АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ВЕТРОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ НА СИСТЕМУ СТАБИЛИЗАЦИИ КУРСА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
75
УДК 62-51
В. В. ГРИГОРЬЕВ, А. Б. БУШУЕВ, А. Н. КОРОВЬЯКОВ, Ю. В. ЛИТВИНОВ
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ВЕТРОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ НА СИСТЕМУ СТАБИЛИЗАЦИИ КУРСА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ*
Предложена удобная для практического применения численная характеристика эффективности функционирования систем стабилизации летательных аппаратов в условиях влияния случайных возмущений. Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, робот, система стабилизации, случайные возмущения.
В пилотажно-навигационных комплексах летательных аппаратов (ЛА) на функционирование радиоэлектронных систем автоматического управления полетом влияет множество интенсивных возмущающих воздействий случайной природы. Учет этого влияния требует использования сложного математического аппарата и редко приводит к численно выраженным наглядным практическим результатам.
В настоящей работе предлагается использовать не требующую громоздких вычислений численную характеристику динамических и точностных свойств линейной дискретной системы с аддитивным случайным возмущением. В качестве характеристики используется объем эллипсоида правдоподобия (рассеяния), в котором с заданной вероятностью находится вектор состояния системы.
* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0406).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
76 В. В. Григорьев, А. Б. Бушуев, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
Движение ЛА описывается уравнениями движения центра масс, вращательного движения вокруг центра масс, а также кинетическими уравнениями [1]. Дискретизованную модель замкнутой системы стабилизации ЛА представим в виде:
x(m + 1) = Fх(m) + Gw(m),⎫
y(m) = Cx(m),
⎬ ⎭
(1)
где x ∈ Rn — п-мерный вектор состояния дискретной модели системы, y — измеренное зна-
чение угла курса ЛА ( y ∈ R1), w — случайное возмущение, действующее на параметр y, m —
номер интервала дискретности (m=0, 1, 2, …), F=A–Bk — динамическая матрица дискретной модели системы стабилизации курса, G — матрица, определяющая точку приложения случайного возмущения, С — матрица выходов.
Рассмотрим задачу стабилизации заданного курса ЛА, положив в системе (1): M[x(0)] = x (0) = 0 ,
где М[ ] — операция взятия математического ожидания вектора х(0). Пусть матрица ковариаций вектора начальных отклонений в системе (1) равна
M[x(0)xT (0)] = X0 .
Составляющую ветрового возмущения, проявляющегося в случайных отклонениях курса ЛА, будем моделировать в виде скалярного случайного процесса w(m) с дискретным вре-
менем и следующими статистическими характеристиками: 1) математическое ожидание
M[w(m)] = w(m),
2) дисперсия возмущения
M[(w(m) − w(m))2 ] = δm2 , будем считать ее неизменной во времени δm = δ0 ,
3) состояния системы (1) некоррелированы с возмущением
M[х(k)wT (m)] = 0 , k=0, 1, 2,…,
4) возмущение w(m) имеет нормальное распределение.
С учетом перечисленных условий проанализируем изменение во времени первых двух моментов от вектора состояния системы (1), в случае нормального распределения возмущения, полностью характеризующих вероятностные свойства процессов в системе стабилизации курса.
Взяв математическое ожидание из выражений (1), получим:
x (m + 1) = Fх (m) + Gw(m),⎫
y(m) = Cx (m).
⎬ ⎭
(2)
Если x (0) = 0 и w(m) = 0 (m=0, 1, 2, …), то математическое ожидание вектора состояния сис-
темы (1) х(m) равно нулю для любого момента времени.
Уравнение для поведения матрицы дисперсий системы во времени получено следующим образом [2]: вычтя (2) из (1), умножив полученное выражение на результат его транспонирования и взяв математическое ожидание от обеих сторон полученного равенства, найдем:
X m+1 = FX mFT + Gδm2 GT , X0 = X (0) ,
(3)
где X m = M [(x(m) − x (m))(x(m) − x (m))T ] — матрица ковариаций (дисперсий) вектора со-
стояния системы стабилизации курса. Дисперсия выходной переменной (измеренного значения угла курса ЛА) определяется
выражением:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Анализ влияния ветровых возмущений на систему стабилизации курса ЛА
77
M[( y(m) − y(m))2 ] = CXmCT .
