СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ, ПРИЛОЖЕННОГО К ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...
3 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 62-50
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ, ПРИЛОЖЕННОГО К ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров
В статье предлагается новый наблюдатель переменных состояния нелинейного объекта управления в случае, когда измеряемый выходной сигнал объекта подвержен воздействию неизвестного гармонического возмущения. Ключевые слова: гармонические возмущения, наблюдатели, нелинейные системы.
Введение
Рассматривается задача синтеза асимптотического наблюдателя вектора переменных состояния для нелинейного объекта вида
x(t) Ax(t) bu(t) d (y) ,
(1)
y(t) cT x(t) (t) ,
(2)
где x Rn – неизмеряемый вектор переменных состояния; A , b , d и c – известные матрицы и векторы постоянных коэффициентов соответствующих размерностей;
(t) R – заранее неизвестное и недоступное прямым измерениям гармоническое воз-
мущение; u(t) R – сигнал управления; ( y) – известная гладкая функция; y(t) R –
измеряемый выход. Если матрица A гурвицева, то данная задача может быть достаточно просто ре-
шена посредством расчета в реальном масштабе времени модели объекта (1). При этом, в силу экспоненциального стремления к нулю свободной составляющей, модель будет генерировать оценку вектора переменных состояния, асимптотически сходящуюся к действительным значениям x(t) . В противном случае (т.е., если матрица A негурвице-
ва) данная схема является неработоспособной, а использование классических наблюдателей вектора состояния не позволит получить асимптотическую сходимость ошибки наблюдения в силу присутствия возмущения (t) .
Поставленная задача может быть решена с использованием методов адаптивного наблюдения [1–7]. Однако большинство известных работ посвящены случаю, когда гармоническое возмущение приведено ко входу системы [1–5], и их результаты не могут быть непосредственно распространены на рассматриваемый случай возмущения, действующего на выход системы. В работах [6, 7] рассмотрен случай возмущений в выходном сигнале, но для ограниченного класса линейных минимально фазовых объектов. Таким образом, построение адаптивного наблюдателя для нелинейного объекта (1)–(2) является новой и актуальной задачей.
Постановка задачи
Рассмотрим в общем случае не минимально фазовый нелинейный объект вида (1), (2). Для простоты ограничимся исследованием случая, когда возмущение (t) пред-
ставлено в виде гармонической функции
32 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров
(t) sin( t )
(3)
с неизвестными амплитудой , частотой и начальной фазой . Заметим, что расши-
рение предлагаемого подхода на случай возмущения, представленного суммой нескольких гармонических функций, не влечет принципиальных сложностей, но усложняет представление основного материала статьи.
Перепишем объект (1), (2) в форме модели вход–выход:
y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) (t) , a( p) a( p)
(4)
где p d / dt – оператор дифференцирования; a( p) pn an 1 pn 1 ... a1 p a0 ,
b( p) bm pm ... b1 p b0 и d( p) dr pr ... d1 p d0 – соответствующие полиномы, полученные в результате перехода от модели вход–состояние–выход к модели вход–
выход: b( p) cT ( pI A) 1b и d( p) cT ( pI A) 1d . a( p) a( p)
Будем считать выполненными следующие допущения относительно системы (1),
(2), (4). Допущение 1. Доступными для измерений являются только сигналы y(t) и u(t) .
Допущение 2. Пара A , b полностью управляема, и пара A , c полностью наблюдаема.
Допущение 3. Полином a( p) не имеет корней jω , где ω – частота возмущаю-
щего воздействия. Требуется построить асимптотический наблюдатель переменных состояния x(t)
объекта (1), (2) такой, что
lim x(t) xˆ(t) 0 ,
t
где xˆ(t) является оценкой вектора x(t) .
(5)
Синтез наблюдателя для объекта (1), (2) будем осуществлять в два этапа. Сначала решим задачу синтеза наблюдателя возмущающего воздействия (t) . Далее, исполь-
зуя информацию о (t) , построим оценку вектора x(t) .
