СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЭКСТРАПОЛЯТОРОВ
ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЭКСТРАПОЛЯТОРОВ
Рассматривается вопрос оптимизации параметров экстраполятора с учетом как ширины спектра, так и центральной частоты случайного входного сигнала. Показано, что оптимизация весовых коэффициентов экстраполятора позволяет существенно снизить ошибки экстраполяции.
Ключевые слова: дискретизация сигнала, экстраполирование, оптимизация, ошибки.
При цифровой обработке непрерывные сигналы подвергаются дискретизации по времени
и уровню. В результате в интервалах между отсчетами теряется информация, частичное восста-
новление которой возможно с использованием экстраполяторов различных порядков [1].
В общем случае алгоритм работы экстраполятора вытекает из разложения сигнала в ок-
рестности момента времени t0 в степенной ряд Тейлора [2]:
∑s(t)
=
s(t0 )
+
t
− t0 1
s '(t0 )
+
(t
− t0 )2
1⋅ 2
s ''(t0 )
+ ... +
(t
− t0 n!
)n
s(n) (t0 )
=
∞ s(n) (t0 )
n=0
(t
− t0 n!
)n
,
(1)
где s(n) (t0 ) — n-я производная сигнала в момент времени t0 .
Рассмотрим непрерывные и дискретные экстраполяторы нулевого и первого порядков.
Непрерывный экстраполятор нулевого порядка. При использовании в выражении (1)
только первого слагаемого получаем экстраполятор нулевого порядка, для которого сигнал
sэ (t + τ) = s(t),
(2)
где τ — время экстраполяции.
Очевидно, что ограничение числа членов ряда (1) неизбежно приводит к ошибке экст-
раполяции, дисперсия которой в данном случае определяется следующим образом:
σ2э = [s(t + τ) − sэ (t + τ)]2. Черта сверху в выражении (3) означает статистическое усреднение.
(3)
Используя соотношение (2), нетрудно показать, что для стационарного сигнала
σ2э = 2σ2[1 − r(τ)],
(4)
где σ2 , r(τ) — дисперсия и коэффициент корреляции сигнала s(t) .
Оптимальный непрерывный экстраполятор нулевого порядка. В целях минимиза-
ции ошибки экстраполяции представим алгоритм работы оптимального непрерывного экст-
раполятора нулевого порядка в виде
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
40 С. И. Зиатдинов
sэ (t + τ) = as(t),
где a — весовой коэффициент. Найдем значение весового коэффициента a, обеспечивающего наименьшую ошибку
экстраполяции. Аналогично соотношению (3) можно записать, что в данном случае
σэ2 = [s(t + τ) − as(t)]2 = σ2[1 + a2 − 2ar(τ)].
(5)
Для определения оптимального значения коэффициента a возьмем от дисперсии ошиб-
ки экстраполяции производную по a и приравняем ее к нулю:
dσэ2 da
=
2σ2[a − r(τ)] =
0.
Из данного соотношения находим, что минимальная дисперсия ошибки экстраполяции
при a = r(τ) составит
σ2эmin = σ2[1 − r2 (τ)].
(6)
В результате выигрыш в величине ошибки экстраполяции при использовании опти-
мального коэффициента a определим в виде отношения дисперсий ошибок, соответствующих
выражениям (4) и (6):
σ
2 э
σ
2 эmin
=
2[1 − r(τ)] 1 − r2 (τ)
=
1
+
2 r(τ)
.
Для получения конкретных численных результатов примем следующий коэффициент
корреляции сигнала:
r(τ) = exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ),
где ∆ω, ω0 — ширина и средняя частота спектральной плотности сигнала.
Тогда получим, что
σ2э
σ
2 эmin
=
1
+
exp(
−
2 ∆ω2 τ2
)
cos(ω0
τ)
.
Результаты расчетов относительных среднеквадратических ошибок экстраполяции
σэ σ , σэmin σ и квадрата их отношения для различных значений произведения ∆ωτ при
ω0 = 0 представлены в табл. 1.
Таблица 1
∆ωτ
0,02 0,05 0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
σэ σ , %
2,83 7,07 14,11 28,00 41,49 54,38 66,51 77,76
σэmin σ , % 2,83 7,06 14,07 27,73 40,59 52,33 62,73 71,64
σ 2э
σ
2 эmin
1,00 1,00 1,01 1,02 1,04 1,08 1,12 1,18
Из полученных результатов следует, что при ω0 = 0 оптимизация параметров экстрапо-
лятора нулевого порядка дает незначительный выигрыш относительно ошибки экстраполя-
ции. В табл. 2 представлены результаты расчетов относительных среднеквадратических оши-
бок экстраполяции и их отношения для различных значений произведения ω0τ при ширине
спектральной плотности сигнала ∆ω = 0 .
