АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ МОБИЛЬНОГО КОЛЕСНОГО РОБОТА В ЗАДАЧЕ СЛЕЖЕНИЯ ЗА ЭКЗОСИСТЕМОЙ
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ И ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА УПРАВЛЕНИЯ
УДК 681.51.015
Г. И. БОЛТУНОВ, А. В. ЛЯМИН, А. И. ПЕТРИК
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ МОБИЛЬНОГО КОЛЕСНОГО РОБОТА В ЗАДАЧЕ СЛЕЖЕНИЯ
ЗА ЭКЗОСИСТЕМОЙ*
Рассмотрена задача управления автономным мобильным колесным роботом, движущимся в сложном динамическом окружении. Построена и проанализирована математическая модель робота, выработан алгоритм управления его движением по окружности в среде с подвижными экзосистемами. Эффективность алгоритма проиллюстрирована результатами математического моделирования.
Ключевые слова: мобильный колесный робот, задача слежения за экзосистемой, оценка параметров системы.
Введение. В настоящее время в мире интенсивно расширяются области использования
автономных колесных мобильных роботов [1], которые характеризуются расширенными воз-
можностями приспособления к сложной, неопределенной и подвижной внешней среде, высо-
кой функциональной гибкостью и маневренностью [2, 3].
Слежение за подвижным объектом, параметры движения которого неизвестны, является важ-
ной и сложной задачей робототехники [4]. Построение наблюдателя для подвижного объекта —
один из способов получения оценки его вектора состояния. Для линейных систем данная задача ре-
шена полностью — основы теории были заложены Д. Люенбергером. Последующие работы рас-
пространили эту теорию на новые классы систем [5—7]. Для класса нелинейных систем на сего-
дняшний день данная проблема не имеет общего решения. Существует много работ, в которых
предлагаются частные решения построения наблюдателей для нелинейных систем [8, 9].
В настоящей статье рассматривается задача слежения за подвижной экзосистемой, не-
которые параметры движения которой изначально неизвестны.
Постановка задачи. Кинематическая модель мобильного колесного робота в дискрет-
ном времени описывается следующими уравнениями:
∆xm ∆ym
= =
hυm hυm
csionsααmm,,⎪⎫⎬
∆αm = hωm ,
⎪⎭
(1)
* Статья подготовлена при финансовой поддержке Конкурса грантов для студентов вузов, расположенных на территории Санкт-Петербурга, аспирантов вузов, отраслевых и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга, а также при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0778).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
72 Г. И. Болтунов, А. В. Лямин, А. И. Петрик
где вектор (x, y, α) описывает положение и ориентацию робота относительно неподвижной
системы координат (рис. 1), υ и ω — векторы линейной и угловой скорости соответственно, h — интервал дискретности, m = 0,1, 2,... — целое число. Несмотря на то что данная модель
является упрощенной моделью движения мобильного колесного робота (динамика двигате-
лей, деформация колес и другие механические эффекты не рассматриваются), она учитывает
неголономные связи, присущие большинству мобильных колесных роботов.
Рассмотрим уравнения движения подвижной экзосистемы
∆xm* ∆ym*
= =
hυ*m hυ*m
csionsαα*m*m,,⎫⎬⎪⎪
∆α*m = hω*m .
⎪ ⎭⎪
(2)
Значения линейной υ* и угловой ω* скоростей (рис. 1) и их производных ограниченны.
y
ω* υ* y* α*
ωυ yα
x x*
x
Рис. 1
Предположим, что линейная и угловая скорости экзосистемы одновременно не стремятся к нулю при m → +∞ .
Задача слежения заключается в нахождении такого закона управления, который обеспечивал бы выполнение следующего равенства:
lim
m→∞
zm
−
zm*
= 0,
(3)
где
⎛υ⎞
⎜ ⎝
ω⎟⎠
=
k(z,
zr
)
.
