МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВЯЗИ ИЗОХРОННЫХ ВАРИАЦИЙ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ВОЗМУЩЕНИЯМИ ПАРАМЕТРОВ ЕЕ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.271
В. Н. АРСЕНЬЕВ, А. Г. КОХАНОВСКИЙ, А. С. ФАДЕЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВЯЗИ ИЗОХРОННЫХ ВАРИАЦИЙ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
С ВОЗМУЩЕНИЯМИ ПАРАМЕТРОВ ЕЕ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ
Рассматривается задача построения линейной модели связи вариаций переменных состояния системы управления с отклонениями параметров ее составных частей от номинальных значений. Предложен подход к определению параметров модели, позволяющий повысить ее точность.
Ключевые слова: система управления, переменные состояния, модель, параметры, точность.
Введение. В практике создания летательных аппаратов (ЛА) достаточно часто возникает
задача согласования характеристик разброса параметров системы управления с требования-
ми, предъявляемыми к точности ее функционирования [1]. Качество решения этой задачи за-
висит от точности модели, связывающей случайные параметры системы с переменными, ха-
рактеризующими состояние ЛА в заданные моменты времени. К модели предъявляются два
противоречивых требования: с одной стороны, она должна быть простой, а с другой — одно-
значно описывать связь характеристик разброса параметров с характеристиками точности
системы управления. Построить такую модель можно на основе исходной модели, представ-
ляющей собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих возму-
щенное движение системы. При этом показатель близости исходной и упрощенной моделей
должен иметь вероятностный характер в силу случайной природы причин, вызывающих раз-
брос переменных состояния системы в характерные моменты времени [2].
Постановка задачи. Достаточно в общем виде поведение системы управления может
быть описано векторным нелинейным дифференциальным уравнением [3]
dXˆ dt
= F(Xˆ , U, λˆ ,t ),
X(t0 ) = X0 ,
(1)
где знаком „^“ отмечены величины, являющиеся случайными; Xˆ (t) = Xн (t) + ∆Xˆ (t) ∈ Rn — век-
тор переменных состояния (в частном случае — фазовых координат) системы управления в мо-
мент времени t, здесь Xн (t) — его номинальное значение, ∆Xˆ (t) — вектор случайных отклоне-
ний (вариаций) переменных состояния системы относительно номинального значения Xн (t) ;
U ∈ Rq — вектор-функция программ управления; λˆ = λн + ∆λˆ ∈ Rm — вектор случайных пара-
метров системы, не зависящий от времени, здесь λн — его номинальное значение, ∆λˆ — вектор не-
зависимых случайных возмущений (отклонений параметров системы от номинальных значений),
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
26 В. Н. Арсеньев, А. Г. Кохановский, А. С. Фадеев
оказывающих влияние на движение ЛА; X(t0 ) = X0 — вектор переменных состояния системы в
начальный момент времени; t ∈(t0,tk ) — время функционирования системы.
Закон распределения φ∆λˆ (∆λ) вектора ∆λˆ полагается известным, причем его математическое
{ }ожидание М∆λˆ = 0 , а ковариационная матрица K∆λˆ = diag D∆λˆ1 , D∆λˆ 2 ,..., D∆λˆm , где
D∆λˆi , i ∈1, m , — дисперсии компонент вектора ∆λˆ , характеризующие разброс параметров системы управления относительно номинальных значений m ≥ n , где n — размерность вектора Xˆ (t) .
Пусть в заданный момент времени tk вектор ∆Xˆ (tk ) распределен по нормальному зако-
ну с математическим ожиданием M∆Xˆ = 0 и ковариационной матрицей K∆Xˆ . Матрица K∆Xˆ
характеризует разброс переменных состояния системы в момент tk и рассматривается как ее
точностная характеристика [4].
В качестве модели, связывающей отклонения параметров системы с вариациями ее со-
стояния, предлагается использовать линейную зависимость
∆Xˆ м = A∆λˆ ,
(2)
где A — n×m-матрица коэффициентов, подлежащая определению.
Такой выбор модели обусловлен тем, что во многих практических задачах случайные
отклонения параметров системы невелики, а зависимости вариаций переменных состояния
системы от этих отклонений являются гладкими функциями.
