РАСЧЕТ КАНАЛЬНОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭРМИТОВОГО НАБОРА В-СПЛАЙНОВ
РАСЧЕТ КАНАЛЬНОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА ...
УДК 681.7.06; 681.7.068.4
РАСЧЕТ КАНАЛЬНОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭРМИТОВОГО НАБОРА В-СПЛАЙНОВ
Г.Б. Дейнека, В.С. Серебрякова
Приведена универсальная методика расчета параметров канальных волноводов с произвольным распределением показателя преломления из первых принципов. В качестве алгоритма предложен метод конечных элементов с использованием эрмитового набора В-сплайнов. Приведены результаты расчета предлагаемым методом полоскового оптического волновода с заданным профилем показателя преломления различной геометрической конфигурации. Произведено сравнение полученных результатов с результатами расчетов известными численными методиками. Ключевые слова: канальные оптические волноводы, профиль показателя преломления, метод конечных элементов, В-сплайны, компьютерное моделирование.
Введение Канальные оптические волноводы лежат в основе большинства современных устройств интегральной оптики (переключатели, разветвители, модуляторы, поляризаторы, мультиплексоры и др.). Расчет параметров таких волноводных структур является ключевым при проектироании и создании интегрально-оптических элементов с заданными свойствами (геометрическая конфигурация, профиль показателя преломления, размер поля моды, потери, коэффициент деления для ветвителей, количество мод, поддерживаемых волноводом, и т.д.). Существуют различные методы численного моделирования распространения излучения в канальных волноводах, такие как метод конечных элементов [1–7], метод конечных разностей [8–9], метод лучевого распространения [10], ВКБ метод [11], метод эффективного показателя преломления [12], векторные методы [13–14] и др. [15–16], но каждый из них имеет свои ограничения в области применения в зависимости от постановки задачи. Программные платформы, реализующие в виде компьютерного моделирования эти методы, в основном используют весьма трудоемкий и неоднозначный способ построения неравномерных сеток с триангулярными элементами. В настоящей работе предлагается метод расчета канальных оптических волноводов, использующий равномерную сетку финитных элементов. Физическая модель основана на решении уравнения Гельмгольца и является универсальным средством для расчета волноводов различной конфигурации. Эта методика позволяет рассчитывать такие параметры, как количество мод, интеграл перекрытия полей, а также визуализировать поля в сечении волновода.
Теоретическая часть В работе использован эрмитовый базис В-сплайнов [17–18]. Эрмитовый набор функций представляет собой кусочно-гладкие функции, образованные из полиномов третьего порядка. Набор состоит из двух функций f0 и f1 , центрированных на каждом узле в одном измерении. Одним из важнейших свойств этого базиса является возможность применения его для аппроксимации различных функций без решения
6 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
Г.Б. Дейнека, В.С. Серебрякова
различного рода матричных задач. В одномерном случае набор B-сплайнов f (x) состоит из двух функ-
ций, центрированных на каждом узле:
0, при x 1, f 0 (x) (x 1)(x 1)(1 2x), при x 0,
(1 x)(1 x)(1 2x), при x 0,
0, при x 1, f 1(x) (1 x)(1 x)x, при x 0,
(1 x)(1 x)x, при x 0.
Так, если во всех узлах j известны значения некоторой функции F(j) и ее производной F (j), то эти величины и являются коэффициентами разложения функции f по эрмитовому базису В-сплайнов:
F ( x) F j f 0 ( x j) F j' f 1 ( x j) jj
Вид функций эрмитового набора f0 и f1 и их расположение по узлам представлены на рис. 1.
