КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
УДК 534.1
Ж. Т. ЖУСУБАЛИЕВ, А. И. АНДРИЯНОВ, А. А. МИХАЛЕВ, В. В. ШЕИН
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Исследована динамика системы управления с синусоидальной широтноимпульсной модуляцией. Проведен бифуркационный анализ двумерной модели однофазного инвертора напряжения. Показано, что в такой системе наряду с классической бифуркацией Неймарка—Саккера существует С-бифуркация, приводящая к рождению инвариантного тора из периодической орбиты. Ключевые слова: инвертор напряжения, инвариантный тор, С-бифуркация, кусочно-гладкие динамические системы.
Введение. Импульсные системы автоматического управления обычно описываются дифференциальными (кусочно-гладкими динамическими) уравнениями с разрывными правыми частями. Фазовые траектории рассматриваемых динамических систем „сшиваются“ из отдельных гладких участков [1]. Усложнение колебаний в кусочно-гладких системах связано с двумя типами бифуркаций. Первый тип — как и в гладких системах, это локальные бифуркации, например, „седло—узел“, удвоения периода, Неймарка—Сакера, и глобальные — гомоклинические и гетероклинические.
Бифуркации второго типа возникают, когда траектория периодического движения проходит через границу одной из поверхностей сшивания или касается ее. При этом нарушаются
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
76 Ж. Т. Жусубалиев, А. И. Андриянов, А. А. Михалев, В. В. Шеин
условия существования периодического решения и появляются или исчезают участки траектории в одной из областей кусочной непрерывности [1, 2]. Такие бифуркации получили название С-бифуркаций [1—3] (border-collision bifurcations [4]).
Простейшему бифуркационному процессу при С-бифуркациях соответствует непрерывный переход решения одного типа в решение другого типа [1]. Возможны и более сложные ситуации, например, удвоение, „умножение“ периода колебаний, рождение движений с участками скольжения или хаотического аттрактора из периодической орбиты [2, 5—8].
Наряду с каскадом бифуркаций удвоения периода и различными формами перемежаемости переход к хаосу через возникновение и разрушение инвариантного тора является одним из классических сценариев в диссипативных системах. Однако в рассматриваемых системах сценарий может отличаться от классического [9—14].
В работах [9—12] было выявлено, что в импульсных системах инвариантный тор может рождаться из периодической орбиты через С-бифуркацию. В такой бифуркации комплексносопряженная пара мультипликаторов устойчивого цикла скачком выходит из единичного круга. Потеря устойчивости приводит к появлению эргодического или резонансного тора. В первом случае бифуркация является аналогом классической суперкритической бифуркации Неймарка—Саккера. Во втором случае из периодической орбиты плавно возникает пара циклов (устойчивый и седловой), лежащих на инвариантном торе. Впоследствии этот феномен был обнаружен при анализе кусочно-линейного отображения [10], а также подтвержден экспериментально на примере систем с многозонной импульсной модуляцией [10, 11]. Оказалось, что подобная бифуркация характерна для широкого класса импульсных систем с квазипериодическими свойствами.
Настоящая статья имеет целью обобщить результаты исследований, представленных в работах [9—12], на класс импульсных систем с синусоидальной широтно-импульсной модуляцией. В качестве базового объекта для бифуркационного анализа рассматривается однофазный инвертор напряжения с широтно-импульсным регулированием.
Постановка задачи. Функциональная схема инвертора напряжения приведена на рис. 1, а, где E0 — входное напряжение, Vref (t) — синусоидальный управляющий сигнал с периодом T , кратным периоду a модуляции (T = ma ); DD , DA1 , S / H — инвертор, компаратор, устройство выборки-хранения; DA2 — усилитель сигнала ошибки; S1, S2 , S3 , S4 — полупроводниковые ключи; VS — датчик напряжения; R — сопротивление, характеризующее потери в катушке индуктивности фильтра; L , С — индуктивность и емкость фильтра; RL — сопротивление нагрузки; ξ — сигнал ошибки; υcon — выходное напряжение устрой-
ства выборки-хранения; υout — выходное напряжение преобразователя.