Матрица коэффициентов модели (2) может быть определена по-разному. При этом осо-
бое значение имеет требование о близости оценок точности системы управления, получаемых
на основе моделей (1) и (2) при одних и тех же характеристиках разброса параметров. Фор-
мально это требование имеет вид K∆Xˆ = K∆Xˆ м или, с учетом выражения (2),
K∆Xˆ = AK∆λˆ AT .
(3)
Определение матрицы коэффициентов линейной модели. В некоторых случаях в ка-
честве матрицы A может использоваться матрица чувствительности H , элементами которой
являются частные производные
Ηij
=
∂∆Xi (tk ∂∆λ j
)
∆λ =0
,
i ∈1, n,
j ∈1, m
[1], и тогда модель при-
нимает вид ∆Xˆ н = H∆λˆ .
Такой выбор матрицы коэффициентов модели (2) отражает физическую зависимость век-
тора ∆Xˆ (tk ) от вектора ∆λˆ , но при этом иногда не учитывается вероятностный характер связи
между ними и не обеспечивается выполнение условия (3). Поэтому предлагается матрицу А оп-
ределять исходя из условия ее близости к матрице Н при строгом выполнении уравнения (3).
Тогда задача определения параметров модели (2) состоит в нахождении такой матрицы
А, которая обеспечивает минимум функционала
{ }tr (A − H)K∆λˆ (A − H)T
(4)
при условии (3).
Для ее решения используется метод неопределенных множителей Лагранжа. Миними-
зируемая функция имеет вид
{ ( )}Lн = tr (A − H)K∆λˆ (A − H)T + Λ K∆Xˆ − AK∆λˆ AT ,
(5)
где п×п-матрица Λ является симметричной и состоит из подлежащих определению множи-
телей Лагранжа.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Математическая модель связи параметров системы управления
27
Для вычисления частных производных от функции Lн по матрицам A и Λ и получе-
ния необходимых условий минимума правая часть выражения (5) представляется в виде
{ }Lн = tr AK∆λˆ AT − HK∆λˆ AT − AK∆λˆ HT + HK∆λˆ HT + ΛK∆Xˆ − ΛAK∆λˆ AT .
Тогда частные производные определяются выражениями
∂Lн ∂A
= 2AK ∆λˆ
− 2HK∆λˆ
− 2ΛAK ∆λˆ ;
∂Lн ∂Λ
= K∆Xˆ
− AK∆λˆ AT ,
а необходимые условия минимума
∂Lн ∂A
= 0;
∂Lн ∂Λ
=0
трансформируются в уравнения
AK∆λˆ − HK∆λˆ − ΛAK ∆λˆ = 0 ,
(6)
Из уравнения (6) следует
K∆Xˆ − AK∆λˆ AT = 0 .
(7)
A = (I − Λ)−1H ,
(8)
где I — единичная матрица.
Подстановка полученного выражения в уравнение (7) дает
K∆Xˆ − (I − Λ)−1 HK∆λˆ HT (I − Λ)−1 = 0 или
K∆Xˆ = (I − Λ)−1 HK ∆λˆ HT (I − Λ )−1.
(9)
Следует заметить, что матрица HK∆λˆ HT является положительно- (неотрицательно) оп-
ределенной и может быть представлена в виде
( )HK ∆λˆ HT = S∆λ D∆λ ST∆λ = S∆λ D1∆λ2ST∆λ 2 ,
(10)
где D∆λ — диагональная матрица, а S∆λ — ортогональная матрица, состоящие соответст-
венно из собственных значений и собственных векторов матрицы HK∆λˆ HT . В связи с этим формула (9) может быть представлена следующим образом:
( )K∆Xˆ = (I − Λ )−1 S∆λ D1∆λ2ST∆λ 2 (I − Λ)−1 .