(4)
Если дисперсия возмущения является неизменной во времени величиной (δm2 = δ02) и
замкнутая система стабилизации курса асимптотически устойчива (т.е. все собственные числа
матрицы F лежат в единичном круге), то решение разностного матричного уравнения (3) схо-
дится к стационарному значению, являющемуся решением алгебраического матричного
уравнения
X = FXFT + Gδ02GT .
(5)
Решение уравнения (5) позволяет найти матрицу дисперсий в установившемся режиме,
т.е. значение матрицы после окончания переходных процессов. Уравнения для математиче-
ского ожидания от вектора состояния системы стабилизации (2) и для матрицы дисперсий (3)
не связаны друг с другом, поэтому последовательности x (m) и X m можно вычислять раз-
дельно.
Рассмотрим поведение системы стабилизации курса самолета при возмущениях с нуле-
вым математическим ожиданием.
В этом случае математическое ожидание от вектора состояния системы стабилизации
курса равно нулю для любого момента времени, и статистические свойства процессов в сис-
теме полностью и наиболее наглядно характеризуются динамикой изменения матрицы дис-
персий X m . Анализ поведения этой матрицы представляет собой удобный для вычислений
способ оценки влияния случайного возмущения на динамику системы стабилизации курса.
Вероятность нахождения вектора состояния системы внутри эллипсоида правдоподобия [3]:
(x − x )T X m−1(x − x ) = χ2
(6)
подчиняется χ2 -распределению с n степенями свободы, где n — размерность вектора состоя-
ния системы. Вероятность нахождения вектора состояния системы стабилизации курса самолета внутри эллипсоида правдоподобия (6) удобно вычислять как значение функции χ2 -
распределения P[(x − x)T X m−1(x − x ) ≤ χ2 ] = P[χ2 ] = F[χ2, n] ,
приведенной в таблице.
n χ2 1 2 3 4 5
1 0,683 0,393 0,199 0,090 0,037 4 0,954 0,865 0,739 0,594 0,451 3 0,997 0,989 0,971 0,939 0,891
Если в результате решения уравнения (3) вычислены матрицы дисперсий X m с начальной матрицей X0 , то для любого момента времени m можно построить эллипсоид правдоподобия с заданными значениями χ2 , соответствующий некоторому значению вероятности
P(χ2 ) нахождения в данный момент траектории системы стабилизации времени в этом эл-
липсоиде. Совокупность таких эллипсоидов правдоподобия образует „трубку“ равновероятностного
уровня (P[χ2 ]) , характеризующую поведение системы стабилизации курса самолета при случайных воздействиях. В каждый из моментов времени m вероятность нахождения траектории
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
78 В. В. Григорьев, А. Б. Бушуев, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
движения системы стабилизации внутри трубки равна P[χ2]. При δm2 = δ02 значение постоянного уровня эллипсоидов правдоподобия с течением времени стремится к χ2
(x − x )T X −1(x − x ) = χ2 ,
(7)
где X −1 — обратная матрица к Х, определяемой из решения алгебраического матричного уравнения (5). Соотношение (7) позволяет построить стационарную „трубку“ равновероятностного уровня, характеризующую установившийся режим работы системы стабилизации курса самолета.
Использование „трубок“ равновероятностного уровня позволяет получить информацию о статистических и динамических свойствах системы стабилизации курса в наглядной графической форме. Для многомерных процессов с увеличением размерности вектора состояния системы наглядность геометрических образов теряется, а трудоемкость построения эллипсоидов правдоподобия быстро возрастает. Поэтому введем скалярную характеристику, связанную с эллипсоидом правдоподобия. Вычислим объем эллипсоида правдоподобия (6):
Vm
= [det
X
−1 m
]−1/
2
V0
= [det X m] ]1/ 2V0 ,
где V0 — объем сферы, описываемой выражением (x − x )T (x − x ) = χ2 , радиуса χ .
