Например, Бобцов

СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ, ПРИЛОЖЕННОГО К ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...

3 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 62-50
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ, ПРИЛОЖЕННОГО К ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров

В статье предлагается новый наблюдатель переменных состояния нелинейного объекта управления в случае, когда измеряемый выходной сигнал объекта подвержен воздействию неизвестного гармонического возмущения. Ключевые слова: гармонические возмущения, наблюдатели, нелинейные системы.

Введение

Рассматривается задача синтеза асимптотического наблюдателя вектора переменных состояния для нелинейного объекта вида

x(t) Ax(t) bu(t) d (y) ,

(1)

y(t) cT x(t) (t) ,

(2)

где x Rn – неизмеряемый вектор переменных состояния; A , b , d и c – известные матрицы и векторы постоянных коэффициентов соответствующих размерностей;
(t) R – заранее неизвестное и недоступное прямым измерениям гармоническое воз-

мущение; u(t) R – сигнал управления; ( y) – известная гладкая функция; y(t) R –

измеряемый выход. Если матрица A гурвицева, то данная задача может быть достаточно просто ре-
шена посредством расчета в реальном масштабе времени модели объекта (1). При этом, в силу экспоненциального стремления к нулю свободной составляющей, модель будет генерировать оценку вектора переменных состояния, асимптотически сходящуюся к действительным значениям x(t) . В противном случае (т.е., если матрица A негурвице-
ва) данная схема является неработоспособной, а использование классических наблюдателей вектора состояния не позволит получить асимптотическую сходимость ошибки наблюдения в силу присутствия возмущения (t) .

Поставленная задача может быть решена с использованием методов адаптивного наблюдения [1–7]. Однако большинство известных работ посвящены случаю, когда гармоническое возмущение приведено ко входу системы [1–5], и их результаты не могут быть непосредственно распространены на рассматриваемый случай возмущения, действующего на выход системы. В работах [6, 7] рассмотрен случай возмущений в выходном сигнале, но для ограниченного класса линейных минимально фазовых объектов. Таким образом, построение адаптивного наблюдателя для нелинейного объекта (1)–(2) является новой и актуальной задачей.

Постановка задачи

Рассмотрим в общем случае не минимально фазовый нелинейный объект вида (1), (2). Для простоты ограничимся исследованием случая, когда возмущение (t) пред-
ставлено в виде гармонической функции

32 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)

С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров

(t) sin( t )

(3)

с неизвестными амплитудой , частотой и начальной фазой . Заметим, что расши-

рение предлагаемого подхода на случай возмущения, представленного суммой нескольких гармонических функций, не влечет принципиальных сложностей, но усложняет представление основного материала статьи.
Перепишем объект (1), (2) в форме модели вход–выход:

y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) (t) , a( p) a( p)

(4)

где p d / dt – оператор дифференцирования; a( p) pn an 1 pn 1 ... a1 p a0 ,
b( p) bm pm ... b1 p b0 и d( p) dr pr ... d1 p d0 – соответствующие полиномы, полученные в результате перехода от модели вход–состояние–выход к модели вход–

выход: b( p) cT ( pI A) 1b и d( p) cT ( pI A) 1d . a( p) a( p)
Будем считать выполненными следующие допущения относительно системы (1),

(2), (4). Допущение 1. Доступными для измерений являются только сигналы y(t) и u(t) .

Допущение 2. Пара A , b полностью управляема, и пара A , c полностью наблюдаема.
Допущение 3. Полином a( p) не имеет корней jω , где ω – частота возмущаю-

щего воздействия. Требуется построить асимптотический наблюдатель переменных состояния x(t)

объекта (1), (2) такой, что

lim x(t) xˆ(t) 0 ,
t
где xˆ(t) является оценкой вектора x(t) .

(5)

Синтез наблюдателя для объекта (1), (2) будем осуществлять в два этапа. Сначала решим задачу синтеза наблюдателя возмущающего воздействия (t) . Далее, исполь-

зуя информацию о (t) , построим оценку вектора x(t) .

