КРИТЕРИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КРЕДИТНОГО РИСКА ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ
КРИТЕРИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КРЕДИТНОГО РИСКА …
8 ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ. МЕНЕДЖМЕНТ
УДК 519.862.6
КРИТЕРИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КРЕДИТНОГО РИСКА ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ
Д.С. Строков, Е.Д. Соложенцев
Выполнен анализ приложений логико-вероятностных (ЛВ) моделей риска, показана важность процедуры идентификации ЛВ моделей риска по статистическим данным. Приведено краткое математическое описание ЛВ моделей риска. Предложены и исследованы разные критерии идентификации и даны рекомендации по их применению. Ключевые слова: модель, статистика, система, состояния, логика, идентификация, критерий, вероятность, градиенты, Монте-Карло, алгоритм, оптимизация, база знаний.
Введение
Для оценки кредитных рисков физических и юридических лиц применяются методики классификации на «хорошие» и «плохие» кредиты на основе линейного (LDA) и квадратичного (QDA) дискриминантного анализа, кластерного анализа (CARD) и нейронных сетей (NN) [1]. Эти методики имеют в два раза меньшую точность классификации, чем логико-вероятностные (ЛВ) модели риска [2]. Однако процесс идентификации (обучения, оптимизации) ЛВ моделей риска по статистическим данным о ранее выданных кредитах банка отличается исключительно высокой, до нескольких часов, вычислительной сложностью. Это связано с целочисленным критерием оптимизации (число корректно классифицируемых кредитов, у которых классификация совпала по модели и по статистике) и большим числом оцениваемых коэффициентов-вероятностей (до 100), которые, к тому же, нужно вычислять до 6–7 знака после запятой. Поэтому выбор и исследование других критериев оптимизации с меньшей вычислительной сложностью, например, дискретно-непрерывных, является актуальной задачей.
Приложения ЛВ моделей риска
ЛВ модели широко используются в технике для решения задач надежности и безопасности, в которых инициирующие события и итоговое событие принимают только два значения (0 и 1) [3]. ЛВ модели риска и эффективности имеют также многочисленные приложения в экономике, где инициирующие события имеют много значенийградаций (до 50 и более) и необходимо решать задачи идентификации ЛВ моделей риска (оценки вероятностей инициирующих событий ) по статистическим данным.
ЛВ модели риска неуспеха применяются в следующих приложениях [2–5]: − оценка и анализ кредитного риска физических и юридических лиц, − анализ риска и эффективности экономических и социальных процессов.
В ряде приложений ЛВ моделей риска задача классификации является основной. Состояния (объекты) системы классифицируются на хорошие и плохие (возможно большее число классов). Задача идентификации формулируется так: максимизировать число корректно распознанных хороших и плохих состояний системы, которые рассматриваются как случайные, имеющие вероятности; используется статистическая база данных (БД), и решается обратная оптимизационная задача. В проблемах эффективно-
114
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета нформационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.С. Строков, Е.Д. Соложенцев
сти задача идентификации решается для детального анализа риска и эффективности системы по вкладам процессов, влияющих на итоговый процесс.
Новизна ЛВ подхода для управления риском и эффективностью по статистическим данным мониторинга в экономических и социальных системах и процессах состоит в следующем: − Представление экономических и социальных систем как структурно-сложных с ис-
пользованием для их описания Л-переменных и случайных событий. На статистических данных состояний сложной системы рассматриваются два типа событий: появление состояний (объектов, кредитов) и неуспех состояний (объектов, кредитов); − Введение в статистическую табличную базу данных (БД) конечных множеств (групп несовместных событий) для значений параметров, что позволяет получить систему Л-уравнений или базу знаний (БЗ), использовать ЛВ исчисление Рябинина и формулу Байеса для связи вероятностей и решать задачи риска, эффективности и управления.
Технология ЛВ управления риском в приложениях включает в себя процедуры: 1. формулировка сценария риска и запись Л- и В-функций риска для всех состояний; 2. идентификация ЛВ модели риска системы по статистическим данным; 3. анализ риска состояния и всех состояний по вкладам параметров и градаций пара-
метров, описывающих состояния; 4. управление риском и эффективностью системы.
Оценка и анализ кредитных рисков является ярким примером задач классификации. Поэтому реальные исследования проблемы выбора критериев идентификации ЛВ моделей риска по статистическим данным проведены на примере кредитных рисков физических и юридических лиц.
Преимущества ЛВ модели риска на примере кредитных рисков подробно изложены в [2, 6]. ЛВ модели кредитного риска разительно отличаются от распространенных скоринговых методик. Идентификация ЛВ модели риска по статистическим данным позволяет решать следующие задачи: − строить В-модель кредитного риска, определяя вероятности событий-градаций; − выполнять анализ точности ЛВ модели риска; − определять вклады событий-параметров, описывающих кредит, и их градаций в
точность, робастность и прозрачность оценки кредитного риска; − управлять кредитным риском банка, изменяя число параметров в описании кредита
и градаций в параметре, асимметрию распознавания хороших и плохих кредитов. Наряду с большими достоинствами ЛВ моделей риска, их идентификация по ста-
тистическим данным отличается большой вычислительной сложностью из-за большого числа оцениваемых вероятностей (для кредитного риска их число доходит до 100), наличия локальных экстремумов из-за ступенчатости целевой функции, учета связей вероятностей в группах несовместных событий (ГНС) и вычисления логических разностей. Поэтому необходимы тщательные исследования методик идентификации ЛВ моделей по статистическим данным, что приведет к их более широкому распространению.