Рис. 1. Общий вид функций эрмитового набора В-сплайнов и их производных
Аппроксимационные свойства этих базисных функций исследованы на широком спектре одно- и
двумерных задач квантовой механики [18, 19] и показали хорошие результаты как при прямых аппрок-
симациях, так и при использовании различных вариационных принципов. Упоминание квантовой меха-
ники не случайно, так как уравнение Гемгольца в оптике, которое является основой моделирования оп-
тических волноводов, полностью аналогично уравнению Шредингера в квантовой механике. Использо-
вание описанных выше сплайнов возможно как в аналитическом (в основном при интегрировании со
степенными функциями), так и в численном виде. В последнем случае для интегрирования используется
семиточечная формула [20], которая дает точные результаты при интегрировании полиномов до седьмой
степени включительно. Особенно эффективно применение базиса В-сплайнов при решении двумерных
задач. Обычная практика применения триангулярных квадратичных элементов [1–3, 8, 9, 13, 14] в каче-
стве финитных функций связана с весьма неоднозначным процессом разбиения пространства на тре-
угольные области. Конструирование финитных элементов более высокого порядка, чем линейные, тре-
бует владения весьма трудоемкой техникой. Применение в качестве базиса гладких В-сплайнов избавля-
ет от необходимости построения на каждом узле индивидуальной базисной функции и сводится к по-
строению равномерной сетки, в каждом узле которой находится произведение функций типа [19]
fih1 (x) fih2 ( y)
h1, h2 i, j
k
,
где k – обобщенный индекс (h1, h2, i, j). Общий вид двумерных B-сплайнов приведен на рис. 2. В дву-
мерном случае в одном узле находятся четыре сплайна.
Как уже было отмечено, с развитием техники оптической связи большое распространение получи-
ли волноводные оптические элементы, связанные с разветвлением, модуляцией, изменением поляриза-
ции, фазы и других параметров оптического сигнала. Основой для изготовления таких интегрально-
оптических элементов служат канальные (или полосковые) волноводы, когда показатель преломления
волноводного слоя полоски превышает показатель преломления подложки. Важной задачей является
определение модового состава и формы распределения поля в основных модах. Последнее особенно
важно для определения потерь при стыковке различных оптических элементов между собой или с опти-
ческими волокнами. Пример канального оптического волновода показан на рис. 3.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
7
РАСЧЕТ КАНАЛЬНОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА ...
Рис. 2. Набор двумерных В-сплайнов
канальный волновод
y
z
подложка
x
Рис. 3. Простейший вид канального волновода на подложке
Рассмотрим световую волну, распространяющуюся по оптическому волноводу с произвольным показателем преломления в направлении z, а вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости (x,y):
E(x, y, z) Em (x, y) exp(i(kz t)) ,
где kz neff k0 – постоянная распространения, k0 2 – волновое число в свободном пространстве. При
этом Em (x, y) является решением уравнения Гельмгольца [21] HE E ,
где
H
2 x2
2 y 2
k0n(x, y)2 ,
k0
n2 eff
,
n n(x, y)
– профиль показателя преломления в плоскости XОY,
neff – эффективный показатель преломления. Представление Е(х, у) в виде E(x, y) Ck k (x, y) и ведет k
к матричной обобщенной задаче на собственные значения и собственные функции [19]:
M
Ck Hn, k Sn, k Cn ,
k 0
xmax , ymax
xmax , ymax
где Hn, k
n (x, y)H k (x, y)dydx , Sn, k
n (x, y)k (x, y)dydx , М – число базисных функций.
xmin , ymin
xmin , ymin
Результаты моделирования
На рис. 4 приведен тестовый пример распределения показателя преломления канального волновода для оценки точности применяемого метода вычисления размера модовых полей и распределений интенсивности светового поля [3].
Пусть показатель преломления подложки ns =3,40, волновода – nf = 3,44, а показатель преломления покровного слоя воздуха nc = 1, длина волны λ = 1,55 мкм; W = 3,0, h+t = 1, Xs = 3,0, Ys=5, Yc = 1 – линейные размеры в микрометрах. В таблице приведено сравнение результатов наших расчетов эффективного
показателя преломления neff с результатами тестовых расчетов, полученных различными численными
методами. В таблице приняты следующие обозначения: VFEM (Vector-H finite element method) – векторный метод конечных элементов с триангулярной неравномерной сеткой [14]; SDFM (Semivectorial polarized finite difference method) – векторный метод конечных разностей [13]; SFEM (Scalar finite element method) – скалярный метод конечных элементов с триангулярной неравномерной сеткой [3], в котором
8 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
Г.Б. Дейнека, В.С. Серебрякова
число триангулярных элементов Ne =240, число искомых параметров Nc=519; B-spline – метод конечных элементов с равномерной сеткой на базисе двумерных В-сплайнов (рис. 2), где число базисных функций (искомых параметров) Ne=480, число узлов Nc=120. Сравнение показывает, что В-сплайны позволяют использовать равномерную сетку с точностью не хуже, чем в случае специального подбора триангулярной неравномерной сетки. При этом увеличение точности определяется только одним параметром – количеством узлов, а трудоемкость задачи, которая определяется числом искомых параметров, гораздо меньше, чем в случае специально подобранной сетки.