Значение Vm в момент времени m характеризует тот объем в пространстве состояний, в
котором с вероятностью P[χ2] может находиться траектория системы стабилизации курса.
Характер изменения Vm определяется динамическими свойствами системы стабилизации курса самолета, а именно сходимостью процессов.
Значение объема эллипсоида правдоподобия в установившемся режиме (7) характеризует точностные показатели системы.
Приведем конкретный пример расчета объема эллипсоида правдоподобия [4] по итерационной процедуре, основанной на решении уравнения (3).
Пусть для интервала дискретизации T=0,05 c матрица F будет следующей
⎡1
F
=
⎢ ⎢
0
⎢−0, 048
⎢ ⎣
−1,
371
0, 05 1
−0, 059 −2, 839
0 0, 05 0, 964 −1, 851
0⎤
0 0, 05
⎥ ⎥ ⎥
,
0, 425⎥⎦
а для T=0,1 с
⎡1
F
=
⎢ ⎢
0
⎢⎢−0, 033
⎣⎢−0, 281
0,1 1 4 ⋅10−4 −2, 297
0 0,1
0, 944 −2,126
0⎤
0 0,1
⎥ ⎥ ⎥
.
⎥
0,15⎥⎦
Матрицу входов G для обоих значений интервалов Т (0,05 и 0,1 с) выбираем в следую-
щем виде:
⎛0⎞
G
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
⎟ ⎟ ⎟
,
δ2m
= 1.
⎜ ⎝
4
⎟ ⎠
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Анализ влияния ветровых возмущений на систему стабилизации курса ЛА
79
Уравнение (3) решалось итерационно, в результате получены графики изменения объе-
ма эллипсоида, представленные на рис. 1 (1 — Т=0,05; 2 — 0,1 с).
Vm
4
3
2 2
1 1
0 20 40 60 80
Рис. 1
Для матрицы входов
⎛0⎞
G
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
⎟ ⎟ ⎟
,
δ2m
=1
⎝⎜10
⎟ ⎠
графики приведены на рис. 2 (1 — Т=0,05; 2 — 0,1 с).
Vm
2 30
100 m
20
1 10
0 20 40 60 80 m
Рис. 2
На рис. 3 приведены графики (1 — Т=0,05; 2 — 0,1 с) для следующей матрицы
Vm, 107
⎛0⎞
⎜
G
=
⎜ ⎜
0 0
⎟ ⎟. ⎟
⎜ ⎝
400
⎟ ⎠
8 2
6
4 1
2
0 20 40 60 80 m
Рис. 3
Анализ полученных зависимостей показал, что во всех рассмотренных случаях объемы эллипсоидов правдоподобия достаточно быстро сходятся к установившимся значениям, зависящим не только от интенсивности случайного возмущения, действующего на систему, но и от интервала дискретизации Т.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
80 В. В. Григорьев, А. Б. Бушуев, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Брайсон А., Хо Ю. Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.
2. Топчеев Ю. И., Потемкин В. Г., Иваненко В. Г. Системы стабилизации. М.: Машиностроение, 1974. 248 с.
3. Григорьев В. В., Козис Д. В., Коровьяков А. Н., Литвинов Ю. В. Анализ поведения автоматических радиодальномеров при случайных возмущениях // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 7. С. 26—32.
4. Бушуев А. Б., Григорьев В. В., Коровьяков А. Н., Литвинов Ю. В. Оценка работоспособности измерителя дальности в посадочном комплексе беспилотного летательного аппарата // Авиация и космонавтика Publishing house Education and Science. 2011.
5. Быстров С. В., Григорьв В. В., Рабыш Е. Ю., Мансурова О. К. Анализ качества переходных процессов в непрерывных и дискретных системах на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2012. № 9. С. 32—36.