Таблица 2
ω0τ 0,01 0,04 0,08 0,16 2,98 3,06 3,10 3,12 3,13
σэ σ , %
1,0 4,0 8,0 16,0 200 200 200 200 200
σэmin σ , %
1,0
4,0 8,0 16,0 16,0 8,0
4,0
2,0
1,0
σэ σэmin
1,0 1,0 1,0 1,0 12,5 25,0 50,0 100 200
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Синтез оптимальных экстраполяторов
41
Анализируя данные табл. 2, можно отметить, что в диапазоне 0 ≤ ω0τ ≤ 0,3 оптимальный экстраполятор не обеспечивает уменьшение ошибки экстраполяции. В то же время при
ω0τ ≥ 3 ошибка экстраполяции не превышает 10 % и меньше ошибки неоптимального экст-
раполятора в 25—200 раз. Дискретный экстраполятор нулевого порядка. Алгоритм работы данного экстрапо-
лятора записывается следующим образом [1]:
sэ (ti + τ) = s(ti ),
где s(ti ) — i-й отсчет сигнала; ti = iT ; T — период дискретизации; i = 0, 1, 2, 3, … — номер отсчета.
При этом дисперсия ошибки экстраполяции определяется из соотношения
σэ2 = [s(ti + τ) − sэ (ti + τ)]2 , которое после несложных преобразований приводится к виду
σ
2 э
=
2σ2[1 −
r (τ)].
(7)
Полученное выражение (7) для дисперсии ошибки экстраполяции совпадает с аналогич-
ным выражением (4) для непрерывного экстраполятора.
Оптимальный дискретный экстраполятор нулевого порядка. Для данного экстра-
полятора можно записать следующий алгоритм работы:
sэ (ti + τ) = as(ti ).
Опуская несложные выкладки, аналогичные алгоритму работы непрерывного экстрапо-
лятора, оптимальное значение весового коэффициента a, минимизирующего ошибку экстра-
поляции, можно определить как a = r(τ) . При этом дисперсия ошибки экстраполяции опре-
деляется соотношением
σэ2min = σ2[1 − r2 (τ)].
Данное выражение полностью совпадает с выражением (6) для дисперсии минимальной ошибки непрерывного экстраполятора нулевого порядка.
Непрерывный экстраполятор первого порядка. При использовании в выражении (1) первых двух слагаемых получаем алгоритм работы рассматриваемого экстраполятора:
sэ (t + τ) = s(t) + s '(t)τ. Дисперсия ошибки экстраполяции в данном случае определяется соотношением
σэ2 = [s(t + τ) − sэ (t + τ)]2 = 2σ2[1 − r(τ) − 0,5r ''(0)τ2 + r '(τ)τ − r '(0)τ], где r '(τ), r ''(τ) — первая и вторая производные коэффициента корреляции r(τ) сигнала s(t) .
Оптимальный непрерывный экстраполятор первого порядка. Алгоритм работы данного экстраполятора представим в виде
sэ (t + τ) = a0s(t) + a1s '(t)τ, при этом дисперсия ошибки экстраполяции будет определяться выражением
σэ2 = σ2[1 + a02 − 2a0r(τ) − a12r ''(0)τ2 + 2a1r '(τ)τ − 2a0a1r '(0)τ].
Подбором весовых коэффициентов a0 и a1 минимизируем ошибку экстраполяции. Для
этого возьмем частные производные от σ2э по a0 и a1 и приравняем их к нулю:
dσ2э da0
=
2σ 2 [a0
− r(τ) − a1r '(0)τ] = 0,
dσэ2 da1
= −2σ2[a1r ''(0)τ2
− r '(τ)τ + a0r '(0)τ] = 0.
Решая данную систему уравнений относительно коэффициентов a0 и a1 , находим, что
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
42 С. И. Зиатдинов
a0
=
r(τ)r ''(0) + r '(τ)r '(0) r ''(0) − [r '(0)]2
,
a1
=
r '(τ) + r(τ)r '(0) {r ''(0) − [r '(0)]2}τ
.