Отметим, что для решения поставленной задачи можно использовать два подхода. Первый подход предусматривает рассмотрение расширенной системы, включающей в себя как сам объект управления, так и модель внешней среды. Используя полученную оценку частоты , могут быть рассчитаны коэффициенты классического наблюдателя
полной размерности для расширенной системы. К преимуществам данного подхода относится то, что для решения задачи достаточно провести идентификацию только частоты возмущения, но не его амплитуды и фазы. В то же время предложенный подход потребует проводить в реальном времени процедуру пересчета коэффициентов наблюдателя, что повышает сложность метода и затрудняет его практическую реализацию.
Вторым возможным подходом является построение наблюдателя возмущения на основе идентификации всех его параметров, и использование полученной оценки возмущения для вычисления выхода объекта с последующим построением наблюдателя переменных состояния. Данный метод отличается меньшей вычислительной сложностью, и в дальнейшем именно он будет рассмотрен в работе.
Синтез наблюдателя возмущающего воздействия
Итак, проведем синтез наблюдателя возмущающего воздействия (t) sin( t ) , для чего потребуется идентификация параметров , и . По-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
33
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...
строим сначала идентификатор параметра . Воспользуемся для этого результатами работы [8].
Рассмотрим произвольный гурвицев полином ( p) степени n . Тогда уравнение
(4) можно переписать в виде
y(t) a1( p) y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) a( p) (t) ,
( p) ( p) ( p)
( p)
где a1( p) ( p) a( p) . Сформируем вспомогательный сигнал:
(5)
w(t) y(t) a1( p) y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) . ( p) ( p) ( p)
С учетом уравнения (5) получаем
(6)
w(t) y(t) a1( p) y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) a( p) (t)
( p) ( p) ( p)
( p)
a( p) sin( t ) a( p) sin( t ) . ( p) ( p)
(7)
Из (7) следует, что сигнал w(t) , в силу гурвицевости полинома ( p) и отсутствия
у полинома a( p) корней jω , является гармонической функцией с частотой . По-
этому сигнал w(t) может рассматриваться в качестве выхода динамической модели
вида
d 2w(t) dt 2
ω2w(t) θ w(t) ,
(8)
где θ ω2 – постоянный параметр. Следуя результатам леммы 1 из работы [9], сигнал
w(t) можно записать в форме
w(t) 2 (t) (t) (t) y (t) ,
(9)
где εy (t) – экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми
начальными условиями, а функция (t) формируется следующим образом
(t)
(
p
1 1)2
w(t) .
(10)
Как и в [9], для синтеза идентификатора неизвестного параметра θ введем новую
переменную – измеряемый сигнал вида
z(t) (t) w(t) 2 (t) (t).
Можно показать, что в силу уравнений (9) и (10) справедливо равенство z(t) θ (t) .
Тогда оценку zˆ(t) сигнала z(t) целесообразно сформировать в виде
(11)
zˆ(t) θˆ(t) ς(t) ,
(12)
где θˆ(t) – настраиваемый параметр (оценка параметра θ ).
Утверждение 1 [9]. Пусть параметр θˆ(t) настраивается следующим образом:
θˆ(t) kς(t)(z(t) zˆ(t)) ,
(13)
где k 0 – коэффициент адаптации, сигналы (t) , z(t) и zˆ(t) формируются в соот-
ветствии с выражениями (10), (11) и (12), соответственно (при этом сигнал w(t)
формируется по правилу (6)). Тогда lim θˆ(t) θ 0 .
t
34 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров
С учетом утверждения 1 частоту гармонического возмущения будем рассчитывать
следующим образом:
ωˆ (t) θˆ(t) .