Отметим, что для решения поставленной задачи можно использовать два подхода. Первый подход предусматривает рассмотрение расширенной системы, включающей в себя как сам объект управления, так и модель внешней среды. Используя полученную оценку частоты , могут быть рассчитаны коэффициенты классического наблюдателя
полной размерности для расширенной системы. К преимуществам данного подхода относится то, что для решения задачи достаточно провести идентификацию только частоты возмущения, но не его амплитуды и фазы. В то же время предложенный подход потребует проводить в реальном времени процедуру пересчета коэффициентов наблюдателя, что повышает сложность метода и затрудняет его практическую реализацию.
Вторым возможным подходом является построение наблюдателя возмущения на основе идентификации всех его параметров, и использование полученной оценки возмущения для вычисления выхода объекта с последующим построением наблюдателя переменных состояния. Данный метод отличается меньшей вычислительной сложностью, и в дальнейшем именно он будет рассмотрен в работе.

Синтез наблюдателя возмущающего воздействия

Итак, проведем синтез наблюдателя возмущающего воздействия (t) sin( t ) , для чего потребуется идентификация параметров , и . По-

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)

33

СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...

строим сначала идентификатор параметра . Воспользуемся для этого результатами работы [8].
Рассмотрим произвольный гурвицев полином ( p) степени n . Тогда уравнение
(4) можно переписать в виде

y(t) a1( p) y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) a( p) (t) ,

( p) ( p) ( p)

( p)

где a1( p) ( p) a( p) . Сформируем вспомогательный сигнал:

(5)

w(t) y(t) a1( p) y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) . ( p) ( p) ( p)
С учетом уравнения (5) получаем

(6)

w(t) y(t) a1( p) y(t) b( p) u(t) d( p) ( y) a( p) (t)

( p) ( p) ( p)

( p)

a( p) sin( t ) a( p) sin( t ) . ( p) ( p)

(7)

Из (7) следует, что сигнал w(t) , в силу гурвицевости полинома ( p) и отсутствия

у полинома a( p) корней jω , является гармонической функцией с частотой . По-

этому сигнал w(t) может рассматриваться в качестве выхода динамической модели

вида

d 2w(t) dt 2

ω2w(t) θ w(t) ,

(8)

где θ ω2 – постоянный параметр. Следуя результатам леммы 1 из работы [9], сигнал

w(t) можно записать в форме

w(t) 2 (t) (t) (t) y (t) ,

(9)

где εy (t) – экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми

начальными условиями, а функция (t) формируется следующим образом

(t)

(

p

1 1)2

w(t) .

(10)

Как и в [9], для синтеза идентификатора неизвестного параметра θ введем новую

переменную – измеряемый сигнал вида

z(t) (t) w(t) 2 (t) (t).
Можно показать, что в силу уравнений (9) и (10) справедливо равенство z(t) θ (t) .
Тогда оценку zˆ(t) сигнала z(t) целесообразно сформировать в виде

(11)

zˆ(t) θˆ(t) ς(t) ,

(12)

где θˆ(t) – настраиваемый параметр (оценка параметра θ ).

Утверждение 1 [9]. Пусть параметр θˆ(t) настраивается следующим образом:

θˆ(t) kς(t)(z(t) zˆ(t)) ,

(13)

где k 0 – коэффициент адаптации, сигналы (t) , z(t) и zˆ(t) формируются в соот-
ветствии с выражениями (10), (11) и (12), соответственно (при этом сигнал w(t)
формируется по правилу (6)). Тогда lim θˆ(t) θ 0 .
t

34 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)

С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров

С учетом утверждения 1 частоту гармонического возмущения будем рассчитывать

следующим образом:

ωˆ (t) θˆ(t) .

