ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ТЯГИ ДВИГАТЕЛЯ
Б.В. Видин, О.В. Ульянова
УДК 681.5.01
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ТЯГИ ДВИГАТЕЛЯ
Б.В. Видин, О.В. Ульянова
Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая движение центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости при прямолинейной траектории. Получены оценки значений скорости и дальности в зависимости от ограничений на ресурс управления тягой двигателя. Ключевые слова: динамика летательного аппарата, ресурс управления, ограничения.
Введение
Движение центра масс летательного аппарата в скоростной системе координат в
вертикальной плоскости на прямолинейном участке траектории после выбора направ-
ления описывается [1] системой уравнений
m
dV dt
=
P cos α − Cх
ρV 2 2
S
− mg sin θ ,
dθ dt
=
0
,
dh dt
=
V
sin
θ
,
dx dt
=
V
cos θ
,
dm dt
=
−q, q
>
0
,
(1)
где m – масса летательного аппарата; V – длина вектора скорости; θ – угол наклона
траектории, θ = const ; α – угол атаки, α = const ; h – высота полета; x – дальность по-
лета; q – секундный расход массы топлива; P – тяга двигателя, P ≤ K ; K – ресурс
управления (величина, ограничивающая тягу двигателя, изменение тяги двигателей
возможно в пределах строго ограниченного интервала, обусловленного количеством
топлива (используется нижняя граница данного интервала), S – площадь крыльев лета-
тельного аппарата (ЛА), ρ(h) – плотность атмосферы, зависящая от высоты полета,
ρ(h) = Ce−h R , R – радиус Земли, Cx – коэффициент лобового сопротивления, C y – ко-
эффициент подъемной силы, при этом
∂Cx > 0 ; ∂C y > 0 ∂α ∂α
В качестве управляющей функции выбирается тяга двигателя P(t) . Ставится за-
дача найти P(t) так, чтобы решение системы (1) удовлетворяло начальным условиям
t = t0 : V = V0 , h = h0 , x = x0 , m = m0 , P = P0
(2)
и конечным условиям t = t′ : h = hk , x = xk , m = mk , где t′ – заранее неизвестный момент
времени.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
77
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ...
Предлагаемый подход к решению
Совокупность функций V (t), h(t), x(t), m(t), P(t) будем называть решением зада-
чи
(1),
(2).
Разделив
все
уравнения
системы
(1)
на
dx dt
=V
cosθ ,
приходим
к
системе
dV dx
=
mV
1 cos
θ
⎜⎛ ⎜⎝
Pcosα
−
C
x
ρV 2 2
S
−
mgsinθ
⎞⎟ ⎠⎟
,
dh dx
=
tgθ
,
dt dx
=
V
1 cos
θ
,
dm dx
=
V
−q cos θ
.
(3)
Требуется найти P(t) так, чтобы решение системы (3) удовлетворяло начальным
условиям:
x = x0 :V = V0 , h = h0 , m = m0 , P = P0
(4)
и конечным условиям x = xk , h = hk , m = mk . Совокупность функций V (x), h(x), m(x),
P(x) будем называть решением задачи (3), (4). Так как в соответствии с исходными
данными θ = const , необходимо найти функцию h(x):
h(x
)
=
tg
θ
xk
∫ dx
.
x0
Продифференцируем обе части первого уравнения системы (3):
dV dx
=
mV
1 cos
θ
⎛⎜ ⎜⎝
P
cos
α
−
C
x
ρV 2 2
S
−
mg
sin
θ
⎞⎟ ⎠⎟
=
f (V,h,m,P),
d 2V dx 2
=
∂f ∂V
dV dx
+
∂f ∂h
dh dx
+
∂f ∂m
dm dx
+
∂f ∂P
dP dx
,
откуда получаем производную тяги по дальности
dP dx
=
d 2V dx 2
−
∂f ∂V
dV dx
−
∂f ∂h
∂f
dh dx
−
∂f ∂m
dm dx
,
∂P где
∂f ∂V
=
1 cos
θ
⎜⎝⎛⎜
−
P cos α V 2m
−
CxρS 2m
+
g sin V2
θ
⎟⎟⎠⎞
,
∂f ∂h
=
−
C x ρVS 2m cosθ
C R
e
−h
R
,
∂f ∂m
=
m2
1 ⎛⎜ − cosθ ⎝
P cosα V
+
C x ρVS 2
⎟⎞ ⎠
,
∂f ∂P
=
cos α mV cosθ
.
