ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ВИБРОЗАЩИТНОЙ ...
5 МЕХАНИКА И МЕХАТРОНИКА
УДК 531
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
С.Е. Иванов
Для исследования виброзащитных систем необходим качественный и количественный анализ соответствующих математических моделей. В качестве модели принимается система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая включает нелинейные характеристики в форме многочленов от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. При анализе нелинейных виброзащитных систем применяется метод многочленных преобразований, который позволяет получить достаточно подробные качественные и количественные характеристики динамики систем. Ключевые слова: виброзащитная система, установившейся режим колебаний, нелинейная система с двумя степенями свободы.
Введение
Предметом рассмотрения являются нелинейные колебательные динамические системы полиномиальной структуры с периодическими коэффициентами [1].
Исследование колебательных процессов в таких системах может проводиться различными методами нелинейной механики [2]. В работах А. Пуанкаре, Б. ван дер Поля, А.Н. Крылова, Н.Н. Боголюбова, А.А. Андронова предложены теоретические методы исследования нелинейных динамических систем [3]. Метод преобразования дифференциальных уравнений в форме степенных многочленов по фазовым переменным был предложен в работах А. Пуанкаре и А. Дюляка. Применение этих методов связано с большим объемом вычислений, что приводит к необходимости создания алгоритмов и программ, позволяющих эффективно выполнять требуемые выкладки средствами вычислительной техники.
С целью расширения области применения указанный метод был модифицирован в работе Г.И. Мельникова [4] и получил название метода многочленных преобразований. Данный метод применим к широкому кругу нелинейных задач, где нелинейные части системы дифференциальных уравнений имеют общую структуру. Динамические системы описываются дифференциальными уравнениями до шестого порядка с нелинейной частью в виде многочлена до четвертой степени относительно фазовых координат с периодическими коэффициентами.
Для реализации метода многочленных преобразований автором составлен пакет программ, позволяющий проводить исследования установившихся и переходных режимов колебаний нелинейных виброзащитных систем с двумя степенями свободы в условиях периодического кинематического возмущения [5]. Точность получаемых результатов подтверждается посредством сравнения с решениями, получаемыми численными методами. Полученные результаты показывают применимость метода для качественных и количественных оценок исследуемых переходных и установившихся колебаний динамических систем, находящихся в условиях периодического внешнего воздействия.
Исследование виброзащитной системы
Рассматривается математическая модель виброзащитной системы с нелинейными амортизаторами и демпферами в условиях внешнего периодического возмущения [6]. Виброзащитная система состоит из прибора массой m1 (объект виброзащиты), установленного на платформу массой m2 , которая закреплена на вибрирующем основании. Предполагается, что упругие элементы системы имеют вид полинома третей степени kx lx2 px3 , демпфирующие элементы имеют нелинейную кубическую характеристику
cx dx3 (здесь x1, x2 – абсолютное перемещение прибора и платформы), а основание осуществляет вертикальные колебания согласно уравнениям f (t) a(1 b cos(t) sin3 (t)) .
Рассматривается относительное перемещение прибора и платформы: y1 x1 f , y2 x2 f . Уравнения движения в относительных координатах имеют вид [7]
m1y1 c1(y1 y2) d1(y1 y2)3 k1(y1 y2) l1(y1 y2)2 p1(y1 y2)3 m1 f; m2y2 c1(y2 y1) d1(y2 y1)3 k1(y2 y1) l1(y2 y1)2 p1(y2 y1)3 c2 y2 d2 y32 k2 y2 l2 y22 p2 y23 m2 f; (1) f(t) a2 (b cos(t) 6 sin(t) cos2 (t) 3 sin3 (t)) .
44 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
С.Е. Иванов
Вводятся дополнительные комплексно-сопряженные переменные [8]:
q0 exp(it), q0 exp(it), 1 i .
Система дифференциальных уравнений (1) записывается в матричной форме: X PX R . С помощью линейного преобразования Y DX система шестого порядка приводится к виду Y Y R с диагональной матрицей. Выполняется многочленное преобразование
4
yS zS avS Z v , (s 3, 4,5, 6) , v 2
результатом которого является система
4
zS zS qvS Z v , (s 3, 4,5, 6) . v 2
Дополнительные комплексно-сопряженные переменные не преобразовываются: yS zS , (s 1, 2) . Особые значения индекса при фиксированном S находятся из двух уравнений:
1v1 1v2 2v3 2v4 3v5 3v6 S 0,
v1 v2 v3 v4 v5 v6 2, 3, 4, s 2,3.