nc Xs
W h
Yc Xs
nf t
ns Ys
Рис. 4. Тестовый пример распределения n(x,y)
t, мкм
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
VFEM 3,4121 3,4122 3,41235 3,41255 3,41285 3,41315 3,41365 3,4141 3,41475 3,4156
SFDM 3,41188 3,41200 3,41217 3,41240 3,41271 3,41310 3,41358 3,41415 3,41485 3,41568
neff
SFEM 3,41204 3,41214 3,41229 3,41249 3,41276 3,41311 3,41353 3,41404 3,41468 3,41553
B-spline 3,411988 3,419209 3,412254 3,412470 3,412761 3,413136 3,413572 3,414028 3,414670 3,415409
Таблица. Значения эффективного показателя преломления для основной моды тестового распределения
показателя преломления n(x,y), рассчитанные различными методами
На рис. 5 приведено рассчитанное с помощью методики В-сплайнов распределение интенсивностей поля в канальных волноводах c различными профилями показателя преломления (рис. 4).
n=1 n=3,44
n=1 n=3,44
n=1 n=3,44
n=3,40
n=3,40
n=3,40
Рис. 5. Распределение интенсивности поля для различных профилей показателя преломления полоскового волновода
Заключение
Методика В-сплайнов позволяет рассчитывать волноводы с произвольным профилем показателя преломления и произвольной геометрией построения световодной структуры. Точность расчетов методом В-сплайнов сопоставима с точностью результатов известных проверенных методик (вектор-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
9
РАСЧЕТ КАНАЛЬНОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА ...
ный/скалярный метод конечных элементов, метод конечных разностей и др.), а в некоторых случаях даже превосходит их.
Основным достоинством предлагаемой методики является применение в качестве базиса эрмитового набора гладких В-сплайнов, аппроксимирующие свойства которых позволяют использовать равномерную сетку, где в каждом узле находятся одномерные базисные функции. Это, на наш взгляд, имеет преимущество перед обычной практикой применения триангулярных квадратичных элементов в качестве финитных функций, связанной с весьма неоднозначным процессом разбиения пространства на треугольные области. Таким образом, метод В-сплайнов является универсальным средством для расчета волноводов с произвольным распределением показателя преломления, это высокоточный и производительный метод.
Литература
1. Koshiba M., Hayata K., Suzuki M. Approximate scalar finite-element analysis of anisotropic optical waveguides // Electronics Lett. – 1982. – V. 18. – № 10. – Р. 411–412. 2. Koshiba M., Hayata K., Suzuki M. Improved finite-element formulation in terms of the magnetic field vector for dielectric waveguide // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. – 1985. – V. MTT-33. – № 3. – Р. 227–232. 3. Koshiba M., Saitoh H., Eguchi M., Hirayama K. Simple scalar finite element approach to optical rib waveguide // IEEE Proc.-J. – 1992. – V.139. – № 2. – Р. 166–171. 4. Rahman B.M.A., Davies J.B. Finite-Element Solution of Integrated Optical Waveguides // J. of lightwave technology. – 1984. – V. LT-2. – № 5. – P. 682–687. 5. Franco M. A. R., Passaro A., Neto F.S. Modal Analysis of Anisotropic Diffused-Channel Waveguide by a Scalar Finite Element Method // IEEE Transactions on Magnetics. – 1998. – V. 34. – № 5. – P. 2783–2786. 6. Mabaya N., Lagasse P.E., Vandenbulcke P. Finite element analysis of optical waveguide // IEEE Transaction on Microwave Theory and Techniques. – 1981. – V. MTT-29. – № 6. – Р. 600–605. 7. Popescu V.A. Determination of propagation constants in a TiLiNbO3 optical waveguide by using finite element and variational methods // Optical Communications. – 2005. – V. 250. – P. 274–279. 8. Vassallo C. Improvement of finite difference methods for step-index optical waveguide. // IEEE Proc.-J. – 1992.– V.139. – № 2. – Р. 137–142. 9. Chaudhuri P.R., Ghatak A.K., Pal B.P., Lu C. Fast convergence and higher-order mode calculation of optical waveguide: perturbation method with finite difference algorithm // Optics and Laser technology. – 2004. – V. 37. – Р. 61–67. 10. Wachter C., Palme M., Schreiber P. Applications of standard BPM algorithms // SPIE. – 1997. – V. 2997. – Р. 220–231. 11. Zh. Cao, Li Zhan, Y. Chen. Improved WKB method // SPIE. – 1996. – V. 2891. – Р. 289–295. 