Умножение обеих частей этого уравнения слева и справа на матрицу S∆λ D1∆λ2ST∆λ дает
( )S∆λ D1∆λ2ST∆λK ∆Xˆ S∆λD1∆λ2ST∆λ = S∆λD1∆λ2ST∆λ (I − Λ)−1 S∆λD1∆λ2ST∆λ 2 (I − Λ)−1 S∆λD1∆λ2ST∆λ
или
S∆λ D1∆λ2ST∆λK ∆Xˆ S∆λD1∆λ2ST∆λ = ⎣⎡S∆λD1∆λ2ST∆λ (I − Λ)−1 S∆λD1∆λ2ST∆λ ⎤⎦2 . Поскольку матрица, стоящая в левой части, является неотрицательно- (положительно)
определенной, то с помощью ортогонального преобразования она может быть приведена к
диагональной матрице:
( )S∆λ D1∆λ2ST∆λ K∆Xˆ S∆λ D1∆λ2ST∆λ = S∆X D∆XST∆X = S∆XD1∆X2 ST∆X 2 ,
(11)
где D∆X и S∆X — диагональная и ортогональная матрицы, состоящие соответственно из соб-
ственных значений и собственных векторов матрицы S∆λ D1∆λ2ST∆λ K∆Xˆ S∆λ D1∆λ2ST∆λ . Тогда имеет место уравнение
( )S∆XD1∆X2 ST∆X 2 = ⎣⎡S∆λD1∆λ2ST∆λ (I − Λ )−1 S∆λD1∆λ2ST∆λ ⎤⎦2 ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
28 В. Н. Арсеньев, А. Г. Кохановский, А. С. Фадеев
из которого следует
S∆XD1∆X2 ST∆X = S∆λD1∆λ2ST∆λ (I − Λ )−1 S∆λD1∆λ2ST∆λ
и
(I − Λ )−1 = S∆λ D−∆1λ 2ST∆λS∆XD1∆X2 ST∆XS∆λD−∆1λ 2ST∆λ .
Подстановка этих выражений в уравнение (8) дает формулу для вычисления матрицы
коэффициентов A :
A = S∆λ D∆−1λ 2ST∆λS∆XD1∆X2 ST∆XS∆λ D−∆1λ 2ST∆λ H .
(12)
Нетрудно проверить, что подстановка этой матрицы в уравнение (3) обращает его в то-
ждество.
Матрица коэффициентов (12) достаточно близка к матрице чувствительности H , но при
этом обеспечивает равенство ковариационных матриц векторов вариаций фазовых координат
моделей (1) и (2).
Пример. Рассмотрим свободное движение системы угловой стабилизации летательного
аппарата в одной плоскости. Решение линеаризованного дифференциального уравнения
Ψ′′ + c1Ψ′ + c2Ψ = 0, Ψ(0) = Ψ0 = 0,1; Ψ′(0) = 0; c1 = 2 c−1; c2 = 1, 25c−2 ,
описывающего угловое движение по углу рыскания Ψ(t) , имеет вид
Ψ(t) = A0eλ1t sin(λ2t + B0 ) ,
(13)
где λ1 = −1; λ2 = 0,5; A0 = − Ψ0
λ12 + λ22 λ2
= −0, 2236 ;
B0
⎛ = arcsin⎜
⎜ ⎝
−λ2
⎞ ⎟ = −0,4637.
λ12
+
λ22
⎟ ⎠
Примем, что под влиянием возмущающих факторов значения параметров λ1 и λ2 из-
меняются случайным образом относительно номинальных значений λ1н = −1 и λ2н = 0, 5 , т.е. λˆ1 = λ1н + ∆λˆ1 и λˆ 2 = λ2н + ∆λˆ 2 , причем случайные отклонения ∆λˆ1 и ∆λˆ 2 распределены
равномерно на интервалах [−a, a] и [−b, b] соответственно. Вследствие этих причин в любой
фиксированный момент времени t угол поворота летательного аппарата Ψˆ (t)=Ψн (t)+∆Ψˆ (t)
также будет изменяться по случайному закону, а номинальное движение аппарата будет описываться выражением (13). Математическое ожидание и второй начальный момент для Ψˆ (t)
определяются по формулам
∫ ∫M
⎡⎣Ψˆ (t)⎦⎤
=
M
⎡ ⎣⎢
A0eλˆ1t
sin(λˆ 2t
+
B0)⎦⎤⎥
=
A0
1 2a
a −a
e( λ1н +∆λ1 )t d ∆λ1
1 2b
b −b
sin(λ2нt
+
∆λ2t
+
B0 )d∆λ2
=
( )A0eλ1нt
=
eat − e−at
[cos(λ2нt − bt
4abt 2
+
B0
)
−
cos(λ2нt
+
bt
+
B0
)]
;
M
⎣⎡Ψˆ 2
(t)⎤⎦
=
M
⎡ ⎣⎢
A02e2λˆ1t
sin2
(λˆ 2t
+
B0
)⎦⎥⎤
=
( )A02e2λ1нt
=
e2at − e−2at
[4bt
−
sin(2λ2нt + 32abt
2bt
2
+
2
B0
)
+
sin(2λ2нt
−
2bt
+
2B0
)]
.
