Возможности совершенствования процесса и аппарата для розлива газонаполненной жидкости
УДК 621.047:621.926
Возможности совершенствования процесса и аппарата для розлива газонаполненной жидкости
Алексеев Г.В., Лунев К.Н.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Потери разливаемой жидкости от несанкционированного повышения давления составляют значительную долю от всех производственных потерь. Изучали возможности моделирования процесса течения газонаполненной жидкости в кольцевом зазоре при реальных скоростях розлива. При условии квадратичного закона зависимости коэффициента сопротивления от режима течения высказаны предложения об изменении конструкции канала розлива для стабилизации давления.
Ключевые слова: течение жидкости, розлив, кольцевой зазор
При розливе шампанского, пива и других газонаполненных жидкостей широко распространен случай изотермического движения несжимаемой жидкости в кольцевом зазоре между двумя концентрическими трубами. Рассмотрим модель дозирующего разливочного устройства в виде двух концентрически размещенных цилиндров.
Рис.1 Движение жидкости в кольцевом зазоре между двумя концентрическими трубами.
На некотором расстоянии bR от оси цилиндров будет наблюдаться максимальная скорость. Движение восходящего потока жидкости в кольцевом пространстве может быть описано уравнением в цилиндрических координатах:
1 µ
⋅
dp dx
=
d 2w dr 2
+
1 r
⋅
dw dr
или
1 r
⋅
d dr
⋅
r
⋅
dp dr
=
1 µ
⋅
dp dx
=
const
.
(1)
Распределение скоростей и сил внутреннего трения в кольцевом сечении можно определить интегрированием уравнения (1) или с помощью уравнения сохранения количества движения:
( ) ( ) ( )(2πLτ )r − (2πrLτ )r+∆r + 2πr∆rρw2 z=0 − 2πr∆rρw2 z=L − 2πr∆rLρg + 2πr∆r p − pL = 0 . (2)
Для несжимаемой жидкости её скорость wz при z = 0 и при z=L одинакова, следовательно, третий и четвёртый члены уравнения можно исключить. Сократив уравнение на 2πL∆r, при стремлении ∆r к нулю получим:
lim∆r→0
(rτ
)r
+∆r − ∆r
(rτ
)r
=
p0
− pL L
.
(3)
Левая часть уравнения (3) представляет собой первую производную, поэтому:
d (rτ ) = p0 − pL r ,
dr L
(4)
где p0 = pL + ρgh , поскольку силы давления и тяжести действуют в противоположных направлениях.
Интегрируя уравнение (4), получим:
τ = p0 − pL r + C1 .
2L r
(5)
Расстояние от оси, на котором скорость потока будет максимальна, r=bR,
тогда при τ=0 константа C1 = 12 (p0 − pL )× (bR)2 / L и уравнение (5) примет вид:
τ
=
( p0
− pL )R
2L
r R
−b
R .
r
(6)
Поскольку τ = −µ dwz dr , распределение скорости будет описываться урав-
нением:
dwz = − ( p0 − pL )R r − b2 R .
dr 2µL R r
(7)
После интегрирования имеем:
wz
=
− (p0
− pL )R2
4µL
r R
2
− 2b2
ln
r R
+
C2
.
(8)
Для определения константы интегрирования C2 учтём граничные условия:
wz = 0 при r=aR, wz = 0 при r=R.
(9)
Тогда получим два уравнения
( )0
0
= =
− (p0 − (p0
− pL )R2
4µL
− pL )R2
4µL
a 2 − 2b2
(1+ C2 )
ln a
+ C2
(10)
откуда
b2
=
1− a2
2ln(1 a)
и
C2
= −1
Окончательно профиль скоростей при ламинарном движении потока в
кольцевом зазоре:
wz
=
( p0
− pL )R2
4µL
1
−
r 2 R
+
1− a2
ln(1 a
)
ln
r
R
.
(11)
Рассмотрим режим турбулентного движения жидкости, так как жидкость находится под давлением и турбулизируется при перетекании в ёмкость. Для определения режима течения необходимо определить скорости течения, а по ним число Рейнольдса соответствующее определённой области течения.