(14)

Для построения оценки возмущения (t) заменим задачи идентификации амплитуды и фазы сигнала более простой задачей идентификации двух амплитуд. Дей-

ствительно, для гармонического сигнала w(t) имеем:

a( p) a( p)

w(t)

sin( t ( p)

)

( p) 1 sin t

2 cos t

1 1(t) 2 2 (t) ,

где возмущение (t) sin( t ) представлено в виде суммы двух гармонических

сигналов разной амплитуды, но с нулевой начальной фазой:

(t) 1 sin t 2 cos t , а физически реализуемые сигналы 1(t) и 2 (t) формируется по правилу

1(t)

a( p) sin t , ( p)

2 (t)

a( p) cos t . ( p)

Тогда оценку возмущения (t) будем формировать в виде

ˆ (t )

ˆ 1

sin

ˆ

t

ˆ 2 cos ˆ t ,

где

ˆ 1

и

ˆ 2

– настраиваемые параметры (оценки параметров



Можно показать справедливость следующего утверждения.

2 ).

(15)

Утверждение 2. Пусть параметры

ˆ 1

и

ˆ 2

настраиваются следующим образом:

ˆ1(t) k ˆ 1(t) w(t) ˆ1(t) ˆ 1(t) ˆ 2(t) ˆ 2(t) ,

(16)

ˆ 2 (t) k ˆ 2(t) w(t) ˆ1(t) ˆ 1(t) ˆ 2(t) ˆ 2(t) ,

(17)

где k – коэффициент адаптации, сигнал w(t) определяется выражением (6), а сигна-

лы ˆ 1(t) и ˆ 2 (t) формируются по правилу

ˆ 1(t)

a( p) ( p)

sin

ˆ

t

,

ˆ

2 (t)

a( p) cos ˆ t ( p)

с использованием оценки частоты гармонического возмущения (13), (14). Тогда

lim (t) ˆ (t) 0 .

(18) (19)

Таким образом, адаптивный наблюдатель возмущения, содержащий блоки форми-

рования вспомогательных сигналов w(t) , (t) и z(t) , (6), (10) и (11) соответственно,

настраиваемые модели (12) и (15), а также алгоритмы настройки (13), (16) и (17), обес-

печивает для объекта (1), (2) асимптотическую идентификацию заранее неизвестного

возмущения (3). В частном случае, когда возмущение (3) имеет нулевую начальную фа-

зу (т.е. 0 ), схема его идентификации может быть существенно упрощена. А именно,

вместо оценки (15) и двух алгоритмов настройки (16) и (17) можно использовать оцен-

ку вида

ˆ(t) ˆ sin ˆ t ,

(20)

где параметр ˆ настраивается по правилу

ˆ k ˆ (t)(w(t) wˆ (t) ,

(21)

ˆ (t) a( p) sin ˆ t . ( p)

(22)

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)

35

СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...

Синтез наблюдателя состояния

Теперь, зная оценку возмущения (t) , построим наблюдатель переменных со-
стояния x(t) для объекта управления (1), (2). Для этого воспользуемся классическими
результатами по синтезу наблюдателей полной размерности, опубликованными, например, в [10]:

xˆ(t) Axˆ(t) bu(t) d (y) l(y(t) yˆ(t)) ,

(23)

yˆ(t) cTxˆ(t) ˆ(t) ,

(24)

где xˆ(t) Rn – оценка вектора x(t) , ˆ(t) R – оценка неизвестного возмущения, фор-

мируемая по правилу (15) (или по правилу (20)), yˆ(t) R – оценка переменной y(t) , а

вектор постоянных коэффициентов l рассчитывается таким образом, чтобы матрица

A A lcT была гурвицевой.

Введем в рассмотрение ошибку оценки состояния x xˆ . Тогда, вычитая (23) из

(1) с учетом (2) и (24), получаем модель ошибки оценки состояния:

A l( (t) ˆ (t)) .

Из последнего выражения с учетом гурвицевости матрицы A и равенства (19) следует выполнение целевого условия (5).