12. Chakraborty R., Biswas J.C., Lahiri S.K. Analysis of directional coupler electro-optic switches using effective-index-based matrix method // Optics Communications. – 2003. – V. 219. – P. 157–163. 13. Stern M.S. Semivectorial polarized finite difference method for optical waveguide with arbitrary index profile // IEE Proc.-J, Optoelectron. – 1988. – V. 135. – Р. 56–63. 14. Rahman B.M.A., Davies J.B. Vector-H finite elemet solution of GaAs/GaAlAs rib waveguide// IEE Proc.-J, Optoelectron. – 1985. – V. 132. – Р. 349–353. 15. Sharma A., Meunier J.-P. On the modal analysis of optical waveguides using approximate methods // Optics Communications. – 2007. – V. 281. – Р. 592–599. 16. Lo K.-M., Li E.H. Cutoff frecuency of quasi-vector mode of optical waveguide with arbitrary refractive index profile // SPIE. – 1998. – V. 3283. – Р. 921–929. 17. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М: Наука, 1981. 18. Дейнека Г.Б. Применение эрмитового базиса В-сплайнов для решения двухатомных молекулярных задач методом Хартри–Фока–Дирака // Оптика и спектроскопия. – 1998. – Т. 84. – № 2. – С. 198–203. 19. Deineka G.B. 2D model of H+ and H(1s) collision: application to charge transfer // International Journal of Quantum Chemistry. – 2006. – V. 106. – № 10. – Р. 2262–2267. 20. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1973. – 831 c. 21. Тамир Т. Волноводная оптоэлектроника. – М: Мир, 1999. – 574 с.
Дейнека Геннадий Борисович Серебрякова Владлена Сергеевна
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, доцент, gdeineka@yahoo.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, vlladllena@mail.ru
10 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
УДК 681.7.06; 681.7.068.4
РАСЧЕТ КАНАЛЬНОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭРМИТОВОГО НАБОРА В-СПЛАЙНОВ
Г.Б. Дейнека, В.С. Серебрякова
Приведена универсальная методика расчета параметров канальных волноводов с произвольным распределением показателя преломления из первых принципов. В качестве алгоритма предложен метод конечных элементов с использованием эрмитового набора В-сплайнов. Приведены результаты расчета предлагаемым методом полоскового оптического волновода с заданным профилем показателя преломления различной геометрической конфигурации. Произведено сравнение полученных результатов с результатами расчетов известными численными методиками. Ключевые слова: канальные оптические волноводы, профиль показателя преломления, метод конечных элементов, В-сплайны, компьютерное моделирование.
Введение Канальные оптические волноводы лежат в основе большинства современных устройств интегральной оптики (переключатели, разветвители, модуляторы, поляризаторы, мультиплексоры и др.). Расчет параметров таких волноводных структур является ключевым при проектироании и создании интегрально-оптических элементов с заданными свойствами (геометрическая конфигурация, профиль показателя преломления, размер поля моды, потери, коэффициент деления для ветвителей, количество мод, поддерживаемых волноводом, и т.д.). Существуют различные методы численного моделирования распространения излучения в канальных волноводах, такие как метод конечных элементов [1–7], метод конечных разностей [8–9], метод лучевого распространения [10], ВКБ метод [11], метод эффективного показателя преломления [12], векторные методы [13–14] и др. [15–16], но каждый из них имеет свои ограничения в области применения в зависимости от постановки задачи. Программные платформы, реализующие в виде компьютерного моделирования эти методы, в основном используют весьма трудоемкий и неоднозначный способ построения неравномерных сеток с триангулярными элементами. В настоящей работе предлагается метод расчета канальных оптических волноводов, использующий равномерную сетку финитных элементов. Физическая модель основана на решении уравнения Гельмгольца и является универсальным средством для расчета волноводов различной конфигурации. Эта методика позволяет рассчитывать такие параметры, как количество мод, интеграл перекрытия полей, а также визуализировать поля в сечении волновода.