Известно, что при Re < 105 для турбулентного режима движения коэффициент сопротивления λ зависит от числа Рейнольдса и от эффективной высоты выступов, а при Re > 105 λ зависит только от шероховатости и носит название квадратичной области движения.
Подставляя в формулу Re = ρ wdэ значение Re=105 , определим скорость
µ
движения жидкости соответствующее этому числу:
w=
Re µ ρd э
=
1051.3 ⋅10−3 1.035 ⋅103 ⋅ 4 ⋅10
−3
= 31.3
(м/с)
При турбулентном режиме (Re> Reкр ) движения жидкости в трубе следует
учитывать длину начального участка. По данным Никурадзе, Lнач = (25 ÷ 40)d ; по данным Кирстена, Lнач = (50 ÷100)d .
В ламинарном подслое скорость жидкости мала, пульсации скорости практически отсутствуют, но вследствие прилипания жидкости к обтекаемым стенкам имеют место очень большие поперечные градиенты скорости, которые вызывают значительные напряжения силы трения [в полном соответствии с зако-
ном Ньютона τ = ±(dw dy) ]. В турбулентном ядре вследствие большой извили-
стости и сложности траектории частиц жидкости уравнение движения заменяют зависимости между осреднёнными величинами и ищут их решения, используя параметры, описывающие мгновенное состояние движения потока (в частности, осреднённые уравнения количества движения применяются для получения так называемых уравнений Рейнольдса, устанавливающих связь между напряжениями в потоке).
Для определения коэффициента сопротивления λ при турбулентном режиме движения в пределах изменения значений критерия Re от 4 ⋅103 ÷105 для гидравлически гладких труб можно пользоваться формулой Блазиуса:
λ
=
0.316
/
Re
1 4
(12)
Более точная зависимость (для больших значений Re) между коэффициен-
том сопротивления λ и режимом движения может быть получена при исполь-
зовании логарифмического закона распределения скоростей. При выводе лога-
рифмического (универсального) профиля Re → ∞ , так как пренебрегают моле-
кулярной вязкостью µ по сравнению с турбулентной µT . Для значений Re>105 коэффициент сопротивления можно рассчитать по
формуле:
( )1 λ = 2 lg Re λ − 0.8 .
(13)
Исследованиями Никурадзе, Шиллера и других учёных установлено, что коэффициент сопротивления λ в значительной степени зависит также и от шероховатости труб:
λ = f (Re,e) ,
(14)
где е – эффективная высота выступов на внутренней поверхности трубы. В области квадратичной зависимости, течение жидкости описывается
уравнением Прандтля-Никурадзе:
λ
=
1 1.14 + 2 lg
d
2
.
k
(15)
Зависимость газосодержания от шероховатости внутренней поверхности можно вычислить при помощи формулы (16):
ε Г′
=
p′′ε Г ″ p′′ε Г ″ + p′ε н″
,
(16)
где ε Г′- объёмная доля газа в жидкости или газосодержание разлитого напитка в ёмкость, ε Г ″ - объёмная доля газа в жидкости или газосодержание жидкости в баке розлива, ε н″ - объёмная доля жидкой фазы в двух фазной смеси в баке роз-
лива p′ - соответственно давление в баке и в бутылке при розливе.
Далее, если представить p′ = p′′ − ∆p , где ∆p - определяется с учётом коэф-
фициента сопротивления λ , то
∆p = λ l ρw2ср ,
d2
(17)
где λ в свою очередь определяется по формуле (15).
Таким образом, прослеживается зависимость количества газосодержания, а
следовательно и качества продукта, от внутренней шероховатости стенок раз-
ливочного устройства.
Приведенные рассуждения устанавливают зависимость влияния шероховатости внутренней поверхности цилиндрической части дозатора на объёмный расход (точность дозирования). Можно предположить, что при усовершенствовании конструкции дозатора введением нового конструктивного элемента – сильфона, удастся влиять на шероховатость внутренней поверхности дозатора, изменяя её автоматически в процессе розлива.
Список литературы
1. Реологические основы расчета оборудования производства жиросодержащих пищевых продуктов: Учебн. пособие / В. А. Арет, Б. Л. Николаев, Л. К. Николаев. − СПб.: СПбГУНиПТ, 2007. − 537 с.