а) б)
VR
0
0
Рис. 1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
Квазипериодическая динамика системы управления с широтно-импульсной модуляцией 77
Временные диаграммы, поясняющие формирование управляющих импульсов, изображе-
ны на рис. 1, б, здесь ±U0 — опорное напряжение модулятора; VR — напряжение на сопротив-
лении. Управление осуществляется методом широтно-импульсной модуляции первого рода. Представим математическую модель в безразмерной форме для инвертора:
x = µx − ωy − (µ − ω)KF ; y = ωx + µy − (µ + ω)KF ; KF = sign(ψ − η) ;
(1)
ψ
=
q Ω
sin
⎛ ⎜⎝
2πτ m
⎞ ⎟⎠
+
ϑx(τ)
−
y(τ)
;
η = 2P [t − τ −1/ 2]; η(t +1) ≡ η(t) , αΩ
где
ϑ= µ+ω; µ−ω
P
=
U0 βE*
(1
−
ϑ)(1
+
R
/
RL
)
;
q
=
Vm U0
P
;
Ω = E0 / E* ,
µ
=
−
a 2
⎛ ⎜ ⎝
R L
+
1 CRL
⎞ ⎟ ⎠
,
ω=a
1 LC
⎛⎜1+ ⎝
R RL
⎞ ⎟
−
⎠
1⎛
4
⎜ ⎝
R L
+
1 CRL
⎞2 ⎟ ⎠
>
0.
Безразмерные переменные x и y связаны с исходными динамическими переменными
x1 и x2 :
x1 = −(R / L + µ / a)γ1 − ωγ2 / a ; x2 = γ1 / C ;
γ1
=
−
a 2 E0 2ωL(µ2 +
ω2
)
⎣⎡(
µ
+
ω)
x
−
(µ
−
ω)
y
⎦⎤
;
γ2
=
−
a 2 E0 2ωL(µ2 +
ω2 )
⎣⎡(µ
−
ω)
x
+
(µ
+
ω)
y ⎤⎦
,
где x1 — ток в катушке индуктивности выходного LC-фильтра; x2 — напряжение нагрузки.
В приведенных выражениях x, y ∈ ; KF — сигнал на выходе модулятора; t — безразмерное время; η(t) — вынуждающее воздействие, представляющее собой периодическую
последовательность импульсов пилообразной формы с периодом 1: η(t +1) ≡ η(t) ;
τ = [t] = k −1 ( k = 1, 2,… ) — дискретное время, [i] — функция, выделяющая целую часть ар-
гумента; q — нормированная амплитуда управляющего синусоидального сигнала с периодом
m ; µ, ω — действительная и мнимая части собственных значений λ1,2 = µ ± jω , µ < 0 матри-
цы коэффициентов уравнения (1); ϑ = (µ + ω) /(µ − ω) . Параметр P определяет амплитуду им-
пульсов пилообразной формы η(t) , Ω — нормированное входное напряжение, α — коэф-
фициент усиления.
Параметры динамической системы (1): R = 1 Ом, L = 4 ⋅10−3 Гн, C = 3,5⋅10−6 Ф,
RL = 45 Ом, Vm = 4 В, U0 = 10 В, α > 0 и E0 > 20 , Ω = E0 / E* — нормированное выходное
напряжение, где E* = 1 В. Систему уравнений (1) можно свести к двумерному кусочно-гладкому стробоскопиче-
скому отображению:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
78 Ж. Т. Жусубалиев, А. И. Андриянов, А. А. Михалев, В. В. Шеин
xk+1 = eµ (xk cos ω − yk sin ω) + 2eµ(1−zk ) (cos θk − sin θk ) −1 ;
(2)
yk+1 = eµ (xk sin ω + yk cos ω) + 2eµ(1−zk ) (sin θk + cos θk ) −1, k = 0,1, 2,...,
где θk = ω(1− zk ) и
zk
⎧⎪0,
⎪
=
⎪ ⎨ ⎪
αΩ 2P
ϕk
+
1 2
,
ϕk
<
−
P αΩ
;
ϕk
≤ P; αΩ
⎩⎪⎪1,
ϕk
>
P αΩ
,
ϕk
=
q Ω
sin
2πk m
+ ϑxk
−
yk
.
