Например, Бобцов

КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

УДК 534.1
Ж. Т. ЖУСУБАЛИЕВ, А. И. АНДРИЯНОВ, А. А. МИХАЛЕВ, В. В. ШЕИН
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Исследована динамика системы управления с синусоидальной широтноимпульсной модуляцией. Проведен бифуркационный анализ двумерной модели однофазного инвертора напряжения. Показано, что в такой системе наряду с классической бифуркацией Неймарка—Саккера существует С-бифуркация, приводящая к рождению инвариантного тора из периодической орбиты. Ключевые слова: инвертор напряжения, инвариантный тор, С-бифуркация, кусочно-гладкие динамические системы.
Введение. Импульсные системы автоматического управления обычно описываются дифференциальными (кусочно-гладкими динамическими) уравнениями с разрывными правыми частями. Фазовые траектории рассматриваемых динамических систем „сшиваются“ из отдельных гладких участков [1]. Усложнение колебаний в кусочно-гладких системах связано с двумя типами бифуркаций. Первый тип — как и в гладких системах, это локальные бифуркации, например, „седло—узел“, удвоения периода, Неймарка—Сакера, и глобальные — гомоклинические и гетероклинические.
Бифуркации второго типа возникают, когда траектория периодического движения проходит через границу одной из поверхностей сшивания или касается ее. При этом нарушаются
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6

76 Ж. Т. Жусубалиев, А. И. Андриянов, А. А. Михалев, В. В. Шеин
условия существования периодического решения и появляются или исчезают участки траектории в одной из областей кусочной непрерывности [1, 2]. Такие бифуркации получили название С-бифуркаций [1—3] (border-collision bifurcations [4]).
Простейшему бифуркационному процессу при С-бифуркациях соответствует непрерывный переход решения одного типа в решение другого типа [1]. Возможны и более сложные ситуации, например, удвоение, „умножение“ периода колебаний, рождение движений с участками скольжения или хаотического аттрактора из периодической орбиты [2, 5—8].
Наряду с каскадом бифуркаций удвоения периода и различными формами перемежаемости переход к хаосу через возникновение и разрушение инвариантного тора является одним из классических сценариев в диссипативных системах. Однако в рассматриваемых системах сценарий может отличаться от классического [9—14].
В работах [9—12] было выявлено, что в импульсных системах инвариантный тор может рождаться из периодической орбиты через С-бифуркацию. В такой бифуркации комплексносопряженная пара мультипликаторов устойчивого цикла скачком выходит из единичного круга. Потеря устойчивости приводит к появлению эргодического или резонансного тора. В первом случае бифуркация является аналогом классической суперкритической бифуркации Неймарка—Саккера. Во втором случае из периодической орбиты плавно возникает пара циклов (устойчивый и седловой), лежащих на инвариантном торе. Впоследствии этот феномен был обнаружен при анализе кусочно-линейного отображения [10], а также подтвержден экспериментально на примере систем с многозонной импульсной модуляцией [10, 11]. Оказалось, что подобная бифуркация характерна для широкого класса импульсных систем с квазипериодическими свойствами.
Настоящая статья имеет целью обобщить результаты исследований, представленных в работах [9—12], на класс импульсных систем с синусоидальной широтно-импульсной модуляцией. В качестве базового объекта для бифуркационного анализа рассматривается однофазный инвертор напряжения с широтно-импульсным регулированием.
Постановка задачи. Функциональная схема инвертора напряжения приведена на рис. 1, а, где E0 — входное напряжение, Vref (t) — синусоидальный управляющий сигнал с периодом T , кратным периоду a модуляции (T = ma ); DD , DA1 , S / H — инвертор, компаратор, устройство выборки-хранения; DA2 — усилитель сигнала ошибки; S1, S2 , S3 , S4 — полупроводниковые ключи; VS — датчик напряжения; R — сопротивление, характеризующее потери в катушке индуктивности фильтра; L , С — индуктивность и емкость фильтра; RL — сопротивление нагрузки; ξ — сигнал ошибки; υcon — выходное напряжение устрой-
ства выборки-хранения; υout — выходное напряжение преобразователя.
а) б)
VR
0