Дисперсия угла Ψˆ (t) (отклонения ∆Ψˆ (t) ) определяется в соответствии с выражением
D ⎡⎣Ψˆ (t)⎦⎤ = D ⎣⎡∆Ψˆ (t)⎦⎤ = M ⎣⎡Ψˆ 2 (t)⎦⎤ − M2 ⎣⎡Ψˆ (t)⎦⎤ .
(14)
Пусть tk = 10 c , a = 0,1⋅ λ1н = 0,1, b = 0,1⋅ λ2н = 0,05, тогда D(∆Ψˆ ) = 4,0405⋅10−11 рад2.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Математическая модель связи параметров системы управления
29
Модель, описывающая зависимость отклонения ∆Ψˆ от возмущений ∆λˆ1 и ∆λˆ 2 и по-
строенная на основе коэффициентов чувствительности, имеет вид ∆Ψˆ н = 9,9948⋅10−5 ∆λˆ1 +
( )+1, 7779 ⋅10−5 ∆λˆ 2 . Дисперсия D ∆Ψˆ н = 3,3562⋅10−11 рад2, а ее относительная погрешность со-
ставляет 17 %. Линеаризованная предложенным выше способом зависимость ∆Ψˆ от ∆λˆ1 и ∆λˆ 2 опре-
деляется следующим образом: ∆Ψˆ м = 1,0966 ⋅10−4∆λˆ1 + 1,9507 ⋅10−5∆λˆ 2 . При этом дисперсия
D(∆Ψˆ м ) совпадает с точным значением D (∆Ψˆ ) , что свидетельствует о существенно более
высокой точности разработанной модели по сравнению с моделью, построенной на основе коэффициентов чувствительности. Более того, она позволяет прогнозировать значения дис-
персии D (∆Ψˆ ) при изменении характеристик возмущений ∆λˆ1 и ∆λˆ 2 без проведения мно-
гократных испытаний модели (1). Пусть диапазоны изменения возмущений увеличились на 10 % по сравнению с приня-
тыми при построении моделей, т.е. a = 0,11⋅ λ1н = 0,11, b = 0,11⋅ λ2н = 0,055. В этом случае
точное значение дисперсии, найденное по формуле (14), D(∆Ψˆ ) = 5,0769⋅10−11 рад2. Получен-
( )ная выше линеаризованная модель дает оценку дисперсии D ∆Ψˆ м = 4,889⋅10−11 рад2, относи-
тельная погрешность которой менее 4 %. Для сравнения следует заметить, что относительная погрешность оценки дисперсии, полученной по модели, построенной на основе коэффициентов чувствительности, превышает 20 %.
Заключение. Предложенная модель связи вариаций фазовых координат системы управления ЛА с вектором отклонений ее параметров от расчетных значений однозначно отражает вероятностный характер этой зависимости. Разработанную модель целесообразно использовать при решении прямых задач, связанных с исследованием влияния характеристик разброса параметров системы управления на точность системы. Она оказывается весьма полезной и при решении обратных задач, когда по заданным требованиям к точности функционирования системы необходимо найти допустимые диапазоны изменений ее параметров.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Юсупов Р.М., Розенвассер Е. Н. Чувствительность систем управления М.: Наука, 1981. 464 с.
2. Арсеньев В. Н. Определение требований к характеристикам разброса параметров системы управления летательного аппарата // Изв. вузов. Приборостроение. 1996. Т. 39, № 8—9.
3. Росин М. Ф., Булыгин В. С. Статистическая динамика и теория эффективности систем управления М.: Машиностроение, 1981. 312 с.
4. Миронов В. И. Задача приведения вариаций фазовых координат динамических систем к заданным условиям испытаний // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1970. № 3.