Здесь zk = tk − k +1 — коэффициент заполнения импульсов, tk — момент переключения модулятора.
Период T движения динамической системы (1) в общем случае является кратным пе-
риоду внешнего воздействия m : T = mN, N = 1, 2,… Такое движение будем называть
N -циклом или циклом периода N .
Бифуркационный анализ. На рис. 2 приведена карта динамических режимов в плоско-
сти управляющих параметров (α, Ω) для m = 10 , где Π1,1 , Π1,2 — области устойчивости
1-цикла. На рис. 2 через Π4,1 , Π4,2 обозначены резонансные „языки“ относительно большой
площади, а через Π∞ — области квазипериодической и хаотической динамики. Область Π1,1
ограничена кривой бифуркации Неймарка—Саккера Nϕ и С-бифуркационной кривой NϕC
рождения инвариантного тора из периодической орбиты. Граница NϕC опирается на линию
Nϕ бифуркации Неймарка—Саккера Nϕ в точке коразмерности два.
56,0
Π1.2
Π6.1
Π7.1
Π4.1
Ω Nϕ
40,0
Π1.1
Π∞ NϕC
Π4.2
5,4 α 8,4
Рис. 2
На рис. 3, а приведена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая рождение инвари-
антного тора через классическую бифуркацию Неймарка—Саккера при m = 200. Зависимость
абсолютного значения ρ комплексно-сопряженной пары мультипликаторов ρ1,2 = ρr ± jρ j
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
Квазипериодическая динамика системы управления с широтно-импульсной модуляцией 79
1-цикла от параметра α приведена на рис. 3, б, αϕ — бифуркационное значение параметра,
соответствующее рождению инвариантного тора.
Характер движения на торе определяется числом вращения. Когда оно иррационально,
инвариантный тор плотно заполняется траекториями (сечение Пуанкаре представляет собой
гладкую замкнутую кривую) и динамика квазипериодична. При рациональном числе враще-
ния на инвариантном торе имеется четное число периодических орбит, одна часть которых
устойчивые, а другая — седловые, тор образован замыканием неустойчивых многообразий
седловых циклов.
а) 2,0
Ω=50
б) 1,2
Ω=50
|ρ|
х 1,0
–2,0 αϕ 6,45
α
0,8 αϕ 6,55 6,45 α
6,50
Рис. 3
Остается рассмотреть C-бифуркацию рождения тора из периодической орбиты. Заме-
тим, что бифуркационный анализ, как и в предыдущем случае, выполнен для m = 200 , тогда
как карта режимов рассчитана при m = 10 . Численные эксперименты показали, что характер
бифуркационного поведения системы мало изменяется с увеличением m .
На рис. 4 приведены бифуркационная диаграмма и зависимость абсолютного значения
комплексно-сопряженной пары мультипликаторов 1-цикла от параметра Ω при α = 8, 785 .
При увеличении значения Ω комплексно-сопряженная пара мультипликаторов 1-цикла скач-
ком выходит из единичного круга (рис. 4, а). Потеря устойчивости 1-цикла сопровождается
плавным возникновением квазипериодических колебаний (рис. 4, б).
а) 2,0
б) 1,1 1,0
х |ρ|
–1,0 38,98
ΩϕC
α=8,785 38,986
0,4 38,98
ΩϕC α=8,785 38,986
Рис. 4
Как можно видеть из рис. 4, а, характерный размер инвариантного тора („диаметр“) при
удалении от точки бифуркации Ω = ΩCϕ изменяется почти линейно от нуля, в отличие от па-
раболической зависимости, присущей для классической бифуркации Неймарка—Саккера.
Возникновение квазипериодических (или резонансных) колебаний приводит к ухудше-
нию спектрального состава тока и напряжения нагрузки по сравнению с 1-циклом. Это суще-
ственно влияет на качество выходного напряжения, которое должно быть синусоидальным с
минимальной долей паразитных гармоник.
Для количественной оценки содержания паразитных гармонических составляющих в
выходном переменном напряжении используется коэффициент гармоник:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
80 Ж. Т. Жусубалиев, А. И. Андриянов, А. А. Михалев, В. В. Шеин
Kг =
Vвых2 −Vпг2 Vпг
⋅100
%,
где Vвых — действующее значение выходного напряжения; Vпг — действующее значение по-
лезной гармоники выходного напряжения.