В нерезонансном случае, когда собственные частоты колебаний системы и частота вибрации не совпадают и не кратны, находим следующие особые индексы:
при qv3 : v (0, 0,1, 0,1,1), v (0, 0, 2,1, 0, 0), v (1,1,1, 0, 0, 0),
при qv4 : v (0, 0, 0,1,1,1), v (0, 0,1, 2, 0, 0), v (1,1, 0,1, 0, 0),
при qv5 : v (0, 0,1,1,1, 0), v (0, 0, 0, 0, 2,1), v (1,1, 0, 0,1, 0),
при qv6 : v (0, 0,1,1, 0,1), v (0, 0, 0, 0,1, 2), v (1,1, 0, 0, 0,1) .
Постоянные qvS приравнивают нулю при неособых значениях индексов; при таких значениях вычисляют
постоянные avS и, наоборот, при особых значениях индексов считают коэффициенты avS равными нулю
и вычисляют qvS . Методом многочленных преобразований в нерезонансном случае получена автономная система, определяемая шестью параметрами:
z3
(2
q3 111000
)
z3
q3 001011
z3
z5
z5
q3 002100
z32
z3
z5
(3
q5 110010
)
z3
q5 001110
z3
z5
z5
q5 000021
z52
z5
(2)
Автономная система содержит шесть существенных параметров, исходная определяется 23 параметрами.
Стационарные режимы колебания находятся путем приравнивания правых частей системы к нулю.
Установившийся режим колебаний виброзащитной системы является полигармоническим. Коле-
бания системы происходят с частотой внешней силы. Перейдем к новым комплексно-сопряженным пе-
ременным:
z3,4 1 exp(i1), z5,6 2 exp(i2 ) .
Преобразованная автономная система (2) в новых переменных записывается в виде
1
1
Re(2
q3 111000
)
122
Re
q3 001011
13
Re
q3 002100
,
1
Im(2
q3 111000
)
22
Im
q3 001011
12
Im
q3 002100
,
2
2
Re(3
q5 110010
)
212
Re
q5 001110
32
Re
q5 000021
,
2
Im(3
q5 110010
)
12
Im
q5 001110
22
Im
q5 000021
В результате применения метода многочленных преобразований с заданной точностью получена
преобразованная автономная система. Преобразованная система содержит существенно меньшее количе-
ство ненулевых коэффициентов, чем исходная, что упрощает ее исследование. С помощью разработан-
ных программ найдены существенные константы, получены числовые оценки переходных и установив-
шихся режимов колебаний.
Заключение
Рассматриваемая математическая модель нелинейных виброзащитных динамических систем представляет собой систему дифференциальных уравнений, содержащую нелинейные характеристики полиномиальной структуры с периодическими параметрами [9]. Исследование динамических систем проводится методом многочленных преобразований, находятся существенные параметры нелинейной динамической системы, определяющие качество установившихся и переходных процессов.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
45
АНАЛИЗ КОНТАКТНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ГИРОСКОПАХ
Нелинейные части исследуемой системы представлены в форме многочлена до четвертой степени относительно фазовых переменных с периодическими коэффициентами [10]. Разработан алгоритм метода, удобный для программирования, и составлен пакет программ для реализации метода. Программы применимы для исследования установившихся и переходных режимов колебаний нелинейных виброзащитных систем с двумя степенями свободы в условиях внешнего периодического возмущения.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 10-08-01046-а
Литература
1. Блехман И.И. Вибрационная механика. – М.: Физматлит, 1994. – 394 с. 2. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах / Под ред. К.В. Фролова. – М.: Маш., 1995. – 456 с. 3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Наука, 1981. – 568 с. 4. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. – Л: Маш.,
1975. – 198 с. 5. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний. – М.: Маш., 1991. – 344 с. 6. Гончаревич И.Ф., Фролов К.В. Теория вибрационной техники и технологии. – М.: Наука, 1981. – 318 с. 7. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. – М.: Наука, 1988. – 308 с. 8. Иванов С.Е. О реализации численно-аналитического метода многочленных преобразований на ком-
пьютере. // Современные технологии: Труды молодых ученых ИТМО / Под ред. проф. С.А. Козлова. – СПб: СПб ГИТМО(ТУ), 2001. – С. 138–141. 9. Мельников В.Г., Мельников Г.И., Иванов С.Е. Компьютерные технологии в механике приборных систем. Учебное пособие / Под ред. В.Г. Мельникова. – СПб: СПб ГУ ИТМО, 2006. – 127 с. 10. Фролов К.В. Нелинейные задачи динамики машин. – М.: Маш., 1992. – 376 с.
