Например, Бобцов

ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ТЯГИ ДВИГАТЕЛЯ

Б.В. Видин, О.В. Ульянова

УДК 681.5.01
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ТЯГИ ДВИГАТЕЛЯ
Б.В. Видин, О.В. Ульянова

Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая движение центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости при прямолинейной траектории. Получены оценки значений скорости и дальности в зависимости от ограничений на ресурс управления тягой двигателя. Ключевые слова: динамика летательного аппарата, ресурс управления, ограничения.

Введение

Движение центра масс летательного аппарата в скоростной системе координат в

вертикальной плоскости на прямолинейном участке траектории после выбора направ-

ления описывается [1] системой уравнений

m

dV dt

=

P cos α − Cх

ρV 2 2

S

− mg sin θ ,

dθ dt

=

0

,

dh dt

=

V

sin

θ

,

dx dt

=

V

cos θ

,

dm dt

=

−q, q

>

0

,

(1)

где m – масса летательного аппарата; V – длина вектора скорости; θ – угол наклона

траектории, θ = const ; α – угол атаки, α = const ; h – высота полета; x – дальность по-

лета; q – секундный расход массы топлива; P – тяга двигателя, P ≤ K ; K – ресурс

управления (величина, ограничивающая тягу двигателя, изменение тяги двигателей

возможно в пределах строго ограниченного интервала, обусловленного количеством

топлива (используется нижняя граница данного интервала), S – площадь крыльев лета-

тельного аппарата (ЛА), ρ(h) – плотность атмосферы, зависящая от высоты полета,

ρ(h) = Ce−h R , R – радиус Земли, Cx – коэффициент лобового сопротивления, C y – ко-

эффициент подъемной силы, при этом
∂Cx > 0 ; ∂C y > 0 ∂α ∂α
В качестве управляющей функции выбирается тяга двигателя P(t) . Ставится за-

дача найти P(t) так, чтобы решение системы (1) удовлетворяло начальным условиям

t = t0 : V = V0 , h = h0 , x = x0 , m = m0 , P = P0

(2)

и конечным условиям t = t′ : h = hk , x = xk , m = mk , где t′ – заранее неизвестный момент

времени.

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)

77

ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ...

Предлагаемый подход к решению

Совокупность функций V (t), h(t), x(t), m(t), P(t) будем называть решением зада-

чи

(1),

(2).

Разделив

все

уравнения

системы

(1)

на

dx dt

=V

cosθ ,

приходим

к

системе

dV dx

=

mV

1 cos

θ

⎜⎛ ⎜⎝

Pcosα



C

x

ρV 2 2

S



mgsinθ

⎞⎟ ⎠⎟

,

dh dx

=

tgθ

,

dt dx

=

V

1 cos

θ

,

dm dx

=

V

−q cos θ

.

(3)

Требуется найти P(t) так, чтобы решение системы (3) удовлетворяло начальным

условиям:

x = x0 :V = V0 , h = h0 , m = m0 , P = P0

(4)

и конечным условиям x = xk , h = hk , m = mk . Совокупность функций V (x), h(x), m(x),

P(x) будем называть решением задачи (3), (4). Так как в соответствии с исходными

данными θ = const , необходимо найти функцию h(x):

h(x

)

=

tg

θ

xk
∫ dx

.

x0

Продифференцируем обе части первого уравнения системы (3):

dV dx

=

mV

1 cos

θ

⎛⎜ ⎜⎝

P

cos

α



C

x

ρV 2 2

S



mg

sin

θ

⎞⎟ ⎠⎟

=

f (V,h,m,P),

d 2V dx 2

=

∂f ∂V

dV dx

+

∂f ∂h

dh dx

+

∂f ∂m

dm dx

+

∂f ∂P

dP dx

,

откуда получаем производную тяги по дальности

dP dx

=

d 2V dx 2



∂f ∂V

dV dx



∂f ∂h

∂f

dh dx



∂f ∂m

dm dx

,

∂P где

∂f ∂V

=

1 cos

θ

⎜⎝⎛⎜



P cos α V 2m



CxρS 2m

+

g sin V2

θ

⎟⎟⎠⎞

,

∂f ∂h

=



C x ρVS 2m cosθ

C R

e

−h

R

,

∂f ∂m

=

m2

1 ⎛⎜ − cosθ ⎝

P cosα V

+

C x ρVS 2

⎟⎞ ⎠

,

∂f ∂P

=

cos α mV cosθ

.