После подстановки в полученные выражения для a0 и a1 коэффициента корреляции
сигнала r(τ) = exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ) можно в окончательном виде записать:
a0 = exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ) ,
a1
=
exp(
−
∆ω2τ2 )[2τ∆ω2τ cos(ω0τ) (2∆ω2 + ω02 )τ
+
ω0
sin(ω0τ)] .
Тогда дисперсии ошибок экстраполяции σ2э , σэ2min будут определяться выражениями
σэ2 = 2σ2{1 − exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ) + ∆ω2τ2 + 0,5ω02τ2 −
−2∆ω2τ2exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ) − ω0τ exp( − ∆ω2τ2 ) sin(ω0τ)},
(8)
σэ2min = σ2 ⎪⎧⎨1 − exp( − 2∆ω2τ2 ) cos2 (ω0τ) − ⎪⎩
−
exp(
−
2∆ω2
τ2
)[2∆ω2τ cos(ω0 2∆ω2 + ω02
τ)
+
ω0
sin(ω0τ)]2
⎫⎪ ⎬ ⎭⎪
.
(9)
Для получения конкретных результатов рассмотрим частные случаи. Положим среднюю
частоту сигнала ω0 = 0. Тогда соотношения (8) и (9) примут следующий вид:
σ2э = 2σ2{1 − exp( − ∆ω2τ2 ) + ∆ω2τ2[1 − 2exp( − ∆ω2τ2 )]},
σэ2min = σ2[1 − exp( − 2∆ω2τ2 )(1 + 2∆ω2τ2 )].
Результаты расчетов относительных среднеквадратических ошибок σэ σ , σэmin σ , а
также квадрата их отношения приведены в табл. 3.
Таблица 3
∆ωτ 0,02 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
σэ σ , %
6,93⋅10–2 4,33⋅10–1 1,73
6,85 15,2 26,5 40,43 56,6
σэmin σ , %
5,66⋅10–2 3,53⋅10–1
1,40
5,51 12,0 20,4 30,0 40,3
σ
2 э
σ э2min
1,50
1,50 1,51 1,53 1,61 1,69 1,81 1,97
Сравнивая данные табл. 1 и 3, можно отметить, что применение экстраполятора первого
порядка позволяет при ∆ωτ < 0,1 практически на порядок уменьшить ошибку экстраполяции.
При этом оптимизация параметров экстраполятора также уменьшает ошибку экстраполяции
более чем в 1,5 раза по сравнению с неоптимальным экстраполятором.
Рассмотрим случай, когда ширина спектральной плотности сигнала ∆ω = 0 . Тогда
a0 = cos(ω0τ) , a1 = sin(ω0τ) / ω0τ,
σ2э = σ2{2[1 − cos(ω0τ)] + ω02τ2 − 2ω0τ sin(ω0τ)},
σ
2 эmin
= 0.
В табл. 4 показаны результаты расчетов нормированной среднеквадратической ошибки
σэ / σ при ∆ω = 0 для различных значений произведения ω0τ .
Таблица 4
ω0 τ
0,01 0,04 0,08 0,16 0,32
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
σэ σ , % 0,005 0,08 0,32 1,28 5,11 7,96 12,4 17,8 24,2 31,4
Сравнивая данные табл. 2 и 4, можно отметить, что экстраполятор первого порядка по сравнению с экстраполятором нулевого порядка обеспечивает уменьшение ошибки экстрапо-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Синтез оптимальных экстраполяторов
43
ляции более чем на порядок. При этом оптимизация параметров экстраполятора первого порядка позволяет свести к нулю ошибку экстраполяции.
Дискретный экстраполятор первого порядка. Для вычисления первой производной сигнала в выражении (1) воспользуемся первой обратной разностью. При этом
s '(ti )
=
s(ti
)
−
s(ti T
−
T
)
.
Тогда алгоритм работы дискретного экcтраполятора первого порядка можно записать
следующим образом:
sэ (ti
+
τ)
=
⎛⎝⎜1 +
τ T
⎟⎠⎞ s(ti
)
−
τ T
s(ti
− T ).
Опуская промежуточные выкладки, запишем выражение для дисперсии ошибки экстра-
поляции:
σ2э
=
σ2
⎡ ⎢1 + ⎣
⎝⎛⎜1 +
τ T
⎞2 ⎟⎠
+
τ2 T2
−
2 ⎛⎜⎝1 +
τ T
⎞ ⎠⎟
r(τ)
+
2
τ T
r(τ
+T)
−
2⎝⎛⎜1 +
τ T
⎞τ ⎟⎠ T
⎤ r(T )⎥ .