Иванов Сергей Евгеньевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, доцент, SIvanov@mail.ifmo.ru
46 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
5 МЕХАНИКА И МЕХАТРОНИКА
УДК 531
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
С.Е. Иванов
Для исследования виброзащитных систем необходим качественный и количественный анализ соответствующих математических моделей. В качестве модели принимается система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая включает нелинейные характеристики в форме многочленов от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. При анализе нелинейных виброзащитных систем применяется метод многочленных преобразований, который позволяет получить достаточно подробные качественные и количественные характеристики динамики систем. Ключевые слова: виброзащитная система, установившейся режим колебаний, нелинейная система с двумя степенями свободы.
Введение
Предметом рассмотрения являются нелинейные колебательные динамические системы полиномиальной структуры с периодическими коэффициентами [1].
Исследование колебательных процессов в таких системах может проводиться различными методами нелинейной механики [2]. В работах А. Пуанкаре, Б. ван дер Поля, А.Н. Крылова, Н.Н. Боголюбова, А.А. Андронова предложены теоретические методы исследования нелинейных динамических систем [3]. Метод преобразования дифференциальных уравнений в форме степенных многочленов по фазовым переменным был предложен в работах А. Пуанкаре и А. Дюляка. Применение этих методов связано с большим объемом вычислений, что приводит к необходимости создания алгоритмов и программ, позволяющих эффективно выполнять требуемые выкладки средствами вычислительной техники.
С целью расширения области применения указанный метод был модифицирован в работе Г.И. Мельникова [4] и получил название метода многочленных преобразований. Данный метод применим к широкому кругу нелинейных задач, где нелинейные части системы дифференциальных уравнений имеют общую структуру. Динамические системы описываются дифференциальными уравнениями до шестого порядка с нелинейной частью в виде многочлена до четвертой степени относительно фазовых координат с периодическими коэффициентами.
Для реализации метода многочленных преобразований автором составлен пакет программ, позволяющий проводить исследования установившихся и переходных режимов колебаний нелинейных виброзащитных систем с двумя степенями свободы в условиях периодического кинематического возмущения [5]. Точность получаемых результатов подтверждается посредством сравнения с решениями, получаемыми численными методами. Полученные результаты показывают применимость метода для качественных и количественных оценок исследуемых переходных и установившихся колебаний динамических систем, находящихся в условиях периодического внешнего воздействия.
Исследование виброзащитной системы
Рассматривается математическая модель виброзащитной системы с нелинейными амортизаторами и демпферами в условиях внешнего периодического возмущения [6]. Виброзащитная система состоит из прибора массой m1 (объект виброзащиты), установленного на платформу массой m2 , которая закреплена на вибрирующем основании. Предполагается, что упругие элементы системы имеют вид полинома третей степени kx lx2 px3 , демпфирующие элементы имеют нелинейную кубическую характеристику
cx dx3 (здесь x1, x2 – абсолютное перемещение прибора и платформы), а основание осуществляет вертикальные колебания согласно уравнениям f (t) a(1 b cos(t) sin3 (t)) .
Рассматривается относительное перемещение прибора и платформы: y1 x1 f , y2 x2 f . Уравнения движения в относительных координатах имеют вид [7]
m1y1 c1(y1 y2) d1(y1 y2)3 k1(y1 y2) l1(y1 y2)2 p1(y1 y2)3 m1 f; m2y2 c1(y2 y1) d1(y2 y1)3 k1(y2 y1) l1(y2 y1)2 p1(y2 y1)3 c2 y2 d2 y32 k2 y2 l2 y22 p2 y23 m2 f; (1) f(t) a2 (b cos(t) 6 sin(t) cos2 (t) 3 sin3 (t)) .
44 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
С.Е. Иванов
Вводятся дополнительные комплексно-сопряженные переменные [8]:
q0 exp(it), q0 exp(it), 1 i .
Система дифференциальных уравнений (1) записывается в матричной форме: X PX R . С помощью линейного преобразования Y DX система шестого порядка приводится к виду Y Y R с диагональной матрицей. Выполняется многочленное преобразование
4
yS zS avS Z v , (s 3, 4,5, 6) , v 2
результатом которого является система
4
zS zS qvS Z v , (s 3, 4,5, 6) . v 2
Дополнительные комплексно-сопряженные переменные не преобразовываются: yS zS , (s 1, 2) . Особые значения индекса при фиксированном S находятся из двух уравнений:
1v1 1v2 2v3 2v4 3v5 3v6 S 0,
v1 v2 v3 v4 v5 v6 2, 3, 4, s 2,3.
