ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПОЗИТИВНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
15
В. В. ГРИГОРЬЕВ, В. И. БОЙКОВ, С. В. БЫСТРОВ, А. И. РЯБОВ, О. К. МАНСУРОВА
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПОЗИТИВНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ*
Введено понятие качественной экспоненциальной устойчивости для класса динамических позитивных дискретных систем, на основе которой проводится оценка качества сходящихся и расходящихся процессов. Ключевые слова: динамические системы, устойчивость, оценка качества, метод Ляпунова, модульные функции, позитивные системы.
Введение. Целью настоящей работы является расширение понятия качественной экспоненциальной устойчивости и неустойчивости на более широкий класс динамических систем, а именно на позитивные системы — системы сравнения, позволяющие анализировать различные виды устойчивости и неустойчивости многосвязных систем, оценивать качество сходящихся и расходящихся процессов.
Если свойство асимптотической устойчивости определяет сходимость или расходимость процессов в течение времени, то свойство экспоненциальной устойчивости определяет скорость сходимости или расходимости процессов, характеризуя тем самым быстродействие системы. Выполнение условий качественной экспоненциальной устойчивости позволяет судить о средней скорости сходимости или расходимости процессов, а также о текущих отклонениях поведения процессов от осредненного, что дает информацию о характере поведения переходных процессов (колебательность, перерегулирование).
Разработка аналитических и вычислительных технологий для анализа устойчивости и неустойчивости систем сравнения, и как следствие — многосвязных систем, а также качества процессов является практически необходимой задачей исследования. Современные аппаратные средства вычислительной техники и компьютерные технологии анализа поведения многосвязных динамических систем позволяют реализовать эффективные алгоритмы построения систем сравнения на базе функций Ляпунова, получаемых при синтезе многосвязных систем. Использование модульных функций Ляпунова значительно упрощает процедуры исследования поведения позитивных систем [1—3]. Полученные на основе этих функций условия
* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (государственный контракт № 16.740.11.0553).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
16 В. В. Григорьев, В. И. Бойков, С. В. Быстров, А. И. Рябов, О. К. Мансурова
экспоненциальной и качественно экспоненциальной устойчивости и неустойчивости позво-
ляют судить о поведении процессов и их качестве для многосвязных систем [4—6].
Постановка задачи. Получим матричные неравенства и уравнения типа Ляпунова при
использовании модульных функций Ляпунова применительно к стационарным дискретным
системам, все значения которых принимают неотрицательные значения. К классу позитивных
относятся, например, системы сравнения, используемые для анализа свойств многосвязных
систем на основе метода векторных функций Ляпунова.
Пусть движение линейной дискретной системы задано разностным уравнением
ν(m + 1) = Aν(m) ,
(1)
где ν — k-мерный вектор состояния системы, все переменные которого принимают только
неотрицательные значения при любом значении m= 0,1,2,…; A — (k×k)-матрица с неотрицательными элементами.
Введем модульную функцию Ляпунова для системы (1) в виде
k
∑V (ν) = p0i νi ,
(2)
i=0
где p0i — положительные весовые коэффициенты, а νi — переменные вектора состояния
позитивной системы (ν=[ν1, ν2, …, νk]T). Учитывая неотрицательность значений переменных
вектора состояния νi ≥ 0 , знак модуля в выражении (2) можно опустить и переписать его в
более компактной матричной форме
V (ν) = P0ν ,
(3)
где P0 = [ p01, p02, ..., p0k ] — (1×k)-матрица с положительными элементами. В дальнейшем,
хотя и будем пользоваться более простой формой записи модульной функции Ляпунова, необходимо помнить, что первообразной является первичная форма задания (3). Поэтому сле-
дует оговорить, что если А — квадратная (k×k)-матрица, то соотношение V ( Aν) = P0 Aν
справедливо только в том случае, если элементы матрицы А неотрицательны.