(14)
Для построения оценки возмущения (t) заменим задачи идентификации амплитуды и фазы сигнала более простой задачей идентификации двух амплитуд. Дей-
ствительно, для гармонического сигнала w(t) имеем:
a( p) a( p)
w(t)
sin( t ( p)
)
( p) 1 sin t
2 cos t
1 1(t) 2 2 (t) ,
где возмущение (t) sin( t ) представлено в виде суммы двух гармонических
сигналов разной амплитуды, но с нулевой начальной фазой:
(t) 1 sin t 2 cos t , а физически реализуемые сигналы 1(t) и 2 (t) формируется по правилу
1(t)
a( p) sin t , ( p)
2 (t)
a( p) cos t . ( p)
Тогда оценку возмущения (t) будем формировать в виде
ˆ (t )
ˆ 1
sin
ˆ
t
ˆ 2 cos ˆ t ,
где
ˆ 1
и
ˆ 2
– настраиваемые параметры (оценки параметров
1и
Можно показать справедливость следующего утверждения.
2 ).
(15)
Утверждение 2. Пусть параметры
ˆ 1
и
ˆ 2
настраиваются следующим образом:
ˆ1(t) k ˆ 1(t) w(t) ˆ1(t) ˆ 1(t) ˆ 2(t) ˆ 2(t) ,
(16)
ˆ 2 (t) k ˆ 2(t) w(t) ˆ1(t) ˆ 1(t) ˆ 2(t) ˆ 2(t) ,
(17)
где k – коэффициент адаптации, сигнал w(t) определяется выражением (6), а сигна-
лы ˆ 1(t) и ˆ 2 (t) формируются по правилу
ˆ 1(t)
a( p) ( p)
sin
ˆ
t
,
ˆ
2 (t)
a( p) cos ˆ t ( p)
с использованием оценки частоты гармонического возмущения (13), (14). Тогда
lim (t) ˆ (t) 0 .
(18) (19)
Таким образом, адаптивный наблюдатель возмущения, содержащий блоки форми-
рования вспомогательных сигналов w(t) , (t) и z(t) , (6), (10) и (11) соответственно,
настраиваемые модели (12) и (15), а также алгоритмы настройки (13), (16) и (17), обес-
печивает для объекта (1), (2) асимптотическую идентификацию заранее неизвестного
возмущения (3). В частном случае, когда возмущение (3) имеет нулевую начальную фа-
зу (т.е. 0 ), схема его идентификации может быть существенно упрощена. А именно,
вместо оценки (15) и двух алгоритмов настройки (16) и (17) можно использовать оцен-
ку вида
ˆ(t) ˆ sin ˆ t ,
(20)
где параметр ˆ настраивается по правилу
ˆ k ˆ (t)(w(t) wˆ (t) ,
(21)
ˆ (t) a( p) sin ˆ t . ( p)
(22)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
35
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...
Синтез наблюдателя состояния
Теперь, зная оценку возмущения (t) , построим наблюдатель переменных со-
стояния x(t) для объекта управления (1), (2). Для этого воспользуемся классическими
результатами по синтезу наблюдателей полной размерности, опубликованными, например, в [10]:
xˆ(t) Axˆ(t) bu(t) d (y) l(y(t) yˆ(t)) ,
(23)
yˆ(t) cTxˆ(t) ˆ(t) ,
(24)
где xˆ(t) Rn – оценка вектора x(t) , ˆ(t) R – оценка неизвестного возмущения, фор-
мируемая по правилу (15) (или по правилу (20)), yˆ(t) R – оценка переменной y(t) , а
вектор постоянных коэффициентов l рассчитывается таким образом, чтобы матрица
A A lcT была гурвицевой.
Введем в рассмотрение ошибку оценки состояния x xˆ . Тогда, вычитая (23) из
(1) с учетом (2) и (24), получаем модель ошибки оценки состояния:
A l( (t) ˆ (t)) .
Из последнего выражения с учетом гурвицевости матрицы A и равенства (19) следует выполнение целевого условия (5).