Синтез алгоритма управления. Для вывода закона управления вычтем из системы
уравнений движения подвижной экзосистемы (2) систему уравнений движения мобильного
робота (1)
( )∆(xm* − xm ) = h
υ*m cos α*m − υm cos αm
,⎫ ⎪
( )∆( ym* − ym ) = h υ*m sin α*m − hυm sin αm ,⎬⎪
( )∆(α*m − αm ) = h ω*m − ωm .
⎪ ⎪ ⎭
(4)
Рассмотрим следующее преобразование координат:
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
e1m em2 em3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
=
⎛T ⎝⎜⎜
T
(αm
0
)
0 1
⎞ ⎠⎟⎟
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
xm* ym* α*m
− − −
xm ym αm
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
,
(5)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Алгоритм управления движением мобильного колесного робота
73
где (e1, e2 , e3 ) — вектор ошибки положения и ориентации относительно системы координат,
связанной с мобильным роботом; T (α) = [τ1(α)
τ2 (α)] ,
τ1(α)
=
⎛ ⎜ ⎝
cos sin
α α
⎞ ⎟ ⎠
и
τ2
(α)
=
⎛ ⎜ ⎝
− sin α cos α
⎞ ⎟ ⎠
.
Матрица T (α) обладает следующими свойствами:
1) T (−α) = T T (α) ,
2) T T (α)T (α) = T (α)T T (α) = I ,
3) T (α + β) = T (α)T (β) = T (β)T (α) .
Перепишем систему уравнений (4) относительно вектора ошибки:
( )T
( α m+1
)
⎛ ⎝⎜⎜
e1m+1 em2 +1
⎞ ⎠⎟⎟
=
T
(
αm
)
⎛ ⎜⎝⎜
e1m em2
⎞ ⎠⎟⎟
+
h
υ*mτ1(α*m ) − υmτ1(αm )
⎫ ,⎪⎪ ⎬
( )em3 +1 = em3 + h ω*m − ωm .
⎪ ⎭⎪
(6)
В первом уравнении системы (6) разделим левую и правую части на T T (αm+1 ) и вос-
пользуемся свойством 2 матрицы T (α)
( )⎛
⎝⎜⎜
e1m+1 em2 +1
⎞ ⎟⎠⎟
=
T
T
( αm+1 )
⎡ ⎢T ⎣⎢
(αm
⎛
) ⎝⎜⎜
e1m em2
⎞ ⎟⎠⎟
+
h
υ*mτ1(α*m ) − υmτ1(αm )
⎤ ⎥. ⎥⎦
Раскрыв скобки в выражении (7) и упростив его, получим
(7)
⎛ ⎜⎝⎜
e1m+1 em2 +1
⎞ ⎠⎟⎟
=
⎛ ⎜ ⎝
cos hωm − sin hωm
( )sin ( )cos
hωm hωm
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜⎝⎜
e1m em2
⎞ ⎠⎟⎟
+
hυ*m
⎛ ⎜ ⎜⎝⎜
cos sin
em3 − hωm em3 − hωm
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
−
hυm
⎛ ⎜ ⎝
cos hωm − sin hωm
⎞ ⎟ ⎠
.
(8)
При достаточно малом интервале дискретности можно линеаризовать данную систему
уравнений
⎛ ⎜⎜⎝
∆e1m ∆em2
⎞ ⎟⎟⎠
=
⎛ ⎜ ⎝
0 −hωm
hωm 0
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜⎝
e1m em2
⎞ ⎟⎟⎠
+
hυ*m
⎛ ⎜⎜⎝
cos em3 sin em3
⎞ ⎟⎟⎠
−
hυm
⎛ ⎜ ⎝
1 −hωm
⎞ ⎟ ⎠
.
Введем закон управления положением робота, обозначив
(9)
( )υ*m cos em3 − υm = umυ .
(10)
Также введем закон управления ориентацией робота, обозначив во втором выражении системы (6)
ω*m − ωm = umω .