0

Рис. 1

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6

Квазипериодическая динамика системы управления с широтно-импульсной модуляцией 77

Временные диаграммы, поясняющие формирование управляющих импульсов, изображе-

ны на рис. 1, б, здесь ±U0 — опорное напряжение модулятора; VR — напряжение на сопротив-
лении. Управление осуществляется методом широтно-импульсной модуляции первого рода. Представим математическую модель в безразмерной форме для инвертора:

x = µx − ωy − (µ − ω)KF ; y = ωx + µy − (µ + ω)KF ; KF = sign(ψ − η) ;

(1)

ψ

=

q Ω

sin

⎛ ⎜⎝

2πτ m

⎞ ⎟⎠

+

ϑx(τ)



y(τ)

;

η = 2P [t − τ −1/ 2]; η(t +1) ≡ η(t) , αΩ

где

ϑ= µ+ω; µ−ω

P

=

U0 βE*

(1



ϑ)(1

+

R

/

RL

)

;

q

=

Vm U0

P

;

Ω = E0 / E* ,

µ

=



a 2

⎛ ⎜ ⎝

R L

+

1 CRL

⎞ ⎟ ⎠

,

ω=a

1 LC

⎛⎜1+ ⎝

R RL

⎞ ⎟





1⎛

4

⎜ ⎝

R L

+

1 CRL

⎞2 ⎟ ⎠

>

0.

Безразмерные переменные x и y связаны с исходными динамическими переменными

x1 и x2 :

x1 = −(R / L + µ / a)γ1 − ωγ2 / a ; x2 = γ1 / C ;

γ1

=



a 2 E0 2ωL(µ2 +

ω2

)

⎣⎡(

µ

+

ω)

x







ω)

y

⎦⎤

;

γ2

=



a 2 E0 2ωL(µ2 +

ω2 )

⎣⎡(µ



ω)

x

+



+

ω)

y ⎤⎦

,

где x1 — ток в катушке индуктивности выходного LC-фильтра; x2 — напряжение нагрузки.

В приведенных выражениях x, y ∈ ; KF — сигнал на выходе модулятора; t — безразмерное время; η(t) — вынуждающее воздействие, представляющее собой периодическую

последовательность импульсов пилообразной формы с периодом 1: η(t +1) ≡ η(t) ;

τ = [t] = k −1 ( k = 1, 2,… ) — дискретное время, [i] — функция, выделяющая целую часть ар-

гумента; q — нормированная амплитуда управляющего синусоидального сигнала с периодом

m ; µ, ω — действительная и мнимая части собственных значений λ1,2 = µ ± jω , µ < 0 матри-

цы коэффициентов уравнения (1); ϑ = (µ + ω) /(µ − ω) . Параметр P определяет амплитуду им-

пульсов пилообразной формы η(t) , Ω — нормированное входное напряжение, α — коэф-

фициент усиления.

Параметры динамической системы (1): R = 1 Ом, L = 4 ⋅10−3 Гн, C = 3,5⋅10−6 Ф,

RL = 45 Ом, Vm = 4 В, U0 = 10 В, α > 0 и E0 > 20 , Ω = E0 / E* — нормированное выходное
напряжение, где E* = 1 В. Систему уравнений (1) можно свести к двумерному кусочно-гладкому стробоскопиче-
скому отображению:

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6

78 Ж. Т. Жусубалиев, А. И. Андриянов, А. А. Михалев, В. В. Шеин

xk+1 = eµ (xk cos ω − yk sin ω) + 2eµ(1−zk ) (cos θk − sin θk ) −1 ;

(2)

yk+1 = eµ (xk sin ω + yk cos ω) + 2eµ(1−zk ) (sin θk + cos θk ) −1, k = 0,1, 2,...,

где θk = ω(1− zk ) и

zk

⎧⎪0,



=

⎪ ⎨ ⎪

αΩ 2P

ϕk

+

1 2

,

ϕk

<



P αΩ

;

ϕk

≤ P; αΩ

⎩⎪⎪1,

ϕk

>

P αΩ

,

ϕk

=

q Ω

sin

2πk m

+ ϑxk



yk

.