Пример
Для иллюстрации предложенной схемы синтеза наблюдателя для нелинейного объекта вида (1), (2) рассмотрим пример. Рассмотрим нелинейный объект вида
x1 x2 ,
x2 u y3,
y x1 , где входной сигнал u(t) 1. Для определенности будем считать, что неизвестное воз-
мущение имеет вид (t) 3sin 4t . Построим наблюдатель, используя выражения (6), (10), (14), (20)–(24):
w
y
20 p 100
p2
y 20 p 100
p2
1u 20 p 100
p2
1 y3, 20 p 100
1 ( p 1)2 w ,
ˆ 105 (w 2
ˆ ),
ˆ ˆ,
p2
p2 sin ˆ t , 20 p 100
wˆ ˆ ,
ˆ 103 (w wˆ ) , ˆ(t) ˆ sin ˆ t ,
xˆ1 xˆ2 20( y yˆ),
xˆ2 u y3 100( y yˆ), yˆ xˆ1 ˆ.
36 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров
Результаты компьютерного моделирования идентификации частоты ˆ , амплитуды ˆ и графики невязок x1 xˆ1 и x2 xˆ2 представлены на рис. 1–4 соответственно и демонстрируют асимптотически точную оценку частоты возмущения (рис. 1), амплитуды возмущения (рис. 2) и выполнение целевого условия (5) (рис. 3 и рис. 4).
t, c Рис. 1. Идентификация частоты ˆ
t, c Рис. 2. Идентификация амплитуды ˆ
Рис. 3. Невязка x1 xˆ1
t, c
Рис. 4. Невязка x2 xˆ2
t, c
Заключение
В статье предложен альтернативный к [6, 7] алгоритм синтеза наблюдателя (23), (24) для нелинейного объекта управления (1), (2). Представлены результаты компьютерного моделирования, иллюстрирующие работоспособность предлагаемого алгоритма.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 09-08-00139-а.
Литература
1. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. – СПб: Наука, 2003. – 282 с.
2. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. – 2004. – № 10. – С. 13–23.
3. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 2. Объекты с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. – 2004. – № 11. – С. 40–52.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
37
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...
4. Бобцов А.А., Кремлев А.С. Синтез наблюдателя в задаче компенсации конечномерного квазигармонического возмущения // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2005. – № 3. – С. 5–11.
5. Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. – 2008 – № 8. – С. 25–32.
6. Marino R., Santosuosso G. and Tomei R. Adaptive Stabilization of Linear Systems with
Outputs Affected by Unknown Sinusoidal Disturbances // Proceedings of the European Control Conference 2007 Kos, Greece, July 2–5, 2007. – P. 129–134.
7. Marino R. and Tomei R. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems With Unknown Order Exosystem // IEEE Transactions on Automatic Control. – 2007. – V. 52. – P. 2000–2005.
8. Aranovskiy S., Bobtsov A. Frequency Identification of Biased Harmonic Output Disturbance // 15th IFAC Symposium on System Identification, SYSID 2009 – Saint-Malo,
France, 2009. 9. Арановский С.В., Бобцов А.А., Кремлев А.С., Лукьянова Г.В. Робастный алгоритм
идентификации частоты синусоидального сигнала // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2007. – № 3. – С. 1–6. 10. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. – СПб: Наука, 1999. – 475 с.
Арановский Станислав Влади- – Санкт-Петербургский государственный университет информа-
мирович
ционных технологий, механики и оптики, кандидат техниче-
ских наук, ассистент, rhnd@mail.ru
Бобцов Алексей Алексеевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информа-
ционных технологий, механики и оптики, декан, доктор техни-
ческих наук, профессор, bobtsov@mail.ru
Никифоров Владимир Олегович – Санкт-Петербургский государственный университет информа-
ционных технологий, механики и оптики, проректор, доктор
технических наук, профессор, nikiforov@mail.ifmo.ru
38 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
3 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 62-50
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ, ПРИЛОЖЕННОГО К ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров
В статье предлагается новый наблюдатель переменных состояния нелинейного объекта управления в случае, когда измеряемый выходной сигнал объекта подвержен воздействию неизвестного гармонического возмущения. Ключевые слова: гармонические возмущения, наблюдатели, нелинейные системы.
