КОДОВЫЕ ШКАЛЫ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ УГЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
А.А. Ожиганов, П.А. Прибыткин
УДК 621.3.085.42
КОДОВЫЕ ШКАЛЫ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ УГЛОВЫХ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
А.А. Ожиганов, П.А. Прибыткин
Рассматривается метод построения однодорожечных кодовых шкал на основе нелинейных двоичных последовательностей для преобразователей угловых перемещений. Приводится пример построения шкалы с использованием предлагаемого метода. Ключевые слова: М-последовательность, нелинейная последовательность, кодовая шкала, считывающие элементы.
Введение
В работах [1–4] предложены кодовые шкалы (КШ) для преобразователей угловых перемещений, названные псевдослучайными кодовыми шкалами (ПСКШ) и строящиеся на основе использования теории псевдослучайных двоичных последовательностей максимальной длины (М-последовательностей). ПСКШ имеют всего одну информационную кодовую дорожку, выполненную в соответствии с символами М-последовательности а0а1...аM-1, и n считывающих элементов (СЭ), размещенных вдоль дорожки. Считывающие элементы дают возможность получить при полном обороте шкалы M 2n 1 различных n-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
81
КОДОВЫЕ ШКАЛЫ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ...
разрядных кодовых комбинаций и обеспечивают разрешающую способность преобразователя угловых
перемещений на основе ПСКШ 3600 / M . Как следует из метода построения ПСКШ, ее разрешающая способность определяется длиной М-
последовательности M 2n 1 . Очевидно, что при любой разрядности шкалы теряется одна (нулевая) кодовая комбинация. Однако при построении некоторых технических систем с использованием преобразователей угловых перемещений необходимо обеспечить разрешающую способность последних, кратную 2n. Ниже предлагается метод построения КШ на основе нелинейных двоичных последовательностей,
обеспечивающий разрешающую способность шкалы 3600 / 2n .
Теоретические основы метода
Нелинейная последовательность – это последовательность двоичных символов {аj} длины B=2n, удовлетворяющих рекурсивному соотношению [5]
n1 n1
an j ai j hi ai j , j 0,1,..., B n 1, i 0 i 1
(1)
где знак означает суммирование по модулю два, а индексы при символах последовательности берутся
по модулю B. Начальные значения символов аоа1...аn-1 последовательности выбираются произвольно. В (1) hi – коэффициенты, зависящие от вида примитивного полинома степени n с коэффициентами
поля Галуа GF(2) [6], т. е.
n
h(x) hi xi , i0
где h0=hn=1, а hi=0,1 при 0 < i < n,
(2)
n1
i 1
ai j
1, если все ai j 1, 0 в других случаях.
(3)
Первое слагаемое в (1) определяет правило образования линейной по отношению к оператору суммирования по модулю 2 М-последовательности, а второе слагаемое указывает на операцию умножения значений n-1 кодовых символов. Это приводит к тому, что полученная последовательность символов становится нелинейной и в ней появляется комбинация, содержащая n последовательных нулей. Таким образом, нелинейная последовательность может быть получена из М-последовательности, если к ней в месте расположения n-1 нулей добавить 0.
Метод построения кодовых шкал на основе нелинейных двоичных последовательностей
Сформулируем метод построения n-разрядной однодорожечной КШ на основе нелинейной
последовательности. В дальнейшем изложении будем называть такие шкалы нелинейными кодовыми
шкалами (НКШ).
1. В зависимости от требуемой разрядности шкалы n выбирается полином h(x) степени n [6].
2. Используя рекурсивное соотношение (1), генерируется последовательность {аj}. 3. Элементарные участки (кванты) шкалы δ выполняются в соответствии с символами нелинейной по-
следовательности {аj}, где символам 1 последовательности соответствуют активные, а символам 0 – пассивные участки информационной дорожки. Для определенности символы последовательности
отображаются на информационной дорожке по направлению движения часовой стрелки в порядке
a0a1...aB-1. 4. Осуществляется размещение на шкале n считывающих элементов с шагом, равным одному кванту,
т.е. в соответствии с полиномом размещения
n 1
r(x) xm.
(4)
m0
Единственность такого размещения объясняется нелинейными свойствами рассматриваемой после-
довательности.
Покажем, что круговые однодорожечные НКШ позволяют строить на своей основе преобразовате-
ли перемещения, использующие метод параллельного считывания. Для этого сформулируем следующие
утверждения.
Утверждение 1. НКШ позволяют получить ровно B различных n-разрядных кодовых комбинаций,
соответствующих последовательности из B квантов перемещения.
