ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
20
УДК 62-51
В. В. ГРИГОРЬЕВ, С. В. БЫСТРОВ, И. М. ПЕРШИН, А. К. НАУМОВА, А. Н. ГУРЬЯНОВА
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ*
На основе частотных методов исследования систем с распределенными параметрами сформулирован модифицированный критерий Найквиста экспоненциальной устойчивости линейных систем.
Ключевые слова: экспоненциальная устойчивость, распределенные параметры, частотные методы.
Введение. Критерий устойчивости Найквиста [1, 2] относится к частотным критериям
устойчивости линейных непрерывных систем с постоянными параметрами, он позволяет для
систем с одним входом и выходом и единичной обратной связью по амплитудно-
фазочастотным характеристикам (АФЧХ) разомкнутого контура устанавливать свойство
асимптотической устойчивости замкнутой системы. Однако свойство асимптотической ус-
тойчивости не позволяет судить о скорости сходимости процессов системы к положению
равновесия. Экспоненциальная устойчивость позволяет оценивать быстродействие системы
по степени сходимости процессов к положению равновесия. Модификация критерия Найкви-
ста дает возможность установить свойство экспоненциальной устойчивости для линейных
непрерывных систем с постоянными параметрами и тем самым оценить их быстродействие.
Модифицированный критерий Найквиста экспоненциальной устойчивости распространяется
на линейные системы с распределенными параметрами.
Модификация критерия Найквиста для линейных непрерывных систем с посто-
янными параметрами. Рассмотрим линейную непрерывную систему, передаточная функция
разомкнутого контура которой W(s) представляет отношение двух полиномов
W (s)
=
B(s) A(s)
,
* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (государственный контракт № 14.740.11.1080).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Экспоненциальная устойчивость линейных систем с распределенными параметрами 21
причем степень полинома A(s) равна n, а B(s) — m(m ≤ n). При этом передаточная функция
замкнутой системы имеет вид
Φ(s)
=
B(s) A(s) + B(s)
,
где A(s)+B(s) — характеристический полином замкнутой системы. Введем вспомогательную
передаточную функцию
W1 ( s)
= 1+ W (s)
=
A(s) + B(s) A(s)
=
D(s) , D1 ( s)
где D(s) = A(s) + B(s) — характеристический полином замкнутой системы, D1(s) = A(s) — характеристический полином разомкнутого контура. Замкнутая система экспоненциально устойчива, если все корни ее характеристического полинома лежат левее прямой, параллельной
мнимой оси, сдвинутой на значение α (α — параметр экспоненциальной устойчивости, определяющий степень сходимости процессов к положению равновесия). Сведем задачу установления факта экспоненциальной устойчивости к классической задаче определения устойчивости, для чего введем конформное отображение вида
s1 = s − α ,
при этом характеристический полином замкнутой системы D(s1) = A(s1) − B(s1) должен иметь
все корни характеристического полинома относительно переменной s1 в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, и все корни должны иметь отрицательные вещественные
части. Вспомогательная передаточная функция с учетом конформного отображения примет
вид
W1 (s1 )
=
D(s1 ) D1 (s1 )
.
Перейдем к частотным передаточным функциям:
s1 = jω − α = jω1,
при этом
W1 (
jω1 )
=
D( jω1) D1( jω1)
.
Согласно принципу приращения аргумента, если разомкнутый контур имеет l корней,
вещественная часть которых больше значения –α, а остальные n − l корней имеют вещест-
венные части, меньшие –α, то приращение аргумента f1 вспомогательной частотной передаточной функции должно быть равно
f1
=
nπ 2
−
(n
− l)π 2
+
lπ 2
=
lπ
.
Перейдя к АФЧХ разомкнутого контура, получим, что приращение аргумента f2 час-
тотной передаточной функции разомкнутого контура
W
(
jω1)
=
B( A(
jω1) jω1)
относительно точки комплексной плоскости (–1, j=0) должно быть равно f2 = lπ .
Если разомкнутый контур экспоненциально устойчив с параметром α, то l = 0 и f2 = 0,
т.е. АФЧХ модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого контура
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
22 В. В. Григорьев, С. В. Быстров, И. М. Першин, А. К. Наумова, А. Н. Гурьянова
W(jω1) не должна охватывать точку (–1, j=0) комплексной плоскости, при этом линейная система будет экспоненциально устойчивой со степенью сходимости α.