(11)
Тогда с учетом введенных управлений система уравнений ошибок принимает следую-
щий вид
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜
∆e1m ∆em2 ∆em3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎟
=
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
1
−hωm 0
hωm 1
0
0 0 0
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜
e1m em2 em3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎟
+
⎛0
h
⎜ ⎜
sin
em3
⎜ ⎝
0
⎞
⎟ ⎟
υ*m
⎟
⎠
+
⎛1
h
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
Выберем следующие линейные законы управления:
umυ = −k1e1m ,
umω = −k2sign(υ*m )em2 − k3em3 .
0 0 1
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
⎛ ⎜⎜⎝
umυ umω
⎞ ⎟⎠⎟
.
(12)
(13) (14)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
74 Г. И. Болтунов, А. В. Лямин, А. И. Петрик
В работе [10] доказано, что данные законы управления обеспечивают асимптотическую устойчивость замкнутой системы. В выражениях (13) и (14) параметры k1, k2 и k3 выбираются таким образом, чтобы корни характеристического уравнения системы (12) лежали внутри
единичного круга комплексной плоскости e0i < 1 .
В условиях, когда параметры движения подвижной экзосистемы неизвестны, необходимо произвести оценку векторов линейной и угловой скоростей движения экзосистемы
( ) ( )υˆ*m
=
1 h
∆xm*
2
+
∆ym*
2
,
(15)
ωˆ *m
=
1 h
∆α*m
.
(16)
Рассмотрим случай движения мобильного робота и подвижной экзосистемы по окруж-
ности, используя следующие допущения: экзосистема движется с постоянной скоростью;
в начальный момент времени положение мобильного робота характеризуется вектором
(x = −1, y = 0, α = π 2) , а положение экзосистемы — вектором (x = 0, y = 1, α = 0) . На рис. 2
представлены временные диаграммы изменения ошибок по положению e1, e2 и по углу e3 .
е
1
е2 0 е1
е3
–1
01
2 3 4 5 t, с
Рис. 2
Из рисунка видно, что со временем происходит полное согласование движений мобильного колесного робота и подвижной экзосистемы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Петрик А. И. Разработка алгоритмов управления в задаче ориентации колесных роботов // Сб. науч.-исслед. выпускных квалификационных работ магистров НИУ ИТМО. СПб: НИУ ИТМО, 2011. С. 78—79.
2. Бурдаков С Ф , Мирошник И В , Стельмаков Э. Р. Системы управления движением колесных роботов. СПб: Наука, 2001. 236 с.
3. Бобцов А. А., Лямин А. В. Синтез систем управления движением мобильного робота вдоль аналитически незаданных траекторий // Навигация и управление движением: Сб. докл. 2-й науч.-техн. конф. молодых ученых. СПб, 2000. С. 138—148.
4. Belkhouche F., Rastgoufard P., Belkhouche B. Robot navigation-tracking of moving objects using the standard proportional navigation law // IEEE Trans. Robotics. 2007. P. 1—15.
5. Rotella F., Zambettaki I. Minimal Single Linear Functional Observers for Linear Systems // Automatica. 2011. Vol. 47, N 1. P. 164—169.
6. Darouach M. Complements to full order observer design for linear systems with unknown inputs // Applied Mathematics Letters. 2009. Vol. 22. P. 1107—1111.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Анализ влияния ветровых возмущений на систему стабилизации курса ЛА
75
7. Ильин А. В., Коровин С. К., Фомичев В. В. Методы построения наблюдателей для линейных динамических систем с неопределенностью // Тр. Математического ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2008. Т. 262. С. 87—102.
8. Farza M., M’Saad M., Maatoug T., Kamoun M. Adaptive observers for nonlinearly parameterized class of nonlinear systems // Automatica. 2009. Vol. 45, N 10. P. 2292—2299.
9. Lin W., Wei J., Wan F. Observer design of discrete time nonlinear systems // Decision and Control. 2008. P. 5402—5407.
10. Canudas de Wit C., Khennouf H., Samso C., Sordalen O. J. Nonliner control design for mobile robots // Nonlinear control for mobile robots. World Scientific series in Robotics and Intelligent Systems. 1993.