Таким образом, приходим к системе уравнений
dP dx
=
d 2V dx 2
−
∂f ∂V
dV dx
−
∂f ∂h
∂f
dh dx
−
∂f ∂m
dm dx
,
∂P
78 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
Б.В. Видин, О.В. Ульянова
dh dx
= tg θ
,
dt dx
=
V
1 cos θ
,
dm dx
=
V
−q cos
θ
с учетом начальных условий x = x0 , t = t0 , h = h0 , m = m0 , P = P0 на траектории [x0 , xk ].
Поскольку
θ = const ,
dθ dt
=
0
,
то
P sin α + C y
ρV 2
2
S
−
mg
co sθ
=
0.
Задавая
ограни-
чения на m : m1 ≤ m ≤ m2 , получим ограничения на V :
Cy
ρV2 2
S=
mg cos θ-P sin α
,
V2
=
2 CyρS
(mg cos θ − P sin α)
.
Обозначив V 2 = V , получим
V
≤
C
2 yminρS
(m2
g
cos
θ
−
K
sin
α
)
=
V2
,
V
≥
2 C ymaxρS
m1g cosθ = V1
,
V1 ≤ V ≤ V2 ; V1 = V1 , V2 = V2 ; V1 ≤ V ≤ V2 ,
где V1 и V2 - минимальное и максимальное значение по скорости соответственно. Получим оценку на конечное значение дальности:
dV dx
=
dV dx
X =X0
+
Xk
∫
X0
dV dx
dx ,
dV dx
X =X0
=
1 m0V0 cos
θ
⎜⎛ ⎜⎝
P0
cos
α
−
C
x0
ρ0V02 2
S
−
m0
g
sin
θ
⎟⎞ ⎟⎠
,
V1
≤V
≤ V2
,
V
= V0
+
Xk
∫
X0
dV dx
dx ,
и выберем V0 : V1 ≤ V0 ≤ V2 ,
V1 −V0
<
Xk
∫
X0
dV dx
dx < V2 −V0
,
Xk
∫
X0
dV dx
dx
=
Xk
∫
X0
dV dx
dx
+
Xk
∫
X0
Xk
∫
X0
d 2V dx 2
dx 2
,
V1 −V0
−∫
dV dx
dx ≤
d 2V dx 2
(xk
− x0 )2
≤V2
− V0
−∫
dV dx
dx
.
Введем обозначения:
V1
− V0
−
Xk
∫
X0
dV dx
dx
=
β1,
V2
− V0
Xk
−∫
X0
dV dx
dx =
β2 ,
β1
≤
d 2V dx 2
≤ β2,
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
79
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ...
β1
=
(xk
β1
− x0 )2
,
β2
=
(xk
β2
− x0 )2
,
dP dx
≤
K (xk
−x0 ) ,
K
=
max
dP dx
в области, где фазовые координаты удовлетворяют ограничениям. С учетом дополни-
тельных соотношений [2]
−h
ρ(h) = Ce
R , ρ1 ≤ ρ(h) ≤ ρ2 ,
ρ1
=
−h2
Ce
R
,
ρ2
= Ce−h1 R
,
аналогично могут быть получены оценки
γ1 ≤
dV dx
≤ γ2,
γ3
≤
dh dx
≤ γ4,
γ5
≤
dm dx
≤ γ6
δ1 ≤
∂f ∂V
≤ δ2 ,
δ3
≤
∂f ∂h
≤ δ4,
δ5
≤
∂f ∂m
≤ δ6 ,
δ7
≤
∂f ∂P
≤ δ8
тогда
K
=
β2
+ γ2δ2
+ γ4δ4 δ7
+ γ6δ6
,
K (xk
− x0 ) ≤
K
,
xk
−
x0
≤
K K
.
Заключение
При выполнении полученного ограничения управление летательным аппаратом удовлетворяет условию P ≤ K . Таким образом, для описанного движения ЛА получены оценки на значения скорости и дальности, при которых управляющая функция удовлетворяет заданным ограничениям.
Предлагаемая модель движения летательного аппарата может быть использована при разработке программного обеспечения пилотажно-навигационных комплексов, на которые возложены задачи управления полетом в условиях ограниченного ресурса управления, с отработкой на этапе предварительных стендовых испытаний.
Литература
1. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. – М.: Наука, 1973. – 523 с.
2. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полетов. Траектории летательных аппаратов. – М.: Машиностроение, 1969. – 354 с.