Применение частотных методов к системам с распределенными параметрами. Для пространствено-инвариантных распределенных систем [1—5] передаточная функция по каждой пространственной моде может быть представлена в виде:
Wη,γ,ξ(s) = Вη,γ,ξ(s)/Аη,γ,ξ(s), η, γ=1, 2, …, ξ=1, 2, …, 4,
(1)
причем степень полиномов Аη,γ,ξ(s) и Вη,γ,ξ(s) равна бесконечности. Пространственноинвариантную систему структурно можно представить в виде бесконечной совокупности ус-
ловно сосредоточенных систем (по каждой пространственной моде), при этом доказано [1],
что если каждый контур устойчив, то устойчива и вся система.
Согласно работе [2], передаточная функция разомкнутой системы должна удовлетво-
рять условиям, представленным в виде отношения аналитически целых функций:
1) lims→∞Wη,γ,ξ(s)=const, 2) внутри контура интегрирования передаточная функция должна быть мероморфной.
Для определения возможности применения критерия Найквиста к каждому контуру сис-
темы управления необходимо провести анализ передаточной функции каждого из контуров.
Пример 1. Исследуем передаточную функцию процесса распространения тепла в цилин-
дрическом стержне.
Рассмотрим особенности применения частотного критерия Найквиста при анализе ус-
тойчивости в каждом контуре системы управления процессом распространения тепла в ци-
линдре конечных размеров, управляющее воздействие на который распределено по границе.
Согласно работам [1, 3], передаточная функция объекта по η-й моде входного воздейст-
вия может быть представлена в виде отношения функций Бесселя:
( )∗
W0,η ( s) =
J J
0,η 0,η
(
R, R,
s s
)
,
η=1,2, …,
∗
где R, R — заданные числа, J0,η(R,s) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Представляя функцию J0,η(R,s) в виде J0,η(jz), η=1, 2, …, рассмотрим поведение функции на контуре интегрирования бесконечно большого радиуса. Функция J0,η(jz) при бесконечно больших значениях аргумента z, согласно [4, 5], может быть представлена в виде следующего соотношения:
J0,η
(
jz
)
=
1
( 2πz )1
2
exp
(
z
⎛
) ⎜⎝⎜1 +
1 1!8z
+
1⋅ 32
2!(8z )2
⎞ +…⎟ ,
⎟⎠
arg z
≤
π, 2
η = 1, ∞ .
Найдем предел
⎡⎛
⎞⎤
⎢
⎢
⎢
( ) ( )lim
s→∞
W0,η
(s)
=
lim
s→∞
⎢
⎢
⎢
⎢ ⎢
⎛ ⎜
2πzη
∗
2π zη
12
⎞1 2 ⎟
exp
⎢⎝ ⎠
( )⎢⎣
∆zη
⎜
⎜⎜1 +
1
∗
⎜ 1!8 zη
⎜⎝
+
1⋅ 32
2!⎜⎛
8
∗
z
η
⎝
⎞2 ⎟ ⎠
⎟⎥
+ … ⎟⎟
⎥ ⎥
⎟⎥
⎠⎟
⎥ ⎥
,
η
= 1, ∞
,
⎛ ⎝⎜⎜⎜1
+
1 1!8zη
+ 1⋅32 2! 8zη
2
⎞ + … ⎟⎠⎟⎟
⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
значения аргументов функции могут быть найдены из следующих соотношений:
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Экспоненциальная устойчивость линейных систем с распределенными параметрами 23
∗
zη
⎛s
=
⎜ ⎝
a1
+
ψη2
⎞1 ⎟
2
⎠
∗
R,
zη
=
⎛ ⎜ ⎝
s a1
+
ψη2
⎞1 ⎟
2
R
,
⎠
∆z
=
⎛ ⎜ ⎝
∗
R−
R
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
s a1
+
ψη2
⎞1 ⎟
2
,
⎠
ψη
=
π
η xL
,
η = 1, ∞ ,
x L — заданное число. Преобразовав (2), получим
lim
s→∞
W0,η
(
s
)
=
⎡
⎢
( ) ( )=
lim
s→∞
⎢⎢⎢⎢⎛⎜⎜⎝
R
∗
R
⎞1 ⎟ ⎟⎠
2
⋅
exp
⎛ ⎜ ⎜⎝
⎛ ⎜ ⎝
s a1
+
ψ
2 η
⎞1 ⎟ ⎠
2
⎢
( )⎢⎣
∗
R− R
⎞ ⎟ ⎠⎟
⎛⎜1 ⎜⎜⎝
+
1
∗
1!8 z
η
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
1
+
1 1!8 zη
+ +
1⋅ 32
∗
2! 8 zη
1⋅ 32 2! 8zη
2 2
+
…
⎞ ⎟
⎤ ⎥
+
⎟⎟⎠ ⎞ … ⎠⎟⎟⎟
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
,
η = 1, ∞.