Пример

Для иллюстрации предложенной схемы синтеза наблюдателя для нелинейного объекта вида (1), (2) рассмотрим пример. Рассмотрим нелинейный объект вида

x1 x2 ,

x2 u y3,

y x1 , где входной сигнал u(t) 1. Для определенности будем считать, что неизвестное воз-
мущение имеет вид (t) 3sin 4t . Построим наблюдатель, используя выражения (6), (10), (14), (20)–(24):

w

y

20 p 100

p2

y 20 p 100

p2

1u 20 p 100

p2

1 y3, 20 p 100

1 ( p 1)2 w ,

ˆ 105 (w 2

ˆ ),

ˆ ˆ,

p2

p2 sin ˆ t , 20 p 100

wˆ ˆ ,

ˆ 103 (w wˆ ) , ˆ(t) ˆ sin ˆ t ,

xˆ1 xˆ2 20( y yˆ),

xˆ2 u y3 100( y yˆ), yˆ xˆ1 ˆ.

36 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)

С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров
Результаты компьютерного моделирования идентификации частоты ˆ , амплитуды ˆ и графики невязок x1 xˆ1 и x2 xˆ2 представлены на рис. 1–4 соответственно и демонстрируют асимптотически точную оценку частоты возмущения (рис. 1), амплитуды возмущения (рис. 2) и выполнение целевого условия (5) (рис. 3 и рис. 4).

t, c Рис. 1. Идентификация частоты ˆ

t, c Рис. 2. Идентификация амплитуды ˆ

Рис. 3. Невязка x1 xˆ1

t, c

Рис. 4. Невязка x2 xˆ2

t, c

Заключение

В статье предложен альтернативный к [6, 7] алгоритм синтеза наблюдателя (23), (24) для нелинейного объекта управления (1), (2). Представлены результаты компьютерного моделирования, иллюстрирующие работоспособность предлагаемого алгоритма.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 09-08-00139-а.

Литература

1. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. – СПб: Наука, 2003. – 282 с.
2. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. – 2004. – № 10. – С. 13–23.
3. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 2. Объекты с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. – 2004. – № 11. – С. 40–52.

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)

37

СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ...

4. Бобцов А.А., Кремлев А.С. Синтез наблюдателя в задаче компенсации конечномерного квазигармонического возмущения // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2005. – № 3. – С. 5–11.
5. Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. – 2008 – № 8. – С. 25–32.
6. Marino R., Santosuosso G. and Tomei R. Adaptive Stabilization of Linear Systems with
Outputs Affected by Unknown Sinusoidal Disturbances // Proceedings of the European Control Conference 2007 Kos, Greece, July 2–5, 2007. – P. 129–134.
7. Marino R. and Tomei R. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems With Unknown Order Exosystem // IEEE Transactions on Automatic Control. – 2007. – V. 52. – P. 2000–2005.
8. Aranovskiy S., Bobtsov A. Frequency Identification of Biased Harmonic Output Disturbance // 15th IFAC Symposium on System Identification, SYSID 2009 – Saint-Malo,
France, 2009. 9. Арановский С.В., Бобцов А.А., Кремлев А.С., Лукьянова Г.В. Робастный алгоритм
идентификации частоты синусоидального сигнала // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2007. – № 3. – С. 1–6. 10. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. – СПб: Наука, 1999. – 475 с.

Арановский Станислав Влади- – Санкт-Петербургский государственный университет информа-

мирович

ционных технологий, механики и оптики, кандидат техниче-

ских наук, ассистент, rhnd@mail.ru

Бобцов Алексей Алексеевич

– Санкт-Петербургский государственный университет информа-

ционных технологий, механики и оптики, декан, доктор техни-

ческих наук, профессор, bobtsov@mail.ru

Никифоров Владимир Олегович – Санкт-Петербургский государственный университет информа-

ционных технологий, механики и оптики, проректор, доктор

технических наук, профессор, nikiforov@mail.ifmo.ru

38 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)