояния модели. Робастный закон
управления по ошибке слежения синтезируется в работе [3], где для оценки производных сиг-
нала ошибки слежения используется наблюдатель с динамическим порядком, равным γ – 1.
В работе [4] синтезированы робастные системы управления с компенсацией внутренних и
внешних возмущений с применением вспомогательного контура. Здесь для оценки производ-
ных сигнала, содержащего информацию о возмущениях объекта, используется предложен-
ный в работе [2] наблюдатель с динамическим порядком γ – 1. Анализ данных публикаций
показал, что разработчики стремятся получить как простые в расчете регуляторы, так и регу-
ляторы с невысоким динамическим порядком. Решению задачи построения регулятора, не
содержащего динамического наблюдателя, посвящена настоящая статья.
В статье рассматривается задача построения робастной системы управления по выходу
линейными динамическими объектами в условиях параметрической, сигнальной неопреде-
ленности и запаздывания. Для оценки производных в системе управления используется на-
блюдатель, основанный на левых разностях. Такой подход исключает применение интегри-
рующих звеньев в наблюдателе, что делает его статическим.
Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором
описываются уравнением
Q( p) y(t) + D( p) y (t − τ(t)) = kR( p)u(t) + f (t),
(1)
где y(t) ∈ R — регулируемая переменная, доступная измерению; u(t) ∈ R — сигнал управления; f(t) — внешнее неконтролируемое ограниченное возмущение; Q(p), R(p), D(p) — линей-
ные дифференциальные операторы, deg Q(p) = n, deg D(p) < n, deg R(p) = m; k > 0; τ(t) > 0 — неизвестное время запаздывания; p = d / dt — оператор дифференцирования.
Требуется спроектировать непрерывную систему управления, обеспечивающую выпол-
нение целевого условия
y(t) − yэт (t) < δ при t > T,
(2)
где yэт (t) — гладкий эталонный сигнал; δ > 0 — достаточно малая величина; T > 0 — время, по истечении которого с момента начала работы системы должно выполняться неравенство (2).
Решим сформулированную задачу при следующих ограничениях (предположениях).
П р е д п о л о ж е н и е 1 . Неизвестные коэффициенты операторов Q(p), D(p), R(p) и чис-
ло k > 0 зависят от некоторого вектора неизвестных параметров объекта — χ ∈ Ξ, Ξ — известное множество.
П р е д п о л о ж е н и е 2 . Известны порядки операторов Q(p) и R(p), причем относитель-
ная степень γ = n – m > 1. П р е д п о л о ж е н и е 3 . Объект управления (1) минимально фазовый.
П р е д п о л о ж е н и е 4 . В объекте управления доступен измерению только сигнал y(t).
Метод решения. Сформируем уравнение, характеризующее точность слежения выход-
ного сигнала объекта за эталонным сигналом, в виде e(t) = y(t) – yэт(t), где e(t) — ошибка слежения. В соответствии с выражениями (1) и (2) преобразуем уравнение ошибки слежении к
форме
Q( p)e(t) = R( p)u(t) + f (t) − Qyэт (t) − D( p) y (t − τ(t)) .
(3)
Зададим закон управления
u(t) = −αМ ( p)e (t) ,
(4)
где α > 0; М(p) — линейный дифференциальный оператор порядка γ, причем М(λ) — гурвицев, λ — комплексная переменная; e (t) — оценка сигнала e(t).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
28 И. Б. Фуртат
Следует отметить, что закон управления вида (4) использовался, например, в работах [2, 3], где последующий синтез системы управления осуществлялся с помощью динамических наблюдателей производных. В данной статье для дальнейшего синтеза системы управления используется статический наблюдатель производных.
Перепишем уравнение (3), подставив в него выражение (4):
F ( p)e(t) = ψ(t) ,
(5)
где
F(p) = Q(p) + αR(p)М(p), ψ(t) = f(t) – Q(p)yэт(t) – D(p)y (t – τ(t)) + αR(p)М(p)(e(t) – e (t)).