Здесь zk = tk − k +1 — коэффициент заполнения импульсов, tk — момент переключения модулятора.

Период T движения динамической системы (1) в общем случае является кратным пе-

риоду внешнего воздействия m : T = mN, N = 1, 2,… Такое движение будем называть

N -циклом или циклом периода N .

Бифуркационный анализ. На рис. 2 приведена карта динамических режимов в плоско-

сти управляющих параметров (α, Ω) для m = 10 , где Π1,1 , Π1,2 — области устойчивости

1-цикла. На рис. 2 через Π4,1 , Π4,2 обозначены резонансные „языки“ относительно большой

площади, а через Π∞ — области квазипериодической и хаотической динамики. Область Π1,1

ограничена кривой бифуркации Неймарка—Саккера Nϕ и С-бифуркационной кривой NϕC

рождения инвариантного тора из периодической орбиты. Граница NϕC опирается на линию

Nϕ бифуркации Неймарка—Саккера Nϕ в точке коразмерности два.

56,0

Π1.2

Π6.1

Π7.1

Π4.1

Ω Nϕ

40,0

Π1.1

Π∞ NϕC

Π4.2

5,4 α 8,4

Рис. 2

На рис. 3, а приведена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая рождение инвари-

антного тора через классическую бифуркацию Неймарка—Саккера при m = 200. Зависимость

абсолютного значения ρ комплексно-сопряженной пары мультипликаторов ρ1,2 = ρr ± jρ j

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6

Квазипериодическая динамика системы управления с широтно-импульсной модуляцией 79

1-цикла от параметра α приведена на рис. 3, б, αϕ — бифуркационное значение параметра,

соответствующее рождению инвариантного тора.

Характер движения на торе определяется числом вращения. Когда оно иррационально,

инвариантный тор плотно заполняется траекториями (сечение Пуанкаре представляет собой

гладкую замкнутую кривую) и динамика квазипериодична. При рациональном числе враще-

ния на инвариантном торе имеется четное число периодических орбит, одна часть которых

устойчивые, а другая — седловые, тор образован замыканием неустойчивых многообразий

седловых циклов.

а) 2,0

Ω=50

б) 1,2

Ω=50

|ρ|

х 1,0

–2,0 αϕ 6,45

α

0,8 αϕ 6,55 6,45 α

6,50

Рис. 3
Остается рассмотреть C-бифуркацию рождения тора из периодической орбиты. Заме-

тим, что бифуркационный анализ, как и в предыдущем случае, выполнен для m = 200 , тогда

как карта режимов рассчитана при m = 10 . Численные эксперименты показали, что характер

бифуркационного поведения системы мало изменяется с увеличением m .

На рис. 4 приведены бифуркационная диаграмма и зависимость абсолютного значения

комплексно-сопряженной пары мультипликаторов 1-цикла от параметра Ω при α = 8, 785 .

При увеличении значения Ω комплексно-сопряженная пара мультипликаторов 1-цикла скач-

ком выходит из единичного круга (рис. 4, а). Потеря устойчивости 1-цикла сопровождается

плавным возникновением квазипериодических колебаний (рис. 4, б).

а) 2,0

б) 1,1 1,0

х |ρ|

–1,0 38,98

ΩϕC

α=8,785 38,986

0,4 38,98

ΩϕC α=8,785 38,986

Рис. 4

Как можно видеть из рис. 4, а, характерный размер инвариантного тора („диаметр“) при

удалении от точки бифуркации Ω = ΩCϕ изменяется почти линейно от нуля, в отличие от па-

раболической зависимости, присущей для классической бифуркации Неймарка—Саккера.

Возникновение квазипериодических (или резонансных) колебаний приводит к ухудше-

нию спектрального состава тока и напряжения нагрузки по сравнению с 1-циклом. Это суще-

ственно влияет на качество выходного напряжения, которое должно быть синусоидальным с

минимальной долей паразитных гармоник.

Для количественной оценки содержания паразитных гармонических составляющих в

выходном переменном напряжении используется коэффициент гармоник:

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6

80 Ж. Т. Жусубалиев, А. И. Андриянов, А. А. Михалев, В. В. Шеин

Kг =

Vвых2 −Vпг2 Vпг

⋅100

%,

где Vвых — действующее значение выходного напряжения; Vпг — действующее значение по-

лезной гармоники выходного напряжения.