Сведения об авторах
Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, меха-
ники и оптики, кафедра систем управления и информатики;
E-mail: grigvv@yandex.ru
Александр Борисович Бушуев
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, меха-
ники и оптики, кафедра систем управления и информатики
Анатолий Николаевич Коровьяков — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, меха-
ники и оптики, кафедра систем управления и информатики
Юрий Володарович Литвинов
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, меха-
ники и оптики, кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
УДК 62-51
В. В. ГРИГОРЬЕВ, А. Б. БУШУЕВ, А. Н. КОРОВЬЯКОВ, Ю. В. ЛИТВИНОВ
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ВЕТРОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ НА СИСТЕМУ СТАБИЛИЗАЦИИ КУРСА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ*
Предложена удобная для практического применения численная характеристика эффективности функционирования систем стабилизации летательных аппаратов в условиях влияния случайных возмущений. Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, робот, система стабилизации, случайные возмущения.
В пилотажно-навигационных комплексах летательных аппаратов (ЛА) на функционирование радиоэлектронных систем автоматического управления полетом влияет множество интенсивных возмущающих воздействий случайной природы. Учет этого влияния требует использования сложного математического аппарата и редко приводит к численно выраженным наглядным практическим результатам.
В настоящей работе предлагается использовать не требующую громоздких вычислений численную характеристику динамических и точностных свойств линейной дискретной системы с аддитивным случайным возмущением. В качестве характеристики используется объем эллипсоида правдоподобия (рассеяния), в котором с заданной вероятностью находится вектор состояния системы.
* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0406).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
76 В. В. Григорьев, А. Б. Бушуев, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
Движение ЛА описывается уравнениями движения центра масс, вращательного движения вокруг центра масс, а также кинетическими уравнениями [1]. Дискретизованную модель замкнутой системы стабилизации ЛА представим в виде:
x(m + 1) = Fх(m) + Gw(m),⎫
y(m) = Cx(m),
⎬ ⎭
(1)
где x ∈ Rn — п-мерный вектор состояния дискретной модели системы, y — измеренное зна-
чение угла курса ЛА ( y ∈ R1), w — случайное возмущение, действующее на параметр y, m —
номер интервала дискретности (m=0, 1, 2, …), F=A–Bk — динамическая матрица дискретной модели системы стабилизации курса, G — матрица, определяющая точку приложения случайного возмущения, С — матрица выходов.
Рассмотрим задачу стабилизации заданного курса ЛА, положив в системе (1): M[x(0)] = x (0) = 0 ,
где М[ ] — операция взятия математического ожидания вектора х(0). Пусть матрица ковариаций вектора начальных отклонений в системе (1) равна
M[x(0)xT (0)] = X0 .
Составляющую ветрового возмущения, проявляющегося в случайных отклонениях курса ЛА, будем моделировать в виде скалярного случайного процесса w(m) с дискретным вре-
менем и следующими статистическими характеристиками: 1) математическое ожидание
M[w(m)] = w(m),
2) дисперсия возмущения
M[(w(m) − w(m))2 ] = δm2 , будем считать ее неизменной во времени δm = δ0 ,
3) состояния системы (1) некоррелированы с возмущением
M[х(k)wT (m)] = 0 , k=0, 1, 2,…,
4) возмущение w(m) имеет нормальное распределение.
С учетом перечисленных условий проанализируем изменение во времени первых двух моментов от вектора состояния системы (1), в случае нормального распределения возмущения, полностью характеризующих вероятностные свойства процессов в системе стабилизации курса.
Взяв математическое ожидание из выражений (1), получим:
x (m + 1) = Fх (m) + Gw(m),⎫
y(m) = Cx (m).
⎬ ⎭
(2)
Если x (0) = 0 и w(m) = 0 (m=0, 1, 2, …), то математическое ожидание вектора состояния сис-
темы (1) х(m) равно нулю для любого момента времени.
Уравнение для поведения матрицы дисперсий системы во времени получено следующим образом [2]: вычтя (2) из (1), умножив полученное выражение на результат его транспонирования и взяв математическое ожидание от обеих сторон полученного равенства, найдем:
X m+1 = FX mFT + Gδm2 GT , X0 = X (0) ,
(3)
где X m = M [(x(m) − x (m))(x(m) − x (m))T ] — матрица ковариаций (дисперсий) вектора со-
стояния системы стабилизации курса. Дисперсия выходной переменной (измеренного значения угла курса ЛА) определяется
выражением:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Анализ влияния ветровых возмущений на систему стабилизации курса ЛА
77
M[( y(m) − y(m))2 ] = CXmCT .