(3)
∗
Так как условия физической реализуемости предполагают R < R , то
sl→im∞W0,η ( s ) = 0 , η = 1, ∞ .
Предположим, что передаточная функция регулятора по η-й моде входного воздействия равна Kη (Kη — заданные числа; η=1, 2, …).
В этом случае характеристический полином разомкнутой системы η-го контура имеет вид:
( )J0,η jzη = 0 , η = 1, ∞ .
Рассмотрим отображение правой полуплоскости S на плоскость Г=jzη. Положим
s = M1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) ,
где М1 — модуль комплексного числа s; φ1 — фаза комплексного числа s. Подставив (4) в (3), получим
jzη
=
j ⎡⎣M 2
(cos ϕ1
+
j
sin
ϕ1
)
+
ψη2
⎤1 ⎦
2
R,
η
= 1, ∞ ,
где M2=M1/a1, a1 — заданное число. Преобразовав (5), придем к следующему результату:
jzη = ⎡⎣M2 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) + ψη2 ⎦⎤1 2 R , η = 1, ∞ .
(4) (5)
Для удобства рассмотрения комплексных чисел jzη ( η = 1, ∞ ) на комплексной плоскости Γ (рис. 1) представим комплексное число jzη в наглядной форме
( )jzη = Aη exp jϕ2,η , η = 1, ∞ ,
где
ϕ2,η = ϕ3,η 2 ;
(6)
ϕ3,η
=
arctg
⎡ ⎢ ⎣⎢
−
−M 2 sin M 2 cos ϕ1
ϕ1 − ψη2
⎤ ⎥ ⎦⎥
;
(7)
( )Aη = R ⎣⎢⎡(M2 sin ϕ1 )2 +
M2 cos ϕ1 − ψη2
2
⎤1 ⎥⎦
4
;
η = 1, ∞ .
(8)
При ϕ1 = π 2 значение ϕ2,η , согласно (6), (7), определяется из следующего соотношения:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
24 В. В. Григорьев, С. В. Быстров, И. М. Першин, А. К. Наумова, А. Н. Гурьянова
Найдем предел
ϕ2,η
=
1 2
arctg
⎛ ⎜ ⎜⎝
−M2 −ψη2
⎞ ⎟, ⎟⎠
η
=
1, ∞
.
lim
M1→∞
ϕ2,η
=
lim
M1→∞
1 2
arctg
⎛ ⎜ ⎜⎝
−M1 −a1ψη2
⎞ ⎟ ⎟⎠
=
−
π 4
,
η = 1, ∞ .
Аналогично можно показать, что при φ1=–π/2 и M1 → ∞ значение φ2,η стремится к π/4.
Im(S)
M1 ϕ1
S Re(S)
Im(j z)
M~η –M~η
Λ1
ϕ2, η –ϕ2, η
Γ Re(j z)
Λ2
Рис. 1
На рис. 1 показано отображение правой полуплоскости S на плоскость Γ. Получаемое
отображение представлено в виде секторов Λ1 и Λ2; M η = ψηR .
( )Исследования, проведенные в работе [5], показывают, что функции J0,η jzη , η = 1, ∞ ,
в секторах Λ1 и Λ2 не имеют нулей, следовательно, функция J0,η ( R, s) не имеет нулей, лежа-
щих в правой полуплоскости S. Это отражает известное свойство устойчивости тепловых
∗
процессов. Исследуя функцию J0,η(R, s) , η = 1, ∞ , можно показать, что она также не имеет
нулей, лежащих в правой полуплоскости S. Представленная методика позволяет судить о нулях и полюсах передаточной функции по каждому контуру управления одномерным температурным полем.
Рассмотрим отображение области {G, s} в область{G, jz(G)}. Для этого представим вы-
ражение (6) с использованием обобщенной координаты G [1, 3]:
jz(G) = A(g) exp ( jϕ2 (G)) , G = Gн , ∞ ,
где
ϕ2 = ϕ3 2 ;
(9)
ϕ3
=
arctg
⎡ −M 2 sin ϕ1
⎢ ⎣
−M
2
cos
ϕ1
−
G
⎤ ⎥ ⎦
;
(10)
A(G)
=
R
⎡⎣( M 2
sin ϕ1 )2
+
(M2
cos ϕ1
− G)2
⎤1 ⎦
4
,
G
=
Gн , ∞
.