Математическое описание ЛВ моделей риска
Общим для ЛВ моделей является одинаковое табличное представление статистических данных. Табличная БД содержит информацию об однородных объектах (кредитах) или состояниях системы в разные моменты времени (портфель ценных бумаг). В таблице количество столбцов может достигать нескольких десятков, а количество строк – нескольких сотен. В ячейках таблицы находятся значения параметров (качественные или количественные, целые или дробные), характеризующие объекты или состояния
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
115
КРИТЕРИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КРЕДИТНОГО РИСКА …
системы. Последний столбец таблицы – параметр эффективности состояния системы.
Параметры, описывающие объект, обозначим строчными буквами z1, …, zj, …, zn, а параметр эффективности объекта – строчной буквой yi, i=1, 2, …, N. В клетках таблицы находятся значения параметров zij и для последнего столбца – значения параметра эффективности yi.
Модифицируем исходное представление БД, заменив значения параметров их градациями (интервалами). В модифицированной БД параметры называют событиями-
параметрами и Л-переменными и обозначают прописными буквами Z1, …, Zj, …, Zn, а параметр эффективности – событием-параметром эффективности и обозначают Y. В
ячейках новой таблицы находятся события-градации Zjr, j=1, 2 ,…, n; r=1, 2, …, Nj параметров Z, а в последнем столбце – события-градации Yr, r=1,2,…,Ny параметра эффективности Y.
Сценарий риска неуспеха состояния системы в статистических данных формули-
руется так: неуспех происходит, если происходит какое-либо одно, какие-либо два … или все события из Z1, Z2, …, Zn. Сценарий риска определяет ЛВ модель риска для полного множества событий в системе и записывается в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ) с учетом не двух состояний каждого события-параметра, а
нескольких состояний, составляющих ГНС. Обозначим параметр эффективности в статистических данных Y2 и номер строки
верхним индексом. Запишем систему Л-функций риска неуспеха состояний системы в статистических данных,
Z11r1
∨
⋅
⋅
⋅
∨
Z
1 jrj
∨
⋅
⋅
⋅
∨
Z1 nrn
=
Y1 2 ry
;
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅Z1⋅ir1
∨ ⋅⋅⋅ ∨ ⋅⋅⋅⋅
Zi jrj
⋅⋅
∨
⋅
⋅
⋅
∨
Zi nrn
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
Yi 2 ry
⋅ ⋅ ⋅⋅
,
Z1Nr1
∨
⋅
⋅
⋅
∨
Z
N jrj
∨
⋅
⋅
⋅
∨
ZN nrn
=
YN 2 ry
.
и соответствующую систему В-функций (В-полиномов):
(1)
P1 1r1
+
P1 2 r2
(1 −
P1 1r1
)
+
P1 3r3
(1 −
P1 1r1
)(1
−
P1 2 r2
)
+⋅⋅⋅
=
P{Y21
=
0};
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅P1i⋅r1
+ ⋅
Pi 2 r2
⋅⋅
(1 − ⋅⋅
Pi 1r1
)
+
Pi 3r3
(1
−
Pi 1r1
)(1
−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Pi 2 r2
)
+
...
⋅⋅
=
P{Y2i
=
0};
(2)
PN 1r1
+
PN 2r2
(1
−
PN 1r1
)
+
PN 3r3
(1
−
PN 1r1
)(1−
PN 2r2
)
+
...
=
P{Y2N
= 0}.
где i = 1, 2, ..., N; j = 1, 2,..., n; ry ∈ N j ; ry ∈ Ny ; n – число параметров для описания состоя-
ний; Nj – число градаций в параметре. Вероятность неуспеха любого состояния системы находится в интервале {0,1}
при любых значениях вероятностей инициирующих событий [3].
Вместо Л-переменных Z1, Z2, …, Zn в выражение (1) следует подставить Лпеременные для градаций этих переменных. Для перехода от системы Л-функций к
системе В-функции (2) выполнена логическая ортогонализация системы (1). Наиболь-
шее число разных объектов или состояний системы (1) равно
Nmax=N1×N2×…×Nj×…×Nn,
(3)
где N1, …, Nj, …, Nn – число градаций в событиях-параметрах. Астрономическое значе-
ние Nmax косвенно характеризует вычислительную сложность идентификации, однако
разные состояния системы логически ортогональны, и сложности преодолеваются.