Введение
Рассматривается задача синтеза асимптотического наблюдателя вектора переменных состояния для нелинейного объекта вида
x(t) Ax(t) bu(t) d (y) ,
(1)
y(t) cT x(t) (t) ,
(2)
где x Rn – неизмеряемый вектор переменных состояния; A , b , d и c – известные матрицы и векторы постоянных коэффициентов соответствующих размерностей;
(t) R – заранее неизвестное и недоступное прямым измерениям гармоническое воз-
мущение; u(t) R – сигнал управления; ( y) – известная гладкая функция; y(t) R –
измеряемый выход. Если матрица A гурвицева, то данная задача может быть достаточно просто ре-
шена посредством расчета в реальном масштабе времени модели объекта (1). При этом, в силу экспоненциального стремления к нулю свободной составляющей, модель будет генерировать оценку вектора переменных состояния, асимптотически сходящуюся к действительным значениям x(t) . В противном случае (т.е., если матрица A негурвице-
ва) данная схема является неработоспособной, а использование классических наблюдателей вектора состояния не позволит получить асимптотическую сходимость ошибки наблюдения в силу присутствия возмущения (t) .
Поставленная задача может быть решена с использованием методов адаптивного наблюдения [1–7]. Однако большинство известных работ посвящены случаю, когда гармоническое возмущение приведено ко входу системы [1–5], и их результаты не могут быть непосредственно распространены на рассматриваемый случай возмущения, действующего на выход системы. В работах [6, 7] рассмотрен случай возмущений в выходном сигнале, но для ограниченного класса линейных минимально фазовых объектов. Таким образом, построение адаптивного наблюдателя для нелинейного объекта (1)–(2) является новой и актуальной задачей.
Постановка задачи
Рассмотрим в общем случае не минимально фазовый нелинейный объект вида (1), (2). Для простоты ограничимся исследованием случая, когда возмущение (t) пред-
ставлено в виде гармонической функции
32 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров
(t) sin( t )
(3)
с неизвестными амплитудой , частотой и начальной фазой . Заметим, что расши-
рение предлагаемого подхода на случай возмущения, представленного суммой нескольких гармонических функций, не влечет принципиальных сложностей, но усложняет представление основного материала статьи.
Перепишем объект (1), (2) в форме модели вход–выход:
y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) (t) , a( p) a( p)
(4)
где p d / dt – оператор дифференцирования; a( p) pn an 1 pn 1 ... a1 p a0 ,
b( p) bm pm ... b1 p b0 и d( p) dr pr ... d1 p d0 – соответствующие полиномы, полученные в результате перехода от модели вход–состояние–выход к модели вход–
выход: b( p) cT ( pI A) 1b и d( p) cT ( pI A) 1d . a( p) a( p)
Будем считать выполненными следующие допущения относительно системы (1),
(2), (4). Допущение 1. Доступными для измерений являются только сигналы y(t) и u(t) .
Допущение 2. Пара A , b полностью управляема, и пара A , c полностью наблюдаема.
Допущение 3. Полином a( p) не имеет корней jω , где ω – частота возмущаю-
щего воздействия. Требуется построить асимптотический наблюдатель переменных состояния x(t)
объекта (1), (2) такой, что
lim x(t) xˆ(t) 0 ,
t
где xˆ(t) является оценкой вектора x(t) .
(5)
Синтез наблюдателя для объекта (1), (2) будем осуществлять в два этапа. Сначала решим задачу синтеза наблюдателя возмущающего воздействия (t) . Далее, исполь-
зуя информацию о (t) , построим оценку вектора x(t) .