⎦
Результаты расчета относительной среднеквадратической ошибки экстраполяции для
дискретного неоптимального экстраполятора первого порядка при ∆ω = 0 и τ = T для раз-
личных значений произведения ω0τ приведены в табл. 5.
Таблица 5
ω0 τ
0,01 0,04 0,08 0,16 0,32
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
σэ σ , % 0,01 0,16 0,64 2,55 10,1 15,8 24,5 34,9 47,0 60,7
Оптимальный дискретный экстраполятор первого порядка. Алгоритм работы данного экстраполятора имеет вид
sэ (ti
+
τ)
=
a0
⎜⎛⎝1 +
τ T
⎞ ⎟⎠
s(ti
)
−
a1
τ T
s(ti
− T ),
при этом ошибка экстраполяции определяется следующим выражением:
σэ2
=
σ2
⎡ ⎢1 + ⎣
a02
⎝⎜⎛1 +
τ T
⎞2 ⎠⎟
+
a12
τ2 T2
−
2a0
⎜⎝⎛1 +
τ T
⎞ ⎠⎟
r(τ)
+
2a1
τ T
r(τ
+
T)
−
2a0a1 ⎛⎜⎝1 +
τ T
⎞τ ⎠⎟ T
⎤ r(T )⎥.
⎦
Аналогично предыдущим случаям выбором весовых коэффициентов a0 и a1 минимизируем ошибку экстраполяции.
Система уравнений, позволяющая найти оптимальные значения коэффициентов a0 , a1, имеет следующий вид:
dσ2э da0
=
2σ2
⎛⎝⎜1
+
τ T
⎟⎠⎞ ⎡⎣⎢a0 ⎜⎝⎛1 +
τ T
⎟⎠⎞
−
r(τ)
+
2a1
τ T
r(T )⎤⎥⎦
=
0,
dσ2э da1
=
2σ2
τ T
⎡⎢⎣a1
τ T
− r(τ + T ) + a0 ⎛⎜⎝1 +
τ T
⎠⎞⎟ r(T )⎤⎥⎦
=
0.
Решая данную систему уравнений относительно искомых коэффициентов, находим
a0
=
r(τ)
1
+
τ T
−
r(τ + T ) − r(T )r(τ) r(T ),
[1
−
r
2
(T
)]⎝⎛⎜1
+
τ T
⎠⎞⎟
a1
=
r(τ + T ) − r(T )r(τ) .
[1
−
r
2
(T
)]
τ T
Результаты расчетов нормированных ошибок σэ σ , σэmin σ , а также их отношения
σэ σэmin для неоптимального и оптимального дискретных экстраполяторов первого порядка
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
44 С. И. Зиатдинов
при различных значениях произведения приведены в табл. 6.
∆ωτ σэ σ , % σэmin σ , % σэ σэmin
0,02 0,138
0,113
1,50
0,05 0,864
0,70
1,51
∆ωτ и
0,1 3,435 2,79 1,52
ω0 = 0 , τ = T ,
0,2 13,41
10,66
1,58
0,3 28,97
22,31
1,68
r(τ) = exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ)
0,4 48,73
35,98
1,83
Таблица 6 0,5 0,6 71,11 94,47
49,87 62,58
2,03 2,28
Анализ полученных данных показывает, что оптимизация параметров экстаполятора позволяет в 1,5 раза снизить ошибку экстраполяции, а при ширине спектральной плотности сигнала ∆ω = 0 оптимальный экстраполятор обеспечивает нулевую ошибку экстраполяции:
σэmin = 0 .
Выводы. Оптимизация параметров экстраполяторов нулевого и первого порядков с учетом ширины спектральной плотности сигнала не дает заметного уменьшения ошибки экстраполяции. Вместе с тем оптимизация параметров экстраполяторов с учетом средней частоты спектральной плотности сигнала позволяет более чем на порядок снизить ошибку экстраполяции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зиатдинов С. И. Линейные искажения сигнала экстраполяторами // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 5. С. 57—60.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1966. Т. 1. 551 c.