(11)
При φ1=π/2 значение φ2, согласно (9), (10), определяется из следующего соотношения:
ϕ2
=
1 2
arctg
⎛ ⎜⎝
−M2 −G
⎞ ⎠⎟
,
G
=
Gн , ∞
.
Найдем предел
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Экспоненциальная устойчивость линейных систем с распределенными параметрами 25
lim
M1→∞
ϕ2
=
lim
M1→∞
1 2
arctg
⎛ ⎝⎜
−M1 −aG
⎞ ⎟⎠
=
−
π 4
,
G
=
Gн , ∞
.
Аналогично можно показать, что при φ1= –π/2 и M1→∞ значение φ2 стремится к π/4. На рис. 2 представлено отображение области {G, s} в область {G, jz(G)}. Это отображение
получается в виде областей Λ1 и Λ2; M = GR .
Im(j z)
Γ
Im(S)
S
M1 ϕ1 Re(S)
M~(G)
Λ1
ϕ2(G)
Re(j z)
–ϕ2(G)
–M~(G)
Λ2 π/4
–π/4
Рис. 2
Исследования, проведенные в работах [1, 3], показывают, что рассматриваемая функция
( )в областях Λ1 и Λ2 не имеет нулей, следовательно, функция J0,η jzη , η = 1, ∞ , записанная с
использованием обобщенной координаты в виде J0 (G, R, s) , не имеет нулей, лежащих в об-
ласти {G, s}. Это отражает известное свойство устойчивости тепловых процессов. Аналогич-
*
но можно показать, что функция J0 (G, R, s) , G = Gн , ∞ , также не имеет нулей, лежащих в правой полуплоскости S.
Полученные результаты для передаточной функции, записанной с использованием обобщенной координаты, показывают, что передаточная функция не имеет нулей и полюсов, лежащих в правой полуплоскости S, является мероморфной и на контуре интегрирования бесконечно большого радиуса не имеет особенностей. Следовательно, критерий Найквиста применим к оценке устойчивости рассматриваемых систем управления.
Введя конформное отображение вида s1 = s − α ,
проведем аналогичную процедуру с передаточной функцией вида
Wη,γ,ξ(s1) = Вη,γ,ξ(s1)/Аη,γ,ξ(s1); η, γ = 1, 2, …; ξ = 1, 2, …, 4.
Если разомкнутый контур экспоненциально устойчив с параметром α, то АФЧХ модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого контура Wη,γ,ξ(s1) не должна охватывать точку (–1, j=0) комплексной плоскости, при этом линейная система будет экспоненциально устойчивой со степенью сходимости α.
Разомкнутый контур будет экспоненциально устойчив с параметром α, если пространственный годограф модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого кон-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
26 В. В. Григорьев, С. В. Быстров, И. М. Першин, А. К. Наумова, А. Н. Гурьянова
тура W(G,s1) не будет охватывать линию (–1, j=0,G). При этом на системы с распределенными параметрами можно распространить оценки качества процессов [6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Григорьев В. В., Быстров С. В., Першин И. М. Синтез распределенных регуляторов: Учеб. пособие. СПб: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2011. 200 с.
2. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы. М.: Энергия, 1981. 303 с.
3. Першин И. М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. Пятигорск: Изд-во „РИО КМВ“, 2007. 243 с.
4. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 599 с.
5. Янке П., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968. 344 с.
6. Быстров С. В., Григорьв В. В., Рабыш Е. Ю., Мансурова О. К. Анализ качества переходных процессов в непрерывных и дискретных системах на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2012. № 9. С. 32—36.
Валерий Владимирович Григорьев Сергей Владимирович Быстров Иван Митрофанович Першин Алла Константиновна Наумова Алёна Николаевна Гурьянова
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: grigvv@yandex.ru — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: sbystrov@mail.ru — д-р техн. наук, профессор; Пятигорский институт Северо-Кавказского федерального университета, кафедра управления в технических и биомедицинских системах; заведующий кафедрой; E-mail: ivmp@yandex.ru — Санкт-Петербургский государственный политехнический университет; заведующая сектором учебного отдела департамента образовательной деятельности; E-mail: alya_naumova@mail.ru — магистрант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: lilyliya@mail.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
УДК 62-51
В. В. ГРИГОРЬЕВ, С. В. БЫСТРОВ, И. М. ПЕРШИН, А. К. НАУМОВА, А. Н. ГУРЬЯНОВА
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ*
На основе частотных методов исследования систем с распределенными параметрами сформулирован модифицированный критерий Найквиста экспоненциальной устойчивости линейных систем.