Очевидно, что всегда существует α и М(λ), такие что F(λ) будет гурвицевым. Причем
выбор значений коэффициента α и полинома М(λ) обеспечивает требуемое распределение корней характеристического многочлена F(λ) замкнутой системы.
Для реализации закона управления (4) рассмотрим наблюдатель
ξ(t) = Gξ(t − h) + H (e(t) − e(t − h)), e (t) = Lξ(t),
(6)
⎡0
где
ξ(t) = [ξ1(t),
ξ2(t),
…, ξγ(t)]T, G
=
−
⎢ ⎢ ⎢
1
h
⎣⎢⎢1 hγ
0 0
1 hγ−1
…0 …0
… 1h
0⎤ ⎡ 1 ⎤
0⎥⎥ ⎥
,
H
=
⎢ ⎢ ⎢
1
h
⎥ ⎥ ⎥
,
h>0
—
малая
0⎦⎥⎥
⎣⎢⎢1
hγ
⎥ ⎦⎥
величина, L = [1, 0, …, 0].
Отметим, что наблюдатель (6) представляет собой оценку производных с использовани-
ем левых разностей:
e(t) = e(t);
ξ1(t) =
e(t)
−
e(t h
−
h)
,
ξ2 (t) =
ξ1
(t)
−
ξ1 h
(t
−
h)
,
…,
ξγ
(t
)
=
ξγ−1(t) − ξγ−1(t − h) . h
Структурная схема такого наблюдателя приведена на рис. 1.
y(t) h–1 ξ1 (t)
h–1 ξ2 (t)
ξγ−1 (t)
h–1 ξγ (t)
y(t–h)
ξ1 (t − h)
ξγ−1 (t − h)
Рис. 1
Сформулируем утверждение, при выполнении условий которого система управления будет работоспособной.
Утверждение. Пусть выполнены предположения 1—4. Тогда существуют числа α > 0 и h0 > 0, такие что при h ≤ h0 система управления, характеризуемая уравнениями (4) и (6), обеспечивает выполнение целевого условия (2) и ограниченность всех сигналов в замкнутой системе.
Доказательство утверждения приведено в Приложении. Проиллюстрируем полученные результаты на следующем примере.
Пример. Пусть математическая модель объекта управления описывается уравнением
( ) ( )p3 + q2 p2 + q1 p + q0 y(t) + d2 p2 + d1 p + d0 y (t − τ(t)) = r0u(t) + f (t) .
(7)
Класс неопределенности Ξ модели (7) задан неравенствами: |qi| ≤ 5; |di| ≤ 5; i = 0, 1, 2; 1 ≤ r0 ≤ 5; |f(t)| ≤3. Зададим h = 0,01, М(p) = p и сформируем систему управления, реализуемую
( )наблюдателем ξ1(t) = 100(e(t) − e(t − 0, 01)) , ξ2 (t) = 100 ξ1(t) − ξ1(t − 0, 01) и законом управ-
( )ления u(t) = −α ξ2 (t) + 10ξ1(t) + 25e(t) .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Робастный статический алгоритм управления линейными объектами с запаздыванием 29
Положим yэт(t) = 1+sint+cos2t. Пусть параметры модели объекта (7) определены сле-
дующим образом: q2 = –5, q1 = –5, q0 = –5, d2 = 5, d1 = 5, d0 = 5, τ(t) = 2 + exp(–0,5t), r0 = 2, f(t) =
а) e(t)
=10(2 + sin 1,2t).
1
На рис. 2, а—в представлены результаты моделирования переходного процесса по ошибке e(t):
0,5
а — при α = 10 и y(0) = y (0) = y (0) = 1; б — при
0
α = 20 и y(0) = y (0) = y (0) = 0; в — при α = 30 и
y(0) = y (0) = y (0) = 0.