Сведения об авторах
Владимир Николаевич Арсеньев — д-р техн. наук, профессор; Военно-космическая академия им. А. Ф. Мо-
жайского, кафедра автоматики и электроники, Санкт-Петербург;
E-mail: vladar56@mail.ru
Андрей Геннадьевич Кохановский — канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайско-
го, Санкт-Петербург; нач. отдела; E-mail: koxa.and.68@mail.ru
Александр Сергеевич Фадеев
— канд. техн. наук; Центр эксплуатации объектов наземной космической
инфраструктуры, Москва; генеральный директор
Рекомендована кафедрой автоматики и электроники
Поступила в редакцию 10.07.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
УДК 519.271
В. Н. АРСЕНЬЕВ, А. Г. КОХАНОВСКИЙ, А. С. ФАДЕЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВЯЗИ ИЗОХРОННЫХ ВАРИАЦИЙ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
С ВОЗМУЩЕНИЯМИ ПАРАМЕТРОВ ЕЕ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ
Рассматривается задача построения линейной модели связи вариаций переменных состояния системы управления с отклонениями параметров ее составных частей от номинальных значений. Предложен подход к определению параметров модели, позволяющий повысить ее точность.
Ключевые слова: система управления, переменные состояния, модель, параметры, точность.
Введение. В практике создания летательных аппаратов (ЛА) достаточно часто возникает
задача согласования характеристик разброса параметров системы управления с требования-
ми, предъявляемыми к точности ее функционирования [1]. Качество решения этой задачи за-
висит от точности модели, связывающей случайные параметры системы с переменными, ха-
рактеризующими состояние ЛА в заданные моменты времени. К модели предъявляются два
противоречивых требования: с одной стороны, она должна быть простой, а с другой — одно-
значно описывать связь характеристик разброса параметров с характеристиками точности
системы управления. Построить такую модель можно на основе исходной модели, представ-
ляющей собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих возму-
щенное движение системы. При этом показатель близости исходной и упрощенной моделей
должен иметь вероятностный характер в силу случайной природы причин, вызывающих раз-
брос переменных состояния системы в характерные моменты времени [2].
Постановка задачи. Достаточно в общем виде поведение системы управления может
быть описано векторным нелинейным дифференциальным уравнением [3]
dXˆ dt
= F(Xˆ , U, λˆ ,t ),
X(t0 ) = X0 ,
(1)
где знаком „^“ отмечены величины, являющиеся случайными; Xˆ (t) = Xн (t) + ∆Xˆ (t) ∈ Rn — век-
тор переменных состояния (в частном случае — фазовых координат) системы управления в мо-
мент времени t, здесь Xн (t) — его номинальное значение, ∆Xˆ (t) — вектор случайных отклоне-
ний (вариаций) переменных состояния системы относительно номинального значения Xн (t) ;
U ∈ Rq — вектор-функция программ управления; λˆ = λн + ∆λˆ ∈ Rm — вектор случайных пара-
метров системы, не зависящий от времени, здесь λн — его номинальное значение, ∆λˆ — вектор не-
зависимых случайных возмущений (отклонений параметров системы от номинальных значений),
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
26 В. Н. Арсеньев, А. Г. Кохановский, А. С. Фадеев
оказывающих влияние на движение ЛА; X(t0 ) = X0 — вектор переменных состояния системы в
начальный момент времени; t ∈(t0,tk ) — время функционирования системы.
Закон распределения φ∆λˆ (∆λ) вектора ∆λˆ полагается известным, причем его математическое
{ }ожидание М∆λˆ = 0 , а ковариационная матрица K∆λˆ = diag D∆λˆ1 , D∆λˆ 2 ,..., D∆λˆm , где
D∆λˆi , i ∈1, m , — дисперсии компонент вектора ∆λˆ , характеризующие разброс параметров системы управления относительно номинальных значений m ≥ n , где n — размерность вектора Xˆ (t) .
Пусть в заданный момент времени tk вектор ∆Xˆ (tk ) распределен по нормальному зако-
ну с математическим ожиданием M∆Xˆ = 0 и ковариационной матрицей K∆Xˆ . Матрица K∆Xˆ
характеризует разброс переменных состояния системы в момент tk и рассматривается как ее
точностная характеристика [4].
В качестве модели, связывающей отклонения параметров системы с вариациями ее со-
стояния, предлагается использовать линейную зависимость
∆Xˆ м = A∆λˆ ,
(2)
где A — n×m-матрица коэффициентов, подлежащая определению.
Такой выбор модели обусловлен тем, что во многих практических задачах случайные
отклонения параметров системы невелики, а зависимости вариаций переменных состояния
системы от этих отклонений являются гладкими функциями.
Матрица коэффициентов модели (2) может быть определена по-разному. При этом осо-
бое значение имеет требование о близости оценок точности системы управления, получаемых
на основе моделей (1) и (2) при одних и тех же характеристиках разброса параметров. Фор-
мально это требование имеет вид K∆Xˆ = K∆Xˆ м или, с учетом выражения (2),
K∆Xˆ = AK∆λˆ AT .