116
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета нформационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.С. Строков, Е.Д. Соложенцев
Системы (1) и (2) будем называть базой знаний (БЗ) и использовать для получения новых знаний. В ЛВ теории риска с ГНС события-параметры связаны Л-операциями AND, OR, NOT, и могут иметься циклы. Событиям-параметрам соответствуют Лпеременные, которые могут быть зависимыми, но не изначально, а только потому, что они содержатся в Л-формуле, которая и определяет зависимость между ними. Событияградации для каждого параметра являются зависимыми и образуют ГНС.
Идентификация ЛВ модели риска неуспеха
Задача идентификации решается алгоритмическими итеративными методами и подробно описана в [2]. Предложена следующая схема решения задачи. Пусть известны
в первом приближении оценки вероятностей для градаций Pjr, r = 1, 2, …, Nj; j = 1, 2, …, n, и вычислены риски Pi, i=1, 2, …, N кредитов статистических данных. Определим допустимый риск Pad так, чтобы принятое нами расчетное число хороших кредитов Ngg имело риск меньше допустимого и соответственно число плохих кредитов Nbb=N-Ngg имело риск больше допустимого. В индексах «bb» и «gg» первая буква означает классификацию по статистике, а вторая – по модели. На шаге оптимизации нужно так изме-
нить вероятности Pjr, r = 1, 2, …, Nj; j = 1, 2, …, n, чтобы число распознаваемых кредитов увеличилось.
Разработаны следующие программные средства (ПС) для идентификации ЛВ модели риска и анализа риска:
1. демоверсия для оценки и анализа кредитных рисков; 2. ПС для дистанционного обслуживания кредитной деятельности банков;
3. ПС для оценки кредитов и управления кредитной деятельности банка. ПС работают в среде MS Windows и используют статистику по объектам в виде
файла, который загружается в программу.
Критерии идентификации ЛВ модели риска
Для идентификации можно использовать следующие целевые функции: 1. Число корректно классифицируемых состояний
F
=
Nbb
+
N gg
→ max, Pjr
(4)
где Ngg , Nbb – соответственно числа состояний, классифицируемых как хорошие и пло-
хие и статистикой, и В-моделью (корректные оценки);
2. Энтропия вероятностей корректно классифицируемых состояний
Nk
∑H
=
−
k =1
Pk
⋅ ln
Pk
→
max, Pjr
где Pk – вероятности корректно классифицируемых состояний;
3. Сумма вероятностей корректно классифицируемых состояний
(5)
Nk
∑S
=
Pk
k =1
→ max. Pjr
(6)
Критерий F является целочисленным, изменяется дискретно и равен числу кор-
ректно распознанных хороших и плохих состояний (4). Критерии H и S являются непре-
рывно-дискретными, так как их значения зависят от числа корректно распознанных со-
стояний и от их вероятностей (риска). Дискретно-непрерывные критерии оптимизации H
и S позволяют применить больший арсенал методов нелинейной оптимизации [7].
Итеративная алгоритмическая идентификация ЛВ модели риска выполняется по
формуле
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
117
КРИТЕРИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КРЕДИТНОГО РИСКА …
∆P1 jr
=
K1
Nopt − Nv Nopt
K3P1jr ,
j
= 1, 2,..., n; r
= 1, 2,..., N j ,
(7)
где K1 – коэффициент, равный ~ 0,05; Nopt, Nv – число оптимизаций и номер текущей
оптимизации, K3 – случайное число в интервале [-1,+1]. В процессе итеративной алго-
ритмической оптимизации ∆P1jr стремится к нулю. Формула (7) обеспечивает простое
задание максимального приращения вероятностей и определение точности оценки ве-
роятностей по величине приращений на шаге последней оптимизации.
Различные критерии оптимизации сведены в табл. 1. Критерии по некорректно
распознанным состояниям gb и bg являются дополнениями критериев корректно распо-
знанных состояний gg и bb.
Критерии по поряд-
ку 1 2
3
Энтропия состояний (H-критерии)
Hgg Hbb
H=Hgg+Hbb
Число состояний (F-критерии)
Fgg Fbb
F=Fgg+Fbb
Сумма вероятностей (S-критерии)
Sgg Sbb
S=Sgg+Sbb
Примечание
Хороших корректно распознанных Плохих корректно распознанных Хороших и плохих корректно распо-
знанных
Таблица 1. Критерии оптимизации
Исследование критериев идентификации
Исследования выполнялись с использованием статистических данных о 1000 кре-
дитах, приведенных в работе [1]. Проводилась оценка 96 вероятностей событийградаций. Исследовалось влияние шага отступлений на конечное значение целевой
функции. Результаты исследований при оптимизации по H и S приведены в табл. 2 и 3 соответственно.