Видин Борис Викторович Ульянова Ольга Владимировна
– СПб ОКБ «Электроавтоматика» имени П.А. Ефимова», зам. главного конструктора, кандидат технических наук, профессор, postmaster@elavt.spb.ru
– СПб ОКБ «Электроавтоматика» имени П.А. Ефимова», инженер, postmaster@elavt.spb.ru
80 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
УДК 681.5.01
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ТЯГИ ДВИГАТЕЛЯ
Б.В. Видин, О.В. Ульянова
Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая движение центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости при прямолинейной траектории. Получены оценки значений скорости и дальности в зависимости от ограничений на ресурс управления тягой двигателя. Ключевые слова: динамика летательного аппарата, ресурс управления, ограничения.
Введение
Движение центра масс летательного аппарата в скоростной системе координат в
вертикальной плоскости на прямолинейном участке траектории после выбора направ-
ления описывается [1] системой уравнений
m
dV dt
=
P cos α − Cх
ρV 2 2
S
− mg sin θ ,
dθ dt
=
0
,
dh dt
=
V
sin
θ
,
dx dt
=
V
cos θ
,
dm dt
=
−q, q
>
0
,
(1)
где m – масса летательного аппарата; V – длина вектора скорости; θ – угол наклона
траектории, θ = const ; α – угол атаки, α = const ; h – высота полета; x – дальность по-
лета; q – секундный расход массы топлива; P – тяга двигателя, P ≤ K ; K – ресурс
управления (величина, ограничивающая тягу двигателя, изменение тяги двигателей
возможно в пределах строго ограниченного интервала, обусловленного количеством
топлива (используется нижняя граница данного интервала), S – площадь крыльев лета-
тельного аппарата (ЛА), ρ(h) – плотность атмосферы, зависящая от высоты полета,
ρ(h) = Ce−h R , R – радиус Земли, Cx – коэффициент лобового сопротивления, C y – ко-
эффициент подъемной силы, при этом
∂Cx > 0 ; ∂C y > 0 ∂α ∂α
В качестве управляющей функции выбирается тяга двигателя P(t) . Ставится за-
дача найти P(t) так, чтобы решение системы (1) удовлетворяло начальным условиям
t = t0 : V = V0 , h = h0 , x = x0 , m = m0 , P = P0
(2)
и конечным условиям t = t′ : h = hk , x = xk , m = mk , где t′ – заранее неизвестный момент
времени.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
77
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ...
Предлагаемый подход к решению
Совокупность функций V (t), h(t), x(t), m(t), P(t) будем называть решением зада-
чи
(1),
(2).
Разделив
все
уравнения
системы
(1)
на
dx dt
=V
cosθ ,
приходим
к
системе
dV dx
=
mV
1 cos
θ
⎜⎛ ⎜⎝
Pcosα
−
C
x
ρV 2 2
S
−
mgsinθ
⎞⎟ ⎠⎟
,
dh dx
=
tgθ
,
dt dx
=
V
1 cos
θ
,
dm dx
=
V
−q cos θ
.
(3)
Требуется найти P(t) так, чтобы решение системы (3) удовлетворяло начальным
условиям:
x = x0 :V = V0 , h = h0 , m = m0 , P = P0
(4)
и конечным условиям x = xk , h = hk , m = mk . Совокупность функций V (x), h(x), m(x),
P(x) будем называть решением задачи (3), (4). Так как в соответствии с исходными
данными θ = const , необходимо найти функцию h(x):
h(x
)
=
tg
θ
xk
∫ dx
.
x0
Продифференцируем обе части первого уравнения системы (3):
dV dx
=
mV
1 cos
θ
⎛⎜ ⎜⎝
P
cos
α
−
C
x
ρV 2 2
S
−
mg
sin
θ
⎞⎟ ⎠⎟
=
f (V,h,m,P),
d 2V dx 2
=
∂f ∂V
dV dx
+
∂f ∂h
dh dx
+
∂f ∂m
dm dx
+
∂f ∂P
dP dx
,
откуда получаем производную тяги по дальности
dP dx
=
d 2V dx 2
−
∂f ∂V
dV dx
−
∂f ∂h
∂f
dh dx
−
∂f ∂m
dm dx
,
∂P где
∂f ∂V
=
1 cos
θ
⎜⎝⎛⎜
−
P cos α V 2m
−
CxρS 2m
+
g sin V2
θ
⎟⎟⎠⎞
,
∂f ∂h
=
−
C x ρVS 2m cosθ
C R
e
−h
R
,
∂f ∂m
=
m2
1 ⎛⎜ − cosθ ⎝
P cosα V
+
C x ρVS 2
⎟⎞ ⎠
,
∂f ∂P
=
cos α mV cosθ
.
