ЦЕНА ДЕЛЕНИЯ И РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ШКАЛЫ
44 В. А. Куликов, А. В. Куликов
УДК 531.717
В. А. КУЛИКОВ, А. В. КУЛИКОВ
ЦЕНА ДЕЛЕНИЯ И РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ШКАЛЫ
Рассматривается новое понятие разрешающей способности шкалы по отношению к распределению показаний при измерении. На этой основе решается вопрос о соотношении цены деления шкалы и систематической погрешности прибора, соотношении случайной и систематической составляющих погрешности и оценки погрешности измерения в целом.
Ключевые слова: шкала, цена деления, разрешающая способность, случайная погрешность, систематическая погрешность, погрешность измерения.
Повышение точности измерений и правильная оценка погрешности измерений позволяют
уменьшить ошибки контроля деталей и тем самым снизить издержки производства и предот-
вратить ухудшение функциональных свойств соединений деталей в узлах. При оценке по-
грешности измерения и выборе средств измерения цена деления шкалы по существу не учи-
тывается. Редкие суждения о соотношении цены деления шкалы и погрешности прибора но-
сят характер предположений. Поправки Шеппарда уточняют моменты наблюдаемых распре-
делений. Однако вопрос наблюдаемости случайных распределений показаний при измерении
вообще не ставится. Между тем постановка этого вопроса представляет особый интерес, так
как цена деления шкалы накладывает ограничение на точность отсчета и, следовательно, на
наблюдаемость распределений показаний прибора.
В настоящей статье приведен математический анализ вопроса.
В соответствии с ГОСТ 8.207-76 [1] погрешность измерения ∆ определяется в зависимо-
сти от отношения систематической погрешности Θ к выборочному среднему квадратическо-
( ) ( )му отклонению результата измерения
s
A
:
Θ s A
. Для оценки
s( A )
выполняется ряд изме-
рений величины с показаниями x1, x2, ..., xn.
Рассмотрим условия, при которых распределение показаний прибора будет наблюдае-
мым. Только в этом случае возможна оценка случайной составляющей погрешности и, в ко-
нечном счете, суммарной погрешности измерения в целом.
Распределение показаний 6σ со средним квадратическим отклонением (СКО) σ будет
наблюдаемым, если в пределах размаха w выборки n „укладывается“ по меньшей мере два
деления шкалы. Размах w — случайная величина, интегральное распределение P(w) которой
обусловливается, в свою очередь, распределением исходной совокупности P(x) и объемом
выборки n. Для выборок из нормальной совокупности с параметрами (ξ, σ) интегральная
функция случайной величины в нормированном виде W=w/σ обсчитана с большой точностью
(до 4-го знака после запятой) и представлена в табличной форме (см. работу [2]). В этой же
работе приведены значения коэффициента αn в выражении для несмещенной оценки СКО σ в исходной совокупности:
σ = αn М{w}.
(1)
Из уравнения (1) следует выражение для математического ожидания размаха:
M{w} = 1 σ ⋅ αn
(2)
Границы доверительных интервалов размаха определяются по таблице Pn(w), а для выборок объемом n≤12 заданы непосредственно отдельной таблицей.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Цена деления и разрешающая способность шкалы
45
Приравнивая размах двум делениям шкалы, получаем выражение для разрешающей
способности шкалы (РСШ), в делениях шкалы,
Ω
=
6σ 0, 5w
,
(3)
понимаемой как минимальное значение зоны рассеяния показаний, случайное распределение
которой может наблюдаться на шкале при измерениях.
Отсюда следует возможность оценки, в делениях шкалы, ненаблюдаемой случайной по-
грешности, СКО σ и погрешности измерения ∆ в целом для любых шкал вне зависимости от
результатов измерений для рассматриваемого случая, когда распределение находится на гра-
ни наблюдаемости.
При меньших значениях зоны рассеяния распределение не наблюдается и погрешность
измерения принимается равной неисключенной систематической погрешности. Остается не-
определенность в отношении случайной составляющей, значение которой может достигать
половины значения Ω. Для того чтобы судить о возможной ошибке в оценке погрешности
измерения, рассмотрим табл. 1 и 2.