Таким образом, приходим к системе уравнений

dP dx

=

d 2V dx 2



∂f ∂V

dV dx



∂f ∂h

∂f

dh dx



∂f ∂m

dm dx

,

∂P

78 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)

Б.В. Видин, О.В. Ульянова

dh dx

= tg θ

,

dt dx

=

V

1 cos θ

,

dm dx

=

V

−q cos

θ

с учетом начальных условий x = x0 , t = t0 , h = h0 , m = m0 , P = P0 на траектории [x0 , xk ].

Поскольку

θ = const ,

dθ dt

=

0

,

то

P sin α + C y

ρV 2

2

S



mg

co sθ

=

0.

Задавая

ограни-

чения на m : m1 ≤ m ≤ m2 , получим ограничения на V :

Cy

ρV2 2

S=

mg cos θ-P sin α

,

V2

=

2 CyρS

(mg cos θ − P sin α)

.

Обозначив V 2 = V , получим

V



C

2 yminρS

(m2

g

cos

θ



K

sin

α

)

=

V2

,

V



2 C ymaxρS

m1g cosθ = V1

,

V1 ≤ V ≤ V2 ; V1 = V1 , V2 = V2 ; V1 ≤ V ≤ V2 ,

где V1 и V2 - минимальное и максимальное значение по скорости соответственно. Получим оценку на конечное значение дальности:

dV dx

=

dV dx

X =X0

+

Xk

X0

dV dx

dx ,

dV dx

X =X0

=

1 m0V0 cos

θ

⎜⎛ ⎜⎝

P0

cos

α



C

x0

ρ0V02 2

S



m0

g

sin

θ

⎟⎞ ⎟⎠

,

V1

≤V

≤ V2

,

V

= V0

+

Xk

X0

dV dx

dx ,

и выберем V0 : V1 ≤ V0 ≤ V2 ,

V1 −V0

<

Xk

X0

dV dx

dx < V2 −V0

,

Xk

X0

dV dx

dx

=

Xk

X0

dV dx

dx

+

Xk

X0

Xk

X0

d 2V dx 2

dx 2

,

V1 −V0

−∫

dV dx

dx ≤

d 2V dx 2

(xk

− x0 )2

≤V2

− V0

−∫

dV dx

dx

.

Введем обозначения:

V1

− V0



Xk

X0

dV dx

dx

=

β1,

V2

− V0

Xk
−∫
X0

dV dx

dx =

β2 ,

β1



d 2V dx 2

≤ β2,

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)

79

ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ...

β1

=

(xk

β1
− x0 )2

,

β2

=

(xk

β2
− x0 )2

,

dP dx



K (xk

−x0 ) ,

K

=

max

dP dx

в области, где фазовые координаты удовлетворяют ограничениям. С учетом дополни-

тельных соотношений [2]

−h
ρ(h) = Ce

R , ρ1 ≤ ρ(h) ≤ ρ2 ,

ρ1

=

−h2
Ce

R

,

ρ2

= Ce−h1 R

,

аналогично могут быть получены оценки

γ1 ≤

dV dx

≤ γ2,

γ3



dh dx

≤ γ4,

γ5



dm dx

≤ γ6

δ1 ≤

∂f ∂V

≤ δ2 ,

δ3



∂f ∂h

≤ δ4,

δ5



∂f ∂m

≤ δ6 ,

δ7



∂f ∂P

≤ δ8

тогда

K

=

β2

+ γ2δ2

+ γ4δ4 δ7

+ γ6δ6

,

K (xk

− x0 ) ≤

K

,

xk



x0



K K

.

Заключение

При выполнении полученного ограничения управление летательным аппаратом удовлетворяет условию P ≤ K . Таким образом, для описанного движения ЛА получены оценки на значения скорости и дальности, при которых управляющая функция удовлетворяет заданным ограничениям.
Предлагаемая модель движения летательного аппарата может быть использована при разработке программного обеспечения пилотажно-навигационных комплексов, на которые возложены задачи управления полетом в условиях ограниченного ресурса управления, с отработкой на этапе предварительных стендовых испытаний.

Литература

1. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. – М.: Наука, 1973. – 523 с.
2. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полетов. Траектории летательных аппаратов. – М.: Машиностроение, 1969. – 354 с.

Видин Борис Викторович Ульянова Ольга Владимировна

– СПб ОКБ «Электроавтоматика» имени П.А. Ефимова», зам. главного конструктора, кандидат технических наук, профессор, postmaster@elavt.spb.ru
– СПб ОКБ «Электроавтоматика» имени П.А. Ефимова», инженер, postmaster@elavt.spb.ru

80 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)