Отметим, что для решения поставленной задачи можно использовать два подхода. Первый подход предусматривает рассмотрение расширенной системы, включающей в себя как сам объект управления, так и модель внешней среды. Используя полученную оценку частоты , могут быть рассчитаны коэффициенты классического наблюдателя
полной размерности для расширенной системы. К преимуществам данного подхода относится то, что для решения задачи достаточно провести идентификацию только частоты возмущения, но не его амплитуды и фазы. В то же время предложенный подход потребует проводить в реальном времени процедуру пересчета коэффициентов наблюдателя, что повышает сложность метода и затрудняет его практическую реализацию.
Вторым возможным подходом является построение наблюдателя возмущения на основе идентификации всех его параметров, и использование полученной оценки возмущения для вычисления выхода объекта с последующим построением наблюдателя переменных состояния. Данный метод отличается меньшей вычислительной сложностью, и в дальнейшем именно он будет рассмотрен в работе.
Синтез наблюдателя возмущающего воздействия
Итак, проведем синтез наблюдателя возмущающего воздействия (t) sin( t ) , для чего потребуется идентификация параметров , и . По-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
33
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...
строим сначала идентификатор параметра . Воспользуемся для этого результатами работы [8].
Рассмотрим произвольный гурвицев полином ( p) степени n . Тогда уравнение
(4) можно переписать в виде
y(t) a1( p) y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) a( p) (t) ,
( p) ( p) ( p)
( p)
где a1( p) ( p) a( p) . Сформируем вспомогательный сигнал:
(5)
w(t) y(t) a1( p) y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) . ( p) ( p) ( p)
С учетом уравнения (5) получаем
(6)
w(t) y(t) a1( p) y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) a( p) (t)
( p) ( p) ( p)
( p)
a( p) sin( t ) a( p) sin( t ) . ( p) ( p)
(7)
Из (7) следует, что сигнал w(t) , в силу гурвицевости полинома ( p) и отсутствия
у полинома a( p) корней jω , является гармонической функцией с частотой . По-
этому сигнал w(t) может рассматриваться в качестве выхода динамической модели
вида
d 2w(t) dt 2
ω2w(t) θ w(t) ,
(8)
где θ ω2 – постоянный параметр. Следуя результатам леммы 1 из работы [9], сигнал
w(t) можно записать в форме
w(t) 2 (t) (t) (t) y (t) ,
(9)
где εy (t) – экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми
начальными условиями, а функция (t) формируется следующим образом
(t)
(
p
1 1)2
w(t) .
(10)
Как и в [9], для синтеза идентификатора неизвестного параметра θ введем новую
переменную – измеряемый сигнал вида
z(t) (t) w(t) 2 (t) (t).
Можно показать, что в силу уравнений (9) и (10) справедливо равенство z(t) θ (t) .
Тогда оценку zˆ(t) сигнала z(t) целесообразно сформировать в виде
(11)
zˆ(t) θˆ(t) ς(t) ,
(12)
где θˆ(t) – настраиваемый параметр (оценка параметра θ ).
Утверждение 1 [9]. Пусть параметр θˆ(t) настраивается следующим образом:
θˆ(t) kς(t)(z(t) zˆ(t)) ,
(13)
где k 0 – коэффициент адаптации, сигналы (t) , z(t) и zˆ(t) формируются в соот-
ветствии с выражениями (10), (11) и (12), соответственно (при этом сигнал w(t)
формируется по правилу (6)). Тогда lim θˆ(t) θ 0 .
t
34 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров
С учетом утверждения 1 частоту гармонического возмущения будем рассчитывать
следующим образом:
ωˆ (t) θˆ(t) .