Численные расчеты показали, что для 1-цикла при m = 200 , E0 = 50 В, α = 6 ,
Kг ≈ 2,83 %, а коэффициент гармоник для квазипериодического режима ( m = 200 , E0 = 50 B,
α = 6,5 ) составляет примерно Kг ≈ 17 % (см. рис. 3).
Заключение. В данной статье представлены результаты исследований квазипериодиче-
ской динамики системы управления с синусоидальной широтно-импульсной модуляцией.
Выполнен бифуркационный анализ однофазного инвертора напряжения.
Показано, что в такой системе наряду с классической бифуркацией Неймарка—Саккера
существует сценарий рождения инвариантного тора, связанный с С-бифуркацией. В такой
бифуркации комплексно-сопряженная пара мультипликаторов устойчивой периодической
орбиты скачком выходит из единичного круга: устойчивый цикл переходит в неустойчивый
того же периода, но другого типа. Потеря устойчивости сопровождается появлением резо-
нансного или эргодического тора.
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (Программное мероприятие № 1.3.1, соглашение 14.B37.21.1146).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фейгин М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994.
2. Фейгин М. И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах // ПММ. 1970. Т. 34, вып. 5. С. 861—869.
3. Di Bernando M., Feigin M. I., Hogan S. J., Homer M. E. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems // Chaos, Solitions and Fractals. 1999. Vol. 10, N 11. P. 1881—1908.
4. Nusse E. H., Yorke J. A. Border-collision bifurcations including “period two to period three” for piecewise smooth systems // Physica D. 1992. N 57. P. 39.
5. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Peiecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003.
6. Leine R. I., Nijmeijer H. Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems. Berlin: World Scientific, 2003.
7. Di Bernando M., Budd C., Champneys A. R., Kowalczyk P., Nordmark A. B., Olivar G., Piroinen P. T. Bifurcations in nonsmooth dynamical systems // SIAM Review. 2008. Vol. 50, N 4. P. 629—701.
8. Colombo A., Di Bernardo M., Hogan S. J., Jeffrey M. R. Bifurcations of piecewise-smooth flows: Perspectives, methodologies and open problems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol. 241. P. 1845—1860.
9. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in DC/DC converter // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2006. Vol. 53. P. 1839—1850.
10. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Maity S. M., Mohanan S., Banerkee S. Border collision route to quasiperiodicity: Numerical investigation and experimental confirmation // Chaos. 2006. Vol. 16. P. 023122.
11. Zhusubaliyev Zh. T., Yanochkina O. O., Mosekilde E., Banerjee S. Two-mode dynamics in pulse-modulated control systems // Annual Reviews in Control. 2010. Vol. 34. P. 62—70.
12. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yanochkina O. O. Torus-bifurcation mechanisms in a DC/DC converter with pulsewidth-modulated control // IEEE Trans. on Power Electronics. 2011. Vol. 26. P. 1270—1279.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
Применение частотно-независимых цепей для определения параметров RLC-двухполюсников 81
13. Giaouris D., Banerjee S., Imrayed O., Mandal K., Zahawi B., Pickert V. Border Complex interaction between tori and onset of three-frequency quasi-periodicity in a current mode controlled boost converter // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2012. Vol. 59. P. 207—214.
14. Simpson D. J. W., Meiss J. D. Dynamics and bifurcations of nonsmooth systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol. 241. P. 1861—1868.