Геннадий Иванович Болтунов Андрей Владимирович Лямин Александра Игоревна Петрик
Сведения об авторах — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный иссле-
довательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; старший научный сотрудник — канд. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютерных образовательных технологий — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
УДК 681.51.015
Г. И. БОЛТУНОВ, А. В. ЛЯМИН, А. И. ПЕТРИК
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ МОБИЛЬНОГО КОЛЕСНОГО РОБОТА В ЗАДАЧЕ СЛЕЖЕНИЯ
ЗА ЭКЗОСИСТЕМОЙ*
Рассмотрена задача управления автономным мобильным колесным роботом, движущимся в сложном динамическом окружении. Построена и проанализирована математическая модель робота, выработан алгоритм управления его движением по окружности в среде с подвижными экзосистемами. Эффективность алгоритма проиллюстрирована результатами математического моделирования.
Ключевые слова: мобильный колесный робот, задача слежения за экзосистемой, оценка параметров системы.
Введение. В настоящее время в мире интенсивно расширяются области использования
автономных колесных мобильных роботов [1], которые характеризуются расширенными воз-
можностями приспособления к сложной, неопределенной и подвижной внешней среде, высо-
кой функциональной гибкостью и маневренностью [2, 3].
Слежение за подвижным объектом, параметры движения которого неизвестны, является важ-
ной и сложной задачей робототехники [4]. Построение наблюдателя для подвижного объекта —
один из способов получения оценки его вектора состояния. Для линейных систем данная задача ре-
шена полностью — основы теории были заложены Д. Люенбергером. Последующие работы рас-
пространили эту теорию на новые классы систем [5—7]. Для класса нелинейных систем на сего-
дняшний день данная проблема не имеет общего решения. Существует много работ, в которых
предлагаются частные решения построения наблюдателей для нелинейных систем [8, 9].
В настоящей статье рассматривается задача слежения за подвижной экзосистемой, не-
которые параметры движения которой изначально неизвестны.
Постановка задачи. Кинематическая модель мобильного колесного робота в дискрет-
ном времени описывается следующими уравнениями:
∆xm ∆ym
= =
hυm hυm
csionsααmm,,⎪⎫⎬
∆αm = hωm ,
⎪⎭
(1)
* Статья подготовлена при финансовой поддержке Конкурса грантов для студентов вузов, расположенных на территории Санкт-Петербурга, аспирантов вузов, отраслевых и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга, а также при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0778).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
72 Г. И. Болтунов, А. В. Лямин, А. И. Петрик
где вектор (x, y, α) описывает положение и ориентацию робота относительно неподвижной
системы координат (рис. 1), υ и ω — векторы линейной и угловой скорости соответственно, h — интервал дискретности, m = 0,1, 2,... — целое число. Несмотря на то что данная модель
является упрощенной моделью движения мобильного колесного робота (динамика двигате-
лей, деформация колес и другие механические эффекты не рассматриваются), она учитывает
неголономные связи, присущие большинству мобильных колесных роботов.
Рассмотрим уравнения движения подвижной экзосистемы
∆xm* ∆ym*
= =
hυ*m hυ*m
csionsαα*m*m,,⎫⎬⎪⎪
∆α*m = hω*m .
⎪ ⎭⎪
(2)
Значения линейной υ* и угловой ω* скоростей (рис. 1) и их производных ограниченны.
y
ω* υ* y* α*
ωυ yα
x x*
x
Рис. 1
Предположим, что линейная и угловая скорости экзосистемы одновременно не стремятся к нулю при m → +∞ .
Задача слежения заключается в нахождении такого закона управления, который обеспечивал бы выполнение следующего равенства:
lim
m→∞
zm
−
zm*
= 0,
(3)
где
⎛υ⎞
⎜ ⎝
ω⎟⎠
=
k(z,
zr
)
.
Синтез алгоритма управления. Для вывода закона управления вычтем из системы
уравнений движения подвижной экзосистемы (2) систему уравнений движения мобильного
робота (1)
( )∆(xm* − xm ) = h
υ*m cos α*m − υm cos αm
,⎫ ⎪
( )∆( ym* − ym ) = h υ*m sin α*m − hυm sin αm ,⎬⎪
( )∆(α*m − αm ) = h ω*m − ωm .