Таблица 1
Параметр
Значение параметра при n 5 10 20
min
0,85σ
1,67σ
2,45σ
w
max
4,2σ 4,79σ
4,8σ
M{w}
2,33σ
3,08σ
3,8σ
min 2,8 2,5
2,5
Ω, д.ш.
max
14
7
5
M{Ω}
5,15
4
—
min 1,4 1,25 1,25
ε, д.ш.
max
7
3,5
2,5
M{ε}
2,57
2
—
min 0,47 0,4
0,4
σ, д.ш.
max
2,33 1,16
0,8
M{σ} 0,86 0,65
—
Таблица 2
Параметр
0,5
Значение параметра при Θ, д.ш. 1,0 5
10
n 5 10 20 5 10 20 5 10 20 5 10 20
max >0,8 >0,8 >0,8 >0,8 >0,8 >0,8 >8 >8 >8 >8 >8 >8
Θ min 8 — σ
∆, σmin 1,4 1,25 1,25 1,6 1,6 1,6 5
5
д.ш., σmax
7,0 3,5 2,5 7,0 3,5 2,5 8,4 6,4
при M{σ} 2,57 2,0
2,44 2,04 — 7,47 5
5 10 6,0 12,8 — 10
10 10 10
10 10 —
min 3,4 2,5 2,5 1,6 1,6 1,6 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
∆ max 14,0 7,0 5,0 7,0 3,5 2,5 1,68 1,28 1,2 1,28 1,0 1,0
{ }Θ M ∆ 5,14 4,0 — 2,44 2,04 — 1,49 1,0 — 1,0 1,0 1,0 Θ
В табл. 1 и 2 приведены следующие параметры: — размах wmin и wmax в выборке объемом n, определенные как границы доверительного интервала с вероятностью 0,95 по таблицам Пирсона [2], и M{w} как математическое ожидание размаха по формуле (2);
— РСШ Ω по формуле (3), случайная погрешность ε =1/2Ω и СКО σ = 1/6Ω, в делениях шкалы (д.ш.);
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
46 В. А. Куликов, А. В. Куликов
— погрешность измерения ∆ в целом по гос. стандарту, в делениях шкалы, с учетом воз-
можной ненаблюдаемой случайной составляющей; СКО σ, определенное по размаху, и оцен-
( )ка s A равноценны как несмещенные состоятельные оценки генерального среднего квадра-
тического отклонения, поэтому, как и в ГОСТ [1], ∆ = ε при Θ ≤ 0,8 , ∆ = Θ при Θ ≥ 8 , σσ
∆
=K SΣ
при
0,8<
Θ σ
УДК 531.717
В. А. КУЛИКОВ, А. В. КУЛИКОВ
ЦЕНА ДЕЛЕНИЯ И РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ШКАЛЫ
Рассматривается новое понятие разрешающей способности шкалы по отношению к распределению показаний при измерении. На этой основе решается вопрос о соотношении цены деления шкалы и систематической погрешности прибора, соотношении случайной и систематической составляющих погрешности и оценки погрешности измерения в целом.
Ключевые слова: шкала, цена деления, разрешающая способность, случайная погрешность, систематическая погрешность, погрешность измерения.
Повышение точности измерений и правильная оценка погрешности измерений позволяют
уменьшить ошибки контроля деталей и тем самым снизить издержки производства и предот-
вратить ухудшение функциональных свойств соединений деталей в узлах. При оценке по-
грешности измерения и выборе средств измерения цена деления шкалы по существу не учи-
тывается. Редкие суждения о соотношении цены деления шкалы и погрешности прибора но-
сят характер предположений. Поправки Шеппарда уточняют моменты наблюдаемых распре-
делений. Однако вопрос наблюдаемости случайных распределений показаний при измерении
вообще не ставится. Между тем постановка этого вопроса представляет особый интерес, так
как цена деления шкалы накладывает ограничение на точность отсчета и, следовательно, на
наблюдаемость распределений показаний прибора.
В настоящей статье приведен математический анализ вопроса.
В соответствии с ГОСТ 8.207-76 [1] погрешность измерения ∆ определяется в зависимо-
сти от отношения систематической погрешности Θ к выборочному среднему квадратическо-
( ) ( )му отклонению результата измерения
s
A
:
Θ s A
. Для оценки
s( A )
выполняется ряд изме-
рений величины с показаниями x1, x2, ..., xn.
Рассмотрим условия, при которых распределение показаний прибора будет наблюдае-
мым. Только в этом случае возможна оценка случайной составляющей погрешности и, в ко-
нечном счете, суммарной погрешности измерения в целом.