(14)
Для построения оценки возмущения (t) заменим задачи идентификации амплитуды и фазы сигнала более простой задачей идентификации двух амплитуд. Дей-
ствительно, для гармонического сигнала w(t) имеем:
a( p) a( p)
w(t)
sin( t ( p)
)
( p) 1 sin t
2 cos t
1 1(t) 2 2 (t) ,
где возмущение (t) sin( t ) представлено в виде суммы двух гармонических
сигналов разной амплитуды, но с нулевой начальной фазой:
(t) 1 sin t 2 cos t , а физически реализуемые сигналы 1(t) и 2 (t) формируется по правилу
1(t)
a( p) sin t , ( p)
2 (t)
a( p) cos t . ( p)
Тогда оценку возмущения (t) будем формировать в виде
ˆ (t )
ˆ 1
sin
ˆ
t
ˆ 2 cos ˆ t ,
где
ˆ 1
и
ˆ 2
– настраиваемые параметры (оценки параметров
1и
Можно показать справедливость следующего утверждения.
2 ).
(15)
Утверждение 2. Пусть параметры
ˆ 1
и
ˆ 2
настраиваются следующим образом:
ˆ1(t) k ˆ 1(t) w(t) ˆ1(t) ˆ 1(t) ˆ 2(t) ˆ 2(t) ,
(16)
ˆ 2 (t) k ˆ 2(t) w(t) ˆ1(t) ˆ 1(t) ˆ 2(t) ˆ 2(t) ,
(17)
где k – коэффициент адаптации, сигнал w(t) определяется выражением (6), а сигна-
лы ˆ 1(t) и ˆ 2 (t) формируются по правилу
ˆ 1(t)
a( p) ( p)
sin
ˆ
t
,
ˆ
2 (t)
a( p) cos ˆ t ( p)
с использованием оценки частоты гармонического возмущения (13), (14). Тогда
lim (t) ˆ (t) 0 .
(18) (19)
Таким образом, адаптивный наблюдатель возмущения, содержащий блоки форми-
рования вспомогательных сигналов w(t) , (t) и z(t) , (6), (10) и (11) соответственно,
настраиваемые модели (12) и (15), а также алгоритмы настройки (13), (16) и (17), обес-
печивает для объекта (1), (2) асимптотическую идентификацию заранее неизвестного
возмущения (3). В частном случае, когда возмущение (3) имеет нулевую начальную фа-
зу (т.е. 0 ), схема его идентификации может быть существенно упрощена. А именно,
вместо оценки (15) и двух алгоритмов настройки (16) и (17) можно использовать оцен-
ку вида
ˆ(t) ˆ sin ˆ t ,
(20)
где параметр ˆ настраивается по правилу
ˆ k ˆ (t)(w(t) wˆ (t) ,
(21)
ˆ (t) a( p) sin ˆ t . ( p)
(22)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
35
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...
Синтез наблюдателя состояния
Теперь, зная оценку возмущения (t) , построим наблюдатель переменных со-
стояния x(t) для объекта управления (1), (2). Для этого воспользуемся классическими
результатами по синтезу наблюдателей полной размерности, опубликованными, например, в [10]:
xˆ(t) Axˆ(t) bu(t) d (y) l(y(t) yˆ(t)) ,
(23)
yˆ(t) cTxˆ(t) ˆ(t) ,
(24)
где xˆ(t) Rn – оценка вектора x(t) , ˆ(t) R – оценка неизвестного возмущения, фор-
мируемая по правилу (15) (или по правилу (20)), yˆ(t) R – оценка переменной y(t) , а
вектор постоянных коэффициентов l рассчитывается таким образом, чтобы матрица
A A lcT была гурвицевой.
Введем в рассмотрение ошибку оценки состояния x xˆ . Тогда, вычитая (23) из
(1) с учетом (2) и (24), получаем модель ошибки оценки состояния:
A l( (t) ˆ (t)) .
Из последнего выражения с учетом гурвицевости матрицы A и равенства (19) следует выполнение целевого условия (5).