Жаныбай Турсунбаевич Жусубалиев Алексей Иванович Андриянов Александр Александрович Михалев Владимир Владимирович Шеин
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Юго-Западный государственный уни-
верситет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: zhanybai@gmail.com — канд. техн. наук, доцент; Юго-Западный государственный университет, кафедра электронных, радиоэлектронных и электротехнических систем, Курск; E-mail: ahaos@mail.ru — аспирант; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: alex9561@mail.ru — аспирант; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: sheinv78@gmail.com
Рекомендована Юго-Западным государственным университетом
Поступила в редакцию 18.02.13 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
Ж. Т. ЖУСУБАЛИЕВ, А. И. АНДРИЯНОВ, А. А. МИХАЛЕВ, В. В. ШЕИН
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Исследована динамика системы управления с синусоидальной широтноимпульсной модуляцией. Проведен бифуркационный анализ двумерной модели однофазного инвертора напряжения. Показано, что в такой системе наряду с классической бифуркацией Неймарка—Саккера существует С-бифуркация, приводящая к рождению инвариантного тора из периодической орбиты. Ключевые слова: инвертор напряжения, инвариантный тор, С-бифуркация, кусочно-гладкие динамические системы.
Введение. Импульсные системы автоматического управления обычно описываются дифференциальными (кусочно-гладкими динамическими) уравнениями с разрывными правыми частями. Фазовые траектории рассматриваемых динамических систем „сшиваются“ из отдельных гладких участков [1]. Усложнение колебаний в кусочно-гладких системах связано с двумя типами бифуркаций. Первый тип — как и в гладких системах, это локальные бифуркации, например, „седло—узел“, удвоения периода, Неймарка—Сакера, и глобальные — гомоклинические и гетероклинические.
Бифуркации второго типа возникают, когда траектория периодического движения проходит через границу одной из поверхностей сшивания или касается ее. При этом нарушаются
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
76 Ж. Т. Жусубалиев, А. И. Андриянов, А. А. Михалев, В. В. Шеин
условия существования периодического решения и появляются или исчезают участки траектории в одной из областей кусочной непрерывности [1, 2]. Такие бифуркации получили название С-бифуркаций [1—3] (border-collision bifurcations [4]).
Простейшему бифуркационному процессу при С-бифуркациях соответствует непрерывный переход решения одного типа в решение другого типа [1]. Возможны и более сложные ситуации, например, удвоение, „умножение“ периода колебаний, рождение движений с участками скольжения или хаотического аттрактора из периодической орбиты [2, 5—8].
Наряду с каскадом бифуркаций удвоения периода и различными формами перемежаемости переход к хаосу через возникновение и разрушение инвариантного тора является одним из классических сценариев в диссипативных системах. Однако в рассматриваемых системах сценарий может отличаться от классического [9—14].
В работах [9—12] было выявлено, что в импульсных системах инвариантный тор может рождаться из периодической орбиты через С-бифуркацию. В такой бифуркации комплексносопряженная пара мультипликаторов устойчивого цикла скачком выходит из единичного круга. Потеря устойчивости приводит к появлению эргодического или резонансного тора. В первом случае бифуркация является аналогом классической суперкритической бифуркации Неймарка—Саккера. Во втором случае из периодической орбиты плавно возникает пара циклов (устойчивый и седловой), лежащих на инвариантном торе. Впоследствии этот феномен был обнаружен при анализе кусочно-линейного отображения [10], а также подтвержден экспериментально на примере систем с многозонной импульсной модуляцией [10, 11]. Оказалось, что подобная бифуркация характерна для широкого класса импульсных систем с квазипериодическими свойствами.
Настоящая статья имеет целью обобщить результаты исследований, представленных в работах [9—12], на класс импульсных систем с синусоидальной широтно-импульсной модуляцией. В качестве базового объекта для бифуркационного анализа рассматривается однофазный инвертор напряжения с широтно-импульсным регулированием.
Постановка задачи. Функциональная схема инвертора напряжения приведена на рис. 1, а, где E0 — входное напряжение, Vref (t) — синусоидальный управляющий сигнал с периодом T , кратным периоду a модуляции (T = ma ); DD , DA1 , S / H — инвертор, компаратор, устройство выборки-хранения; DA2 — усилитель сигнала ошибки; S1, S2 , S3 , S4 — полупроводниковые ключи; VS — датчик напряжения; R — сопротивление, характеризующее потери в катушке индуктивности фильтра; L , С — индуктивность и емкость фильтра; RL — сопротивление нагрузки; ξ — сигнал ошибки; υcon — выходное напряжение устрой-
ства выборки-хранения; υout — выходное напряжение преобразователя.