Сведения об авторе Сергей Ильич Зиатдинов — д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный универси-
тет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: Kaf53@GUAP.ru
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 18.05.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЭКСТРАПОЛЯТОРОВ
Рассматривается вопрос оптимизации параметров экстраполятора с учетом как ширины спектра, так и центральной частоты случайного входного сигнала. Показано, что оптимизация весовых коэффициентов экстраполятора позволяет существенно снизить ошибки экстраполяции.
Ключевые слова: дискретизация сигнала, экстраполирование, оптимизация, ошибки.
При цифровой обработке непрерывные сигналы подвергаются дискретизации по времени
и уровню. В результате в интервалах между отсчетами теряется информация, частичное восста-
новление которой возможно с использованием экстраполяторов различных порядков [1].
В общем случае алгоритм работы экстраполятора вытекает из разложения сигнала в ок-
рестности момента времени t0 в степенной ряд Тейлора [2]:
∑s(t)
=
s(t0 )
+
t
− t0 1
s '(t0 )
+
(t
− t0 )2
1⋅ 2
s ''(t0 )
+ ... +
(t
− t0 n!
)n
s(n) (t0 )
=
∞ s(n) (t0 )
n=0
(t
− t0 n!
)n
,
(1)
где s(n) (t0 ) — n-я производная сигнала в момент времени t0 .
Рассмотрим непрерывные и дискретные экстраполяторы нулевого и первого порядков.
Непрерывный экстраполятор нулевого порядка. При использовании в выражении (1)
только первого слагаемого получаем экстраполятор нулевого порядка, для которого сигнал
sэ (t + τ) = s(t),
(2)
где τ — время экстраполяции.
Очевидно, что ограничение числа членов ряда (1) неизбежно приводит к ошибке экст-
раполяции, дисперсия которой в данном случае определяется следующим образом:
σ2э = [s(t + τ) − sэ (t + τ)]2. Черта сверху в выражении (3) означает статистическое усреднение.
(3)
Используя соотношение (2), нетрудно показать, что для стационарного сигнала
σ2э = 2σ2[1 − r(τ)],
(4)
где σ2 , r(τ) — дисперсия и коэффициент корреляции сигнала s(t) .
Оптимальный непрерывный экстраполятор нулевого порядка. В целях минимиза-
ции ошибки экстраполяции представим алгоритм работы оптимального непрерывного экст-
раполятора нулевого порядка в виде
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
40 С. И. Зиатдинов
sэ (t + τ) = as(t),
где a — весовой коэффициент. Найдем значение весового коэффициента a, обеспечивающего наименьшую ошибку
экстраполяции. Аналогично соотношению (3) можно записать, что в данном случае
σэ2 = [s(t + τ) − as(t)]2 = σ2[1 + a2 − 2ar(τ)].
(5)
Для определения оптимального значения коэффициента a возьмем от дисперсии ошиб-
ки экстраполяции производную по a и приравняем ее к нулю:
dσэ2 da
=
2σ2[a − r(τ)] =
0.
Из данного соотношения находим, что минимальная дисперсия ошибки экстраполяции
при a = r(τ) составит
σ2эmin = σ2[1 − r2 (τ)].
(6)
В результате выигрыш в величине ошибки экстраполяции при использовании опти-
мального коэффициента a определим в виде отношения дисперсий ошибок, соответствующих
выражениям (4) и (6):
σ
2 э
σ
2 эmin
=
2[1 − r(τ)] 1 − r2 (τ)
=
1
+
2 r(τ)
.
Для получения конкретных численных результатов примем следующий коэффициент
корреляции сигнала:
r(τ) = exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ),
где ∆ω, ω0 — ширина и средняя частота спектральной плотности сигнала.
Тогда получим, что
σ2э
σ
2 эmin
=
1
+
exp(
−
2 ∆ω2 τ2
)
cos(ω0
τ)
.
Результаты расчетов относительных среднеквадратических ошибок экстраполяции
σэ σ , σэmin σ и квадрата их отношения для различных значений произведения ∆ωτ при
ω0 = 0 представлены в табл. 1.
Таблица 1
∆ωτ
0,02 0,05 0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
σэ σ , %
2,83 7,07 14,11 28,00 41,49 54,38 66,51 77,76
σэmin σ , % 2,83 7,06 14,07 27,73 40,59 52,33 62,73 71,64
σ 2э
σ
2 эmin
1,00 1,00 1,01 1,02 1,04 1,08 1,12 1,18
Из полученных результатов следует, что при ω0 = 0 оптимизация параметров экстрапо-
лятора нулевого порядка дает незначительный выигрыш относительно ошибки экстраполя-
ции. В табл. 2 представлены результаты расчетов относительных среднеквадратических оши-
бок экстраполяции и их отношения для различных значений произведения ω0τ при ширине
спектральной плотности сигнала ∆ω = 0 .