№ ∆H
H
F
1
0,075
224,73
840
2 0,09 224,43 842
3 0,1 224,78 842
4
0,105
225,65
845
5 0,11 225,65 845
6 0,12 225,21 844
7
1,376
221,89
826
S 190,89 190,95 191,33 190,95 190,95 190,34 190,75
Таблица 2. Зависимость критериев от величины «отступления» при оптимизации по H
№ ∆S 1 0,06 2 0,1 3 0,12 4 0,18 5 0,972
H 221,91 222,44 223,98 222,25 221,74
FS 828 197,0 828 195,4 830 197,13 826 195,52 826 193,52
Таблица 3. Зависимость критериев от величины «отступления» при оптимизации по S
Оптимальные величины «отступлений» для критериев оптимизации составили ∆F=4 и ∆H =∆S = 0,1125. Результаты исследований для разных критериев оптимизации
приведены в табл. 4. Различие процессов оптимизации по разным критериям характеризуют величины
«отступлений» в случае неуспеха попыток оптимизаций на шаге. Отступление для кри-
118
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета нформационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.С. Строков, Е.Д. Соложенцев
терия F равно ∆ F=4 и составляет примерно 4/800=1/200 от оптимального значения целевой функции. «Отступлению» ∆ F=4 соответствуют «отступления» ∆ H=1,376 (строка 7 в табл. 2) и ∆ S=0,972 (строка 5 в табл. 3). Оптимальные «отступления» для критериев H и S равны ∆ H = ∆ S ≈ 0,1125 и составляют примерно 0,1125/225=1/2000 от оптимального значения целевых функций, т.е. для непрерывно-дискретных критериев H и S высота ступенек при оптимизации уменьшается в десять раз.
Оптимизация по критериям
F H S
F 844 842 830
Значения H 223,35 225,21 223,98
S 182,84 190,34 197,13
Таблица 4. Результаты оптимизации по разным критериям
Наибольшее значение числа корректно распознанных кредитов или, что то же самое, наибольшая точность ЛВ модели риска достигается при оптимизации с использованием прямого целочисленного критерия F (табл. 4). Косвенные непрерывнодискретные критерии H и S, хотя сами принимают наибольшие значения при оптимизации по ним, распознают меньшее число кредитов, их следует использовать для определения начальных значений вероятностей P1jr и Pjr при оптимизации по критерию F, а также контроля оптимизации по этому критерию. Эти критерии дают неоптимальные и смещенные оценки для числа корректно распознанных кредитов F. Косвенный критерий оптимизации H предпочтительнее косвенного критерия S, так как дает более высокое значение прямого критерия F и меньшее смещение его от оптимального значения.
Выводы
1. Анализ приложений ЛВ моделей риска показал, что в технологии ЛВ управления риском и эффективностью систем важной и самой сложной в вычислительном от-
ношении является процедура идентификация ЛВ модели риска по статистическим данным.
2. Для идентификации ЛВ модели риска по статистическим данным методами Монте-Карло и градиентов предложены формулы одинаковой структуры, отличающие-
ся простотой и прозрачностью и обеспечивающие приемлемое время вычислений, сходимость процесса обучения, простое задание начальных значений.
3. Метод Монте-Карло и метод градиентов дают одинаковые результаты при оптимизации и позволяют взаимно контролировать результаты идентификации.
4. Идентификация методом градиентов требует меньшего времени вычислений, и ей следует отдать предпочтение для определения достаточно хороших начальных зна-
чений вероятностей. Окончательную оптимизацию следует выполнять методом МонтеКарло.
5. Оптимизация по дискретно-непрерывным критериям H и S имеет меньшую вычислительную сложность и позволяет использовать весь арсенал нелинейных методов
оптимизации. Но число корректно распознаваемых состояний меньше, поэтому эти критерии следует использовать для оценки начальных приближений вероятностей.
6. Изложенные результаты и методика нашли применение при разработке ПС для разных типов и классов ЛВ моделей риска (кредитные риски, риск портфеля ценных
бумаг, риск коррупции и взяток и др.).
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
119
КРИТЕРИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КРЕДИТНОГО РИСКА …
Литература
1. Seitz J., Stickel E. Consumer Loan Analysis Using Neural Network // Proc. оf the Bankai
Workshop: Adaptive Intelligent Systems. – Brussels, 14–19 October 1996.
2. Solojentsev E.D. Scenario Logic and Probabilistic Management of Risk in Business and
Engineering. – Second edition. – Springer, 2008. – 500 p. 3. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. – 2-е изд. –
СПб: Изд-во СПбГУ, 2007. – 276 с. 4. Соложенцев Е.Д., Степанова Н. В., Карасев В.В. Прозрачность методик оценки кре-
дитных рисков и рейтингов. – СПб: Изд-во СПбГУ, 2005. – 200 с. 5. Исследование рисков. Методические указания к проведению лабораторных работ
«Логико-вероятностная теория кредитных рисков» / Н.С. Медведева, Е.Д. Соложенцев, Д.С. Строков. – СПб: СПбГУАП, 2007. – 23 с. 6. Соложенцев Е.Д. Управление риском и эффективностью в экономике: Логиковероятностный подход. – СПб: Изд-во СПбГУ, 2009. – 259 с. 7. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – 2-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 440 с.