Распределение показаний 6σ со средним квадратическим отклонением (СКО) σ будет
наблюдаемым, если в пределах размаха w выборки n „укладывается“ по меньшей мере два
деления шкалы. Размах w — случайная величина, интегральное распределение P(w) которой
обусловливается, в свою очередь, распределением исходной совокупности P(x) и объемом
выборки n. Для выборок из нормальной совокупности с параметрами (ξ, σ) интегральная
функция случайной величины в нормированном виде W=w/σ обсчитана с большой точностью
(до 4-го знака после запятой) и представлена в табличной форме (см. работу [2]). В этой же
работе приведены значения коэффициента αn в выражении для несмещенной оценки СКО σ в исходной совокупности:
σ = αn М{w}.
(1)
Из уравнения (1) следует выражение для математического ожидания размаха:
M{w} = 1 σ ⋅ αn
(2)
Границы доверительных интервалов размаха определяются по таблице Pn(w), а для выборок объемом n≤12 заданы непосредственно отдельной таблицей.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Цена деления и разрешающая способность шкалы
45
Приравнивая размах двум делениям шкалы, получаем выражение для разрешающей
способности шкалы (РСШ), в делениях шкалы,
Ω
=
6σ 0, 5w
,
(3)
понимаемой как минимальное значение зоны рассеяния показаний, случайное распределение
которой может наблюдаться на шкале при измерениях.
Отсюда следует возможность оценки, в делениях шкалы, ненаблюдаемой случайной по-
грешности, СКО σ и погрешности измерения ∆ в целом для любых шкал вне зависимости от
результатов измерений для рассматриваемого случая, когда распределение находится на гра-
ни наблюдаемости.
При меньших значениях зоны рассеяния распределение не наблюдается и погрешность
измерения принимается равной неисключенной систематической погрешности. Остается не-
определенность в отношении случайной составляющей, значение которой может достигать
половины значения Ω. Для того чтобы судить о возможной ошибке в оценке погрешности
измерения, рассмотрим табл. 1 и 2.
Таблица 1
Параметр
Значение параметра при n 5 10 20
min
0,85σ
1,67σ
2,45σ
w
max
4,2σ 4,79σ
4,8σ
M{w}
2,33σ
3,08σ
3,8σ
min 2,8 2,5
2,5
Ω, д.ш.
max
14
7
5
M{Ω}
5,15
4
—
min 1,4 1,25 1,25
ε, д.ш.
max
7
3,5
2,5
M{ε}
2,57
2
—
min 0,47 0,4
0,4
σ, д.ш.
max
2,33 1,16
0,8
M{σ} 0,86 0,65
—
Таблица 2
Параметр
0,5
Значение параметра при Θ, д.ш. 1,0 5
10
n 5 10 20 5 10 20 5 10 20 5 10 20
max >0,8 >0,8 >0,8 >0,8 >0,8 >0,8 >8 >8 >8 >8 >8 >8
Θ min 8 — σ
∆, σmin 1,4 1,25 1,25 1,6 1,6 1,6 5
5
д.ш., σmax
7,0 3,5 2,5 7,0 3,5 2,5 8,4 6,4
при M{σ} 2,57 2,0
2,44 2,04 — 7,47 5
5 10 6,0 12,8 — 10
10 10 10
10 10 —
min 3,4 2,5 2,5 1,6 1,6 1,6 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
∆ max 14,0 7,0 5,0 7,0 3,5 2,5 1,68 1,28 1,2 1,28 1,0 1,0
{ }Θ M ∆ 5,14 4,0 — 2,44 2,04 — 1,49 1,0 — 1,0 1,0 1,0 Θ
В табл. 1 и 2 приведены следующие параметры: — размах wmin и wmax в выборке объемом n, определенные как границы доверительного интервала с вероятностью 0,95 по таблицам Пирсона [2], и M{w} как математическое ожидание размаха по формуле (2);
— РСШ Ω по формуле (3), случайная погрешность ε =1/2Ω и СКО σ = 1/6Ω, в делениях шкалы (д.ш.);
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
46 В. А. Куликов, А. В. Куликов
— погрешность измерения ∆ в целом по гос. стандарту, в делениях шкалы, с учетом воз-
можной ненаблюдаемой случайной составляющей; СКО σ, определенное по размаху, и оцен-
( )ка s A равноценны как несмещенные состоятельные оценки генерального среднего квадра-
тического отклонения, поэтому, как и в ГОСТ [1], ∆ = ε при Θ ≤ 0,8 , ∆ = Θ при Θ ≥ 8 , σσ
∆
=K SΣ
при
0,8<
Θ σ