Пример
Для иллюстрации предложенной схемы синтеза наблюдателя для нелинейного объекта вида (1), (2) рассмотрим пример. Рассмотрим нелинейный объект вида
x1 x2 ,
x2 u y3,
y x1 , где входной сигнал u(t) 1. Для определенности будем считать, что неизвестное воз-
мущение имеет вид (t) 3sin 4t . Построим наблюдатель, используя выражения (6), (10), (14), (20)–(24):
w
y
20 p 100
p2
y 20 p 100
p2
1u 20 p 100
p2
1 y3, 20 p 100
1 ( p 1)2 w ,
ˆ 105 (w 2
ˆ ),
ˆ ˆ,
p2
p2 sin ˆ t , 20 p 100
wˆ ˆ ,
ˆ 103 (w wˆ ) , ˆ(t) ˆ sin ˆ t ,
xˆ1 xˆ2 20( y yˆ),
xˆ2 u y3 100( y yˆ), yˆ xˆ1 ˆ.
36 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров
Результаты компьютерного моделирования идентификации частоты ˆ , амплитуды ˆ и графики невязок x1 xˆ1 и x2 xˆ2 представлены на рис. 1–4 соответственно и демонстрируют асимптотически точную оценку частоты возмущения (рис. 1), амплитуды возмущения (рис. 2) и выполнение целевого условия (5) (рис. 3 и рис. 4).
t, c Рис. 1. Идентификация частоты ˆ
t, c Рис. 2. Идентификация амплитуды ˆ
Рис. 3. Невязка x1 xˆ1
t, c
Рис. 4. Невязка x2 xˆ2
t, c
Заключение
В статье предложен альтернативный к [6, 7] алгоритм синтеза наблюдателя (23), (24) для нелинейного объекта управления (1), (2). Представлены результаты компьютерного моделирования, иллюстрирующие работоспособность предлагаемого алгоритма.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 09-08-00139-а.
Литература
1. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. – СПб: Наука, 2003. – 282 с.
2. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. – 2004. – № 10. – С. 13–23.
3. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 2. Объекты с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. – 2004. – № 11. – С. 40–52.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
37
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...
4. Бобцов А.А., Кремлев А.С. Синтез наблюдателя в задаче компенсации конечномерного квазигармонического возмущения // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2005. – № 3. – С. 5–11.
5. Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. – 2008 – № 8. – С. 25–32.
6. Marino R., Santosuosso G. and Tomei R. Adaptive Stabilization of Linear Systems with
Outputs Affected by Unknown Sinusoidal Disturbances // Proceedings of the European Control Conference 2007 Kos, Greece, July 2–5, 2007. – P. 129–134.
7. Marino R. and Tomei R. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems With Unknown Order Exosystem // IEEE Transactions on Automatic Control. – 2007. – V. 52. – P. 2000–2005.
8. Aranovskiy S., Bobtsov A. Frequency Identification of Biased Harmonic Output Disturbance // 15th IFAC Symposium on System Identification, SYSID 2009 – Saint-Malo,
France, 2009. 9. Арановский С.В., Бобцов А.А., Кремлев А.С., Лукьянова Г.В. Робастный алгоритм
идентификации частоты синусоидального сигнала // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2007. – № 3. – С. 1–6. 10. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. – СПб: Наука, 1999. – 475 с.
Арановский Станислав Влади- – Санкт-Петербургский государственный университет информа-
мирович
ционных технологий, механики и оптики, кандидат техниче-
ских наук, ассистент, rhnd@mail.ru
Бобцов Алексей Алексеевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информа-
ционных технологий, механики и оптики, декан, доктор техни-
ческих наук, профессор, bobtsov@mail.ru
Никифоров Владимир Олегович – Санкт-Петербургский государственный университет информа-
ционных технологий, механики и оптики, проректор, доктор
технических наук, профессор, nikiforov@mail.ifmo.ru
38 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)