(3)
Определение матрицы коэффициентов линейной модели. В некоторых случаях в ка-
честве матрицы A может использоваться матрица чувствительности H , элементами которой
являются частные производные
Ηij
=
∂∆Xi (tk ∂∆λ j
)
∆λ =0
,
i ∈1, n,
j ∈1, m
[1], и тогда модель при-
нимает вид ∆Xˆ н = H∆λˆ .
Такой выбор матрицы коэффициентов модели (2) отражает физическую зависимость век-
тора ∆Xˆ (tk ) от вектора ∆λˆ , но при этом иногда не учитывается вероятностный характер связи
между ними и не обеспечивается выполнение условия (3). Поэтому предлагается матрицу А оп-
ределять исходя из условия ее близости к матрице Н при строгом выполнении уравнения (3).
Тогда задача определения параметров модели (2) состоит в нахождении такой матрицы
А, которая обеспечивает минимум функционала
{ }tr (A − H)K∆λˆ (A − H)T
(4)
при условии (3).
Для ее решения используется метод неопределенных множителей Лагранжа. Миними-
зируемая функция имеет вид
{ ( )}Lн = tr (A − H)K∆λˆ (A − H)T + Λ K∆Xˆ − AK∆λˆ AT ,
(5)
где п×п-матрица Λ является симметричной и состоит из подлежащих определению множи-
телей Лагранжа.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Математическая модель связи параметров системы управления
27
Для вычисления частных производных от функции Lн по матрицам A и Λ и получе-
ния необходимых условий минимума правая часть выражения (5) представляется в виде
{ }Lн = tr AK∆λˆ AT − HK∆λˆ AT − AK∆λˆ HT + HK∆λˆ HT + ΛK∆Xˆ − ΛAK∆λˆ AT .
Тогда частные производные определяются выражениями
∂Lн ∂A
= 2AK ∆λˆ
− 2HK∆λˆ
− 2ΛAK ∆λˆ ;
∂Lн ∂Λ
= K∆Xˆ
− AK∆λˆ AT ,
а необходимые условия минимума
∂Lн ∂A
= 0;
∂Lн ∂Λ
=0
трансформируются в уравнения
AK∆λˆ − HK∆λˆ − ΛAK ∆λˆ = 0 ,
(6)
Из уравнения (6) следует
K∆Xˆ − AK∆λˆ AT = 0 .
(7)
A = (I − Λ)−1H ,
(8)
где I — единичная матрица.
Подстановка полученного выражения в уравнение (7) дает
K∆Xˆ − (I − Λ)−1 HK∆λˆ HT (I − Λ)−1 = 0 или
K∆Xˆ = (I − Λ)−1 HK ∆λˆ HT (I − Λ )−1.
(9)
Следует заметить, что матрица HK∆λˆ HT является положительно- (неотрицательно) оп-
ределенной и может быть представлена в виде
( )HK ∆λˆ HT = S∆λ D∆λ ST∆λ = S∆λ D1∆λ2ST∆λ 2 ,
(10)
где D∆λ — диагональная матрица, а S∆λ — ортогональная матрица, состоящие соответст-
венно из собственных значений и собственных векторов матрицы HK∆λˆ HT . В связи с этим формула (9) может быть представлена следующим образом:
( )K∆Xˆ = (I − Λ )−1 S∆λ D1∆λ2ST∆λ 2 (I − Λ)−1 .