а) б)
VR
0
0
Рис. 1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
Квазипериодическая динамика системы управления с широтно-импульсной модуляцией 77
Временные диаграммы, поясняющие формирование управляющих импульсов, изображе-
ны на рис. 1, б, здесь ±U0 — опорное напряжение модулятора; VR — напряжение на сопротив-
лении. Управление осуществляется методом широтно-импульсной модуляции первого рода. Представим математическую модель в безразмерной форме для инвертора:
x = µx − ωy − (µ − ω)KF ; y = ωx + µy − (µ + ω)KF ; KF = sign(ψ − η) ;
(1)
ψ
=
q Ω
sin
⎛ ⎜⎝
2πτ m
⎞ ⎟⎠
+
ϑx(τ)
−
y(τ)
;
η = 2P [t − τ −1/ 2]; η(t +1) ≡ η(t) , αΩ
где
ϑ= µ+ω; µ−ω
P
=
U0 βE*
(1
−
ϑ)(1
+
R
/
RL
)
;
q
=
Vm U0
P
;
Ω = E0 / E* ,
µ
=
−
a 2
⎛ ⎜ ⎝
R L
+
1 CRL
⎞ ⎟ ⎠
,
ω=a
1 LC
⎛⎜1+ ⎝
R RL
⎞ ⎟
−
⎠
1⎛
4
⎜ ⎝
R L
+
1 CRL
⎞2 ⎟ ⎠
>
0.
Безразмерные переменные x и y связаны с исходными динамическими переменными
x1 и x2 :
x1 = −(R / L + µ / a)γ1 − ωγ2 / a ; x2 = γ1 / C ;
γ1
=
−
a 2 E0 2ωL(µ2 +
ω2
)
⎣⎡(
µ
+
ω)
x
−
(µ
−
ω)
y
⎦⎤
;
γ2
=
−
a 2 E0 2ωL(µ2 +
ω2 )
⎣⎡(µ
−
ω)
x
+
(µ
+
ω)
y ⎤⎦
,
где x1 — ток в катушке индуктивности выходного LC-фильтра; x2 — напряжение нагрузки.
В приведенных выражениях x, y ∈ ; KF — сигнал на выходе модулятора; t — безразмерное время; η(t) — вынуждающее воздействие, представляющее собой периодическую
последовательность импульсов пилообразной формы с периодом 1: η(t +1) ≡ η(t) ;
τ = [t] = k −1 ( k = 1, 2,… ) — дискретное время, [i] — функция, выделяющая целую часть ар-
гумента; q — нормированная амплитуда управляющего синусоидального сигнала с периодом
m ; µ, ω — действительная и мнимая части собственных значений λ1,2 = µ ± jω , µ < 0 матри-
цы коэффициентов уравнения (1); ϑ = (µ + ω) /(µ − ω) . Параметр P определяет амплитуду им-
пульсов пилообразной формы η(t) , Ω — нормированное входное напряжение, α — коэф-
фициент усиления.
Параметры динамической системы (1): R = 1 Ом, L = 4 ⋅10−3 Гн, C = 3,5⋅10−6 Ф,
RL = 45 Ом, Vm = 4 В, U0 = 10 В, α > 0 и E0 > 20 , Ω = E0 / E* — нормированное выходное
напряжение, где E* = 1 В. Систему уравнений (1) можно свести к двумерному кусочно-гладкому стробоскопиче-
скому отображению:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
78 Ж. Т. Жусубалиев, А. И. Андриянов, А. А. Михалев, В. В. Шеин
xk+1 = eµ (xk cos ω − yk sin ω) + 2eµ(1−zk ) (cos θk − sin θk ) −1 ;
(2)
yk+1 = eµ (xk sin ω + yk cos ω) + 2eµ(1−zk ) (sin θk + cos θk ) −1, k = 0,1, 2,...,
где θk = ω(1− zk ) и
zk
⎧⎪0,
⎪
=
⎪ ⎨ ⎪
αΩ 2P
ϕk
+
1 2
,
ϕk
<
−
P αΩ
;
ϕk
≤ P; αΩ
⎩⎪⎪1,
ϕk
>
P αΩ
,
ϕk
=
q Ω
sin
2πk m
+ ϑxk
−
yk
.