Теоретическая часть В работе использован эрмитовый базис В-сплайнов [17–18]. Эрмитовый набор функций представляет собой кусочно-гладкие функции, образованные из полиномов третьего порядка. Набор состоит из двух функций f0 и f1 , центрированных на каждом узле в одном измерении. Одним из важнейших свойств этого базиса является возможность применения его для аппроксимации различных функций без решения
6 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
Г.Б. Дейнека, В.С. Серебрякова
различного рода матричных задач. В одномерном случае набор B-сплайнов f (x) состоит из двух функ-
ций, центрированных на каждом узле:
0, при x 1, f 0 (x) (x 1)(x 1)(1 2x), при x 0,
(1 x)(1 x)(1 2x), при x 0,
0, при x 1, f 1(x) (1 x)(1 x)x, при x 0,
(1 x)(1 x)x, при x 0.
Так, если во всех узлах j известны значения некоторой функции F(j) и ее производной F (j), то эти величины и являются коэффициентами разложения функции f по эрмитовому базису В-сплайнов:
F ( x) F j f 0 ( x j) F j' f 1 ( x j) jj
Вид функций эрмитового набора f0 и f1 и их расположение по узлам представлены на рис. 1.
Рис. 1. Общий вид функций эрмитового набора В-сплайнов и их производных
Аппроксимационные свойства этих базисных функций исследованы на широком спектре одно- и
двумерных задач квантовой механики [18, 19] и показали хорошие результаты как при прямых аппрок-
симациях, так и при использовании различных вариационных принципов. Упоминание квантовой меха-
ники не случайно, так как уравнение Гемгольца в оптике, которое является основой моделирования оп-
тических волноводов, полностью аналогично уравнению Шредингера в квантовой механике. Использо-
вание описанных выше сплайнов возможно как в аналитическом (в основном при интегрировании со
степенными функциями), так и в численном виде. В последнем случае для интегрирования используется
семиточечная формула [20], которая дает точные результаты при интегрировании полиномов до седьмой
степени включительно. Особенно эффективно применение базиса В-сплайнов при решении двумерных
задач. Обычная практика применения триангулярных квадратичных элементов [1–3, 8, 9, 13, 14] в каче-
стве финитных функций связана с весьма неоднозначным процессом разбиения пространства на тре-
угольные области. Конструирование финитных элементов более высокого порядка, чем линейные, тре-
бует владения весьма трудоемкой техникой. Применение в качестве базиса гладких В-сплайнов избавля-
ет от необходимости построения на каждом узле индивидуальной базисной функции и сводится к по-
строению равномерной сетки, в каждом узле которой находится произведение функций типа [19]
fih1 (x) fih2 ( y)
h1, h2 i, j
k
,
где k – обобщенный индекс (h1, h2, i, j). Общий вид двумерных B-сплайнов приведен на рис. 2. В дву-
мерном случае в одном узле находятся четыре сплайна.
Как уже было отмечено, с развитием техники оптической связи большое распространение получи-
ли волноводные оптические элементы, связанные с разветвлением, модуляцией, изменением поляриза-
ции, фазы и других параметров оптического сигнала. Основой для изготовления таких интегрально-
оптических элементов служат канальные (или полосковые) волноводы, когда показатель преломления
волноводного слоя полоски превышает показатель преломления подложки. Важной задачей является
определение модового состава и формы распределения поля в основных модах. Последнее особенно
важно для определения потерь при стыковке различных оптических элементов между собой или с опти-
ческими волокнами. Пример канального оптического волновода показан на рис. 3.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
7
РАСЧЕТ КАНАЛЬНОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА ...