Таким образом, приходим к системе уравнений
dP dx
=
d 2V dx 2
−
∂f ∂V
dV dx
−
∂f ∂h
∂f
dh dx
−
∂f ∂m
dm dx
,
∂P
78 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
Б.В. Видин, О.В. Ульянова
dh dx
= tg θ
,
dt dx
=
V
1 cos θ
,
dm dx
=
V
−q cos
θ
с учетом начальных условий x = x0 , t = t0 , h = h0 , m = m0 , P = P0 на траектории [x0 , xk ].
Поскольку
θ = const ,
dθ dt
=
0
,
то
P sin α + C y
ρV 2
2
S
−
mg
co sθ
=
0.
Задавая
ограни-
чения на m : m1 ≤ m ≤ m2 , получим ограничения на V :
Cy
ρV2 2
S=
mg cos θ-P sin α
,
V2
=
2 CyρS
(mg cos θ − P sin α)
.
Обозначив V 2 = V , получим
V
≤
C
2 yminρS
(m2
g
cos
θ
−
K
sin
α
)
=
V2
,
V
≥
2 C ymaxρS
m1g cosθ = V1
,
V1 ≤ V ≤ V2 ; V1 = V1 , V2 = V2 ; V1 ≤ V ≤ V2 ,
где V1 и V2 - минимальное и максимальное значение по скорости соответственно. Получим оценку на конечное значение дальности:
dV dx
=
dV dx
X =X0
+
Xk
∫
X0
dV dx
dx ,
dV dx
X =X0
=
1 m0V0 cos
θ
⎜⎛ ⎜⎝
P0
cos
α
−
C
x0
ρ0V02 2
S
−
m0
g
sin
θ
⎟⎞ ⎟⎠
,
V1
≤V
≤ V2
,
V
= V0
+
Xk
∫
X0
dV dx
dx ,
и выберем V0 : V1 ≤ V0 ≤ V2 ,
V1 −V0
<
Xk
∫
X0
dV dx
dx < V2 −V0
,
Xk
∫
X0
dV dx
dx
=
Xk
∫
X0
dV dx
dx
+
Xk
∫
X0
Xk
∫
X0
d 2V dx 2
dx 2
,
V1 −V0
−∫
dV dx
dx ≤
d 2V dx 2
(xk
− x0 )2
≤V2
− V0
−∫
dV dx
dx
.
Введем обозначения:
V1
− V0
−
Xk
∫
X0
dV dx
dx
=
β1,
V2
− V0
Xk
−∫
X0
dV dx
dx =
β2 ,
β1
≤
d 2V dx 2
≤ β2,
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)
79
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ...
β1
=
(xk
β1
− x0 )2
,
β2
=
(xk
β2
− x0 )2
,
dP dx
≤
K (xk
−x0 ) ,
K
=
max
dP dx
в области, где фазовые координаты удовлетворяют ограничениям. С учетом дополни-
тельных соотношений [2]
−h
ρ(h) = Ce
R , ρ1 ≤ ρ(h) ≤ ρ2 ,
ρ1
=
−h2
Ce
R
,
ρ2
= Ce−h1 R
,
аналогично могут быть получены оценки
γ1 ≤
dV dx
≤ γ2,
γ3
≤
dh dx
≤ γ4,
γ5
≤
dm dx
≤ γ6
δ1 ≤
∂f ∂V
≤ δ2 ,
δ3
≤
∂f ∂h
≤ δ4,
δ5
≤
∂f ∂m
≤ δ6 ,
δ7
≤
∂f ∂P
≤ δ8
тогда
K
=
β2
+ γ2δ2
+ γ4δ4 δ7
+ γ6δ6
,
K (xk
− x0 ) ≤
K
,
xk
−
x0
≤
K K
.
Заключение
При выполнении полученного ограничения управление летательным аппаратом удовлетворяет условию P ≤ K . Таким образом, для описанного движения ЛА получены оценки на значения скорости и дальности, при которых управляющая функция удовлетворяет заданным ограничениям.
Предлагаемая модель движения летательного аппарата может быть использована при разработке программного обеспечения пилотажно-навигационных комплексов, на которые возложены задачи управления полетом в условиях ограниченного ресурса управления, с отработкой на этапе предварительных стендовых испытаний.
Литература
1. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. – М.: Наука, 1973. – 523 с.
2. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полетов. Траектории летательных аппаратов. – М.: Машиностроение, 1969. – 354 с.
Видин Борис Викторович Ульянова Ольга Владимировна
– СПб ОКБ «Электроавтоматика» имени П.А. Ефимова», зам. главного конструктора, кандидат технических наук, профессор, postmaster@elavt.spb.ru
– СПб ОКБ «Электроавтоматика» имени П.А. Ефимова», инженер, postmaster@elavt.spb.ru
80 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 3(67)