Умножение обеих частей этого уравнения слева и справа на матрицу S∆λ D1∆λ2ST∆λ дает
( )S∆λ D1∆λ2ST∆λK ∆Xˆ S∆λD1∆λ2ST∆λ = S∆λD1∆λ2ST∆λ (I − Λ)−1 S∆λD1∆λ2ST∆λ 2 (I − Λ)−1 S∆λD1∆λ2ST∆λ
или
S∆λ D1∆λ2ST∆λK ∆Xˆ S∆λD1∆λ2ST∆λ = ⎣⎡S∆λD1∆λ2ST∆λ (I − Λ)−1 S∆λD1∆λ2ST∆λ ⎤⎦2 . Поскольку матрица, стоящая в левой части, является неотрицательно- (положительно)
определенной, то с помощью ортогонального преобразования она может быть приведена к
диагональной матрице:
( )S∆λ D1∆λ2ST∆λ K∆Xˆ S∆λ D1∆λ2ST∆λ = S∆X D∆XST∆X = S∆XD1∆X2 ST∆X 2 ,
(11)
где D∆X и S∆X — диагональная и ортогональная матрицы, состоящие соответственно из соб-
ственных значений и собственных векторов матрицы S∆λ D1∆λ2ST∆λ K∆Xˆ S∆λ D1∆λ2ST∆λ . Тогда имеет место уравнение
( )S∆XD1∆X2 ST∆X 2 = ⎣⎡S∆λD1∆λ2ST∆λ (I − Λ )−1 S∆λD1∆λ2ST∆λ ⎤⎦2 ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
28 В. Н. Арсеньев, А. Г. Кохановский, А. С. Фадеев
из которого следует
S∆XD1∆X2 ST∆X = S∆λD1∆λ2ST∆λ (I − Λ )−1 S∆λD1∆λ2ST∆λ
и
(I − Λ )−1 = S∆λ D−∆1λ 2ST∆λS∆XD1∆X2 ST∆XS∆λD−∆1λ 2ST∆λ .
Подстановка этих выражений в уравнение (8) дает формулу для вычисления матрицы
коэффициентов A :
A = S∆λ D∆−1λ 2ST∆λS∆XD1∆X2 ST∆XS∆λ D−∆1λ 2ST∆λ H .
(12)
Нетрудно проверить, что подстановка этой матрицы в уравнение (3) обращает его в то-
ждество.
Матрица коэффициентов (12) достаточно близка к матрице чувствительности H , но при
этом обеспечивает равенство ковариационных матриц векторов вариаций фазовых координат
моделей (1) и (2).
Пример. Рассмотрим свободное движение системы угловой стабилизации летательного
аппарата в одной плоскости. Решение линеаризованного дифференциального уравнения
Ψ′′ + c1Ψ′ + c2Ψ = 0, Ψ(0) = Ψ0 = 0,1; Ψ′(0) = 0; c1 = 2 c−1; c2 = 1, 25c−2 ,
описывающего угловое движение по углу рыскания Ψ(t) , имеет вид
Ψ(t) = A0eλ1t sin(λ2t + B0 ) ,
(13)
где λ1 = −1; λ2 = 0,5; A0 = − Ψ0
λ12 + λ22 λ2
= −0, 2236 ;
B0
⎛ = arcsin⎜
⎜ ⎝
−λ2
⎞ ⎟ = −0,4637.
λ12
+
λ22
⎟ ⎠
Примем, что под влиянием возмущающих факторов значения параметров λ1 и λ2 из-
меняются случайным образом относительно номинальных значений λ1н = −1 и λ2н = 0, 5 , т.е. λˆ1 = λ1н + ∆λˆ1 и λˆ 2 = λ2н + ∆λˆ 2 , причем случайные отклонения ∆λˆ1 и ∆λˆ 2 распределены
равномерно на интервалах [−a, a] и [−b, b] соответственно. Вследствие этих причин в любой
фиксированный момент времени t угол поворота летательного аппарата Ψˆ (t)=Ψн (t)+∆Ψˆ (t)
также будет изменяться по случайному закону, а номинальное движение аппарата будет описываться выражением (13). Математическое ожидание и второй начальный момент для Ψˆ (t)
определяются по формулам
∫ ∫M
⎡⎣Ψˆ (t)⎦⎤
=
M
⎡ ⎣⎢
A0eλˆ1t
sin(λˆ 2t
+
B0)⎦⎤⎥
=
A0
1 2a
a −a
e( λ1н +∆λ1 )t d ∆λ1
1 2b
b −b
sin(λ2нt
+
∆λ2t
+
B0 )d∆λ2
=
( )A0eλ1нt
=
eat − e−at
[cos(λ2нt − bt
4abt 2
+
B0
)
−
cos(λ2нt
+
bt
+
B0
)]
;
M
⎣⎡Ψˆ 2
(t)⎤⎦
=
M
⎡ ⎣⎢
A02e2λˆ1t
sin2
(λˆ 2t
+
B0
)⎦⎥⎤
=
( )A02e2λ1нt
=
e2at − e−2at
[4bt
−
sin(2λ2нt + 32abt
2bt
2
+
2
B0
)
+
sin(2λ2нt
−
2bt
+
2B0
)]
.