⎪ ⎪ ⎭
(4)
Рассмотрим следующее преобразование координат:
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
e1m em2 em3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
=
⎛T ⎝⎜⎜
T
(αm
0
)
0 1
⎞ ⎠⎟⎟
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
xm* ym* α*m
− − −
xm ym αm
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
,
(5)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Алгоритм управления движением мобильного колесного робота
73
где (e1, e2 , e3 ) — вектор ошибки положения и ориентации относительно системы координат,
связанной с мобильным роботом; T (α) = [τ1(α)
τ2 (α)] ,
τ1(α)
=
⎛ ⎜ ⎝
cos sin
α α
⎞ ⎟ ⎠
и
τ2
(α)
=
⎛ ⎜ ⎝
− sin α cos α
⎞ ⎟ ⎠
.
Матрица T (α) обладает следующими свойствами:
1) T (−α) = T T (α) ,
2) T T (α)T (α) = T (α)T T (α) = I ,
3) T (α + β) = T (α)T (β) = T (β)T (α) .
Перепишем систему уравнений (4) относительно вектора ошибки:
( )T
( α m+1
)
⎛ ⎝⎜⎜
e1m+1 em2 +1
⎞ ⎠⎟⎟
=
T
(
αm
)
⎛ ⎜⎝⎜
e1m em2
⎞ ⎠⎟⎟
+
h
υ*mτ1(α*m ) − υmτ1(αm )
⎫ ,⎪⎪ ⎬
( )em3 +1 = em3 + h ω*m − ωm .
⎪ ⎭⎪
(6)
В первом уравнении системы (6) разделим левую и правую части на T T (αm+1 ) и вос-
пользуемся свойством 2 матрицы T (α)
( )⎛
⎝⎜⎜
e1m+1 em2 +1
⎞ ⎟⎠⎟
=
T
T
( αm+1 )
⎡ ⎢T ⎣⎢
(αm
⎛
) ⎝⎜⎜
e1m em2
⎞ ⎟⎠⎟
+
h
υ*mτ1(α*m ) − υmτ1(αm )
⎤ ⎥. ⎥⎦
Раскрыв скобки в выражении (7) и упростив его, получим
(7)
⎛ ⎜⎝⎜
e1m+1 em2 +1
⎞ ⎠⎟⎟
=
⎛ ⎜ ⎝
cos hωm − sin hωm
( )sin ( )cos
hωm hωm
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜⎝⎜
e1m em2
⎞ ⎠⎟⎟
+
hυ*m
⎛ ⎜ ⎜⎝⎜
cos sin
em3 − hωm em3 − hωm
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
−
hυm
⎛ ⎜ ⎝
cos hωm − sin hωm
⎞ ⎟ ⎠
.
(8)
При достаточно малом интервале дискретности можно линеаризовать данную систему
уравнений
⎛ ⎜⎜⎝
∆e1m ∆em2
⎞ ⎟⎟⎠
=
⎛ ⎜ ⎝
0 −hωm
hωm 0
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜⎝
e1m em2
⎞ ⎟⎟⎠
+
hυ*m
⎛ ⎜⎜⎝
cos em3 sin em3
⎞ ⎟⎟⎠
−
hυm
⎛ ⎜ ⎝
1 −hωm
⎞ ⎟ ⎠
.
Введем закон управления положением робота, обозначив
(9)
( )υ*m cos em3 − υm = umυ .
(10)
Также введем закон управления ориентацией робота, обозначив во втором выражении системы (6)
ω*m − ωm = umω .
(11)
Тогда с учетом введенных управлений система уравнений ошибок принимает следую-
щий вид
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜
∆e1m ∆em2 ∆em3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎟
=
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
1
−hωm 0
hωm 1
0
0 0 0
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜
e1m em2 em3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎟
+
⎛0
h
⎜ ⎜
sin
em3
⎜ ⎝
0
⎞
⎟ ⎟
υ*m
⎟
⎠
+
⎛1
h
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
Выберем следующие линейные законы управления:
umυ = −k1e1m ,
umω = −k2sign(υ*m )em2 − k3em3 .