Таблица 2
ω0τ 0,01 0,04 0,08 0,16 2,98 3,06 3,10 3,12 3,13
σэ σ , %
1,0 4,0 8,0 16,0 200 200 200 200 200
σэmin σ , %
1,0
4,0 8,0 16,0 16,0 8,0
4,0
2,0
1,0
σэ σэmin
1,0 1,0 1,0 1,0 12,5 25,0 50,0 100 200
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Синтез оптимальных экстраполяторов
41
Анализируя данные табл. 2, можно отметить, что в диапазоне 0 ≤ ω0τ ≤ 0,3 оптимальный экстраполятор не обеспечивает уменьшение ошибки экстраполяции. В то же время при
ω0τ ≥ 3 ошибка экстраполяции не превышает 10 % и меньше ошибки неоптимального экст-
раполятора в 25—200 раз. Дискретный экстраполятор нулевого порядка. Алгоритм работы данного экстрапо-
лятора записывается следующим образом [1]:
sэ (ti + τ) = s(ti ),
где s(ti ) — i-й отсчет сигнала; ti = iT ; T — период дискретизации; i = 0, 1, 2, 3, … — номер отсчета.
При этом дисперсия ошибки экстраполяции определяется из соотношения
σэ2 = [s(ti + τ) − sэ (ti + τ)]2 , которое после несложных преобразований приводится к виду
σ
2 э
=
2σ2[1 −
r (τ)].
(7)
Полученное выражение (7) для дисперсии ошибки экстраполяции совпадает с аналогич-
ным выражением (4) для непрерывного экстраполятора.
Оптимальный дискретный экстраполятор нулевого порядка. Для данного экстра-
полятора можно записать следующий алгоритм работы:
sэ (ti + τ) = as(ti ).
Опуская несложные выкладки, аналогичные алгоритму работы непрерывного экстрапо-
лятора, оптимальное значение весового коэффициента a, минимизирующего ошибку экстра-
поляции, можно определить как a = r(τ) . При этом дисперсия ошибки экстраполяции опре-
деляется соотношением
σэ2min = σ2[1 − r2 (τ)].
Данное выражение полностью совпадает с выражением (6) для дисперсии минимальной ошибки непрерывного экстраполятора нулевого порядка.
Непрерывный экстраполятор первого порядка. При использовании в выражении (1) первых двух слагаемых получаем алгоритм работы рассматриваемого экстраполятора:
sэ (t + τ) = s(t) + s '(t)τ. Дисперсия ошибки экстраполяции в данном случае определяется соотношением
σэ2 = [s(t + τ) − sэ (t + τ)]2 = 2σ2[1 − r(τ) − 0,5r ''(0)τ2 + r '(τ)τ − r '(0)τ], где r '(τ), r ''(τ) — первая и вторая производные коэффициента корреляции r(τ) сигнала s(t) .
Оптимальный непрерывный экстраполятор первого порядка. Алгоритм работы данного экстраполятора представим в виде
sэ (t + τ) = a0s(t) + a1s '(t)τ, при этом дисперсия ошибки экстраполяции будет определяться выражением
σэ2 = σ2[1 + a02 − 2a0r(τ) − a12r ''(0)τ2 + 2a1r '(τ)τ − 2a0a1r '(0)τ].
Подбором весовых коэффициентов a0 и a1 минимизируем ошибку экстраполяции. Для
этого возьмем частные производные от σ2э по a0 и a1 и приравняем их к нулю:
dσ2э da0
=
2σ 2 [a0
− r(τ) − a1r '(0)τ] = 0,
dσэ2 da1
= −2σ2[a1r ''(0)τ2
− r '(τ)τ + a0r '(0)τ] = 0.
Решая данную систему уравнений относительно коэффициентов a0 и a1 , находим, что
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
42 С. И. Зиатдинов
a0
=
r(τ)r ''(0) + r '(τ)r '(0) r ''(0) − [r '(0)]2
,
a1
=
r '(τ) + r(τ)r '(0) {r ''(0) − [r '(0)]2}τ
.