Здесь zk = tk − k +1 — коэффициент заполнения импульсов, tk — момент переключения модулятора.
Период T движения динамической системы (1) в общем случае является кратным пе-
риоду внешнего воздействия m : T = mN, N = 1, 2,… Такое движение будем называть
N -циклом или циклом периода N .
Бифуркационный анализ. На рис. 2 приведена карта динамических режимов в плоско-
сти управляющих параметров (α, Ω) для m = 10 , где Π1,1 , Π1,2 — области устойчивости
1-цикла. На рис. 2 через Π4,1 , Π4,2 обозначены резонансные „языки“ относительно большой
площади, а через Π∞ — области квазипериодической и хаотической динамики. Область Π1,1
ограничена кривой бифуркации Неймарка—Саккера Nϕ и С-бифуркационной кривой NϕC
рождения инвариантного тора из периодической орбиты. Граница NϕC опирается на линию
Nϕ бифуркации Неймарка—Саккера Nϕ в точке коразмерности два.
56,0
Π1.2
Π6.1
Π7.1
Π4.1
Ω Nϕ
40,0
Π1.1
Π∞ NϕC
Π4.2
5,4 α 8,4
Рис. 2
На рис. 3, а приведена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая рождение инвари-
антного тора через классическую бифуркацию Неймарка—Саккера при m = 200. Зависимость
абсолютного значения ρ комплексно-сопряженной пары мультипликаторов ρ1,2 = ρr ± jρ j
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
Квазипериодическая динамика системы управления с широтно-импульсной модуляцией 79
1-цикла от параметра α приведена на рис. 3, б, αϕ — бифуркационное значение параметра,
соответствующее рождению инвариантного тора.
Характер движения на торе определяется числом вращения. Когда оно иррационально,
инвариантный тор плотно заполняется траекториями (сечение Пуанкаре представляет собой
гладкую замкнутую кривую) и динамика квазипериодична. При рациональном числе враще-
ния на инвариантном торе имеется четное число периодических орбит, одна часть которых
устойчивые, а другая — седловые, тор образован замыканием неустойчивых многообразий
седловых циклов.
а) 2,0
Ω=50
б) 1,2
Ω=50
|ρ|
х 1,0
–2,0 αϕ 6,45
α
0,8 αϕ 6,55 6,45 α
6,50
Рис. 3
Остается рассмотреть C-бифуркацию рождения тора из периодической орбиты. Заме-
тим, что бифуркационный анализ, как и в предыдущем случае, выполнен для m = 200 , тогда
как карта режимов рассчитана при m = 10 . Численные эксперименты показали, что характер
бифуркационного поведения системы мало изменяется с увеличением m .
На рис. 4 приведены бифуркационная диаграмма и зависимость абсолютного значения
комплексно-сопряженной пары мультипликаторов 1-цикла от параметра Ω при α = 8, 785 .
При увеличении значения Ω комплексно-сопряженная пара мультипликаторов 1-цикла скач-
ком выходит из единичного круга (рис. 4, а). Потеря устойчивости 1-цикла сопровождается
плавным возникновением квазипериодических колебаний (рис. 4, б).
а) 2,0
б) 1,1 1,0
х |ρ|
–1,0 38,98
ΩϕC
α=8,785 38,986
0,4 38,98
ΩϕC α=8,785 38,986
Рис. 4
Как можно видеть из рис. 4, а, характерный размер инвариантного тора („диаметр“) при
удалении от точки бифуркации Ω = ΩCϕ изменяется почти линейно от нуля, в отличие от па-
раболической зависимости, присущей для классической бифуркации Неймарка—Саккера.
Возникновение квазипериодических (или резонансных) колебаний приводит к ухудше-
нию спектрального состава тока и напряжения нагрузки по сравнению с 1-циклом. Это суще-
ственно влияет на качество выходного напряжения, которое должно быть синусоидальным с
минимальной долей паразитных гармоник.
Для количественной оценки содержания паразитных гармонических составляющих в
выходном переменном напряжении используется коэффициент гармоник:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
80 Ж. Т. Жусубалиев, А. И. Андриянов, А. А. Михалев, В. В. Шеин
Kг =
Vвых2 −Vпг2 Vпг
⋅100
%,
где Vвых — действующее значение выходного напряжения; Vпг — действующее значение по-
лезной гармоники выходного напряжения.