Возможности совершенствования процесса и аппарата для розлива газонаполненной жидкости
Алексеев Г.В., Лунев К.Н.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Потери разливаемой жидкости от несанкционированного повышения давления составляют значительную долю от всех производственных потерь. Изучали возможности моделирования процесса течения газонаполненной жидкости в кольцевом зазоре при реальных скоростях розлива. При условии квадратичного закона зависимости коэффициента сопротивления от режима течения высказаны предложения об изменении конструкции канала розлива для стабилизации давления.
Ключевые слова: течение жидкости, розлив, кольцевой зазор
При розливе шампанского, пива и других газонаполненных жидкостей широко распространен случай изотермического движения несжимаемой жидкости в кольцевом зазоре между двумя концентрическими трубами. Рассмотрим модель дозирующего разливочного устройства в виде двух концентрически размещенных цилиндров.
Рис.1 Движение жидкости в кольцевом зазоре между двумя концентрическими трубами.
На некотором расстоянии bR от оси цилиндров будет наблюдаться максимальная скорость. Движение восходящего потока жидкости в кольцевом пространстве может быть описано уравнением в цилиндрических координатах:
1 µ
⋅
dp dx
=
d 2w dr 2
+
1 r
⋅
dw dr
или
1 r
⋅
d dr
⋅
r
⋅
dp dr
=
1 µ
⋅
dp dx
=
const
.
(1)
Распределение скоростей и сил внутреннего трения в кольцевом сечении можно определить интегрированием уравнения (1) или с помощью уравнения сохранения количества движения:
( ) ( ) ( )(2πLτ )r − (2πrLτ )r+∆r + 2πr∆rρw2 z=0 − 2πr∆rρw2 z=L − 2πr∆rLρg + 2πr∆r p − pL = 0 . (2)
Для несжимаемой жидкости её скорость wz при z = 0 и при z=L одинакова, следовательно, третий и четвёртый члены уравнения можно исключить. Сократив уравнение на 2πL∆r, при стремлении ∆r к нулю получим:
lim∆r→0
(rτ
)r
+∆r − ∆r
(rτ
)r
=
p0
− pL L
.
(3)
Левая часть уравнения (3) представляет собой первую производную, поэтому:
d (rτ ) = p0 − pL r ,
dr L
(4)
где p0 = pL + ρgh , поскольку силы давления и тяжести действуют в противоположных направлениях.
Интегрируя уравнение (4), получим:
τ = p0 − pL r + C1 .
2L r
(5)
Расстояние от оси, на котором скорость потока будет максимальна, r=bR,
тогда при τ=0 константа C1 = 12 (p0 − pL )× (bR)2 / L и уравнение (5) примет вид:
τ
=
( p0
− pL )R
2L
r R
−b
R .
r
(6)
Поскольку τ = −µ dwz dr , распределение скорости будет описываться урав-
нением:
dwz = − ( p0 − pL )R r − b2 R .
dr 2µL R r
(7)
После интегрирования имеем:
wz
=
− (p0
− pL )R2
4µL
r R
2
− 2b2
ln
r R
+
C2
.
(8)
Для определения константы интегрирования C2 учтём граничные условия:
wz = 0 при r=aR, wz = 0 при r=R.
(9)
Тогда получим два уравнения
( )0
0
= =
− (p0 − (p0
− pL )R2
4µL
− pL )R2
4µL
a 2 − 2b2
(1+ C2 )
ln a
+ C2
(10)
откуда
b2
=
1− a2
2ln(1 a)
и
C2
= −1
Окончательно профиль скоростей при ламинарном движении потока в
кольцевом зазоре:
wz
=
( p0
− pL )R2
4µL
1
−
r 2 R
+
1− a2
ln(1 a
)
ln
r
R
.
(11)
Рассмотрим режим турбулентного движения жидкости, так как жидкость находится под давлением и турбулизируется при перетекании в ёмкость. Для определения режима течения необходимо определить скорости течения, а по ним число Рейнольдса соответствующее определённой области течения.