Строков Дмитрий Сергеевич – Санкт-Петербургский государственный университет аэрокос-
мического приборостроения, аспирант, dima.src@gmail.com
Соложенцев Евгений Дмит- – Институт проблем машиноведения РАН, доктор технических
риевич
наук, профессор, esokar@gmail.com
120
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета нформационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
8 ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ. МЕНЕДЖМЕНТ
УДК 519.862.6
КРИТЕРИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КРЕДИТНОГО РИСКА ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ
Д.С. Строков, Е.Д. Соложенцев
Выполнен анализ приложений логико-вероятностных (ЛВ) моделей риска, показана важность процедуры идентификации ЛВ моделей риска по статистическим данным. Приведено краткое математическое описание ЛВ моделей риска. Предложены и исследованы разные критерии идентификации и даны рекомендации по их применению. Ключевые слова: модель, статистика, система, состояния, логика, идентификация, критерий, вероятность, градиенты, Монте-Карло, алгоритм, оптимизация, база знаний.
Введение
Для оценки кредитных рисков физических и юридических лиц применяются методики классификации на «хорошие» и «плохие» кредиты на основе линейного (LDA) и квадратичного (QDA) дискриминантного анализа, кластерного анализа (CARD) и нейронных сетей (NN) [1]. Эти методики имеют в два раза меньшую точность классификации, чем логико-вероятностные (ЛВ) модели риска [2]. Однако процесс идентификации (обучения, оптимизации) ЛВ моделей риска по статистическим данным о ранее выданных кредитах банка отличается исключительно высокой, до нескольких часов, вычислительной сложностью. Это связано с целочисленным критерием оптимизации (число корректно классифицируемых кредитов, у которых классификация совпала по модели и по статистике) и большим числом оцениваемых коэффициентов-вероятностей (до 100), которые, к тому же, нужно вычислять до 6–7 знака после запятой. Поэтому выбор и исследование других критериев оптимизации с меньшей вычислительной сложностью, например, дискретно-непрерывных, является актуальной задачей.
Приложения ЛВ моделей риска
ЛВ модели широко используются в технике для решения задач надежности и безопасности, в которых инициирующие события и итоговое событие принимают только два значения (0 и 1) [3]. ЛВ модели риска и эффективности имеют также многочисленные приложения в экономике, где инициирующие события имеют много значенийградаций (до 50 и более) и необходимо решать задачи идентификации ЛВ моделей риска (оценки вероятностей инициирующих событий ) по статистическим данным.
ЛВ модели риска неуспеха применяются в следующих приложениях [2–5]: − оценка и анализ кредитного риска физических и юридических лиц, − анализ риска и эффективности экономических и социальных процессов.
В ряде приложений ЛВ моделей риска задача классификации является основной. Состояния (объекты) системы классифицируются на хорошие и плохие (возможно большее число классов). Задача идентификации формулируется так: максимизировать число корректно распознанных хороших и плохих состояний системы, которые рассматриваются как случайные, имеющие вероятности; используется статистическая база данных (БД), и решается обратная оптимизационная задача. В проблемах эффективно-
114
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета нформационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.С. Строков, Е.Д. Соложенцев
сти задача идентификации решается для детального анализа риска и эффективности системы по вкладам процессов, влияющих на итоговый процесс.
Новизна ЛВ подхода для управления риском и эффективностью по статистическим данным мониторинга в экономических и социальных системах и процессах состоит в следующем: − Представление экономических и социальных систем как структурно-сложных с ис-
пользованием для их описания Л-переменных и случайных событий. На статистических данных состояний сложной системы рассматриваются два типа событий: появление состояний (объектов, кредитов) и неуспех состояний (объектов, кредитов); − Введение в статистическую табличную базу данных (БД) конечных множеств (групп несовместных событий) для значений параметров, что позволяет получить систему Л-уравнений или базу знаний (БЗ), использовать ЛВ исчисление Рябинина и формулу Байеса для связи вероятностей и решать задачи риска, эффективности и управления.
Технология ЛВ управления риском в приложениях включает в себя процедуры: 1. формулировка сценария риска и запись Л- и В-функций риска для всех состояний; 2. идентификация ЛВ модели риска системы по статистическим данным; 3. анализ риска состояния и всех состояний по вкладам параметров и градаций пара-
метров, описывающих состояния; 4. управление риском и эффективностью системы.
Оценка и анализ кредитных рисков является ярким примером задач классификации. Поэтому реальные исследования проблемы выбора критериев идентификации ЛВ моделей риска по статистическим данным проведены на примере кредитных рисков физических и юридических лиц.
Преимущества ЛВ модели риска на примере кредитных рисков подробно изложены в [2, 6]. ЛВ модели кредитного риска разительно отличаются от распространенных скоринговых методик. Идентификация ЛВ модели риска по статистическим данным позволяет решать следующие задачи: − строить В-модель кредитного риска, определяя вероятности событий-градаций; − выполнять анализ точности ЛВ модели риска; − определять вклады событий-параметров, описывающих кредит, и их градаций в
точность, робастность и прозрачность оценки кредитного риска; − управлять кредитным риском банка, изменяя число параметров в описании кредита
и градаций в параметре, асимметрию распознавания хороших и плохих кредитов. Наряду с большими достоинствами ЛВ моделей риска, их идентификация по ста-
тистическим данным отличается большой вычислительной сложностью из-за большого числа оцениваемых вероятностей (для кредитного риска их число доходит до 100), наличия локальных экстремумов из-за ступенчатости целевой функции, учета связей вероятностей в группах несовместных событий (ГНС) и вычисления логических разностей. Поэтому необходимы тщательные исследования методик идентификации ЛВ моделей по статистическим данным, что приведет к их более широкому распространению.