(4)
Если дисперсия возмущения является неизменной во времени величиной (δm2 = δ02) и
замкнутая система стабилизации курса асимптотически устойчива (т.е. все собственные числа
матрицы F лежат в единичном круге), то решение разностного матричного уравнения (3) схо-
дится к стационарному значению, являющемуся решением алгебраического матричного
уравнения
X = FXFT + Gδ02GT .
(5)
Решение уравнения (5) позволяет найти матрицу дисперсий в установившемся режиме,
т.е. значение матрицы после окончания переходных процессов. Уравнения для математиче-
ского ожидания от вектора состояния системы стабилизации (2) и для матрицы дисперсий (3)
не связаны друг с другом, поэтому последовательности x (m) и X m можно вычислять раз-
дельно.
Рассмотрим поведение системы стабилизации курса самолета при возмущениях с нуле-
вым математическим ожиданием.
В этом случае математическое ожидание от вектора состояния системы стабилизации
курса равно нулю для любого момента времени, и статистические свойства процессов в сис-
теме полностью и наиболее наглядно характеризуются динамикой изменения матрицы дис-
персий X m . Анализ поведения этой матрицы представляет собой удобный для вычислений
способ оценки влияния случайного возмущения на динамику системы стабилизации курса.
Вероятность нахождения вектора состояния системы внутри эллипсоида правдоподобия [3]:
(x − x )T X m−1(x − x ) = χ2
(6)
подчиняется χ2 -распределению с n степенями свободы, где n — размерность вектора состоя-
ния системы. Вероятность нахождения вектора состояния системы стабилизации курса самолета внутри эллипсоида правдоподобия (6) удобно вычислять как значение функции χ2 -
распределения P[(x − x)T X m−1(x − x ) ≤ χ2 ] = P[χ2 ] = F[χ2, n] ,
приведенной в таблице.
n χ2 1 2 3 4 5
1 0,683 0,393 0,199 0,090 0,037 4 0,954 0,865 0,739 0,594 0,451 3 0,997 0,989 0,971 0,939 0,891
Если в результате решения уравнения (3) вычислены матрицы дисперсий X m с начальной матрицей X0 , то для любого момента времени m можно построить эллипсоид правдоподобия с заданными значениями χ2 , соответствующий некоторому значению вероятности
P(χ2 ) нахождения в данный момент траектории системы стабилизации времени в этом эл-
липсоиде. Совокупность таких эллипсоидов правдоподобия образует „трубку“ равновероятностного
уровня (P[χ2 ]) , характеризующую поведение системы стабилизации курса самолета при случайных воздействиях. В каждый из моментов времени m вероятность нахождения траектории
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
78 В. В. Григорьев, А. Б. Бушуев, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
движения системы стабилизации внутри трубки равна P[χ2]. При δm2 = δ02 значение постоянного уровня эллипсоидов правдоподобия с течением времени стремится к χ2
(x − x )T X −1(x − x ) = χ2 ,
(7)
где X −1 — обратная матрица к Х, определяемой из решения алгебраического матричного уравнения (5). Соотношение (7) позволяет построить стационарную „трубку“ равновероятностного уровня, характеризующую установившийся режим работы системы стабилизации курса самолета.
Использование „трубок“ равновероятностного уровня позволяет получить информацию о статистических и динамических свойствах системы стабилизации курса в наглядной графической форме. Для многомерных процессов с увеличением размерности вектора состояния системы наглядность геометрических образов теряется, а трудоемкость построения эллипсоидов правдоподобия быстро возрастает. Поэтому введем скалярную характеристику, связанную с эллипсоидом правдоподобия. Вычислим объем эллипсоида правдоподобия (6):
Vm
= [det
X
−1 m
]−1/
2
V0
= [det X m] ]1/ 2V0 ,
где V0 — объем сферы, описываемой выражением (x − x )T (x − x ) = χ2 , радиуса χ .