Численные расчеты показали, что для 1-цикла при m = 200 , E0 = 50 В, α = 6 ,
Kг ≈ 2,83 %, а коэффициент гармоник для квазипериодического режима ( m = 200 , E0 = 50 B,
α = 6,5 ) составляет примерно Kг ≈ 17 % (см. рис. 3).
Заключение. В данной статье представлены результаты исследований квазипериодиче-
ской динамики системы управления с синусоидальной широтно-импульсной модуляцией.
Выполнен бифуркационный анализ однофазного инвертора напряжения.
Показано, что в такой системе наряду с классической бифуркацией Неймарка—Саккера
существует сценарий рождения инвариантного тора, связанный с С-бифуркацией. В такой
бифуркации комплексно-сопряженная пара мультипликаторов устойчивой периодической
орбиты скачком выходит из единичного круга: устойчивый цикл переходит в неустойчивый
того же периода, но другого типа. Потеря устойчивости сопровождается появлением резо-
нансного или эргодического тора.
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (Программное мероприятие № 1.3.1, соглашение 14.B37.21.1146).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фейгин М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994.
2. Фейгин М. И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах // ПММ. 1970. Т. 34, вып. 5. С. 861—869.
3. Di Bernando M., Feigin M. I., Hogan S. J., Homer M. E. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems // Chaos, Solitions and Fractals. 1999. Vol. 10, N 11. P. 1881—1908.
4. Nusse E. H., Yorke J. A. Border-collision bifurcations including “period two to period three” for piecewise smooth systems // Physica D. 1992. N 57. P. 39.
5. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Peiecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003.
6. Leine R. I., Nijmeijer H. Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems. Berlin: World Scientific, 2003.
7. Di Bernando M., Budd C., Champneys A. R., Kowalczyk P., Nordmark A. B., Olivar G., Piroinen P. T. Bifurcations in nonsmooth dynamical systems // SIAM Review. 2008. Vol. 50, N 4. P. 629—701.
8. Colombo A., Di Bernardo M., Hogan S. J., Jeffrey M. R. Bifurcations of piecewise-smooth flows: Perspectives, methodologies and open problems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol. 241. P. 1845—1860.
9. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in DC/DC converter // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2006. Vol. 53. P. 1839—1850.
10. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Maity S. M., Mohanan S., Banerkee S. Border collision route to quasiperiodicity: Numerical investigation and experimental confirmation // Chaos. 2006. Vol. 16. P. 023122.
11. Zhusubaliyev Zh. T., Yanochkina O. O., Mosekilde E., Banerjee S. Two-mode dynamics in pulse-modulated control systems // Annual Reviews in Control. 2010. Vol. 34. P. 62—70.
12. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yanochkina O. O. Torus-bifurcation mechanisms in a DC/DC converter with pulsewidth-modulated control // IEEE Trans. on Power Electronics. 2011. Vol. 26. P. 1270—1279.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6
Применение частотно-независимых цепей для определения параметров RLC-двухполюсников 81
13. Giaouris D., Banerjee S., Imrayed O., Mandal K., Zahawi B., Pickert V. Border Complex interaction between tori and onset of three-frequency quasi-periodicity in a current mode controlled boost converter // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2012. Vol. 59. P. 207—214.
14. Simpson D. J. W., Meiss J. D. Dynamics and bifurcations of nonsmooth systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol. 241. P. 1861—1868.
Жаныбай Турсунбаевич Жусубалиев Алексей Иванович Андриянов Александр Александрович Михалев Владимир Владимирович Шеин
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Юго-Западный государственный уни-
верситет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: zhanybai@gmail.com — канд. техн. наук, доцент; Юго-Западный государственный университет, кафедра электронных, радиоэлектронных и электротехнических систем, Курск; E-mail: ahaos@mail.ru — аспирант; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: alex9561@mail.ru — аспирант; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: sheinv78@gmail.com
Рекомендована Юго-Западным государственным университетом
Поступила в редакцию 18.02.13 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 6