Математическое описание ЛВ моделей риска
Общим для ЛВ моделей является одинаковое табличное представление статистических данных. Табличная БД содержит информацию об однородных объектах (кредитах) или состояниях системы в разные моменты времени (портфель ценных бумаг). В таблице количество столбцов может достигать нескольких десятков, а количество строк – нескольких сотен. В ячейках таблицы находятся значения параметров (качественные или количественные, целые или дробные), характеризующие объекты или состояния
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
115
КРИТЕРИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КРЕДИТНОГО РИСКА …
системы. Последний столбец таблицы – параметр эффективности состояния системы.
Параметры, описывающие объект, обозначим строчными буквами z1, …, zj, …, zn, а параметр эффективности объекта – строчной буквой yi, i=1, 2, …, N. В клетках таблицы находятся значения параметров zij и для последнего столбца – значения параметра эффективности yi.
Модифицируем исходное представление БД, заменив значения параметров их градациями (интервалами). В модифицированной БД параметры называют событиями-
параметрами и Л-переменными и обозначают прописными буквами Z1, …, Zj, …, Zn, а параметр эффективности – событием-параметром эффективности и обозначают Y. В
ячейках новой таблицы находятся события-градации Zjr, j=1, 2 ,…, n; r=1, 2, …, Nj параметров Z, а в последнем столбце – события-градации Yr, r=1,2,…,Ny параметра эффективности Y.
Сценарий риска неуспеха состояния системы в статистических данных формули-
руется так: неуспех происходит, если происходит какое-либо одно, какие-либо два … или все события из Z1, Z2, …, Zn. Сценарий риска определяет ЛВ модель риска для полного множества событий в системе и записывается в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ) с учетом не двух состояний каждого события-параметра, а
нескольких состояний, составляющих ГНС. Обозначим параметр эффективности в статистических данных Y2 и номер строки
верхним индексом. Запишем систему Л-функций риска неуспеха состояний системы в статистических данных,
Z11r1
∨
⋅
⋅
⋅
∨
Z
1 jrj
∨
⋅
⋅
⋅
∨
Z1 nrn
=
Y1 2 ry
;
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅Z1⋅ir1
∨ ⋅⋅⋅ ∨ ⋅⋅⋅⋅
Zi jrj
⋅⋅
∨
⋅
⋅
⋅
∨
Zi nrn
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
Yi 2 ry
⋅ ⋅ ⋅⋅
,
Z1Nr1
∨
⋅
⋅
⋅
∨
Z
N jrj
∨
⋅
⋅
⋅
∨
ZN nrn
=
YN 2 ry
.
и соответствующую систему В-функций (В-полиномов):
(1)
P1 1r1
+
P1 2 r2
(1 −
P1 1r1
)
+
P1 3r3
(1 −
P1 1r1
)(1
−
P1 2 r2
)
+⋅⋅⋅
=
P{Y21
=
0};
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅P1i⋅r1
+ ⋅
Pi 2 r2
⋅⋅
(1 − ⋅⋅
Pi 1r1
)
+
Pi 3r3
(1
−
Pi 1r1
)(1
−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Pi 2 r2
)
+
...
⋅⋅
=
P{Y2i
=
0};
(2)
PN 1r1
+
PN 2r2
(1
−
PN 1r1
)
+
PN 3r3
(1
−
PN 1r1
)(1−
PN 2r2
)
+
...
=
P{Y2N
= 0}.
где i = 1, 2, ..., N; j = 1, 2,..., n; ry ∈ N j ; ry ∈ Ny ; n – число параметров для описания состоя-
ний; Nj – число градаций в параметре. Вероятность неуспеха любого состояния системы находится в интервале {0,1}
при любых значениях вероятностей инициирующих событий [3].
Вместо Л-переменных Z1, Z2, …, Zn в выражение (1) следует подставить Лпеременные для градаций этих переменных. Для перехода от системы Л-функций к
системе В-функции (2) выполнена логическая ортогонализация системы (1). Наиболь-
шее число разных объектов или состояний системы (1) равно
Nmax=N1×N2×…×Nj×…×Nn,
(3)
где N1, …, Nj, …, Nn – число градаций в событиях-параметрах. Астрономическое значе-
ние Nmax косвенно характеризует вычислительную сложность идентификации, однако
разные состояния системы логически ортогональны, и сложности преодолеваются.
116
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета нформационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.С. Строков, Е.Д. Соложенцев
Системы (1) и (2) будем называть базой знаний (БЗ) и использовать для получения новых знаний. В ЛВ теории риска с ГНС события-параметры связаны Л-операциями AND, OR, NOT, и могут иметься циклы. Событиям-параметрам соответствуют Лпеременные, которые могут быть зависимыми, но не изначально, а только потому, что они содержатся в Л-формуле, которая и определяет зависимость между ними. Событияградации для каждого параметра являются зависимыми и образуют ГНС.