Ключевые слова: экспоненциальная устойчивость, распределенные параметры, частотные методы.
Введение. Критерий устойчивости Найквиста [1, 2] относится к частотным критериям
устойчивости линейных непрерывных систем с постоянными параметрами, он позволяет для
систем с одним входом и выходом и единичной обратной связью по амплитудно-
фазочастотным характеристикам (АФЧХ) разомкнутого контура устанавливать свойство
асимптотической устойчивости замкнутой системы. Однако свойство асимптотической ус-
тойчивости не позволяет судить о скорости сходимости процессов системы к положению
равновесия. Экспоненциальная устойчивость позволяет оценивать быстродействие системы
по степени сходимости процессов к положению равновесия. Модификация критерия Найкви-
ста дает возможность установить свойство экспоненциальной устойчивости для линейных
непрерывных систем с постоянными параметрами и тем самым оценить их быстродействие.
Модифицированный критерий Найквиста экспоненциальной устойчивости распространяется
на линейные системы с распределенными параметрами.
Модификация критерия Найквиста для линейных непрерывных систем с посто-
янными параметрами. Рассмотрим линейную непрерывную систему, передаточная функция
разомкнутого контура которой W(s) представляет отношение двух полиномов
W (s)
=
B(s) A(s)
,
* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (государственный контракт № 14.740.11.1080).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Экспоненциальная устойчивость линейных систем с распределенными параметрами 21
причем степень полинома A(s) равна n, а B(s) — m(m ≤ n). При этом передаточная функция
замкнутой системы имеет вид
Φ(s)
=
B(s) A(s) + B(s)
,
где A(s)+B(s) — характеристический полином замкнутой системы. Введем вспомогательную
передаточную функцию
W1 ( s)
= 1+ W (s)
=
A(s) + B(s) A(s)
=
D(s) , D1 ( s)
где D(s) = A(s) + B(s) — характеристический полином замкнутой системы, D1(s) = A(s) — характеристический полином разомкнутого контура. Замкнутая система экспоненциально устойчива, если все корни ее характеристического полинома лежат левее прямой, параллельной
мнимой оси, сдвинутой на значение α (α — параметр экспоненциальной устойчивости, определяющий степень сходимости процессов к положению равновесия). Сведем задачу установления факта экспоненциальной устойчивости к классической задаче определения устойчивости, для чего введем конформное отображение вида
s1 = s − α ,
при этом характеристический полином замкнутой системы D(s1) = A(s1) − B(s1) должен иметь
все корни характеристического полинома относительно переменной s1 в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, и все корни должны иметь отрицательные вещественные
части. Вспомогательная передаточная функция с учетом конформного отображения примет
вид
W1 (s1 )
=
D(s1 ) D1 (s1 )
.
Перейдем к частотным передаточным функциям:
s1 = jω − α = jω1,
при этом
W1 (
jω1 )
=
D( jω1) D1( jω1)
.
Согласно принципу приращения аргумента, если разомкнутый контур имеет l корней,
вещественная часть которых больше значения –α, а остальные n − l корней имеют вещест-
венные части, меньшие –α, то приращение аргумента f1 вспомогательной частотной передаточной функции должно быть равно
f1
=
nπ 2
−
(n
− l)π 2
+
lπ 2
=
lπ
.
Перейдя к АФЧХ разомкнутого контура, получим, что приращение аргумента f2 час-
тотной передаточной функции разомкнутого контура
W
(
jω1)
=
B( A(
jω1) jω1)
относительно точки комплексной плоскости (–1, j=0) должно быть равно f2 = lπ .
Если разомкнутый контур экспоненциально устойчив с параметром α, то l = 0 и f2 = 0,
т.е. АФЧХ модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого контура
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
22 В. В. Григорьев, С. В. Быстров, И. М. Першин, А. К. Наумова, А. Н. Гурьянова
W(jω1) не должна охватывать точку (–1, j=0) комплексной плоскости, при этом линейная система будет экспоненциально устойчивой со степенью сходимости α.