Доказательство. Рассмотрим фрагмент нелинейной последовательности из n последовательных
символов. Он соответствует некоторой кодовой комбинации ajaj+1...aj+n-1, воспроизводимой с информационной дорожки НКШ считывающим узлом из n элементов. Считывающие элементы на НКШ расположены
82 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
А.А. Ожиганов, П.А. Прибыткин
с шагом в один квант, положение кодированного элемента – произвольное. После перемещения шкалы на k квантов (k
УДК 621.3.085.42
КОДОВЫЕ ШКАЛЫ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ УГЛОВЫХ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
А.А. Ожиганов, П.А. Прибыткин
Рассматривается метод построения однодорожечных кодовых шкал на основе нелинейных двоичных последовательностей для преобразователей угловых перемещений. Приводится пример построения шкалы с использованием предлагаемого метода. Ключевые слова: М-последовательность, нелинейная последовательность, кодовая шкала, считывающие элементы.
Введение
В работах [1–4] предложены кодовые шкалы (КШ) для преобразователей угловых перемещений, названные псевдослучайными кодовыми шкалами (ПСКШ) и строящиеся на основе использования теории псевдослучайных двоичных последовательностей максимальной длины (М-последовательностей). ПСКШ имеют всего одну информационную кодовую дорожку, выполненную в соответствии с символами М-последовательности а0а1...аM-1, и n считывающих элементов (СЭ), размещенных вдоль дорожки. Считывающие элементы дают возможность получить при полном обороте шкалы M 2n 1 различных n-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
81
КОДОВЫЕ ШКАЛЫ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ...
разрядных кодовых комбинаций и обеспечивают разрешающую способность преобразователя угловых
перемещений на основе ПСКШ 3600 / M . Как следует из метода построения ПСКШ, ее разрешающая способность определяется длиной М-
последовательности M 2n 1 . Очевидно, что при любой разрядности шкалы теряется одна (нулевая) кодовая комбинация. Однако при построении некоторых технических систем с использованием преобразователей угловых перемещений необходимо обеспечить разрешающую способность последних, кратную 2n. Ниже предлагается метод построения КШ на основе нелинейных двоичных последовательностей,
обеспечивающий разрешающую способность шкалы 3600 / 2n .
Теоретические основы метода
Нелинейная последовательность – это последовательность двоичных символов {аj} длины B=2n, удовлетворяющих рекурсивному соотношению [5]
n1 n1
an j ai j hi ai j , j 0,1,..., B n 1, i 0 i 1
(1)
где знак означает суммирование по модулю два, а индексы при символах последовательности берутся
по модулю B. Начальные значения символов аоа1...аn-1 последовательности выбираются произвольно. В (1) hi – коэффициенты, зависящие от вида примитивного полинома степени n с коэффициентами
поля Галуа GF(2) [6], т. е.
n
h(x) hi xi , i0
где h0=hn=1, а hi=0,1 при 0 < i < n,
(2)
n1
i 1
ai j
1, если все ai j 1, 0 в других случаях.
(3)
Первое слагаемое в (1) определяет правило образования линейной по отношению к оператору суммирования по модулю 2 М-последовательности, а второе слагаемое указывает на операцию умножения значений n-1 кодовых символов. Это приводит к тому, что полученная последовательность символов становится нелинейной и в ней появляется комбинация, содержащая n последовательных нулей. Таким образом, нелинейная последовательность может быть получена из М-последовательности, если к ней в месте расположения n-1 нулей добавить 0.
Метод построения кодовых шкал на основе нелинейных двоичных последовательностей
Сформулируем метод построения n-разрядной однодорожечной КШ на основе нелинейной
последовательности. В дальнейшем изложении будем называть такие шкалы нелинейными кодовыми
шкалами (НКШ).
1. В зависимости от требуемой разрядности шкалы n выбирается полином h(x) степени n [6].
2. Используя рекурсивное соотношение (1), генерируется последовательность {аj}. 3. Элементарные участки (кванты) шкалы δ выполняются в соответствии с символами нелинейной по-
следовательности {аj}, где символам 1 последовательности соответствуют активные, а символам 0 – пассивные участки информационной дорожки. Для определенности символы последовательности
отображаются на информационной дорожке по направлению движения часовой стрелки в порядке
a0a1...aB-1. 4. Осуществляется размещение на шкале n считывающих элементов с шагом, равным одному кванту,
т.е. в соответствии с полиномом размещения
n 1
r(x) xm.
(4)
m0
Единственность такого размещения объясняется нелинейными свойствами рассматриваемой после-
довательности.
Покажем, что круговые однодорожечные НКШ позволяют строить на своей основе преобразовате-
ли перемещения, использующие метод параллельного считывания. Для этого сформулируем следующие
утверждения.
Утверждение 1. НКШ позволяют получить ровно B различных n-разрядных кодовых комбинаций,
соответствующих последовательности из B квантов перемещения.
Доказательство. Рассмотрим фрагмент нелинейной последовательности из n последовательных
символов. Он соответствует некоторой кодовой комбинации ajaj+1...aj+n-1, воспроизводимой с информационной дорожки НКШ считывающим узлом из n элементов. Считывающие элементы на НКШ расположены
82 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 4(68)
А.А. Ожиганов, П.А. Прибыткин
с шагом в один квант, положение кодированного элемента – произвольное. После перемещения шкалы на k квантов (k