Идентификация ЛВ модели риска неуспеха
Задача идентификации решается алгоритмическими итеративными методами и подробно описана в [2]. Предложена следующая схема решения задачи. Пусть известны
в первом приближении оценки вероятностей для градаций Pjr, r = 1, 2, …, Nj; j = 1, 2, …, n, и вычислены риски Pi, i=1, 2, …, N кредитов статистических данных. Определим допустимый риск Pad так, чтобы принятое нами расчетное число хороших кредитов Ngg имело риск меньше допустимого и соответственно число плохих кредитов Nbb=N-Ngg имело риск больше допустимого. В индексах «bb» и «gg» первая буква означает классификацию по статистике, а вторая – по модели. На шаге оптимизации нужно так изме-
нить вероятности Pjr, r = 1, 2, …, Nj; j = 1, 2, …, n, чтобы число распознаваемых кредитов увеличилось.
Разработаны следующие программные средства (ПС) для идентификации ЛВ модели риска и анализа риска:
1. демоверсия для оценки и анализа кредитных рисков; 2. ПС для дистанционного обслуживания кредитной деятельности банков;
3. ПС для оценки кредитов и управления кредитной деятельности банка. ПС работают в среде MS Windows и используют статистику по объектам в виде
файла, который загружается в программу.
Критерии идентификации ЛВ модели риска
Для идентификации можно использовать следующие целевые функции: 1. Число корректно классифицируемых состояний
F
=
Nbb
+
N gg
→ max, Pjr
(4)
где Ngg , Nbb – соответственно числа состояний, классифицируемых как хорошие и пло-
хие и статистикой, и В-моделью (корректные оценки);
2. Энтропия вероятностей корректно классифицируемых состояний
Nk
∑H
=
−
k =1
Pk
⋅ ln
Pk
→
max, Pjr
где Pk – вероятности корректно классифицируемых состояний;
3. Сумма вероятностей корректно классифицируемых состояний
(5)
Nk
∑S
=
Pk
k =1
→ max. Pjr
(6)
Критерий F является целочисленным, изменяется дискретно и равен числу кор-
ректно распознанных хороших и плохих состояний (4). Критерии H и S являются непре-
рывно-дискретными, так как их значения зависят от числа корректно распознанных со-
стояний и от их вероятностей (риска). Дискретно-непрерывные критерии оптимизации H
и S позволяют применить больший арсенал методов нелинейной оптимизации [7].
Итеративная алгоритмическая идентификация ЛВ модели риска выполняется по
формуле
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
117
КРИТЕРИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КРЕДИТНОГО РИСКА …
∆P1 jr
=
K1
Nopt − Nv Nopt
K3P1jr ,
j
= 1, 2,..., n; r
= 1, 2,..., N j ,
(7)
где K1 – коэффициент, равный ~ 0,05; Nopt, Nv – число оптимизаций и номер текущей
оптимизации, K3 – случайное число в интервале [-1,+1]. В процессе итеративной алго-
ритмической оптимизации ∆P1jr стремится к нулю. Формула (7) обеспечивает простое
задание максимального приращения вероятностей и определение точности оценки ве-
роятностей по величине приращений на шаге последней оптимизации.
Различные критерии оптимизации сведены в табл. 1. Критерии по некорректно
распознанным состояниям gb и bg являются дополнениями критериев корректно распо-
знанных состояний gg и bb.
Критерии по поряд-
ку 1 2
3
Энтропия состояний (H-критерии)
Hgg Hbb
H=Hgg+Hbb
Число состояний (F-критерии)
Fgg Fbb
F=Fgg+Fbb
Сумма вероятностей (S-критерии)
Sgg Sbb
S=Sgg+Sbb
Примечание
Хороших корректно распознанных Плохих корректно распознанных Хороших и плохих корректно распо-
знанных
Таблица 1. Критерии оптимизации
Исследование критериев идентификации
Исследования выполнялись с использованием статистических данных о 1000 кре-
дитах, приведенных в работе [1]. Проводилась оценка 96 вероятностей событийградаций. Исследовалось влияние шага отступлений на конечное значение целевой
функции. Результаты исследований при оптимизации по H и S приведены в табл. 2 и 3 соответственно.