Известно, что при Re < 105 для турбулентного режима движения коэффициент сопротивления λ зависит от числа Рейнольдса и от эффективной высоты выступов, а при Re > 105 λ зависит только от шероховатости и носит название квадратичной области движения.
Подставляя в формулу Re = ρ wdэ значение Re=105 , определим скорость
µ
движения жидкости соответствующее этому числу:
w=
Re µ ρd э
=
1051.3 ⋅10−3 1.035 ⋅103 ⋅ 4 ⋅10
−3
= 31.3
(м/с)
При турбулентном режиме (Re> Reкр ) движения жидкости в трубе следует
учитывать длину начального участка. По данным Никурадзе, Lнач = (25 ÷ 40)d ; по данным Кирстена, Lнач = (50 ÷100)d .
В ламинарном подслое скорость жидкости мала, пульсации скорости практически отсутствуют, но вследствие прилипания жидкости к обтекаемым стенкам имеют место очень большие поперечные градиенты скорости, которые вызывают значительные напряжения силы трения [в полном соответствии с зако-
ном Ньютона τ = ±(dw dy) ]. В турбулентном ядре вследствие большой извили-
стости и сложности траектории частиц жидкости уравнение движения заменяют зависимости между осреднёнными величинами и ищут их решения, используя параметры, описывающие мгновенное состояние движения потока (в частности, осреднённые уравнения количества движения применяются для получения так называемых уравнений Рейнольдса, устанавливающих связь между напряжениями в потоке).
Для определения коэффициента сопротивления λ при турбулентном режиме движения в пределах изменения значений критерия Re от 4 ⋅103 ÷105 для гидравлически гладких труб можно пользоваться формулой Блазиуса:
λ
=
0.316
/
Re
1 4
(12)
Более точная зависимость (для больших значений Re) между коэффициен-
том сопротивления λ и режимом движения может быть получена при исполь-
зовании логарифмического закона распределения скоростей. При выводе лога-
рифмического (универсального) профиля Re → ∞ , так как пренебрегают моле-
кулярной вязкостью µ по сравнению с турбулентной µT . Для значений Re>105 коэффициент сопротивления можно рассчитать по
формуле:
( )1 λ = 2 lg Re λ − 0.8 .
(13)
Исследованиями Никурадзе, Шиллера и других учёных установлено, что коэффициент сопротивления λ в значительной степени зависит также и от шероховатости труб:
λ = f (Re,e) ,
(14)
где е – эффективная высота выступов на внутренней поверхности трубы. В области квадратичной зависимости, течение жидкости описывается
уравнением Прандтля-Никурадзе:
λ
=
1 1.14 + 2 lg
d
2
.
k
(15)
Зависимость газосодержания от шероховатости внутренней поверхности можно вычислить при помощи формулы (16):
ε Г′
=
p′′ε Г ″ p′′ε Г ″ + p′ε н″
,
(16)
где ε Г′- объёмная доля газа в жидкости или газосодержание разлитого напитка в ёмкость, ε Г ″ - объёмная доля газа в жидкости или газосодержание жидкости в баке розлива, ε н″ - объёмная доля жидкой фазы в двух фазной смеси в баке роз-
лива p′ - соответственно давление в баке и в бутылке при розливе.
Далее, если представить p′ = p′′ − ∆p , где ∆p - определяется с учётом коэф-
фициента сопротивления λ , то
∆p = λ l ρw2ср ,
d2
(17)
где λ в свою очередь определяется по формуле (15).
Таким образом, прослеживается зависимость количества газосодержания, а
следовательно и качества продукта, от внутренней шероховатости стенок раз-
ливочного устройства.
Приведенные рассуждения устанавливают зависимость влияния шероховатости внутренней поверхности цилиндрической части дозатора на объёмный расход (точность дозирования). Можно предположить, что при усовершенствовании конструкции дозатора введением нового конструктивного элемента – сильфона, удастся влиять на шероховатость внутренней поверхности дозатора, изменяя её автоматически в процессе розлива.
Список литературы
1. Реологические основы расчета оборудования производства жиросодержащих пищевых продуктов: Учебн. пособие / В. А. Арет, Б. Л. Николаев, Л. К. Николаев. − СПб.: СПбГУНиПТ, 2007. − 537 с.