Применение частотных методов к системам с распределенными параметрами. Для пространствено-инвариантных распределенных систем [1—5] передаточная функция по каждой пространственной моде может быть представлена в виде:
Wη,γ,ξ(s) = Вη,γ,ξ(s)/Аη,γ,ξ(s), η, γ=1, 2, …, ξ=1, 2, …, 4,
(1)
причем степень полиномов Аη,γ,ξ(s) и Вη,γ,ξ(s) равна бесконечности. Пространственноинвариантную систему структурно можно представить в виде бесконечной совокупности ус-
ловно сосредоточенных систем (по каждой пространственной моде), при этом доказано [1],
что если каждый контур устойчив, то устойчива и вся система.
Согласно работе [2], передаточная функция разомкнутой системы должна удовлетво-
рять условиям, представленным в виде отношения аналитически целых функций:
1) lims→∞Wη,γ,ξ(s)=const, 2) внутри контура интегрирования передаточная функция должна быть мероморфной.
Для определения возможности применения критерия Найквиста к каждому контуру сис-
темы управления необходимо провести анализ передаточной функции каждого из контуров.
Пример 1. Исследуем передаточную функцию процесса распространения тепла в цилин-
дрическом стержне.
Рассмотрим особенности применения частотного критерия Найквиста при анализе ус-
тойчивости в каждом контуре системы управления процессом распространения тепла в ци-
линдре конечных размеров, управляющее воздействие на который распределено по границе.
Согласно работам [1, 3], передаточная функция объекта по η-й моде входного воздейст-
вия может быть представлена в виде отношения функций Бесселя:
( )∗
W0,η ( s) =
J J
0,η 0,η
(
R, R,
s s
)
,
η=1,2, …,
∗
где R, R — заданные числа, J0,η(R,s) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Представляя функцию J0,η(R,s) в виде J0,η(jz), η=1, 2, …, рассмотрим поведение функции на контуре интегрирования бесконечно большого радиуса. Функция J0,η(jz) при бесконечно больших значениях аргумента z, согласно [4, 5], может быть представлена в виде следующего соотношения:
J0,η
(
jz
)
=
1
( 2πz )1
2
exp
(
z
⎛
) ⎜⎝⎜1 +
1 1!8z
+
1⋅ 32
2!(8z )2
⎞ +…⎟ ,
⎟⎠
arg z
≤
π, 2
η = 1, ∞ .
Найдем предел
⎡⎛
⎞⎤
⎢
⎢
⎢
( ) ( )lim
s→∞
W0,η
(s)
=
lim
s→∞
⎢
⎢
⎢
⎢ ⎢
⎛ ⎜
2πzη
∗
2π zη
12
⎞1 2 ⎟
exp
⎢⎝ ⎠
( )⎢⎣
∆zη
⎜
⎜⎜1 +
1
∗
⎜ 1!8 zη
⎜⎝
+
1⋅ 32
2!⎜⎛
8
∗
z
η
⎝
⎞2 ⎟ ⎠
⎟⎥
+ … ⎟⎟
⎥ ⎥
⎟⎥
⎠⎟
⎥ ⎥
,
η
= 1, ∞
,
⎛ ⎝⎜⎜⎜1
+
1 1!8zη
+ 1⋅32 2! 8zη
2
⎞ + … ⎟⎠⎟⎟
⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
значения аргументов функции могут быть найдены из следующих соотношений:
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Экспоненциальная устойчивость линейных систем с распределенными параметрами 23
∗
zη
⎛s
=
⎜ ⎝
a1
+
ψη2
⎞1 ⎟
2
⎠
∗
R,
zη
=
⎛ ⎜ ⎝
s a1
+
ψη2
⎞1 ⎟
2
R
,
⎠
∆z
=
⎛ ⎜ ⎝
∗
R−
R
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
s a1
+
ψη2
⎞1 ⎟
2
,
⎠
ψη
=
π
η xL
,
η = 1, ∞ ,
x L — заданное число. Преобразовав (2), получим
lim
s→∞
W0,η
(
s
)
=
⎡
⎢
( ) ( )=
lim
s→∞
⎢⎢⎢⎢⎛⎜⎜⎝
R
∗
R
⎞1 ⎟ ⎟⎠
2
⋅
exp
⎛ ⎜ ⎜⎝
⎛ ⎜ ⎝
s a1
+
ψ
2 η
⎞1 ⎟ ⎠
2
⎢
( )⎢⎣
∗
R− R
⎞ ⎟ ⎠⎟
⎛⎜1 ⎜⎜⎝
+
1
∗
1!8 z
η
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
1
+
1 1!8 zη
+ +
1⋅ 32
∗
2! 8 zη
1⋅ 32 2! 8zη
2 2
+
…
⎞ ⎟
⎤ ⎥
+
⎟⎟⎠ ⎞ … ⎠⎟⎟⎟
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
,
η = 1, ∞.