Значение Vm в момент времени m характеризует тот объем в пространстве состояний, в
котором с вероятностью P[χ2] может находиться траектория системы стабилизации курса.
Характер изменения Vm определяется динамическими свойствами системы стабилизации курса самолета, а именно сходимостью процессов.
Значение объема эллипсоида правдоподобия в установившемся режиме (7) характеризует точностные показатели системы.
Приведем конкретный пример расчета объема эллипсоида правдоподобия [4] по итерационной процедуре, основанной на решении уравнения (3).
Пусть для интервала дискретизации T=0,05 c матрица F будет следующей
⎡1
F
=
⎢ ⎢
0
⎢−0, 048
⎢ ⎣
−1,
371
0, 05 1
−0, 059 −2, 839
0 0, 05 0, 964 −1, 851
0⎤
0 0, 05
⎥ ⎥ ⎥
,
0, 425⎥⎦
а для T=0,1 с
⎡1
F
=
⎢ ⎢
0
⎢⎢−0, 033
⎣⎢−0, 281
0,1 1 4 ⋅10−4 −2, 297
0 0,1
0, 944 −2,126
0⎤
0 0,1
⎥ ⎥ ⎥
.
⎥
0,15⎥⎦
Матрицу входов G для обоих значений интервалов Т (0,05 и 0,1 с) выбираем в следую-
щем виде:
⎛0⎞
G
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
⎟ ⎟ ⎟
,
δ2m
= 1.
⎜ ⎝
4
⎟ ⎠
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Анализ влияния ветровых возмущений на систему стабилизации курса ЛА
79
Уравнение (3) решалось итерационно, в результате получены графики изменения объе-
ма эллипсоида, представленные на рис. 1 (1 — Т=0,05; 2 — 0,1 с).
Vm
4
3
2 2
1 1
0 20 40 60 80
Рис. 1
Для матрицы входов
⎛0⎞
G
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
⎟ ⎟ ⎟
,
δ2m
=1
⎝⎜10
⎟ ⎠
графики приведены на рис. 2 (1 — Т=0,05; 2 — 0,1 с).
Vm
2 30
100 m
20
1 10
0 20 40 60 80 m
Рис. 2
На рис. 3 приведены графики (1 — Т=0,05; 2 — 0,1 с) для следующей матрицы
Vm, 107
⎛0⎞
⎜
G
=
⎜ ⎜
0 0
⎟ ⎟. ⎟
⎜ ⎝
400
⎟ ⎠
8 2
6
4 1
2
0 20 40 60 80 m
Рис. 3
Анализ полученных зависимостей показал, что во всех рассмотренных случаях объемы эллипсоидов правдоподобия достаточно быстро сходятся к установившимся значениям, зависящим не только от интенсивности случайного возмущения, действующего на систему, но и от интервала дискретизации Т.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
80 В. В. Григорьев, А. Б. Бушуев, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Брайсон А., Хо Ю. Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.
2. Топчеев Ю. И., Потемкин В. Г., Иваненко В. Г. Системы стабилизации. М.: Машиностроение, 1974. 248 с.
3. Григорьев В. В., Козис Д. В., Коровьяков А. Н., Литвинов Ю. В. Анализ поведения автоматических радиодальномеров при случайных возмущениях // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 7. С. 26—32.
4. Бушуев А. Б., Григорьев В. В., Коровьяков А. Н., Литвинов Ю. В. Оценка работоспособности измерителя дальности в посадочном комплексе беспилотного летательного аппарата // Авиация и космонавтика Publishing house Education and Science. 2011.
5. Быстров С. В., Григорьв В. В., Рабыш Е. Ю., Мансурова О. К. Анализ качества переходных процессов в непрерывных и дискретных системах на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2012. № 9. С. 32—36.
Сведения об авторах
Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, меха-
ники и оптики, кафедра систем управления и информатики;
E-mail: grigvv@yandex.ru
Александр Борисович Бушуев
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, меха-
ники и оптики, кафедра систем управления и информатики
Анатолий Николаевич Коровьяков — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, меха-
ники и оптики, кафедра систем управления и информатики
Юрий Володарович Литвинов
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, меха-
ники и оптики, кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4