Как показали результаты моделирования, переходные процессы в системе управления не зависят существенно от параметров модели объекта, а зависят в основном от выбора полинома М(λ) и коэффициента α. Так, при α = 10 ошибка слежения
–0,5 –1 0
б) e(t) 1 0
5 10 t, c
e(t) не превышает значения δ = 0,15 через 2,5 с по-
–1
сле начала работы системы; при α = 20 значение
|e(t)| < 0,08 при t ≥ 0,2 с; при α = 30 ошибка
|e(t)| < 0,05 при t ≥ 0,2 с (см. рис. 2, а—в соответственно).
Заключение. Решена задача робастного управления линейными динамическими объектами в условиях их параметрической и сигнальной неопределенности и при доступности измерению только скалярного выходного сигнала объекта. В отличие от работ [1—4] для оценки производных использовался статический наблюдатель. Полученный алгоритм компенсирует внутренние и внешние возмущения с заданной точностью. Мо-
–2
–3 в) e(t) 0
0,5 0
–0,5 –1
–1,5 –2 –2,5
0
1 2 3 t, c
12 Рис. 2
3 t, c
делирование показало хорошие качества переходных процессов и подтвердило теоретиче-
ские результаты.
ПРИЛОЖЕНИЕ Доказательство утверждения. Перепишем уравнения (5) и (6):
ε(t) = Aε(t) + Bψ(t), e(t) = Lε(t);
⎪⎫
h γ ξ(t) = Gξ(t − h) + H (e(t) − e(t − h)), e (t) = Lξ(t),⎬⎭⎪
(8)
здесь A, B и L — матрицы, полученные при переходе от выражения (5) к первому уравнению
системы (8), G = hγG, H = hγH.
Воспользуемся теоремой, приведенной в работе [5, теорема 11.1]. Рассмотрим систему (8) при h = 0. Это равносильно тому, что решение второго уравнения системы позволит обеспе-
чить точную оценку γ-производных сигнала e(t). Значит, при h = 0 получим, что
αR(p)М(p)(e(t) – e (t)) = 0. Тогда, в силу ограниченности сигналов f(t) и yэт(t), функция ψ(t) будет ограниченной. В результате при h = 0 система уравнений (8) асимптотически устойчива и все сигналы в ней ограниченны.
Так как условия используемой теоремы [5] выполняются, то существует число h0, такое что при h ≤ h0 все переменные в замкнутой системе ограниченны. Однако асимптотическая устойчивость редуцированной системы (8) при h = 0 не гарантирует асимптотической устойчивости системы (8) при h > 0. Найдем значение h0, при котором для h ≤ h0 система (8) будет устойчивой.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
30 И. Б. Фуртат
Пусть в системе (8) h = h0. Выберем функционал Ляпунова — Красовского в виде
tt
∫ ∫V = εT (t)P1ε(t) + εT (s)P2ε(s)ds + ξT (s)P3ξ(s)ds ,
(9)
t−h0 t−h0
где P1, P2, P3 — положительно-определенные симметричные матрицы, матрица P1 является решением уравнения ATP1+P1A=–W1, W1=W1T>0.
Возьмем от функционала (9) производную по времени вдоль траекторий системы (8):
V = −εT (t)Q1ε(t) + 2εT (t)P1Bψ(t) + εT (t)P2ε(t) − εT (t − h0 )P2ε(t − h0 ) +
+ξT (t)P3ξ(t) − ξT (t − h0 )P3ξ(t − h0 ).