(3)
∗
Так как условия физической реализуемости предполагают R < R , то
sl→im∞W0,η ( s ) = 0 , η = 1, ∞ .
Предположим, что передаточная функция регулятора по η-й моде входного воздействия равна Kη (Kη — заданные числа; η=1, 2, …).
В этом случае характеристический полином разомкнутой системы η-го контура имеет вид:
( )J0,η jzη = 0 , η = 1, ∞ .
Рассмотрим отображение правой полуплоскости S на плоскость Г=jzη. Положим
s = M1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) ,
где М1 — модуль комплексного числа s; φ1 — фаза комплексного числа s. Подставив (4) в (3), получим
jzη
=
j ⎡⎣M 2
(cos ϕ1
+
j
sin
ϕ1
)
+
ψη2
⎤1 ⎦
2
R,
η
= 1, ∞ ,
где M2=M1/a1, a1 — заданное число. Преобразовав (5), придем к следующему результату:
jzη = ⎡⎣M2 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) + ψη2 ⎦⎤1 2 R , η = 1, ∞ .
(4) (5)
Для удобства рассмотрения комплексных чисел jzη ( η = 1, ∞ ) на комплексной плоскости Γ (рис. 1) представим комплексное число jzη в наглядной форме
( )jzη = Aη exp jϕ2,η , η = 1, ∞ ,
где
ϕ2,η = ϕ3,η 2 ;
(6)
ϕ3,η
=
arctg
⎡ ⎢ ⎣⎢
−
−M 2 sin M 2 cos ϕ1
ϕ1 − ψη2
⎤ ⎥ ⎦⎥
;
(7)
( )Aη = R ⎣⎢⎡(M2 sin ϕ1 )2 +
M2 cos ϕ1 − ψη2
2
⎤1 ⎥⎦
4
;
η = 1, ∞ .
(8)
При ϕ1 = π 2 значение ϕ2,η , согласно (6), (7), определяется из следующего соотношения:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
24 В. В. Григорьев, С. В. Быстров, И. М. Першин, А. К. Наумова, А. Н. Гурьянова
Найдем предел
ϕ2,η
=
1 2
arctg
⎛ ⎜ ⎜⎝
−M2 −ψη2
⎞ ⎟, ⎟⎠
η
=
1, ∞
.
lim
M1→∞
ϕ2,η
=
lim
M1→∞
1 2
arctg
⎛ ⎜ ⎜⎝
−M1 −a1ψη2
⎞ ⎟ ⎟⎠
=
−
π 4
,
η = 1, ∞ .
Аналогично можно показать, что при φ1=–π/2 и M1 → ∞ значение φ2,η стремится к π/4.
Im(S)
M1 ϕ1
S Re(S)
Im(j z)
M~η –M~η
Λ1
ϕ2, η –ϕ2, η
Γ Re(j z)
Λ2
Рис. 1
На рис. 1 показано отображение правой полуплоскости S на плоскость Γ. Получаемое
отображение представлено в виде секторов Λ1 и Λ2; M η = ψηR .
( )Исследования, проведенные в работе [5], показывают, что функции J0,η jzη , η = 1, ∞ ,
в секторах Λ1 и Λ2 не имеют нулей, следовательно, функция J0,η ( R, s) не имеет нулей, лежа-
щих в правой полуплоскости S. Это отражает известное свойство устойчивости тепловых
∗
процессов. Исследуя функцию J0,η(R, s) , η = 1, ∞ , можно показать, что она также не имеет
нулей, лежащих в правой полуплоскости S. Представленная методика позволяет судить о нулях и полюсах передаточной функции по каждому контуру управления одномерным температурным полем.
Рассмотрим отображение области {G, s} в область{G, jz(G)}. Для этого представим вы-
ражение (6) с использованием обобщенной координаты G [1, 3]:
jz(G) = A(g) exp ( jϕ2 (G)) , G = Gн , ∞ ,
где
ϕ2 = ϕ3 2 ;
(9)
ϕ3
=
arctg
⎡ −M 2 sin ϕ1
⎢ ⎣
−M
2
cos
ϕ1
−
G
⎤ ⎥ ⎦
;
(10)
A(G)
=
R
⎡⎣( M 2
sin ϕ1 )2
+
(M2
cos ϕ1
− G)2
⎤1 ⎦
4
,
G
=
Gн , ∞
.