Дисперсия угла Ψˆ (t) (отклонения ∆Ψˆ (t) ) определяется в соответствии с выражением
D ⎡⎣Ψˆ (t)⎦⎤ = D ⎣⎡∆Ψˆ (t)⎦⎤ = M ⎣⎡Ψˆ 2 (t)⎦⎤ − M2 ⎣⎡Ψˆ (t)⎦⎤ .
(14)
Пусть tk = 10 c , a = 0,1⋅ λ1н = 0,1, b = 0,1⋅ λ2н = 0,05, тогда D(∆Ψˆ ) = 4,0405⋅10−11 рад2.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Математическая модель связи параметров системы управления
29
Модель, описывающая зависимость отклонения ∆Ψˆ от возмущений ∆λˆ1 и ∆λˆ 2 и по-
строенная на основе коэффициентов чувствительности, имеет вид ∆Ψˆ н = 9,9948⋅10−5 ∆λˆ1 +
( )+1, 7779 ⋅10−5 ∆λˆ 2 . Дисперсия D ∆Ψˆ н = 3,3562⋅10−11 рад2, а ее относительная погрешность со-
ставляет 17 %. Линеаризованная предложенным выше способом зависимость ∆Ψˆ от ∆λˆ1 и ∆λˆ 2 опре-
деляется следующим образом: ∆Ψˆ м = 1,0966 ⋅10−4∆λˆ1 + 1,9507 ⋅10−5∆λˆ 2 . При этом дисперсия
D(∆Ψˆ м ) совпадает с точным значением D (∆Ψˆ ) , что свидетельствует о существенно более
высокой точности разработанной модели по сравнению с моделью, построенной на основе коэффициентов чувствительности. Более того, она позволяет прогнозировать значения дис-
персии D (∆Ψˆ ) при изменении характеристик возмущений ∆λˆ1 и ∆λˆ 2 без проведения мно-
гократных испытаний модели (1). Пусть диапазоны изменения возмущений увеличились на 10 % по сравнению с приня-
тыми при построении моделей, т.е. a = 0,11⋅ λ1н = 0,11, b = 0,11⋅ λ2н = 0,055. В этом случае
точное значение дисперсии, найденное по формуле (14), D(∆Ψˆ ) = 5,0769⋅10−11 рад2. Получен-
( )ная выше линеаризованная модель дает оценку дисперсии D ∆Ψˆ м = 4,889⋅10−11 рад2, относи-
тельная погрешность которой менее 4 %. Для сравнения следует заметить, что относительная погрешность оценки дисперсии, полученной по модели, построенной на основе коэффициентов чувствительности, превышает 20 %.
Заключение. Предложенная модель связи вариаций фазовых координат системы управления ЛА с вектором отклонений ее параметров от расчетных значений однозначно отражает вероятностный характер этой зависимости. Разработанную модель целесообразно использовать при решении прямых задач, связанных с исследованием влияния характеристик разброса параметров системы управления на точность системы. Она оказывается весьма полезной и при решении обратных задач, когда по заданным требованиям к точности функционирования системы необходимо найти допустимые диапазоны изменений ее параметров.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Юсупов Р.М., Розенвассер Е. Н. Чувствительность систем управления М.: Наука, 1981. 464 с.
2. Арсеньев В. Н. Определение требований к характеристикам разброса параметров системы управления летательного аппарата // Изв. вузов. Приборостроение. 1996. Т. 39, № 8—9.
3. Росин М. Ф., Булыгин В. С. Статистическая динамика и теория эффективности систем управления М.: Машиностроение, 1981. 312 с.
4. Миронов В. И. Задача приведения вариаций фазовых координат динамических систем к заданным условиям испытаний // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1970. № 3.
Сведения об авторах
Владимир Николаевич Арсеньев — д-р техн. наук, профессор; Военно-космическая академия им. А. Ф. Мо-
жайского, кафедра автоматики и электроники, Санкт-Петербург;
E-mail: vladar56@mail.ru
Андрей Геннадьевич Кохановский — канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайско-
го, Санкт-Петербург; нач. отдела; E-mail: koxa.and.68@mail.ru
Александр Сергеевич Фадеев
— канд. техн. наук; Центр эксплуатации объектов наземной космической
инфраструктуры, Москва; генеральный директор
Рекомендована кафедрой автоматики и электроники
Поступила в редакцию 10.07.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3