Рис. 2. Набор двумерных В-сплайнов
канальный волновод
y
z
подложка
x
Рис. 3. Простейший вид канального волновода на подложке
Рассмотрим световую волну, распространяющуюся по оптическому волноводу с произвольным показателем преломления в направлении z, а вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости (x,y):
E(x, y, z) Em (x, y) exp(i(kz t)) ,
где kz neff k0 – постоянная распространения, k0 2 – волновое число в свободном пространстве. При
этом Em (x, y) является решением уравнения Гельмгольца [21] HE E ,
где
H
2 x2
2 y 2
k0n(x, y)2 ,
k0
n2 eff
,
n n(x, y)
– профиль показателя преломления в плоскости XОY,
neff – эффективный показатель преломления. Представление Е(х, у) в виде E(x, y) Ck k (x, y) и ведет k
к матричной обобщенной задаче на собственные значения и собственные функции [19]:
M
Ck Hn, k Sn, k Cn ,
k 0
xmax , ymax
xmax , ymax
где Hn, k
n (x, y)H k (x, y)dydx , Sn, k
n (x, y)k (x, y)dydx , М – число базисных функций.
xmin , ymin
xmin , ymin
Результаты моделирования
На рис. 4 приведен тестовый пример распределения показателя преломления канального волновода для оценки точности применяемого метода вычисления размера модовых полей и распределений интенсивности светового поля [3].
Пусть показатель преломления подложки ns =3,40, волновода – nf = 3,44, а показатель преломления покровного слоя воздуха nc = 1, длина волны λ = 1,55 мкм; W = 3,0, h+t = 1, Xs = 3,0, Ys=5, Yc = 1 – линейные размеры в микрометрах. В таблице приведено сравнение результатов наших расчетов эффективного
показателя преломления neff с результатами тестовых расчетов, полученных различными численными
методами. В таблице приняты следующие обозначения: VFEM (Vector-H finite element method) – векторный метод конечных элементов с триангулярной неравномерной сеткой [14]; SDFM (Semivectorial polarized finite difference method) – векторный метод конечных разностей [13]; SFEM (Scalar finite element method) – скалярный метод конечных элементов с триангулярной неравномерной сеткой [3], в котором
8 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
Г.Б. Дейнека, В.С. Серебрякова
число триангулярных элементов Ne =240, число искомых параметров Nc=519; B-spline – метод конечных элементов с равномерной сеткой на базисе двумерных В-сплайнов (рис. 2), где число базисных функций (искомых параметров) Ne=480, число узлов Nc=120. Сравнение показывает, что В-сплайны позволяют использовать равномерную сетку с точностью не хуже, чем в случае специального подбора триангулярной неравномерной сетки. При этом увеличение точности определяется только одним параметром – количеством узлов, а трудоемкость задачи, которая определяется числом искомых параметров, гораздо меньше, чем в случае специально подобранной сетки.
nc Xs
W h
Yc Xs
nf t
ns Ys
Рис. 4. Тестовый пример распределения n(x,y)
t, мкм
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
VFEM 3,4121 3,4122 3,41235 3,41255 3,41285 3,41315 3,41365 3,4141 3,41475 3,4156
SFDM 3,41188 3,41200 3,41217 3,41240 3,41271 3,41310 3,41358 3,41415 3,41485 3,41568
neff
SFEM 3,41204 3,41214 3,41229 3,41249 3,41276 3,41311 3,41353 3,41404 3,41468 3,41553
B-spline 3,411988 3,419209 3,412254 3,412470 3,412761 3,413136 3,413572 3,414028 3,414670 3,415409
Таблица. Значения эффективного показателя преломления для основной моды тестового распределения
показателя преломления n(x,y), рассчитанные различными методами
На рис. 5 приведено рассчитанное с помощью методики В-сплайнов распределение интенсивностей поля в канальных волноводах c различными профилями показателя преломления (рис. 4).
n=1 n=3,44
n=1 n=3,44
n=1 n=3,44
n=3,40
n=3,40
n=3,40
Рис. 5. Распределение интенсивности поля для различных профилей показателя преломления полоскового волновода
Заключение
Методика В-сплайнов позволяет рассчитывать волноводы с произвольным профилем показателя преломления и произвольной геометрией построения световодной структуры. Точность расчетов методом В-сплайнов сопоставима с точностью результатов известных проверенных методик (вектор-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
9
РАСЧЕТ КАНАЛЬНОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА ...
ный/скалярный метод конечных элементов, метод конечных разностей и др.), а в некоторых случаях даже превосходит их.
Основным достоинством предлагаемой методики является применение в качестве базиса эрмитового набора гладких В-сплайнов, аппроксимирующие свойства которых позволяют использовать равномерную сетку, где в каждом узле находятся одномерные базисные функции. Это, на наш взгляд, имеет преимущество перед обычной практикой применения триангулярных квадратичных элементов в качестве финитных функций, связанной с весьма неоднозначным процессом разбиения пространства на треугольные области. Таким образом, метод В-сплайнов является универсальным средством для расчета волноводов с произвольным распределением показателя преломления, это высокоточный и производительный метод.