(10)
Подставим в выражение (10) второе уравнение системы (8):
V = −εT (t)W1ε(t) + 2εT (t)P1Bψ(t) + εT (t)P2ε(t) − εT (t − h0 )P2ε(t − h0 ) +
+h0−2γξT (t − h0 )GT P3Gξ(t − h0 ) + 2h0−γGT ξT (t − h0 )P3HLε(t) +
−2h0−γξT (t − h0 )GT P3HLε(t − h0 ) + h0−2γ εT (t)LT H T P3HLε(t) +
+h0−2γεT (t)LT H T P3HLε(t − h0 ) + h0−2γεT (t − h0 )LT H T P3HLε(t − h0 ) − ξT (t − h0 )P3ξ(t − h0 ). (11)
Рассмотрим оценки
2εT (t)P1Bψ(t) ≤ 2h0−1εT (t)P1BBT P1ε(t) + 2h0 ψ(t) 2 , ψ = sup ψ(t) 2 ;
t
( )2h0−γξT (t − h0 )GT P3HLε(t) ≤ 2h0−γξT (t − h0 )GT P3HL GT P3HL T ξ(t − h0 ) + 2h0−γεT (t)ε(t);
( )2h0−γξT (t − h0 )GT P3HLε(t − h0 ) ≤ 2h0−γξT (t − h0 )GT P3HL
GT P3HL
T
ξ(t − h0 ) +
+2h0−γεT (t − h0 )ε(t − h0 ),
( )h0−2γεT (t)LT H T P3HLε(t − h0 ) ≤ h0−2γεT (t)LT H T P3HL LT H T P3HL T ε(t) +
+h0−2γ εT (t − h0 )ε(t − h0 ) и введем следующие обозначения:
( )W2 = W1 − 2h0−1P1BBT P1 − P2 − h0−2γ LT H T P3HL − 2h0−γ I − h0−2γ LT H T P3HL LT H T P3HL T ;
W3 = P2 − h0−2γ LT H T P3HL − 2h0−γ I − h0−2γ I ;
( ) ( )W4
= P3 − h0−2γGT P3G − 2h0−γGT P3HL
GT P3HL
T
− 2h0−γGT P3HL
GT P3HL
T
,
где I — единичная матрица.
Очевидно, что существует такое h0, для которого Wi ≥ 0, i = 2, 3, 4. Воспользовавшись оценками, перепишем уравнение (11) в виде
V ≤ −εT (t)W2ε(t) − εT (t − h0 )W3ε(t − h0 ) − ξT (t − h0 )W4ξ(t − h0 ) +
+2h0ψ ≤ −ωmin (W2 )e2 (t) + 2h0ψ,
(12)
где ωmin (W2 ) — наименьшее собственное число матрицы W2.
Из выражения (12) следует, что при h ≤ h0 выполняется неравенство
e(t) ≤ 2h0ψ ωmin (W2 ) . Следовательно, при h ≤ h0, изменяя α и h, можно получить требуе-
мые величины δ и T в целевом условии (2). Следует отметить, что оценка ошибки e(t) доста-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Робастный статический алгоритм управления линейными объектами с запаздыванием 31
точно груба, так как получена при исключении составляющих εT (t − h0 )W3ε(t − h0 ) и ξT (t − h0 )W4ξ(t − h0 ) , участвующих в компенсации величины 2h0ψ .
Статья подготовлена по результатам работ, выполненных при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 12-08-01183 и № 12-01-31354) и федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение 14.В37.21.0871, соглашение 14.В37.21.1480).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Veluvolu K. C., Kim M. Y., Lee D. Nonlinear sliding mode high-gain observers for fault estimation // Intern. J. of Systems Science. 2011. Vol. 42, N 7. P. 1065—1074.
2. Atassi A. N., Khalil H. K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. 1999. Vol. 44, N 9. P. 1672—1687.
3. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления в задаче слежения за эталонным сигналом // Автоматика и телемеханика. 2003. № 6. С. 104—113.
4. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Там же. 2007. № 7. С. 103—115.
5. Халил Х. К. Нелинейные системы. М. — Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика“, Ин-т компьютерных исследований, 2009.
Игорь Борисович Фуртат
Сведения об авторе — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследова-
тельский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: cainenash@mail.ru
Рекомендована Институтом проблем машиноведения РАН
Поступила в редакцию 25.07.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1