(4)
Матричные неравенства и уравнения для линейных позитивных систем. Приведем матричное неравенство и уравнения типа Ляпунова, определяющие локальное достаточное условие экспоненциальной устойчивости позитивной системы, на основе выражения (4). Запишем неравенство для предшествующего и последующего значений модульных функций Ляпунова на траекториях движения позитивной системы
V ( Aν(m)) ≤ λV (ν(m)), 0< λ
В. В. ГРИГОРЬЕВ, В. И. БОЙКОВ, С. В. БЫСТРОВ, А. И. РЯБОВ, О. К. МАНСУРОВА
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПОЗИТИВНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ*
Введено понятие качественной экспоненциальной устойчивости для класса динамических позитивных дискретных систем, на основе которой проводится оценка качества сходящихся и расходящихся процессов. Ключевые слова: динамические системы, устойчивость, оценка качества, метод Ляпунова, модульные функции, позитивные системы.
Введение. Целью настоящей работы является расширение понятия качественной экспоненциальной устойчивости и неустойчивости на более широкий класс динамических систем, а именно на позитивные системы — системы сравнения, позволяющие анализировать различные виды устойчивости и неустойчивости многосвязных систем, оценивать качество сходящихся и расходящихся процессов.
Если свойство асимптотической устойчивости определяет сходимость или расходимость процессов в течение времени, то свойство экспоненциальной устойчивости определяет скорость сходимости или расходимости процессов, характеризуя тем самым быстродействие системы. Выполнение условий качественной экспоненциальной устойчивости позволяет судить о средней скорости сходимости или расходимости процессов, а также о текущих отклонениях поведения процессов от осредненного, что дает информацию о характере поведения переходных процессов (колебательность, перерегулирование).
Разработка аналитических и вычислительных технологий для анализа устойчивости и неустойчивости систем сравнения, и как следствие — многосвязных систем, а также качества процессов является практически необходимой задачей исследования. Современные аппаратные средства вычислительной техники и компьютерные технологии анализа поведения многосвязных динамических систем позволяют реализовать эффективные алгоритмы построения систем сравнения на базе функций Ляпунова, получаемых при синтезе многосвязных систем. Использование модульных функций Ляпунова значительно упрощает процедуры исследования поведения позитивных систем [1—3]. Полученные на основе этих функций условия
* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (государственный контракт № 16.740.11.0553).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
16 В. В. Григорьев, В. И. Бойков, С. В. Быстров, А. И. Рябов, О. К. Мансурова
экспоненциальной и качественно экспоненциальной устойчивости и неустойчивости позво-
ляют судить о поведении процессов и их качестве для многосвязных систем [4—6].
Постановка задачи. Получим матричные неравенства и уравнения типа Ляпунова при
использовании модульных функций Ляпунова применительно к стационарным дискретным
системам, все значения которых принимают неотрицательные значения. К классу позитивных
относятся, например, системы сравнения, используемые для анализа свойств многосвязных
систем на основе метода векторных функций Ляпунова.
Пусть движение линейной дискретной системы задано разностным уравнением
ν(m + 1) = Aν(m) ,
(1)
где ν — k-мерный вектор состояния системы, все переменные которого принимают только
неотрицательные значения при любом значении m= 0,1,2,…; A — (k×k)-матрица с неотрицательными элементами.
Введем модульную функцию Ляпунова для системы (1) в виде
k
∑V (ν) = p0i νi ,
(2)
i=0
где p0i — положительные весовые коэффициенты, а νi — переменные вектора состояния
позитивной системы (ν=[ν1, ν2, …, νk]T). Учитывая неотрицательность значений переменных
вектора состояния νi ≥ 0 , знак модуля в выражении (2) можно опустить и переписать его в
более компактной матричной форме
V (ν) = P0ν ,
(3)
где P0 = [ p01, p02, ..., p0k ] — (1×k)-матрица с положительными элементами. В дальнейшем,
хотя и будем пользоваться более простой формой записи модульной функции Ляпунова, необходимо помнить, что первообразной является первичная форма задания (3). Поэтому сле-
дует оговорить, что если А — квадратная (k×k)-матрица, то соотношение V ( Aν) = P0 Aν
справедливо только в том случае, если элементы матрицы А неотрицательны.
(4)
Матричные неравенства и уравнения для линейных позитивных систем. Приведем матричное неравенство и уравнения типа Ляпунова, определяющие локальное достаточное условие экспоненциальной устойчивости позитивной системы, на основе выражения (4). Запишем неравенство для предшествующего и последующего значений модульных функций Ляпунова на траекториях движения позитивной системы
V ( Aν(m)) ≤ λV (ν(m)), 0< λ