Литература
1. Koshiba M., Hayata K., Suzuki M. Approximate scalar finite-element analysis of anisotropic optical waveguides // Electronics Lett. – 1982. – V. 18. – № 10. – Р. 411–412. 2. Koshiba M., Hayata K., Suzuki M. Improved finite-element formulation in terms of the magnetic field vector for dielectric waveguide // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. – 1985. – V. MTT-33. – № 3. – Р. 227–232. 3. Koshiba M., Saitoh H., Eguchi M., Hirayama K. Simple scalar finite element approach to optical rib waveguide // IEEE Proc.-J. – 1992. – V.139. – № 2. – Р. 166–171. 4. Rahman B.M.A., Davies J.B. Finite-Element Solution of Integrated Optical Waveguides // J. of lightwave technology. – 1984. – V. LT-2. – № 5. – P. 682–687. 5. Franco M. A. R., Passaro A., Neto F.S. Modal Analysis of Anisotropic Diffused-Channel Waveguide by a Scalar Finite Element Method // IEEE Transactions on Magnetics. – 1998. – V. 34. – № 5. – P. 2783–2786. 6. Mabaya N., Lagasse P.E., Vandenbulcke P. Finite element analysis of optical waveguide // IEEE Transaction on Microwave Theory and Techniques. – 1981. – V. MTT-29. – № 6. – Р. 600–605. 7. Popescu V.A. Determination of propagation constants in a TiLiNbO3 optical waveguide by using finite element and variational methods // Optical Communications. – 2005. – V. 250. – P. 274–279. 8. Vassallo C. Improvement of finite difference methods for step-index optical waveguide. // IEEE Proc.-J. – 1992.– V.139. – № 2. – Р. 137–142. 9. Chaudhuri P.R., Ghatak A.K., Pal B.P., Lu C. Fast convergence and higher-order mode calculation of optical waveguide: perturbation method with finite difference algorithm // Optics and Laser technology. – 2004. – V. 37. – Р. 61–67. 10. Wachter C., Palme M., Schreiber P. Applications of standard BPM algorithms // SPIE. – 1997. – V. 2997. – Р. 220–231. 11. Zh. Cao, Li Zhan, Y. Chen. Improved WKB method // SPIE. – 1996. – V. 2891. – Р. 289–295. 12. Chakraborty R., Biswas J.C., Lahiri S.K. Analysis of directional coupler electro-optic switches using effective-index-based matrix method // Optics Communications. – 2003. – V. 219. – P. 157–163. 13. Stern M.S. Semivectorial polarized finite difference method for optical waveguide with arbitrary index profile // IEE Proc.-J, Optoelectron. – 1988. – V. 135. – Р. 56–63. 14. Rahman B.M.A., Davies J.B. Vector-H finite elemet solution of GaAs/GaAlAs rib waveguide// IEE Proc.-J, Optoelectron. – 1985. – V. 132. – Р. 349–353. 15. Sharma A., Meunier J.-P. On the modal analysis of optical waveguides using approximate methods // Optics Communications. – 2007. – V. 281. – Р. 592–599. 16. Lo K.-M., Li E.H. Cutoff frecuency of quasi-vector mode of optical waveguide with arbitrary refractive index profile // SPIE. – 1998. – V. 3283. – Р. 921–929. 17. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М: Наука, 1981. 18. Дейнека Г.Б. Применение эрмитового базиса В-сплайнов для решения двухатомных молекулярных задач методом Хартри–Фока–Дирака // Оптика и спектроскопия. – 1998. – Т. 84. – № 2. – С. 198–203. 19. Deineka G.B. 2D model of H+ and H(1s) collision: application to charge transfer // International Journal of Quantum Chemistry. – 2006. – V. 106. – № 10. – Р. 2262–2267. 20. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1973. – 831 c. 21. Тамир Т. Волноводная оптоэлектроника. – М: Мир, 1999. – 574 с.
Дейнека Геннадий Борисович Серебрякова Владлена Сергеевна
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, доцент, gdeineka@yahoo.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, vlladllena@mail.ru
10 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)