После подстановки в полученные выражения для a0 и a1 коэффициента корреляции
сигнала r(τ) = exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ) можно в окончательном виде записать:
a0 = exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ) ,
a1
=
exp(
−
∆ω2τ2 )[2τ∆ω2τ cos(ω0τ) (2∆ω2 + ω02 )τ
+
ω0
sin(ω0τ)] .
Тогда дисперсии ошибок экстраполяции σ2э , σэ2min будут определяться выражениями
σэ2 = 2σ2{1 − exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ) + ∆ω2τ2 + 0,5ω02τ2 −
−2∆ω2τ2exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ) − ω0τ exp( − ∆ω2τ2 ) sin(ω0τ)},
(8)
σэ2min = σ2 ⎪⎧⎨1 − exp( − 2∆ω2τ2 ) cos2 (ω0τ) − ⎪⎩
−
exp(
−
2∆ω2
τ2
)[2∆ω2τ cos(ω0 2∆ω2 + ω02
τ)
+
ω0
sin(ω0τ)]2
⎫⎪ ⎬ ⎭⎪
.
(9)
Для получения конкретных результатов рассмотрим частные случаи. Положим среднюю
частоту сигнала ω0 = 0. Тогда соотношения (8) и (9) примут следующий вид:
σ2э = 2σ2{1 − exp( − ∆ω2τ2 ) + ∆ω2τ2[1 − 2exp( − ∆ω2τ2 )]},
σэ2min = σ2[1 − exp( − 2∆ω2τ2 )(1 + 2∆ω2τ2 )].
Результаты расчетов относительных среднеквадратических ошибок σэ σ , σэmin σ , а
также квадрата их отношения приведены в табл. 3.
Таблица 3
∆ωτ 0,02 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
σэ σ , %
6,93⋅10–2 4,33⋅10–1 1,73
6,85 15,2 26,5 40,43 56,6
σэmin σ , %
5,66⋅10–2 3,53⋅10–1
1,40
5,51 12,0 20,4 30,0 40,3
σ
2 э
σ э2min
1,50
1,50 1,51 1,53 1,61 1,69 1,81 1,97
Сравнивая данные табл. 1 и 3, можно отметить, что применение экстраполятора первого
порядка позволяет при ∆ωτ < 0,1 практически на порядок уменьшить ошибку экстраполяции.
При этом оптимизация параметров экстраполятора также уменьшает ошибку экстраполяции
более чем в 1,5 раза по сравнению с неоптимальным экстраполятором.
Рассмотрим случай, когда ширина спектральной плотности сигнала ∆ω = 0 . Тогда
a0 = cos(ω0τ) , a1 = sin(ω0τ) / ω0τ,
σ2э = σ2{2[1 − cos(ω0τ)] + ω02τ2 − 2ω0τ sin(ω0τ)},
σ
2 эmin
= 0.
В табл. 4 показаны результаты расчетов нормированной среднеквадратической ошибки
σэ / σ при ∆ω = 0 для различных значений произведения ω0τ .
Таблица 4
ω0 τ
0,01 0,04 0,08 0,16 0,32
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
σэ σ , % 0,005 0,08 0,32 1,28 5,11 7,96 12,4 17,8 24,2 31,4
Сравнивая данные табл. 2 и 4, можно отметить, что экстраполятор первого порядка по сравнению с экстраполятором нулевого порядка обеспечивает уменьшение ошибки экстрапо-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Синтез оптимальных экстраполяторов
43
ляции более чем на порядок. При этом оптимизация параметров экстраполятора первого порядка позволяет свести к нулю ошибку экстраполяции.
Дискретный экстраполятор первого порядка. Для вычисления первой производной сигнала в выражении (1) воспользуемся первой обратной разностью. При этом
s '(ti )
=
s(ti
)
−
s(ti T
−
T
)
.
Тогда алгоритм работы дискретного экcтраполятора первого порядка можно записать
следующим образом:
sэ (ti
+
τ)
=
⎛⎝⎜1 +
τ T
⎟⎠⎞ s(ti
)
−
τ T
s(ti
− T ).
Опуская промежуточные выкладки, запишем выражение для дисперсии ошибки экстра-
поляции:
σ2э
=
σ2
⎡ ⎢1 + ⎣
⎝⎛⎜1 +
τ T
⎞2 ⎟⎠
+
τ2 T2
−
2 ⎛⎜⎝1 +
τ T
⎞ ⎠⎟
r(τ)
+
2
τ T
r(τ
+T)
−
2⎝⎛⎜1 +
τ T
⎞τ ⎟⎠ T
⎤ r(T )⎥ .