0 0 1
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
⎛ ⎜⎜⎝
umυ umω
⎞ ⎟⎠⎟
.
(12)
(13) (14)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
74 Г. И. Болтунов, А. В. Лямин, А. И. Петрик
В работе [10] доказано, что данные законы управления обеспечивают асимптотическую устойчивость замкнутой системы. В выражениях (13) и (14) параметры k1, k2 и k3 выбираются таким образом, чтобы корни характеристического уравнения системы (12) лежали внутри
единичного круга комплексной плоскости e0i < 1 .
В условиях, когда параметры движения подвижной экзосистемы неизвестны, необходимо произвести оценку векторов линейной и угловой скоростей движения экзосистемы
( ) ( )υˆ*m
=
1 h
∆xm*
2
+
∆ym*
2
,
(15)
ωˆ *m
=
1 h
∆α*m
.
(16)
Рассмотрим случай движения мобильного робота и подвижной экзосистемы по окруж-
ности, используя следующие допущения: экзосистема движется с постоянной скоростью;
в начальный момент времени положение мобильного робота характеризуется вектором
(x = −1, y = 0, α = π 2) , а положение экзосистемы — вектором (x = 0, y = 1, α = 0) . На рис. 2
представлены временные диаграммы изменения ошибок по положению e1, e2 и по углу e3 .
е
1
е2 0 е1
е3
–1
01
2 3 4 5 t, с
Рис. 2
Из рисунка видно, что со временем происходит полное согласование движений мобильного колесного робота и подвижной экзосистемы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Петрик А. И. Разработка алгоритмов управления в задаче ориентации колесных роботов // Сб. науч.-исслед. выпускных квалификационных работ магистров НИУ ИТМО. СПб: НИУ ИТМО, 2011. С. 78—79.
2. Бурдаков С Ф , Мирошник И В , Стельмаков Э. Р. Системы управления движением колесных роботов. СПб: Наука, 2001. 236 с.
3. Бобцов А. А., Лямин А. В. Синтез систем управления движением мобильного робота вдоль аналитически незаданных траекторий // Навигация и управление движением: Сб. докл. 2-й науч.-техн. конф. молодых ученых. СПб, 2000. С. 138—148.
4. Belkhouche F., Rastgoufard P., Belkhouche B. Robot navigation-tracking of moving objects using the standard proportional navigation law // IEEE Trans. Robotics. 2007. P. 1—15.
5. Rotella F., Zambettaki I. Minimal Single Linear Functional Observers for Linear Systems // Automatica. 2011. Vol. 47, N 1. P. 164—169.
6. Darouach M. Complements to full order observer design for linear systems with unknown inputs // Applied Mathematics Letters. 2009. Vol. 22. P. 1107—1111.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Анализ влияния ветровых возмущений на систему стабилизации курса ЛА
75
7. Ильин А. В., Коровин С. К., Фомичев В. В. Методы построения наблюдателей для линейных динамических систем с неопределенностью // Тр. Математического ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2008. Т. 262. С. 87—102.
8. Farza M., M’Saad M., Maatoug T., Kamoun M. Adaptive observers for nonlinearly parameterized class of nonlinear systems // Automatica. 2009. Vol. 45, N 10. P. 2292—2299.
9. Lin W., Wei J., Wan F. Observer design of discrete time nonlinear systems // Decision and Control. 2008. P. 5402—5407.
10. Canudas de Wit C., Khennouf H., Samso C., Sordalen O. J. Nonliner control design for mobile robots // Nonlinear control for mobile robots. World Scientific series in Robotics and Intelligent Systems. 1993.
Геннадий Иванович Болтунов Андрей Владимирович Лямин Александра Игоревна Петрик
Сведения об авторах — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный иссле-
довательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; старший научный сотрудник — канд. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютерных образовательных технологий — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4