Численные расчеты показали, что для 1-цикла при m = 200 , E0 = 50 В, α = 6 ,

Kг ≈ 2,83 %, а коэффициент гармоник для квазипериодического режима ( m = 200 , E0 = 50 B,

α = 6,5 ) составляет примерно Kг ≈ 17 % (см. рис. 3).

Заключение. В данной статье представлены результаты исследований квазипериодиче-

ской динамики системы управления с синусоидальной широтно-импульсной модуляцией.

Выполнен бифуркационный анализ однофазного инвертора напряжения.

Показано, что в такой системе наряду с классической бифуркацией Неймарка—Саккера

существует сценарий рождения инвариантного тора, связанный с С-бифуркацией. В такой

бифуркации комплексно-сопряженная пара мультипликаторов устойчивой периодической

орбиты скачком выходит из единичного круга: устойчивый цикл переходит в неустойчивый

того же периода, но другого типа. Потеря устойчивости сопровождается появлением резо-

нансного или эргодического тора.

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (Программное мероприятие № 1.3.1, соглашение 14.B37.21.1146).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фейгин М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994.
2. Фейгин М. И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах // ПММ. 1970. Т. 34, вып. 5. С. 861—869.
3. Di Bernando M., Feigin M. I., Hogan S. J., Homer M. E. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems // Chaos, Solitions and Fractals. 1999. Vol. 10, N 11. P. 1881—1908.
4. Nusse E. H., Yorke J. A. Border-collision bifurcations including “period two to period three” for piecewise smooth systems // Physica D. 1992. N 57. P. 39.
5. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Peiecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003.
6. Leine R. I., Nijmeijer H. Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems. Berlin: World Scientific, 2003.
7. Di Bernando M., Budd C., Champneys A. R., Kowalczyk P., Nordmark A. B., Olivar G., Piroinen P. T. Bifurcations in nonsmooth dynamical systems // SIAM Review. 2008. Vol. 50, N 4. P. 629—701.
8. Colombo A., Di Bernardo M., Hogan S. J., Jeffrey M. R. Bifurcations of piecewise-smooth flows: Perspectives, methodologies and open problems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol. 241. P. 1845—1860.
9. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in DC/DC converter // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2006. Vol. 53. P. 1839—1850.
10. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Maity S. M., Mohanan S., Banerkee S. Border collision route to quasiperiodicity: Numerical investigation and experimental confirmation // Chaos. 2006. Vol. 16. P. 023122.
11. Zhusubaliyev Zh. T., Yanochkina O. O., Mosekilde E., Banerjee S. Two-mode dynamics in pulse-modulated control systems // Annual Reviews in Control. 2010. Vol. 34. P. 62—70.
12. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yanochkina O. O. Torus-bifurcation mechanisms in a DC/DC converter with pulsewidth-modulated control // IEEE Trans. on Power Electronics. 2011. Vol. 26. P. 1270—1279.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6

Применение частотно-независимых цепей для определения параметров RLC-двухполюсников 81

13. Giaouris D., Banerjee S., Imrayed O., Mandal K., Zahawi B., Pickert V. Border Complex interaction between tori and onset of three-frequency quasi-periodicity in a current mode controlled boost converter // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2012. Vol. 59. P. 207—214.

14. Simpson D. J. W., Meiss J. D. Dynamics and bifurcations of nonsmooth systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol. 241. P. 1861—1868.

Жаныбай Турсунбаевич Жусубалиев Алексей Иванович Андриянов Александр Александрович Михалев Владимир Владимирович Шеин

Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Юго-Западный государственный уни-
верситет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: zhanybai@gmail.com — канд. техн. наук, доцент; Юго-Западный государственный университет, кафедра электронных, радиоэлектронных и электротехнических систем, Курск; E-mail: ahaos@mail.ru — аспирант; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: alex9561@mail.ru — аспирант; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: sheinv78@gmail.com

Рекомендована Юго-Западным государственным университетом

Поступила в редакцию 18.02.13 г.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6