⎦
Результаты расчета относительной среднеквадратической ошибки экстраполяции для
дискретного неоптимального экстраполятора первого порядка при ∆ω = 0 и τ = T для раз-
личных значений произведения ω0τ приведены в табл. 5.
Таблица 5
ω0 τ
0,01 0,04 0,08 0,16 0,32
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
σэ σ , % 0,01 0,16 0,64 2,55 10,1 15,8 24,5 34,9 47,0 60,7
Оптимальный дискретный экстраполятор первого порядка. Алгоритм работы данного экстраполятора имеет вид
sэ (ti
+
τ)
=
a0
⎜⎛⎝1 +
τ T
⎞ ⎟⎠
s(ti
)
−
a1
τ T
s(ti
− T ),
при этом ошибка экстраполяции определяется следующим выражением:
σэ2
=
σ2
⎡ ⎢1 + ⎣
a02
⎝⎜⎛1 +
τ T
⎞2 ⎠⎟
+
a12
τ2 T2
−
2a0
⎜⎝⎛1 +
τ T
⎞ ⎠⎟
r(τ)
+
2a1
τ T
r(τ
+
T)
−
2a0a1 ⎛⎜⎝1 +
τ T
⎞τ ⎠⎟ T
⎤ r(T )⎥.
⎦
Аналогично предыдущим случаям выбором весовых коэффициентов a0 и a1 минимизируем ошибку экстраполяции.
Система уравнений, позволяющая найти оптимальные значения коэффициентов a0 , a1, имеет следующий вид:
dσ2э da0
=
2σ2
⎛⎝⎜1
+
τ T
⎟⎠⎞ ⎡⎣⎢a0 ⎜⎝⎛1 +
τ T
⎟⎠⎞
−
r(τ)
+
2a1
τ T
r(T )⎤⎥⎦
=
0,
dσ2э da1
=
2σ2
τ T
⎡⎢⎣a1
τ T
− r(τ + T ) + a0 ⎛⎜⎝1 +
τ T
⎠⎞⎟ r(T )⎤⎥⎦
=
0.
Решая данную систему уравнений относительно искомых коэффициентов, находим
a0
=
r(τ)
1
+
τ T
−
r(τ + T ) − r(T )r(τ) r(T ),
[1
−
r
2
(T
)]⎝⎛⎜1
+
τ T
⎠⎞⎟
a1
=
r(τ + T ) − r(T )r(τ) .
[1
−
r
2
(T
)]
τ T
Результаты расчетов нормированных ошибок σэ σ , σэmin σ , а также их отношения
σэ σэmin для неоптимального и оптимального дискретных экстраполяторов первого порядка
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
44 С. И. Зиатдинов
при различных значениях произведения приведены в табл. 6.
∆ωτ σэ σ , % σэmin σ , % σэ σэmin
0,02 0,138
0,113
1,50
0,05 0,864
0,70
1,51
∆ωτ и
0,1 3,435 2,79 1,52
ω0 = 0 , τ = T ,
0,2 13,41
10,66
1,58
0,3 28,97
22,31
1,68
r(τ) = exp( − ∆ω2τ2 ) cos(ω0τ)
0,4 48,73
35,98
1,83
Таблица 6 0,5 0,6 71,11 94,47
49,87 62,58
2,03 2,28
Анализ полученных данных показывает, что оптимизация параметров экстаполятора позволяет в 1,5 раза снизить ошибку экстраполяции, а при ширине спектральной плотности сигнала ∆ω = 0 оптимальный экстраполятор обеспечивает нулевую ошибку экстраполяции:
σэmin = 0 .
Выводы. Оптимизация параметров экстраполяторов нулевого и первого порядков с учетом ширины спектральной плотности сигнала не дает заметного уменьшения ошибки экстраполяции. Вместе с тем оптимизация параметров экстраполяторов с учетом средней частоты спектральной плотности сигнала позволяет более чем на порядок снизить ошибку экстраполяции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зиатдинов С. И. Линейные искажения сигнала экстраполяторами // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 5. С. 57—60.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1966. Т. 1. 551 c.
Сведения об авторе Сергей Ильич Зиатдинов — д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный универси-
тет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: Kaf53@GUAP.ru
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 18.05.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1