№ ∆H
H
F
1
0,075
224,73
840
2 0,09 224,43 842
3 0,1 224,78 842
4
0,105
225,65
845
5 0,11 225,65 845
6 0,12 225,21 844
7
1,376
221,89
826
S 190,89 190,95 191,33 190,95 190,95 190,34 190,75
Таблица 2. Зависимость критериев от величины «отступления» при оптимизации по H
№ ∆S 1 0,06 2 0,1 3 0,12 4 0,18 5 0,972
H 221,91 222,44 223,98 222,25 221,74
FS 828 197,0 828 195,4 830 197,13 826 195,52 826 193,52
Таблица 3. Зависимость критериев от величины «отступления» при оптимизации по S
Оптимальные величины «отступлений» для критериев оптимизации составили ∆F=4 и ∆H =∆S = 0,1125. Результаты исследований для разных критериев оптимизации
приведены в табл. 4. Различие процессов оптимизации по разным критериям характеризуют величины
«отступлений» в случае неуспеха попыток оптимизаций на шаге. Отступление для кри-
118
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета нформационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
Д.С. Строков, Е.Д. Соложенцев
терия F равно ∆ F=4 и составляет примерно 4/800=1/200 от оптимального значения целевой функции. «Отступлению» ∆ F=4 соответствуют «отступления» ∆ H=1,376 (строка 7 в табл. 2) и ∆ S=0,972 (строка 5 в табл. 3). Оптимальные «отступления» для критериев H и S равны ∆ H = ∆ S ≈ 0,1125 и составляют примерно 0,1125/225=1/2000 от оптимального значения целевых функций, т.е. для непрерывно-дискретных критериев H и S высота ступенек при оптимизации уменьшается в десять раз.
Оптимизация по критериям
F H S
F 844 842 830
Значения H 223,35 225,21 223,98
S 182,84 190,34 197,13
Таблица 4. Результаты оптимизации по разным критериям
Наибольшее значение числа корректно распознанных кредитов или, что то же самое, наибольшая точность ЛВ модели риска достигается при оптимизации с использованием прямого целочисленного критерия F (табл. 4). Косвенные непрерывнодискретные критерии H и S, хотя сами принимают наибольшие значения при оптимизации по ним, распознают меньшее число кредитов, их следует использовать для определения начальных значений вероятностей P1jr и Pjr при оптимизации по критерию F, а также контроля оптимизации по этому критерию. Эти критерии дают неоптимальные и смещенные оценки для числа корректно распознанных кредитов F. Косвенный критерий оптимизации H предпочтительнее косвенного критерия S, так как дает более высокое значение прямого критерия F и меньшее смещение его от оптимального значения.
Выводы
1. Анализ приложений ЛВ моделей риска показал, что в технологии ЛВ управления риском и эффективностью систем важной и самой сложной в вычислительном от-
ношении является процедура идентификация ЛВ модели риска по статистическим данным.
2. Для идентификации ЛВ модели риска по статистическим данным методами Монте-Карло и градиентов предложены формулы одинаковой структуры, отличающие-
ся простотой и прозрачностью и обеспечивающие приемлемое время вычислений, сходимость процесса обучения, простое задание начальных значений.
3. Метод Монте-Карло и метод градиентов дают одинаковые результаты при оптимизации и позволяют взаимно контролировать результаты идентификации.
4. Идентификация методом градиентов требует меньшего времени вычислений, и ей следует отдать предпочтение для определения достаточно хороших начальных зна-
чений вероятностей. Окончательную оптимизацию следует выполнять методом МонтеКарло.
5. Оптимизация по дискретно-непрерывным критериям H и S имеет меньшую вычислительную сложность и позволяет использовать весь арсенал нелинейных методов
оптимизации. Но число корректно распознаваемых состояний меньше, поэтому эти критерии следует использовать для оценки начальных приближений вероятностей.
6. Изложенные результаты и методика нашли применение при разработке ПС для разных типов и классов ЛВ моделей риска (кредитные риски, риск портфеля ценных
бумаг, риск коррупции и взяток и др.).
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)
119
КРИТЕРИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КРЕДИТНОГО РИСКА …
Литература
1. Seitz J., Stickel E. Consumer Loan Analysis Using Neural Network // Proc. оf the Bankai
Workshop: Adaptive Intelligent Systems. – Brussels, 14–19 October 1996.
2. Solojentsev E.D. Scenario Logic and Probabilistic Management of Risk in Business and
Engineering. – Second edition. – Springer, 2008. – 500 p. 3. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. – 2-е изд. –
СПб: Изд-во СПбГУ, 2007. – 276 с. 4. Соложенцев Е.Д., Степанова Н. В., Карасев В.В. Прозрачность методик оценки кре-
дитных рисков и рейтингов. – СПб: Изд-во СПбГУ, 2005. – 200 с. 5. Исследование рисков. Методические указания к проведению лабораторных работ
«Логико-вероятностная теория кредитных рисков» / Н.С. Медведева, Е.Д. Соложенцев, Д.С. Строков. – СПб: СПбГУАП, 2007. – 23 с. 6. Соложенцев Е.Д. Управление риском и эффективностью в экономике: Логиковероятностный подход. – СПб: Изд-во СПбГУ, 2009. – 259 с. 7. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – 2-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 440 с.
Строков Дмитрий Сергеевич – Санкт-Петербургский государственный университет аэрокос-
мического приборостроения, аспирант, dima.src@gmail.com
Соложенцев Евгений Дмит- – Институт проблем машиноведения РАН, доктор технических
риевич
наук, профессор, esokar@gmail.com
120
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета нформационных технологий, механики и оптики, 2009, № 4(62)