В нерезонансном случае, когда собственные частоты колебаний системы и частота вибрации не совпадают и не кратны, находим следующие особые индексы:
при qv3 : v (0, 0,1, 0,1,1), v (0, 0, 2,1, 0, 0), v (1,1,1, 0, 0, 0),
при qv4 : v (0, 0, 0,1,1,1), v (0, 0,1, 2, 0, 0), v (1,1, 0,1, 0, 0),
при qv5 : v (0, 0,1,1,1, 0), v (0, 0, 0, 0, 2,1), v (1,1, 0, 0,1, 0),
при qv6 : v (0, 0,1,1, 0,1), v (0, 0, 0, 0,1, 2), v (1,1, 0, 0, 0,1) .
Постоянные qvS приравнивают нулю при неособых значениях индексов; при таких значениях вычисляют
постоянные avS и, наоборот, при особых значениях индексов считают коэффициенты avS равными нулю
и вычисляют qvS . Методом многочленных преобразований в нерезонансном случае получена автономная система, определяемая шестью параметрами:
z3
(2
q3 111000
)
z3
q3 001011
z3
z5
z5
q3 002100
z32
z3
z5
(3
q5 110010
)
z3
q5 001110
z3
z5
z5
q5 000021
z52
z5
(2)
Автономная система содержит шесть существенных параметров, исходная определяется 23 параметрами.
Стационарные режимы колебания находятся путем приравнивания правых частей системы к нулю.
Установившийся режим колебаний виброзащитной системы является полигармоническим. Коле-
бания системы происходят с частотой внешней силы. Перейдем к новым комплексно-сопряженным пе-
ременным:
z3,4 1 exp(i1), z5,6 2 exp(i2 ) .
Преобразованная автономная система (2) в новых переменных записывается в виде
1
1
Re(2
q3 111000
)
122
Re
q3 001011
13
Re
q3 002100
,
1
Im(2
q3 111000
)
22
Im
q3 001011
12
Im
q3 002100
,
2
2
Re(3
q5 110010
)
212
Re
q5 001110
32
Re
q5 000021
,
2
Im(3
q5 110010
)
12
Im
q5 001110
22
Im
q5 000021
В результате применения метода многочленных преобразований с заданной точностью получена
преобразованная автономная система. Преобразованная система содержит существенно меньшее количе-
ство ненулевых коэффициентов, чем исходная, что упрощает ее исследование. С помощью разработан-
ных программ найдены существенные константы, получены числовые оценки переходных и установив-
шихся режимов колебаний.
Заключение
Рассматриваемая математическая модель нелинейных виброзащитных динамических систем представляет собой систему дифференциальных уравнений, содержащую нелинейные характеристики полиномиальной структуры с периодическими параметрами [9]. Исследование динамических систем проводится методом многочленных преобразований, находятся существенные параметры нелинейной динамической системы, определяющие качество установившихся и переходных процессов.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
45
АНАЛИЗ КОНТАКТНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ГИРОСКОПАХ
Нелинейные части исследуемой системы представлены в форме многочлена до четвертой степени относительно фазовых переменных с периодическими коэффициентами [10]. Разработан алгоритм метода, удобный для программирования, и составлен пакет программ для реализации метода. Программы применимы для исследования установившихся и переходных режимов колебаний нелинейных виброзащитных систем с двумя степенями свободы в условиях внешнего периодического возмущения.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 10-08-01046-а
Литература
1. Блехман И.И. Вибрационная механика. – М.: Физматлит, 1994. – 394 с. 2. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах / Под ред. К.В. Фролова. – М.: Маш., 1995. – 456 с. 3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Наука, 1981. – 568 с. 4. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. – Л: Маш.,
1975. – 198 с. 5. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний. – М.: Маш., 1991. – 344 с. 6. Гончаревич И.Ф., Фролов К.В. Теория вибрационной техники и технологии. – М.: Наука, 1981. – 318 с. 7. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. – М.: Наука, 1988. – 308 с. 8. Иванов С.Е. О реализации численно-аналитического метода многочленных преобразований на ком-
пьютере. // Современные технологии: Труды молодых ученых ИТМО / Под ред. проф. С.А. Козлова. – СПб: СПб ГИТМО(ТУ), 2001. – С. 138–141. 9. Мельников В.Г., Мельников Г.И., Иванов С.Е. Компьютерные технологии в механике приборных систем. Учебное пособие / Под ред. В.Г. Мельникова. – СПб: СПб ГУ ИТМО, 2006. – 127 с. 10. Фролов К.В. Нелинейные задачи динамики машин. – М.: Маш., 1992. – 376 с.
Иванов Сергей Евгеньевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, доцент, SIvanov@mail.ifmo.ru
46 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)