(11)
При φ1=π/2 значение φ2, согласно (9), (10), определяется из следующего соотношения:
ϕ2
=
1 2
arctg
⎛ ⎜⎝
−M2 −G
⎞ ⎠⎟
,
G
=
Gн , ∞
.
Найдем предел
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Экспоненциальная устойчивость линейных систем с распределенными параметрами 25
lim
M1→∞
ϕ2
=
lim
M1→∞
1 2
arctg
⎛ ⎝⎜
−M1 −aG
⎞ ⎟⎠
=
−
π 4
,
G
=
Gн , ∞
.
Аналогично можно показать, что при φ1= –π/2 и M1→∞ значение φ2 стремится к π/4. На рис. 2 представлено отображение области {G, s} в область {G, jz(G)}. Это отображение
получается в виде областей Λ1 и Λ2; M = GR .
Im(j z)
Γ
Im(S)
S
M1 ϕ1 Re(S)
M~(G)
Λ1
ϕ2(G)
Re(j z)
–ϕ2(G)
–M~(G)
Λ2 π/4
–π/4
Рис. 2
Исследования, проведенные в работах [1, 3], показывают, что рассматриваемая функция
( )в областях Λ1 и Λ2 не имеет нулей, следовательно, функция J0,η jzη , η = 1, ∞ , записанная с
использованием обобщенной координаты в виде J0 (G, R, s) , не имеет нулей, лежащих в об-
ласти {G, s}. Это отражает известное свойство устойчивости тепловых процессов. Аналогич-
*
но можно показать, что функция J0 (G, R, s) , G = Gн , ∞ , также не имеет нулей, лежащих в правой полуплоскости S.
Полученные результаты для передаточной функции, записанной с использованием обобщенной координаты, показывают, что передаточная функция не имеет нулей и полюсов, лежащих в правой полуплоскости S, является мероморфной и на контуре интегрирования бесконечно большого радиуса не имеет особенностей. Следовательно, критерий Найквиста применим к оценке устойчивости рассматриваемых систем управления.
Введя конформное отображение вида s1 = s − α ,
проведем аналогичную процедуру с передаточной функцией вида
Wη,γ,ξ(s1) = Вη,γ,ξ(s1)/Аη,γ,ξ(s1); η, γ = 1, 2, …; ξ = 1, 2, …, 4.
Если разомкнутый контур экспоненциально устойчив с параметром α, то АФЧХ модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого контура Wη,γ,ξ(s1) не должна охватывать точку (–1, j=0) комплексной плоскости, при этом линейная система будет экспоненциально устойчивой со степенью сходимости α.
Разомкнутый контур будет экспоненциально устойчив с параметром α, если пространственный годограф модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого кон-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
26 В. В. Григорьев, С. В. Быстров, И. М. Першин, А. К. Наумова, А. Н. Гурьянова
тура W(G,s1) не будет охватывать линию (–1, j=0,G). При этом на системы с распределенными параметрами можно распространить оценки качества процессов [6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Григорьев В. В., Быстров С. В., Першин И. М. Синтез распределенных регуляторов: Учеб. пособие. СПб: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2011. 200 с.
2. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы. М.: Энергия, 1981. 303 с.
3. Першин И. М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. Пятигорск: Изд-во „РИО КМВ“, 2007. 243 с.
4. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 599 с.
5. Янке П., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968. 344 с.
6. Быстров С. В., Григорьв В. В., Рабыш Е. Ю., Мансурова О. К. Анализ качества переходных процессов в непрерывных и дискретных системах на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2012. № 9. С. 32—36.
Валерий Владимирович Григорьев Сергей Владимирович Быстров Иван Митрофанович Першин Алла Константиновна Наумова Алёна Николаевна Гурьянова
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: grigvv@yandex.ru — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: sbystrov@mail.ru — д-р техн. наук, профессор; Пятигорский институт Северо-Кавказского федерального университета, кафедра управления в технических и биомедицинских системах; заведующий кафедрой; E-mail: ivmp@yandex.ru — Санкт-Петербургский государственный политехнический университет; заведующая сектором учебного отдела департамента образовательной деятельности; E-mail: alya_naumova@mail.ru — магистрант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: lilyliya@mail.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4